第一篇：6-07.資料-算術與幾何平均一種證明

湖南省新寧縣第一中學李水平專用教案第六章—不等式

資料1：算術平均值不小于幾何平均數的一種證明(局部調整法)

結論：設a1，a2，a3，……，an為正實數，這n個數的算術平均值記為A，幾何平均值記為G，即A＝a1?a2???an,G?a1a2??an，n

則有A≥G.當且僅當a1＝a2＝……＝an時，A＝G.特別地當n＝2時，a?b≥ab 2

當n＝3時，a?b?c≥abc.3

證明：用局部調整法證明均值不等式A≥G.設這n個正數不全相等.不失一般性，設0＜a1≤a2≤……≤an，易證a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在這n個數中去掉一個最小數a1，將a1換成A，再去掉一個最大數an，將an換成a1＋an－A，其余各數不變，于是得到第二組正數：A，a2，a3，……，an－1，a1＋an－A.這一代換具有下列性質：

① 兩組數的算術平均值不變，設第二組數的算術平均值為A1，那么

A1＝A?a2?a3????an?1?a1?an?A?A n

② 兩組數的幾何平均值最大.設第二組數的幾何平均值為G1，則

G1＝Aa2a3??an?1(a1?an?A)

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)

由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0

則 A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3……an－1(a1＋an－A)＞a1a2……an－1＋an.G1＞G.若第二組數全相等，則A1＝G1，于是A＝A1＝G1＞G證明完畢.若第二組數不全相等，再作第二次替換.仍然是去掉第二組數中的最小數b1和最大數bn，分別用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因為有b1＜A1＜bn且A1＝A.因而第二組數中的A，不是最小數b1，也不是最大數bn，不在去掉之列，在替換中不會被換掉，而只會再增加，如此替換下去，每替換一次，新數中至少增加一個A，經過n－2次替換，新數中至少出現n－2個A，最多經過n－1次替換，得到一個全部是A的新數組.此時新數組的算術平均值等于幾何平均值.在每次替換中，數組的算術平均值不變，始終等于A，而幾何平均值不斷增大，即G＜G1＜G2＜……＜Gk，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立.17

第二篇：1.1.3三個正數的算術-幾何平均不等式導學案

蘭州新區永登縣第五中學高二數學（文）導學案

班級：小組名稱：姓名：得分：

2．若正數x,y滿足xy2?4,計算x?2y的最值

三、拓展探究

1．若a?b?0,計算a?

2．若a?2,b?3,求a?b?

3．（參考例6）設0?x?1,求x(1?x)的最大值（思考：根據此題你能得到什么結論？）

導學案 §1.1.3三個正數的算術-幾何平均不等式

設計人：薛東梅審核人：梁國棟、趙珍

學習目標：

1．了解三個正數的算術-幾何平均不等式；2．會用平均不等式求一些特定函數的最大（小）值。

學習重點：三個正數的算術-幾何平均不等式及定理3的應用 學習難點：應用不等式解決應用問題

學習方法：六動感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學評價

1．三個正數的算術-幾何平均不等式

（1）如果a,b,c?R?,那么a3?b3?c33abc，當且僅當，等號成立。（2）定理3：

即：2．基本不等式的推廣：

思考：利用平均不等式求最值的要注意條件？

注意：（1）獲得定值需要一定的技巧，如配系數、拆項、分離常數、平方變形等；（2）連續多次使用平均不等式定理時，要注意前后等號成立的條件是否一致； 3．思考并完成例54．如果x?0,如何求2x?

二、檢測交流

1．已知a,b,c?R?,求證（8的最值

b(a?b)的最小值。

(a?2)(b?3)的最小值？ x2

abcbca??)(??)?9（思考：根據此題你能得到什么結論？）bcaabc

第三篇：算術平均數與幾何平均數

6.2.3算術平均數與幾何平均數

●教學目標

(一)教學知識點

1.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤

M

42，等號當且僅當a＝b時成立.＋

2.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥

2P，等號當且僅當a＝b時成立.(二)能力訓練要求

通過兩個例題的研究，進一步掌握均值不等式定理，并會用此定理求某些函數的最大、最小值.(三)德育滲透目標

掌握兩個正數的算術平均數和幾何平均數順序定理及相應的一組不等式，使學生認清定理的結構特點和取“＝”條件.要在分析具體問題的特點的過程中尋求運用公式的適當形式和具體方式，自覺提高學生分析問題和解決問題的能力.●教學重點

基本不等式a＋b≥2ab和

2a?b2

≥ab（a＞0，b＞0）的應用，應注意：

(1)這兩個數(或三個數)都必須是正數，例如：當xy＝4時，如果沒有x、y都為正數的條件，就不能說x＋y有最小值4，因為若都是負數且滿足xy＝4，x＋y也是負數，此時x＋y可以取比4小的值.(2)這兩個(或三個)數必須滿足“和為定值”或“積為定值”，如果找不出“定值”的條件，就不能用這個定理.例如，求當x＞0時，y＝x2＋

1x

1x的最小值，若寫成y＝x2＋

1x

1x

≥

2x?

2?2x，就說“最小值為2x”是錯誤的，因為x2·

12x

12x

4不是定值，而2x仍為

1x

隨x變化而變化的值.正確的解法是：由于x2·

12x

·＝為定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x?

22x2x

?

?

32，即y的最小值為

322

.(3)要保證等號確定能成立，如果等號不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教學難點

如何湊成兩個(或三個)數的和或積是定值.例如“教學重點”(2)中y＝x2＋

1x

湊成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教學方法 啟發式教學法 ●教具準備

投影片一張 記作§６.2.2 A

Ⅰ.課題導入

上一節課，我們學習了一個重要定理：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數(以下簡稱均值不等式).這個定理有時可以直接運用，有時用它的變形或推廣形式，(打出投影片§6.2.2 A，教師引導學生略作分析)，使同學們掌握下面幾個重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），當且僅當a＝b時取“＝”號；(2)(3)(4)

a?b2

?

ab（a＞0，b＞0），當且僅當a＝b時取“＝”號；

ba

?

ab

3≥2（ab＞0），當且僅當a＝b時取“＝”號；

?

a?b?c

abc（a＞0，b＞0，c＞0），當且僅當a＝b＝c時取“＝”號；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），當且僅當a＝b＝c時取“＝”號.在此基礎上，上述重要不等式有著廣泛的應用，例如：證明不等式，求函數最值，判斷變量或數學式子的取值范圍等等.它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧.今天，我們就來進一步學習均值不等式的應用.Ⅱ.講授新課

［例1］已知x、y都是正數，求證：

(1)如果積xy是定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值

4S2.［師］本題顯然是均值不等式的應用，在運用均值不等式時應注意：“算術平均數”是以“和”為其本質特征，而“幾何平均數”是以“積”為其本質特征.［生］∵x，y都是正數

∴

x?y

2?

xy

x?y2

?

P，(1)當積xy＝P為定值時，有即x＋y≥2

P.上式中，當x＝y時取“＝”號，因此，當x＝y時，和x＋y有最小值2P.(3)當和x＋y＝S為定值時，有xy?即xy≤

S2，S2.14

上式中，當x=y時取“=”號，因此，當x=y時積xy有最大值 S2.［師生共析］通過對本題的證明，運用均值不等式解決函數的最值問題時，有下面的方法：若兩個正數之和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的積有最大值；若兩個正數之積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值.在利用均值不等式求函數的最值問題時，我們應把握好以下兩點：(1)函數式中，各項(必要時，還要考慮常數項)必須都是正數.例如，對于函數式x＋地認為關系式x＋

1x

1x，當x＜0時，絕不能錯誤

1x

≥2成立，并由此得出x＋

1x

1x的最小值是2.事實上，當x＜0時，x＋＞0?－（x＋

1x的最大值是－2，這是因為x＜0?－x＞0，－

1x

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(?x)?(?)＝2?x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1時取得.(2)函

數式中，含變數的各項的和或積必須是常數，并且只有當各項相等時，才能利用均值不等式求函數的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正數，求證（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師］運用均值不等式，結合不等式的基本性質，是證明本題的關鍵.［生］∵a，b，c，d都是正數，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

ab?cd

??

ab?cd＞0，ac?bd＞0.ac?bd

由不等式的性質定理4的推論1，得

(ab?cd)(ac?bd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師生共析］用均值不等式證明題時，要注意為達到目標可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運用時，常需先湊形后運用；均值不等式和不等式的基本性質聯合起來證題是常用的行之有效的方法.利用算術平均數與幾何平均數的關系定理(均值不等式)，可以很容易地解決本章開始的引言中提出的問題：

某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價為150元，池壁每1 m的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元?

［師］應用題的最值問題，主要是選取適當的變量，再依據題設，建立數學模型(即函數關系式)，由變量和常量之間的關系，選取基本不等式求最值.(在教師的引導分析下，師生共同完成解答過程).［生］設水池底面一邊的長度為x m，則另一邊的長度為

48003x

m，又設水池總造價為

ｌ元.根據題意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x?

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.當x＝

1600x，即x＝40時，ｌ有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.［師生共析］我們應用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題.用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.Ⅲ.課堂練習

1.已知x≠0，當x取什么值時，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1為定值，從而可求和的最小值.解：x≠0?x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x?

81x

81x

＝1８，當且僅當x2＝，即x＝±3時取“＝”號.81x

故x=±3時，x+的值最小，其最小值是18.2.一段長為Ｌ m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?

分析：均值不等式在實際問題中的應用相當廣泛，解題過程中要(1)先構造定值，(2)建立函數關系式，(3)驗證“＝”號成立，(4)確定正確答案.解法一：設矩形菜園的寬為x m，則長為（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面積

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2x?L?2x)?

L

8當且僅當2x＝Ｌ－2x，即x＝

L

L

4時菜園面積最大，即菜園長

L2

m，寬為

L4

m時菜園面

積最大為

m.L?x2

解法二：設矩形的長為x m，則寬為

x(L?x)

(x?

L?x)2

m，面積

S＝

?

（x?L?x)

≤?

L

（m2）.L2

當且僅當x＝Ｌ－x，即x＝

L4

（m）時，矩形的面積最大.也就是菜園的長為

L

L2

m，寬為

m時，菜園的面積最大，最大面積為

m2.3.設0＜x＜2，求函數f（x）＝3x(8?3x)的最大值，并求出相應的x值.分析：根據均值不等式：ab?８－3x是否為正數；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(8?3x)≤

3x?(8?3x)

24312a?b2，研究3x(8?3x)的最值時，一要考慮3x與

［3x＋（８－3x）］是否為定值.＝4

當且僅當3x＝８－3x時，即x＝時取“＝”號.4

3故函數f（x）的最大值為4，此時x＝.Ⅳ.課時小結

本節課我們用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系定理及其推廣的幾個重要不等式順利解決了函數的一些最值問題.在解決問題時，我們重點從以下三個方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項都取正值)；二是合理尋求各因式或項的積或和為定值；三是確定等號能夠成立.只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點的過程當中合理運用公式的適當形式和具體方式，解決某些函數的最值問題.Ⅴ.課后作業

(一)課本P11習題6.24、５、７.(二)1.預習內容：課本P12 §６.3.1不等式的證明.2.預習提綱：

(1)用比較法證明不等式.(2)用比較法證明不等式的一般步驟：

作差(或商)→變形→判斷差的符號(或商與1的大小)→得證.●板書設計

第四篇：教師版：推理與證明專題資料

第十講 推理與證明專題資料

一、推理：

（一）合情推理：歸納推理、類比推理.1.歸納推理：根據某類事物的部分對象具有的某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這種特征的推理，是“部分到整體，個別到一般”的推理。

2.類比推理：兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理.（二）演繹推理：根據一般性的真命題（或邏輯規則）推導出特殊性命題為真的推理。常用模式“三段論”：大前提、小前提、結論。

【歷練鞏固】

例1（11，陜西，13）觀察下列等式

1=

12+3+4=9

3+4+5+6+7=2

54+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規律，第n個等式為

解： n?(n?1)?(n?2)?...?(3n?2)?(2n?1)2。

練習1（11，江西，7）觀察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，則52011 的末四位數字為()

A、3125B、5625C、0625D、8125 解：D.例2（09，上海，3）以下是面點師一個工作環節的數學模型： 在數軸上取閉區間?0,1?，對折（0與1兩點重合）后再均勻地拉成一個單位長度線段（原來的和變為，變為1等）算一次操作，重復操作，第n次操作后變為1的點有個.解：用現場折紙條的操作，可知有2n?1個.3414121

2?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，例3設P為?ABC內一點，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有lAlBlC???hAhBhC

類比到空間中，設P是四面體ABCD內一點，四頂點到對面的距離分別為hA,hB,hC,hD，P到四個面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：

解：面積法：

llAlBlClll???1；體積法：A?B?C?D?1 hAhBhChAhBhChD

二、證明：

（一）直接證明：

1.分析法：從欲證結論出發，對結論進行等價變形，建立未知結論和已知的“條件，結論”因果關系；

2.綜合法：從已知條件和結論出發，以演繹推理中的“三段論”規則為工具，推出未知結論；

3.歸納法：證明格式為：

①先證當n?n0時命題成立（n0為需證的初始自然數）；

②假設n?k?k?n0?時命題成立，并在此前提下可以推出n?k?1時命題也成立；

由①②，命題對一切n?n0的自然數恒成立.（二）間接證明：

反證法：證明欲證命題的等價命題——逆否命題.例3（反證法）給定實數a,a?0且a?1，設函數y?x?1?1??x?R,x??.ax?1?a?

求證：經過改函數圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸.（253-14.4）解：y1?y2(x1?x2)，即：x1?1x?1?2?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)ax1?1ax2?

1?(z?1)(x1?x2)?0

例4（分析法）在?ABC中，?A,?B,?C成等差數列，其對邊分別為a,b,c.求證：113.(253.4)??a?bb?ca?b?c

ca??1?a2?c2?ac?b2；?B?600，用余弦定理即可.a?ba?c解：變形為

例5（綜合法、歸納法）用綜合法和歸納法兩種方法證明：（255.14.6）

1?11111111???????????????(n?N?)2342n?12nn?1n?2n?n

練習2（08，遼寧，21）在數列?an?，?bn?中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差數列，bn，an?1，bn?1成等比數列（n?N*）.求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測?an?，?bn?的通項公式，并證明你的結論.2解：由條件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1

由此可得a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25．

猜測an?n(n?1)，bn?(n?1)2．

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立．

②假設當n=k時，結論成立，即ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么當n=k+1時，ak?1?2bk?ak?2(k?1)2?k(k?1)?(k?1)(k?2)，2akbk?1??2?(k?2)2． bk

所以當n=k+1時，結論也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn?(n?1)2對一切正整數都成立．

【選擇題】

1.用數學歸納法證明“Sn?

等于（）A.1 21111??????1(n?N*)”時，S1n?1n?2n?33n?111?23111??234B.C.D.以上都不對

1.C考查：歸納法初值

【解】當n=1時，左邊最后一個式子的分母為4，所以為

2.用數學歸納法證明“1?111??.234111????n?n（n∈N*，n＞1）”時，由n=k（k232?1

＞1）不等式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數是()

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.C 考查：歸納法第二步

【解】左邊的特點：分母逐漸增加1，末項為

末項為111;由n=k，末項為到n=k+1，2n?12k?11k，∴應增加的項數為22k?1?12k?1?2k

11113.設f（n）=+++?+n∈N *），那么f（n+1）－f（n）等于()n?1n?2n?32n

1111A.B.C.+2n?12n?22n?12n?2

11D.－ 2n?12n?2=

3.D 考查：歸納法第二步

11111 + +?+ + +－n?2n?32n2n?12n?2

11111111（++?+）=+－=－.n?1n?2n?12n?12n2n?12n?22n?2fn?1）－（f）n【解】（=

第五篇：資料移交證明

尚品·清河工程監理資料移交證明

尚品·清河工程自2009年底開工以來，歷經三年時間，近期已全部完成，并通過了建設主管部門驗收。根據監理合同要求，監理單位應向建設單位提交三份監理資料。監理資料內容與城建檔案館提交內容一致，包括：監理規劃及監理細則（第一卷）、監理例會會議紀要（第二卷）、監理月報（第三卷）、監理工程師通知單（第四卷）、質量評估報告（第五卷）。

本工程竣工驗收備案時，監理單位已向城建檔案館提交一份完整的監理資料，現將合同約定的另外二份監理資料移交建設單位。

特此證明。

監理單位：

移交人：日期：

建設單位：

移交人：日期：