第一篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法[最終版]

構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法

一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

例：

1、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，但有1?

2、已知函數(shù)f(x)?ae?x1?ln(x?1)?x 1?x12x（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

2（2）若a=1，求證：x?0時(shí)，f(x)?1?x

二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明

1例：

1、已知函數(shù)f(x)?x2?lnx，求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)

22g(x)?x3的圖象下方。

3思想：抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問(wèn)題

2、已知函數(shù)f(x)?n?lnx的圖象在點(diǎn)P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設(shè)

n（1）求證：當(dāng)x?1時(shí)，g(x)?0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方g(x)?mx??2lnx，x

n程mx??g(x)?x3?2ex2?tx根的個(gè)數(shù)。x3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

例：

1、證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

2、證明：對(duì)任意的正整n，不等式ln(?1)?

3、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?x?x?ax，（1）若321n11?，都成立。n2n31n11?3都成立。2nn2為y?f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a

3的值；（2）若y?f(x)在[1,??)上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若a=-1時(shí)，方程f(1?x)?(1?x)3?b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

例1 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)??f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足'

a?b，求證：af(a)?bf(b)

5、主元法構(gòu)造函數(shù)

例1.已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2

26、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

例1：已知函數(shù)f(x)?ae?x12（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍； x，2（2）若a=1，求證：x?0時(shí)，f(x)?1?x7、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）

例1：證明當(dāng)x?0時(shí)，(1?x)1?

1x?e1?x8、構(gòu)造形似函數(shù)

例1：證明當(dāng)b?a?e，證明a?b2、已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n，證明：(1?m)?(1?n)

思維挑戰(zhàn)

1、設(shè)a?0，f(x)?x?1?lnx?2alnx，求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?

12、已知定義在正實(shí)數(shù)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?

且b?

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

4、f(x)是定義在(0,??)上的非負(fù)可導(dǎo)數(shù)，且滿足xf(x)?f(x)?0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a?b，則必有（）

A.af(x)?bf(a)B.bf(a)?af(b)C.af(a)?f(b)D.bf(b)?f(a)

-'2nmba212x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0，252a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b恒有l(wèi)na?lnb?1? 1?xa

第二篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

導(dǎo)數(shù)之構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有

1?

【解】f?(x)?1?ln(x?1)?x x?11x?1?? x?1x?1∴當(dāng)?1?x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)

當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù) 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)

于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證）現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?111x?1，則g?(x)? ??22x?1x?1(x?1)(x?1)當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?111?1?ln(x?1)?x ∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當(dāng)x??1時(shí),有x?1x?1∴當(dāng)x??1時(shí)，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?12x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)? 23x的圖象的下方； 32312x?x?lnx，32【解】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?1(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?=

xx21

(x?1)(2x2?x?1)當(dāng)x?1時(shí)，F(xiàn)?(x)=

x從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?∴當(dāng)x?1時(shí) g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(只需令

1?0 623x的圖象的下方。3111?1)?2?3 都成立.nnn1?x n32【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，13x3?(x?1)2?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時(shí)，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x 對(duì)任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。'?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

5、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

x例．已知函數(shù)f(x)?ae?12x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ即ａ≥ｘｅ對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，當(dāng)ｘ＞１時(shí)，ｇ′（ｘ）＜０，當(dāng)ｘ＜１時(shí)，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù), ∴g(x)在x=1時(shí),取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)

x(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=e?x-ｘ-ｘ-ｘ-x

12x?1?x(x?0)2則F′(x)=e-1-x, xx令h(x)= F′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1 當(dāng)x>0時(shí), h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù), 又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

6.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)1?1x?e1?x2

7.構(gòu)造形似函數(shù)

例：證明當(dāng)b?a?e,證明a?b

例：已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n,證明：(1?m)?(1?n)

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?ln2x?2alnx?1

nmba3

2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b? 52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，1?x3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?恒有l(wèi)na?lnb?1?

b.a

4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

mx2 5．設(shè)函數(shù)f（x）=e+x﹣mx．

（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．

6、已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，證明：對(duì)任意.7．已知函數(shù)f（x）=x+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：

．

8．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)范圍；（Ⅲ）求證：

．

在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值

29.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）證明不等式：

10．已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．

（n∈N）．

*（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)m，n，不等式

恒成立．

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣

﹣bx（Ⅰ）當(dāng)a=b=時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+

＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

12.已知函數(shù)f（x）=x+2ax﹣alnx﹣1（1）a≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

13.已知函數(shù)f(x)=ln

221?x.1－x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，f(0)）處的切線方程；

x3(Ⅱ)求證：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≥2(x+);

3x3(Ⅲ)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k(x+)對(duì)x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.35

bex?114.設(shè)函數(shù)f(x)=aelnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處切線方程為y=e(x-1)+2.xx(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)證明：f(x)>1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

x－xee15.已知函數(shù)f(x)=--2x.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,求b的最大值；

16.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

17.已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,ax(a>1)討論f(x)的單調(diào)性 x?aπ]，求證：f(x)≤0； 218、已知函數(shù),，其中R.（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)總有 , 當(dāng)成立，求實(shí)數(shù)

時(shí)，若存在，對(duì)于任意的，的取值范圍．

19、已知函數(shù)

.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20、設(shè)函數(shù)表示的導(dǎo)函數(shù)，（其中）（1）求成立，求實(shí)數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)任意的的取值范圍，都有

21、已知函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若,當(dāng)求實(shí)數(shù) 的取值范圍． ,，其中R．（Ⅰ）討論

在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)

時(shí)，若，的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，總有

成立，22、已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線，若對(duì)任意

在處切線的斜率；(Ⅱ)求，均存在的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，使得，求的取值范圍。

第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何

2、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?1?ln(x?1)?x x?11?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即x?1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)?ln(x?1)?可證明。根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【變式1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式f(x)>f?(x)，且y?f(x)?1為奇函數(shù).求不等式f(x)x2.求不等式(x?2015)2f(x?2015)?4f(?2)?0的解集.3、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例3】已知函數(shù)f(x)?12x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?23x3的圖象的下方； 分析：函數(shù)f(x)圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問(wèn)題，設(shè)F(x)?g(x)?f(x)

4、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(1n?1)?11n2?n3 都成立.分析：本題是山東卷的

5、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例5】證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)1?1x?e1?x2

6、構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba7、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 【例7】已知函數(shù)f(x)?aex?12x2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x

8、主元法構(gòu)造函數(shù)

【例8】（全國(guó)）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b2)?(b?a)ln2.【思維挑戰(zhàn)】

1、（2007年，陜西）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x2?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?52a2?3a2lna，求證：f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x1?x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b, 恒有l(wèi)na?lnb?1?ba.

第四篇：構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法

導(dǎo)數(shù)專題：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：

1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?1?ln(x?1)?x x?

12、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

5、主元法構(gòu)造函數(shù)

1223x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x23的圖象的下方；

111?1)?2?3 都成立.nnn1?x)?x,g(x)?xlnx 例．（全國(guó)）已知函數(shù)f(x)?ln((1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g（6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)>1+x

7.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)

8.構(gòu)造形似函數(shù)

例：證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba

【思維挑戰(zhàn)】

1、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

22求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1，1?1x?e1?x2

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)

f(x)?

52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，求證：f(x)?g(x)

22xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?.1?xa3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

第五篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式

在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。

例1.設(shè)：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當(dāng)⊿＝0時(shí)，b?c?0，此時(shí)，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時(shí)，不等式取等號(hào)。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得：此方程恒成立，a?(b?2)a?b?2b?1?0，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式

對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問(wèn)題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。

例3.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設(shè)a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當(dāng)且僅當(dāng)a?,b?,c?時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當(dāng)a?,b?,c?時(shí)，(??)min?36 632abc

構(gòu)造函數(shù)證明不等式

1、利用函數(shù)的單調(diào)性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a b?mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。

a?x+，其中x∈R，0

b?xb?x證明：令 f（x）= ∵b-a>0 b?a+ 在R上為減函數(shù) b?xb?a+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)

b?x∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴a?ma> b?mb例

6、求證：a?b1?a?b≤

a?b1?a?b（a、b∈R）

[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問(wèn)題將迎刃而解。

[證明]令 f（x）=

x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1?x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： a?b1?a?b≤

a?b1?a?b

[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。

2、利用函數(shù)的值域

例

7、若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—

x11≤≤ 221?x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過(guò)程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。

1?x222x2證明：設(shè) y=，則yx-x+y=0 21?x ∵x為任意實(shí)數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21?x22 ∴y≤2[說(shuō)明]應(yīng)用判別式說(shuō)明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。

另證：類比萬(wàn)能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。

例

8、求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2x?lg2y

對(duì)大于1的任意x與y恒成立。

[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù)，然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來(lái)求解a，從而說(shuō)明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。

22證明：∵lgx?lgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可變形為：Lga≥

lgx?lgylgx?lgy22

2（lgx?lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1?222222lgx?lgylgx?lgylgx?lgylgx?lgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx?lgy ∴ 1

從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常數(shù)a，使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。

3、運(yùn)用函數(shù)的奇偶性

xx<(x≠0)1?2x2xx 證明：設(shè)f（x）=-(x≠0)x1?22 例

9、證明不等式：

?x?x?x2xx ∵f（-x）=-= x+ ?x1?222?12xxx

[1-(1-2)]+ 1?2x2xx =-x+= f(x)x1?22 = ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

x ∵當(dāng)x>0時(shí)，1-2<0，故f(x)<0 當(dāng)x<0時(shí)，根據(jù)圖象的對(duì)稱性知f(x)<0 故當(dāng) x≠0時(shí),恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x1?22 [小結(jié)]本題運(yùn)用了比較法，實(shí)質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來(lái)證明的，本題也可以運(yùn)用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對(duì)稱性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱性，常能使所求解的問(wèn)題避免復(fù)雜的討論。