第一篇：數論中埃米特恒等式證明

數論中埃米特恒等式證明

證明下列命題：

（1）x?R?,n?N*，且1至x之間的整數中，有[]個是n的倍數。

（2）若p?xnnnn||n!,則??p(n!)?[]?[2]?[3]??。ppp

（3）x為實數，n為正整數，求證：（埃米特恒等式）[x]?[x?

證明：（1）因為[]?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]。nnnxxxx?[]?1，即[]?n?x?([]?1)?n nnnn

x故x?R?,n?N*，且1至x之間的整數中，有[]個是n的倍數。n

（2）由于p是質數，因此n!含p的方次數p(n!)一定是1,2,3，?,n?1,n各數中含p的方次數的總和。由（1）知1,2,3，?,n?1,n中有[]個p倍數，有[xnn

pn]個p2的倍數，┈，所以2p

nnnp(n!)?[]?[2]?[3]?? ppp

n?1n?1]?[x]時，即{x}??1?0?n{x}?1 nn

12n?1所以[x]?[x?]?[x?]???[x?]?n[x]，而[nx]?[n[x]?n{x}]?n[x]?[n{x}]?n[x] nnn（3）不妨設x?0，①當[x?故等式此時成立。n?1kk?1]?[x]?1時，設k?0,1,2,?,n?2，使得，[x?]?[x],[x?]?[x]?1，nnn

k?{x}??1?n?k?1n?kn則???{x}??n?k?1?n{x}?n?k?[n{x}]?n?k?1 k?1nn?1?{x}??2n?

12n?1所以[x]?[x?]?[x?]???[x?]?(k?1)[x]?(n?k?1)([x]?1)?n[x]?n?k?1 nnn②當[x?

[nx]?[n[x]?n{x}]?n[x]?[n{x}]?n[x]?n?k?1 故[x]?[x?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]。nnn

12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]成立。nnn綜合①②得，x為正實數時，n為正整數，[x]?[x?

同理可證得x?0時，結論也成立；當x?0時，結論顯然成立。

綜合上述得，x為實數時，n為正整數，[x]?[x?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]成立。nnn

第二篇：證明會計恒等式1[推薦]

證明會計恒等式“資產=負債+所有者

如：大華公司2010年12月資產總計為500W元，其中權益資金400W元，長期借款100W元

即：500W=100W+400W

左邊=右邊1、2010年12月1日，從銀行提取現金10W元備用、分析：庫存現金增加10W資產銀行存款減少10W資產 500W+10W-10W=100W+400W

資產一增一減（金額相等），右邊不變，不改變恒等2、2010年12月4日，從銀行借入3個月需要歸還的借款4W元，支付所欠恒大公司的貨款。

分析：短期借款增加負債

應付賬款減少負債

500W=100W+（4W-4W）

+400W

負債一增一減（金額相等），資產、所有者權益不變，不改變恒等3、2010年12月8日，企業為了擴大規模，將資本公積金70W元轉增為企業資本

分析：資本公積減少所有者權益

實收資本增加所有者權益

所有者權益一增一減（金額相等），負債、資產不變，不改變恒等

500W=100W+400W+(70W-70W)

4、2010年12月12日。從銀行借入2年期歸還的借款100W元，購買設備一臺。、分析：長期借款增加負債固定資產增加資產

500W+100W=（100W+100W）

+400W

等式兩邊同時增加，（所有者權益不變）不改變恒等5、2010年12月18日，收到虎臺公司以現金投入的資本金80W元，存入銀行

分析：實收資本增加所有者權益

銀行存款增加資產 500W+80W=100W+400W+80W

等式兩邊同時增加，（負債不變）不改變恒等6、2010年12月20日，以銀行存款2W元，歸還企業所欠貨款

分析：銀行存款減少資產應付賬款減少負債 500W-2W=100W-2W+400W

等式兩邊同時減少，（所有者權益不變）不改變恒等7、2010年12月22日，股東張三撤資，以銀行存款支付其投資款60W元

分析：銀行存款減少資產實收資本減少所有者權益

500W-60W=100W+400W-60W

等式兩邊同時減少，（負債不變）不改變恒等8、2010年12月24日，經與債權人協商同意，將所欠宏濤公司貨款10W元，轉增為企業實收資本

分析：應付賬款減少負債實收資本增加所有者權益

500W=100W-10W+400W+10W

左邊不變（資產），右邊一增一減不改變恒等9、2010年12月29日，年終分紅，計劃將凈利潤30萬元進行分配

分析：利潤分配減少所有者權益

應付股利增加負債

500W=100W+30W+400W-30W

左邊不變（資產），右邊一增一減不改變恒等

第三篇：算兩次在證明組合恒等式中的應用

“算兩次”思想在證明組合恒等式中的應用

mn?m1.Cn，取走和剩下的一一對應； ?Cn

n

2.?C

k?0kn?2n

122nn我們可令等式(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx中的x等于1，得到該式。

另外，我們可考察集合{b1,?,bn}的子集的個數：

一方面，采取加法原理，根據子集中元素個數分類：?C

k?0nkn；

另一方面，采取乘法原理，設其子集為S，我們逐一考察bi,i?1,2,?,n是否在S內，每個元素都有兩種可能，考察完畢，子集S確定，或者我沒把子集看成一個排列，如

n；?b1??1,0,0,?,0。共2。??0,0,?,0??????????

nn?1

所以得證。

mmm?1mm?13.Cn，從{a,b1,?,bn}取m個有Cn，一類不含a：?1?Cn?Cn?1種：一類含a：Cnm。Cn

mmm?1推廣①： An ?1?An?mAn

mm?1m從{a,b1,?,bn}取m個排成一排An，一類不含a：An。?1：一類含a：mAn

n?1nnnnn推廣②：Cn?C?C?C??

?C?C?m?1m?nm?n?1m?n?2n?1n

解釋：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1個，白球n個。從中選取n+1個小球，n?1選法共：Cn?m?1種，n考慮另外一種算法：若有黑1則在剩余小球中選n個，即Cn?m，若無黑1，則考慮是否有

n黑2，若有則從剩余n+m-1個小球中取n個，即Cn?m?1，依次考慮下去，到考慮是否有黑

nm，若有，則在剩余n個小球取n個，即Cn?1，若無黑m。則必有黑m+1，最后剩下的m

個白球全取。總共Cm?n?Cm?n?1?Cm?n?2???Cn?1?Cn。所以得證。nnnnn

rr?1

本公式另一種表現形式：Crr?Crr?1???Crr?2???Cn本公式也可從楊輝三角?1?Cn。

觀察可得。還可考察等式(1?x)?(1?x)

rr?1

???(1?r)

n?1

(1?x)n?(1?x)x

?兩端

x

xr的系數相同。

推廣③： C

rn?m

kr?k

??CmCnk?0r

r

從{a1,?am,b1,?,bn}取r(r?m)個元素Cn：從這n+m個元素中取k個a系，r-k個b?m

r

系的方法CC

k

mr?kn

種，k?0,1,2,?,r，所以C

rn?m

kr?k

。（Vandermonde恒等式）??CmCnk?0

rrr?1

特例，當m?1時，即Cn?C?C?1nn。

n

當n?m?r時，??Cnk??C2nn?

k?0

?2n?!。

（人教B選修2-3教材P35T17，此題

n!?n!

n

還可以通過考察等式(1?x)n(1?x)n?(1?x)2n左右兩邊含x項的系數相等得到；同樣考察(1?x)n(1?x)m?(1?x)n?m左右兩邊含x項的系數相等得到Vandermonde恒等式）

1222n2n?1推廣④：(Cn)?2(Cn)???n(Cn)?nC2n?1。

r

r

證明：由C

r

n?m

kr?kkk?1，令r?m?n?1結合kCn??CmCn?nCn?1可得。k?0

nC

n?1

2n?1

kn?k?1

?n?Cn?1?Cn

k?0

n?1

kn?k?1

??nCn?1?Cnk?0n?1

k?1n?k?1??(k?1)Cn?Cnk?0n?1

n?1

??(k?1)?C

k?0n

k?1

n

?

??k?C

k?0

kn

?

得證。

解釋：a系{a1,a2,?,an}選一個作為主元素，從剩余的2n-1中再選n-1個；再有對于k=1，2,3??，n從n個a系中選k個，再從中選一主元素，再從n個b系{b1,b2,?,bn}中選n-k

kn?k

個（不做主元素），即kCn。?Cn

另一種證明方法：

00nn因為：(1?x)n?Cn?Cnx???Cnx，(1?

1n001n1)?Cn?Cn???Cn兩展開式右

xxxn

1222n2

(Cn)?2(Cn)???n(Cn)，而

邊乘積中的常數項恰好等于

(1?x)n(1?

1n1n)?n(1?x)2n，(1?x)2n中含xn的系數是C2

n。

xx

kr?k，當n?m時，即是上式。??kCmCn

k?1m

推廣：mC

r?1

n?m?1

rr?1

4.rCn（可直接用組合數公式證明）?nCn?1，r

解釋：從n個元素中選出r個元素并把其中之一作為主元素rCn，另一方法，先從n個r?1元素中選出一個主元素，再從剩余的n-1個元素中選取r-1個元素nCn?1。123n用之可證明人教B版選修2-3P32T6：Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1。

0n?1（證明一：倒序相加；證明二：從左往右結合2n?1?Cn?1???Cn?1；證明三：122nn

x?1）(1+x)n=C0n?Cnx?Cnx???Cnx兩端求導并令123n

Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1的推廣：

n?mk?0

m?kmn?mmn?m時，?Cn。?CmCn?k?2

解釋：考慮從n人中選出m名正式代表及若干名列席代表的選法（列席代表不限人數，可以為0）.m

一方面，先選定正式代表，有Cn種方法，然后從n?m個人選列席代表，有2

n?m

種方法，共有2

n?m

m

種。Cn

另一方面，可以先選出m?k人（k?0,1,2,?,n?m），然后再從中選出m名正式代表，其余的k人為列席代表。對于每個k,這樣的選法有Cn

m?k

m

?Cm?k種，從而，總選法的種數為

n?mk?0

?C

m?knm?Cm?k。從而得證。

rr?1rmmr?mrr?1

另：rCn的推廣：，m=1時即為?nCnC?C?C?CrC?nC?1nrnn?mnn?1。

第四篇：埃米莉面臨的問題

埃米莉面臨的問題：是否同意一個病房對六把未經機械評估委員會批準的Acme牌電動剃刀的采購申請（該醫院之前已在第一病房使用過這種剃刀）

醫院的采購制度：

1.采購物品須由運作部門的專門決策者提出采購申請，然后由醫院采購部門進行統一合理采購

2.對于新產品的采購，首先要由采購部門進行初步審查，然后向器械評估委員會提出檢測評估申請，對通過申請的新產品才能進行采購

剃刀的背景：

一次性剃刀：是多瑪醫院長期以來一直使用的剃刀，其優點是成本低且剃的干凈

Acme牌電動剃刀：是該公司的銷售代表繞過醫院采購部門向醫院工作人員推銷產品，從而導致醫院之前已經采購了十把這種剃刀。這種剃刀未通過醫院器械評估委員會的審查，在醫院不允許被采購。其采購成本高，可能被偷竊，有衛生問題，剃的不干凈且使用時會斷電（新產品有所改進，加了充電線）

采購背景：

1.多瑪醫院采購部門收到了關于采購六把Acme牌電動剃刀的采購申請，這種剃刀未通過醫院器械評估委員會的審查，不允許被采購

2.之前由于Acme生產公司銷售代表繞過采購部門推銷產品的舉動，導致醫院已經采購了十把這種剃刀

3.是否采購這種剃刀直接關系到醫院采購流程的完整性

第五篇：埃特貝樂詳細介紹

商品圖片、批號、介紹、包裝情況、專柜價等所有信息僅供參考，商品以實物為準。化妝品的使用效果會因膚質、年齡、季節、氣候、個人感覺、使用方法以及配套產品（不盡之處無法全部列舉）等的不同而不同，因此，產品介紹的功能及使用效果僅供參考。本商城所售進口商品，均以中文標識的生產日期、限用日期為準。如果您屬敏感肌膚選擇護膚品，或對該商品細節有任何疑問，請在訂購前咨詢客服人員。

簽收產品時，請您一定在配送人員在場時當面檢查商品與送貨單是否一致，若商品有破損，滲漏，缺少，配送有誤等問題，請當即與本商城客服人員聯系，在您簽收后發現上述現象我們將不負責退換。

化妝品為宜破、宜碎的貨品，所以請您在簽收時，一定要仔細檢查包裹紙箱的完整，若有紙箱有破損，請您立即和我聯系，拒絕簽收。紙箱若無損壞，還需要您打開紙箱檢查貨物，有些快遞公司規定在打開包裹前，必須先簽字，這種情況下，您可以先簽字，但要當著快遞員的面點清貨物，如有短少，請您立即和我聯系，快遞員會為您作證。簽收后的寶貝并無快遞員作證，實在不好弄清楚真相，不予退還。若有貨物損壞，請拒絕收取，向快遞索賠。（請盡量由本人簽收，實在要他人代簽的，請您向代簽人交代一定要當著快遞面檢查貨物，若簽收后并且無快遞員作證的寶貝，一律視為本人認可貨物簽收，不予退換~！）對于有些產品是帶有外包裝盒的，請您要打開查看里面內容的完整性，若有

誤差，請當快遞員面聯系我，事后不予退換。謝謝配合。關于保價：

若您購買很貴重的寶貝，建議您保價，保價請您向我提出，我會把保價費加入您的運費，若您不提出，說明您已經同意不保價，若造成遺失或者損壞，買家們要自行承擔，（小店的利潤實在不多，而且寶貝都不便宜），實在是負擔不起，但我會積極的幫助您和快遞交涉。通常在不保價的情況下，快遞最高的賠償額度是500元。我所給您包的郵費不含保價費。保價費：郵費10元+貨物保價總值的3%

關于產品：

本店所有屬于純植物產品，每一個季節不同產品的顏色及味道都會有相應的變化，（比如說3221乳滴里面含有玫瑰的成分，玫瑰采摘的季節不同，當然產品出來的顏色肯定是有差別的，有的顏色看上去晶瑩剔透，則有的顏色看上去暗淡無光。再說3123一直都有米黃色和米白色，）所以請各位MM不要以顏色、味道等等的問題來反復的問是否真假，介意者請繞行。

關于過敏：

任何產品都不是100%的免敏或者有效，心得和建議僅供參考，而且皮膚過敏問題原因本身很多：如天氣、飲食等等，請理解我們不可能在此方面做出絕對承諾和保證，我們會根據您的皮膚和以往客戶的口碑向您進行建議，但最重購買權由您自己決定，再次提醒：任何產品都不是100%的免敏，產品售出，已經開封使

用，不退不換。

1.本店產品均已加入銷保享受七天無理由退換，如果七天內產品有質量問題免費退換貨，郵費由本店承擔。如果買家不喜歡產品型號及顏色七天內如無剪標商品完好也可退換貨，郵費由買家承擔。

2.買家拍下商品后請在24小時內付款，否則本店不保留買家所拍下的商品，將關閉交易。

3.買家拍下商品后，請確認所拍下的商品型號顏色規格尺寸和郵寄地址。如因填寫錯誤，商品誤發本店不負任何責任。

4.買家收到商品后，請先打開包裝檢查商品，銷售憑據是否完好。

正確的簽收貨物方法：事先跟門衛保安家人等可能的簽收人打好招呼，告訴其不要簽收本人快遞，簽收時一定要盡量先驗貨后簽名，如派件員不肯，可先簽收再讓快遞員稍等幾分鐘當面檢查貨物。如發現產品缺少或者產品損壞，請直接拒收退件，并以最快速度聯系本店客服說明情況。

如簽收后再通知本店說貨物和實際購買數量不對，產品損壞或者丟失，請恕本店無能為力，并不承擔任何責任，特此聲明。

5.因廠商會在沒有任何提前通知的情況下更改產品包裝產地或者一些附件。本店不能確保客戶收到的貨物與本店圖片產地附件說明完全一致，只能確保商品均為原廠標準正品，請

您以實物為準。若本店沒有及時更新，敬請諒解。

6.本店非常重視，非常珍惜親的每一個評價，如果對本店的服務和物品有不滿意的地方，請先和本店溝通，無故給予中評，并將不歡迎再來本店！

本店每天發貨時間為下午五點，故每天下午四點后生成的訂單將視為次日訂單請您諒解。我們不能承諾具體到貨時間，快遞和郵局速度我們不能左右改變，請大家相互間理解包容！本店郵費全部實收如超重出的郵費請買家補拍，多收的郵費本店會退回。商品描述中的產品重量指產品的凈重不包含包裝重量，而發貨是按包裝后的重量。詳細郵費請買家參照淘寶郵費查詢。本店默認快遞為中通和申通，如需其它快遞請提前說明。

旺旺ID：mido1987

聯系電話：***

QQ：100976217

營業時間：9：00~24：00周日休息