第一篇：完全平方數的性質與特征

完全平方數的性質與特征

1=1×1=2=2×2=3=×=4=×= 52=×=62=×=72=×=82=×= 92=×=102=×=112=×=122=×= 13=×=14=×=15=×=16=×= 172=×=182=×=192=×=202=×= 212=×=222=×=232=×=242=×= 252=×=262=×=272=×=282=×= 292=×=302=×=312=×=322=×=

1、觀察你所填出的平方數，個位數字分別是（）、（）、（）、（）和（）。

（1）abcd5它可能是平方數。（）（2）abcd2它可能是平方數。（）

（3）abcd8它可能是平方數。（）（4）abcd9它可能是平方數。（）

2、觀察上面奇數的平方，平方數的個位一定是（），十位也都是（）。

（1）572=ab69（）（2）abc35它可能是平方數。（）

（3）abc87它可能是平方數。（）（4）abc69它可能是平方數。（）

3、觀察上面偶數的平方，平方數的個位一定是（），個位分別可以是（）、（）、（）；平方數的十位可以是（）或（），當平方數的十位是（）時，它的個位是（）或（），當平方數的十位是（）時，它的個位是（）。

（1）577a它是一個平方數，a一定是6。（）（2）ab46它可能是平方數。（）

（3）abc54它可能是平方數。（）（4）abc70它可能是平方數。（）

（5）如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那么這個數一定不是完全平方數。

（6）如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是（）。

（7）如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是（）。

（8）如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是（）數。

4、觀察上面偶數的平方，這些平方數不僅是2的倍數還都是（）的倍數；如果把奇數的平方分別除以4，可以發現（）都是（），也就是說如果一個平方數是奇數，將它減去（）后就是4的倍數了。

5、偶數可以用字母表示為（），那偶數的平方就可以表示為（）或（）；奇數可以用字母表示為（），那奇數的平方就可以表示為（）。22222222

第二篇：完全平方教案

完全平方公式

教學設計

一、教學目標

1．理解完全平方公式的意義，準確掌握兩個公式的結構特征．

2．熟練運用公式進行計算．

3．通過推導公式訓練學生發現問題、探索規律的能力．

4．培養學生用數形結合的方法解決問題的數學思想．

5．滲透數學公式的結構美、和諧美．

二、學法引導

1．教學方法：嘗試指導法、講練結合法．

2．學生學法：本節學習了乘法公式中的完全平方，一個是兩數和的平方，另一個是兩數差的平方，兩者僅一個“符號”不同．相乘的結果是兩數的平方和，加上（或減去）兩數的積的2倍，兩者也僅差一個“符號”不同，運用完全平方公式計算時，要注意：

（1）切勿把此公式與公式

?ab?2?ab22 混淆，而隨意寫成?a?b?2?a2?b2 ．

（2）切勿把“乘積項”2ab中的2丟掉．

（3）計算時，要先觀察題目是否符合公式的條件．若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算；若不能變為符合條件的形式，則應運用乘法法則進行計算．

三、重點·難點及解決辦法

（一）重點

掌握公式的結構特征和字母表示的廣泛含義，正確運用公式進行計算．

（二）難點

綜合運用平方差公式與完全平方公式進行計算．

（三）解決辦法

加強對公式結構特征的深入理解，在反復練習中掌握公式的應用．

四、課時安排

一課時．

五、師生互動活動設計

1．讓學生自編幾道符合平方差公式結構的計算題，目的是辨認題目的結構特征．

2．引入完全平方公式，讓學生用文字概括公式的內容，培養抽象的數字思維能力．

3．舉例分析如何正確使用完全平方公式，師生共練完成本課時重點內容．

4．適時練習并總結，從實踐到理論再回到實踐，以指導今后的解題．

六、教學步驟

（一）明確目標

本節課重點學習完全平方公式及其應用．

（二）整體感知

掌握好完全平方公式的關鍵在于能正確識別符合公式特征的結構，同時還要注意公式中2ab中2的問題，在解題過程中應多觀察、多思考、多揣摩規律．

（三）教學過程

1．計算導入；求得公式

（1）敘述平方差公式的內容并用字母表示；

（2）用簡便方法計算

①103×97

②103 × 103

（3）請同學們自編一個符合平方差公式結構的計算題，并算出結果．

學生活動：編題、解題，然后兩至三個學生說出題目和結果．

要想用好公式，關鍵在于辨認題目的結構特征，正確使用公式，這節課我們繼續學習“乘

法公式”．

引例：計算

學生活動：計算?a?b?2，?a-b?

22?a?b?，?a-b??a?b?22?a2?2ab?b2，兩名學生板演，其他學生在練習本上完成，然后說出答案，得出公式．

或合并為：?a?b??a?b?2?aa2?2ab?bba2

2?2?2ab?2

?a?b?2?2?2ab?b2

教師引導學生用文字概括公式．

方法：由學生概括，教師給予肯定、否定或更正，同時板書．

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．

【教法說明】

①復習近平方差公式，主要是引起回憶，鞏固公式；編題在于提高興趣．

②有了平方差公式的推導過程，學生基本建立起了一些特殊多項式乘法的認識方法，因此推導完全平方公式可以由計算直接得出．

2．結合圖形，理解公式

根據圖形完成下列問題：

如圖：A、B兩圖均為正方形，（1）圖A中正方形的面積為____________，（用代數式表示）

圖Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為_______________________。

（2）圖B中，正方形的面積為____________________，Ⅲ的面積為______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積_________________。

分別得出結論：

?a?b??a?b?2??aa2?2ab??2ab?bb2 222

學生活動：在教師引導下回答問題．

【教法說明】利用圖形講解，增強學生對公式的直觀理解，以便更好地掌握公式，同時也培養學生數形結合的數學思想。

3．探索新知，講授新課

（1）引例：計算

教師講解：在?x?2y??2x2，?3y?2

?x?2y? 中，把x看成a，把2y看成b，在?2x2?3y?2 中把2x看成a，把3y看成b，則

?x?2y??2x2、?3y?22，就可用完全平方公式來計算，即

?x?2y??2x2?x?2?2?x?2y??2y?2?x?4xy?4y2

?3y?2?2x?2?2?2x?3y??3y?2?4x2?12xy?9y2

【教法說明】

引例的目的在于使學生進一步理解公式的結構，為運用公式打好基礎．

（2）例1 運用完全平方公式計算：

①?4a?b?2

1??②?y??2??

2③

?-2x?1?2

學生活動：學生獨立在練習本上嘗試解題，3個學生板演．

【教法說明】

讓學生先模仿公式解題，學生可能會出現一些問題，這也正是學生對公式理解、應用和熟練程度上存在的需要解決的問題，反饋后要緊扣公式，重點講解，達到解決問題的目的，關于例呈中（3）的計算，可對照公式直接計算，也可變形成?-2x?1?2????2x?1????2x?1?22

然后再進行計算，同時也可訓練學生靈活運用學過的知識的能力．

4．嘗試反饋，鞏固知識

練習一

運用完全平方公式計算：

（1）

?a?6?2（2）

?4?x?

2（3）

?x?7?22

（4）?-2x?5y?2

（5）

（6）

?1??x?3y??2?2??3?x??3??42

學生活動：學生在練習本上完成，然后同學互評，教師抽看結果，練習中存在的共性問題要集中解決．

5．變式訓練，培養能力

練習二

運用完全平方公式計算：

（l）（2）

（3）

（4）

10221992498279.82

學生活動：學生分組討論，選代表解答．

練習三

（1）有甲、乙、丙、丁四名同學，共同計算，以下是他們的計算過程，請判斷他們的計算是否正確，不正確的請指出錯在哪里．

甲的計算過程是：原式 =??3??3?

??x?2y????2??2?2?x??2y????x?2y?x4??3????2?22??4xy?y?9

4乙的計算過程是：原式 =?3???3?? ???x??2y????x??2y???2???2??????3???x???2y??2??22?x2?4y?6y?94

丙的計算過程是：原式=?3?x?2y???2??3???????x??2y?2????2?? ??????x?x22?3???2y??2??y2????4??6y?3??2?

丁的計算過程是：原式=?3???3??

???x??2y????x??2y???2???2??????3???x???2y??2??22?xx2???4y??42?949??4??2y2?

（2）想一想，（a+b）與 相等嗎？為什么？

與 相等嗎？為什么？

學生活動：觀察、思考后，回答問題．

【教法說明】 練習二是一組數字計算題，使學生體會到公式的用途，也可以激發學生學習興趣，調動學生的學習積極性，同時也起到加深理解公式的作用．練習三第（l）題實際是課本例4，此題是與平方差公式的綜合運用，難度較大．通過給出解題步驟，讓學生進行判斷，使難度降低，學生易于理解，教師要注意引導學生分析這類題的結構特征，掌握解題方法．通過完成第（2）題使學生進一步理解解代數中“a”具有的廣泛意義．

與

之間的相等關系，同時加深理

練習四

運用乘法公式計算：

（l）

（2）

（3）

（4）

學生活動：采取比賽的方式把學生分成四組，每組完成一題，看哪一組完成得快而且準確，每組各派一個學生板演本組題目．

【教法說明】 這樣做的目的是訓練學生的快速反應能力及綜合運用知識的能力，同時也激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛．

（四）總結、擴展

這節課我們學習了乘法公式中的完全平方公式．

引導學生舉例說明公式的結構特征，公式中字母含義和運用公式時應該注意的問題．

七、布置作業

第三篇：完全平方公式與平方差公式教案

§8.3完全平方公式與平方差公式復習課

教學目標：

1． 知識與能力：

會推導公式：（a±b）2=a2±2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2；了解公式的幾何背景，會用公式計算。2． 過程與方法：

經歷探索完全平方公式與平方差公式的過程，發展學生觀察交流歸納猜測驗證等能力。3． 情感態度與價值觀：

進一步體會數形結合的數學思想和方法。

教學重點：乘法公式的應用 教學難點：公式的結構特征

對公式中字母所表示的廣泛含義的理解和正確運用。

教學過程：

一、引入：計算：（a+b）2=(a-b)2=(a+b)(a-b)=

二、新授：例1：利用乘法公式計算：

（1）（2x+y）2（2）(3a-2b)2 ※字母a、b可以是數字，也可以是整式。

5．課堂練習：計算：（1）（3x+1）2(2)(a-3b)2

(3)(2x+y/2)2(4)(-2x+3y)2

6.例2：利用乘法公式計算：

(1)(1-3m)(1+3m)（2）1999×2001（3）（x+3）（x-3）（x2+9）

7.課堂練習：計算：

(1)(2a+5b)(2a-5b)(2)(1/2x-3)(1/2x+3))(3)(y-2x)(-2x-y)(4)(xy+1)(xy-1)（5）（3x+2）（3x-2）（6）（b+2a）（2a-b）（7）（-x+2y）（-x-2y）

1． 簡便計算

例：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

三、練習：

(?x?2y)(?2y?x)

(2x?5)(5?2x)

(0.5?x)(x?0.5)(x2?0.25)

(x?6)2?(x?6)

2100.5×99.5 99×101×10001

四、小結：這節課你學到了什么？ 乘法公式的特征是什么？

1． 字母a、b可以表示數，也可以表示單項式多項式。2． 要符合特征才能用公式。

3． 有些題目需要變形后才能用公式。

五、作業布置：P66 EX1 EX2

第四篇：完全平方公式教案

人教新課標八年級上15.2完全平方公式表格式教案

一、復習舊知

探究，計算下列各式，你能發現什么規律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.計算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并說明發現的規律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2． 2.歸納完全平方公式

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍，即

學生利用多項式與多項式相乘的法則進行計算，觀察計算結果，尋找一般性的結論，并進行歸納

教師讓學生利用多項式的乘法法則進行推理.教師讓學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補充，教師不急于概括．

這里是對前邊進行的運算的復習，目的是讓學生通過觀察、歸納，鼓勵他們發現這個公式的一些特點，如公式左右邊的特征，便于進一步應用公式計算

公式的推導既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應注意向學生滲透數學 教學程序及教學內容 師生行為 設計意圖（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2 3．歸納完全平方公式的特征：（1）左邊為兩個數的和或差的平方；

（2）右邊為兩個數的平方和再加或減這兩個數的積的2倍． 4.【例1】運用完全平方公式計算：

⑴ ； ⑵ 【點撥】展開后的式子有三項，能合并的要合并.5．利用完全平方公式計算：（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；（3）（x+y－z）2；

解析：（1）題可轉化為（2y－x）2或（x－2y）2，再運用完全平方公式；（2）題可以轉化為（x+y）2，利用和的完全平方公式；

（3）題利用加法結合律變形為［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］

2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式計算； 思考

⑴（a+b）2與（－a－b）2相等嗎？為什么? ⑵（a－b）2與（b－a）2相等嗎？為什么? ⑶（a－b）2與a2－b2相等嗎？為什么? 6．添括號：∵4+5+2與4+(5+2)的值相等;4-5-2與4-(5+2)的值相等.所以可以寫出下列兩個等式:(1)4+5+2=4+(5+2)(2)4-5-2=4-(5+2)左邊沒括號,右邊有括號,也就是添了括號,?同學們可不可以總結出添括號法則來呢? 添括號其實就是把去括號反過來。

教學程序及教學內容

學生分組討論，合作交流，歸納完全平方公式的特征。

部分學生板演，然后學生交流分析過程：此題需靈活運用完全平方公式。學生思考，教師點撥。

學生在做題時，不要鼓勵他們直接套用公式，而應讓學生理解每一步的運算理由。.學生分組討論,最后總結。

師生行為 的思想方法：特例—歸納—猜想—驗證一用數學符號表示． 的設置是由淺入深，讓 每個學生感到學有所成，感

受到學習數學的樂趣.整個過程貫穿完全平方公式的結構特征及由一般到特殊的思想的體驗，親身 經歷了數學魅力所在.注意完全平方公式中容易出現的問題，讓學生掌握。

第五篇：9.14完全平方公式[推薦]

運用完全平方公式分解因式（2）

教學目標

1．使學生鞏固地掌握用完全平方公式分解因式。

2．使學生學習多步驟、多方法的分解因式。重點難點

重點：掌握多步驟、多方法的方法。

難點：讓學生學會觀察多項式的特點，恰當地安排步驟、恰當地選用方法分解因式。教學過程

一、復習

1．提問：什么是完全平方公式法分解因式？ 2．練習：把下列各式分解因式：（1）x2y3–x3y2–xy；（2）9(a+b)2–(a–b)；（3）(s+t)2–18(s+t)+81；（4）x2y2–8xyz+16z2；（5）a6–25a4；

（6）–10mn–25n2–m2。

以上6道題目的因式分解，有的是一個步驟完成的，如（1）、（3）、（4）用完全平方公式法。有的要用兩個步驟完成的，如（2）、（5）、（6）都先經過提公因式，再分別用平方差公式、或完全平方公式。還有的如（2），先用平方差公式，再用提公因式法提數字公因式。通

過這幾道題目的復習練習，我們要知道做因式分解的目的，首先，要有觀察力，能發現多項式的公因式，會識別它可以用什么公式進行因式分解。其次，要將因式分解進行到底。只要因式中有多項式，而這個多項式還可以因式分解，包括有公因數我們就要把工作進行下去，直到因式的各項不能再分解為止。

二、范例講解

例6 把3ax2+6axy+3ay2分解因式。

[教學要點]讓學生觀察后發現：（1）這是一個三項式；（2）各項有公因式3a。其次，在提出公因式后，讓學生繼續發現括號內三項是一個完全平方式。因此，還可以用完全平方公式繼續分解為二項式的平方。

例（補充）把–16x4y6+24x3y5–9x2y4分解因式。

[教學要點]讓學生發現；（1）這是一個三項式；（2）各項有公因式x2y4；（3）為了適應完全平方公式的形式，各項還要變號，為此提一個含有“–”的公因式–x2y4：

–16x4y6+24x3y5–9x2y4 =–x2y4（16x2y2–24xy+9）=–x2y4(4x–3)2。

例（補充）把(x2+y2)2–4x2y2因式分解。

[教學要點]（1）讓學生發現原式是二項平方差。因此可用平方差公式分解因式；（2）用平方差公式分解因式后，兩個因式都是三項式，它們又都是完全平方式，因此可繼續用完全平方公式在分解。

(x2+y2)2–4x2y2

=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)–2xy] =(x+y)2(x–y)2。

學生易出現的錯誤是，在用平方差完成分解因式后，不再繼續分解下去。因此要特別強調第二步的觀察。讓學生發現還可以用完全平方公式繼續分解，否則不算做完這題。

三、課堂練習（補充）1．把下列各式分解因式：（1）–4xy–4x2–4y2；（2）3ab2+6a2b+3a3；（3）(s+t)2–10(s+t)+25；（4）0.25a2b2–abc+c2。2．把下列各式分解因式：（1）x2y–6xy+9y；（2）2x3y2–16x2y+32x；（3）16x5+8x3y2+xy4；（4）(a2+3a)2 –(a–1)2。

四、作業設計

1．復習乘法的平方差公式，乘法的完全平方公式計算：（1）(3m+2n)(2n–3m);（2）(2a3–b2)(b2+2a3);（3）(–a+2b)(–a–2b);22 11

（4）(–4x–3)(4x–3);（5）(–b2+4a2)2;（6）(t2+12)2;（7）(a+b)(a2–b2)(a–b);（8）(a+2b–3)(a+2b+3)。2．把下列各式分解因式：（1）2a4b2–4a3b2+10ab4;（2）16x4y–8x2y2;（3）10(x–y)2–5(x–y)3;（4）6(x–2)2+5(2–x);（5）5(m–n)3+10(n–m)5;（6）(a–1)+x2(1–a);*（7）ab–(a2+b2);21（8）(x+y)2+4(x+y)z+4z2。3．把下列各式分解因式：（1）16x–x3;（2）9(x+a)2+30(x+a)(x+b)+25(x+b)2;（3）a3+4ab2–4a2b;（4）–mn+2m2n–m3n;**（5）(s2+2s)2–(2s+4t2)2;（6）(x2+y2)2–(y2+z2)2;（7）(a–b)(a2–c2)+(b–a)(b2–c2);

（8）2(5m–17)2–128(m–1)2。