第一篇：從“植樹問題”看模型思想的教學

從“植樹問題”看模型思想的教學 一、一道期末試題與原因分析

小明從第1棵樹勻速走到第6棵樹用了3分鐘，那么以相同的速度從第一棵樹走到第30棵樹需用幾分鐘？（每兩棵樹之間的距離相等）

思路簡析：很顯然，這道題屬于“植樹問題”的拓展應用，解答這道題首先要知道“植樹問題”的間隔規律（棵樹比間隔數多1），然后根據間隔規律分別推算第1到第6棵樹之間有5個間隔，每個間隔時間為3÷5=0.6分鐘。然后再根據1到30棵樹有29個間隔，將0.6×29 求出共需要的時間。訪談中，我們了解到大多數學生對不同“植樹問題”的間隔規律不是很理解，不清楚這道題要歸結為哪一種模型的“植樹問題”來解決。

原因分析：“植樹問題”在人教版四年級下冊已經學習過，2014年修訂教材調整到五年級上冊，按道理應該不難理解。可學生的得分率如此之低很是出乎筆者的意料。經過訪談，筆者了解到，大多數學生都能說出間隔數和植樹棵樹之間的關系，但是將植樹問題模型與生活實際相關聯不熟悉，筆者認為這可能與教師授課時的側重點有關系。該班級的教師在四年級教學時，采用整體教學的辦法，把“植樹問題”的三種類型，即所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種” 在一節課中同時呈現。并將“三種情況”的區分以及相應的計算方法（“加一”“不加不減”與“減一”）看成一種“規律”，要求學生熟練記住，牢固掌握。由于時間緊張，該教師在比較三種類型后沒有時間進行把生活中的問題轉化成“植樹問題”的環節，課后也沒有花時間進行專項訓練，致使學生對模型的理解僅僅停留在典型的“植樹問題”上。有些學生雖然會解決這一問題，但這些學生尚不能把“植樹問題”的解決方法與生活中相似的現象進行知識鏈接，這就導致了能找到規律但不會熟練運用規律解決問題。

二、對“植樹問題”教學中問題的反思

1.教學時應注重“植樹問題”的模型應用。

“植樹問題”的教學涉及兩種層面的數學活動：其一，“植樹問題”可區分出三種不同的數學模型，即“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”；其二，以“植樹問題”為原型引出普遍性的“間隔現象”的思考模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實際問題，如“路燈問題”“排隊問題”“鋸樹問題”“爬樓問題”等。在實際教學中，教師們往往過于重視第一個層面的教學活動，即注重三種不同模型的區分，而對第二個層面的教學活動缺乏應有的重視。這樣就可能導致學生未能清楚地認識到上述現實問題都與“植樹問題”有著相同的數學結構，可以被歸結為同一個數學模式，這樣的“植樹問題”教學無疑是有問題的。本題較低的得分率提醒我們：“模式應用”要比“三種情況的區分”有著更大的重要性。

俞正強老師執教的“植樹問題”一課。他在引導學生理解了“植樹問題中的樹是種在平均分的點上”后，隨即提出一個問題讓學生思考“除了植樹人把樹種在點上，還有什么人把什么也放在平均分的點上？”這個問題很巧妙地將“植樹問題”引入生活，讓學生回到生活中找“植樹問題”。學生列舉這些例子：服務員杯子的放法，工人每隔幾米打地基，路燈的建設，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的點上。顯然，學生所說都是比較平常的事例。此時，俞老師有意舉出不同的例子：“高速公路，每隔50米設1個服務區”“美國選總統每5年選一次”“每隔一學期一張獎狀”等引導學生理解這些例子與植樹類似。在俞老師的拓展啟發下，學生想出的生活例子更多了。最后俞老師小結：“生活中的‘植樹問題’，研究的是平均分中的點。”在這個環節中，俞老師花的時間比較多。其實就是從抽象的數學模型出發，聯系生活實例，拓寬學生思路，不斷加深對“植樹問題”這類數學模型的理解，取得了很好的教學效果。

2.改進“植樹問題”的模型建構策略。

策略一：從除法的意義入手建構模型。

筆者認為，學生在學習“植樹問題”之前已經學會用除法算式解決實際問題，那么，在解決“植樹問題”的過程中可以基于學生的學習基礎，從除法的意義入手，將“植樹問題”作為用除法解決問題中的一類特殊情況加以處理，可以采用“一一對應”的思想，在理解“間隔數和棵樹”這兩者關系的基礎上，引導學生逐步建構“商+1，商，商-1”的植樹問題模型，并在解決問題的過程中學會具體問題具體分析，判斷數學模型，應用數學模型解決問題。

俞正強老師分四個層次解決“植樹問題”的建構問題。

（1）從除法意義入手。第一個問題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”這個問題是二年級平均分的問題。學生一下就列出了算式：20÷5=4（段）。“為什么用除法來做？”“你什么時候會做這種題目的？”通過一連串問題，回歸除法的意義，幫助學生復習――用除法算式解決問題的最根本的意義是平均分。

（2）變式思考。第二個問題：“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”學生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都認為也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位學生的想法是不同的，他認為是“20÷5+1=5（棵）”，因為在0米時要種一棵。俞老師通過一連串追問，學生不斷地進行思考與表述，最后通過畫圖得出是5棵。利用數形結合思想，幫助學生理解“樹是種在哪兒的？”

（3）兩題比較。俞老師追問：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學生通過對問題的思考，區分出平均分是一段一段地分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。教師板書：點。接著，教師不斷追問：“點與段的差別在哪里？”“點多，還是段多？”“怎么個多法？”“ 1段是2點，2段是3點，3段是4點，4段是5點……”當學生清楚地得出“棵（點）=1+平均分”時，教師小結：“植樹是植在點上的。”

（4）問題變式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？還能解決嗎？“不管換成多遠，方法都是一樣的。”俞老師將例題引申到更為普遍的現象中。

策略二：從基本模型拓展到其他模型。

前文提及，在“植樹問題”中涉及“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種模型，筆者認為，這三種模型應該以“兩端都種” 為基本模型，教學中不應該對三種模型平均用力，可重點教學“兩端都種”，在此基礎上通過變式發展得到“只種一端”與“兩端都不種”的數學模型。這樣既把握了三種數學模型的內在聯系，又避免了教學時間不足的矛盾。仍以俞老師執教的“植樹問題”為例：教師在引導學生建立“20÷5+1”這個數學模型后，巧設了兩個變式情境，并做拓展。

（1）一端不種。教師問：“某某小朋友，你扛著5棵樹準備去種，如果其中一端被一棟房子擋住了，你怎么辦？”在教師的引導下，學生得出方案：帶回一棵樹，即“20÷5+1-1”，也就是一端不種減1。

（2）兩端不種。教師又問：“某某小朋友，你也扛著5棵樹去種，兩端都被房子擋住了，你怎么辦？”此為呈現出另一種特殊情況，即兩端不種，帶回兩棵。學生得出方案：“20÷5+1-2”，即兩端不種減2。

這兩個模型則是在“20÷5+1”這一經典模型的基礎上演變出來的。帶回1棵就減1，帶回2棵就減2。清楚直觀，不易混淆。

（3）模式拓展。教師又追問：“除了種樹外，什么情況下可以一端不種，什么情況下可以兩端不種？”通過再一次的舉例，學生對“植樹問題”在生活中的應用有了更為深入的理解。

學生學習“數學模型”的建構與應用，需要經歷一個長期的、不斷積累經驗與不斷深化的過程。教師在教學實踐中結合數學知識的教學精心培育模型方法，使學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋應用的過程。教師要重視數學模型的應用，引導學生用數學模型來描述身邊的自然現象和社會現象。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學屏北分校）

第二篇：從BOPPPS教學模型看課堂教學改革

從BOPPPS教學模型看課堂教學改革

摘要：針對當前大學課堂教學中的常見問題，分析北美教師技能培訓的BOPPPS模型，提出改進課堂教學的觀點，特別強調學生的參與以及及時獲取學生對教學的反饋。

關鍵詞：BOPPPS；課堂教學；教學改進

引 言

2014年5月25日-6月20日，我們遠赴加拿大參加了為期1個月的教學活動，先后在溫莎大學和英屬哥倫比亞大學參加了ISW（instruc-tional skills workshop）、TDA（teaching dossieracademy）、CDI（course design intensive）3個教學培訓。在這1個月中，我們深入參與到加拿大大學的教學活動中，充分了解課堂教學的各種形式，感受到高校學生、教師的教學態度和方法。其中，讓我們印象最為深刻的是ISW培訓中使用的BOPPPS模型。BOPPS模型簡介

BOPPPS模型是北美高校教師技能培訓過程中推崇的一個教學模型，是根據教育學人的認知理論提出的一種教學過程設計。BOPPPS模型將知識點教學過程劃分為引入（bridge-in）-吸引學生的興趣、目標（objective）-讓學生知道該課程要到達的教學目標、預測（pre-assessment）-了解學生的基礎知識掌握情況、參與式學習（participatory learning）――讓學生多方位參與教學從而掌握知識、后測（post-assessment）――了解該課程是否到達教學目的、小結（summary）-總結知識點6個部分，簡稱為BOPPPS。

BOPPPS模型的核心有兩點：一是強調學生全方位參與式學習而不只是聽講；二是要及時獲得學生的反饋信息，以調整后續教學活動。教師在課堂教學過程中可以借鑒這種模型，充分應用靈活多樣、直觀形象的教學手段，鼓勵學生積極參與教學過程，使學生能深刻地領會和掌握所學知識。課堂教學常見問題

知識點的教學需要關注知識的系統性、基本概念的定義、知識組成結構及知識的運用，但傳統的課堂教學往往都是教師在講授這些概念和知識，學生只是聽眾。目前的課堂教學活動中主要有如下一些問題。

（1）沒有明確的教學目標，只是把知識羅列出來，導致學生不知道學了這些知識有什么用。

（2）過分關注知識的系統性，在有限的課時下，不管重點知識還是外圍知識，通過大量的PPT放映灌輸給學生，學生往往消化不了，還沒等到考試便忘記大部分內容。

（3）教師對教學內容知識體系理解不深，缺乏對知識的親身體驗，導致對教學重點把握不到位。

（4）把學生當聽眾，學生沒有或者很少有其他方式的參與，由于有電子課件，學生連筆記都不做，更不用說課堂實踐，這導致學生很容易開小差。

（5）缺少及時從學生獲得的反饋信息，不了解學生的接受情況，教學效果大打折扣。

（6）缺少對知識點的引入、技術實現和技術演化環環相扣的講解，這一點是教師對知識點的理解程度受限和講授技巧的問題。課堂教學要讓學生深度參與

教學效果好壞的標準不是教師傳授知識點的系統性，而是學生對知識的掌握程度，更是對知識運用的能力，起決定性的應該是對知識運用的主觀能動性，是通過知識點的教學過程所培養學生的一種進取精神和學習方法。如果知識點的教學只是關注知識的系統性、基本概念的定義及知識組成結構，并且教師在課堂上講授這些概念和知識時把學生當聽眾，那么就算教師把知識點歸納得再完美，學生也不能掌握，最終導致教學的失敗。因此，學生要全方位地、深度地參與到教學的全過程，教師也需要從了解學生的需求和教學過程的反饋出發調整教學，讓學生在各個環節大面積地參與教學內容的討論、歸納、實踐，只有這樣才能培養學生的進取精神和學習能力。課堂教學改進的思考

BOPPPS教學模型強調學生全方位參與和及時的反饋交流。對于具體如何參考BOPPPS模型有效地開展課堂教學，我們有以下幾點思考。

4.1 明確教學目標與內容

教師在進行教學設計時要從“為什么學這個知識點”人手確定教學目標與內容，這也是引起學生興趣的關鍵。學這個知識點的原因主要足由這個知識點的基礎性、實用性決定，教學目標要能夠明確且好評估；根據教學目標，再進一步確定通過哪些具體的教學內容提升學生的知識與技能；然后決定采取什么教學手段實現教學日標，使學生掌握教學內容。例如，在計算機操作系統教學中，對“分頁存儲管理” 知識點的教學目標與內容的確定，教師可從充分利用存儲空問人手引入分頁存儲，同時因為“分頁存儲管理”是現在實用的“虛存管理”基礎知識而確定這個知識點的重要地位；教師還可通過“分頁結構及地址變換過程”教學內容實現“掌握分頁結構及地址變換過程”的教學目標，但是“掌握分頁結構及地址變換過程”教學目標就不如寫成“能計算分頁仔儲系統物理地址及計算地址變換開銷，能設汁分頁存儲管理系統”，因為后者比“掌握”更容易定量評估。

4.2 綜合采用多種課堂教學形式

根據教學目標和內容，教師可綜合采用系統講授、案例教學、小組討論、學生互教、練習、角色扮演等多種教學形式，與傳統的課堂講授方式相比，這些教學形式需要加入很多課堂互動的環節，使得課堂具有實踐性、創新性、開放性、趣味性、反饋及時的特點。例如，在操作系統“分頁存儲管理”教學中教師就可以在基本概念和過程講授之后，安排一個基于頁表進行地址變換的計算題，讓學生討論后做一做，加深理解；在計算機程序設計課堂教學中，教師可系統講授知識點后讓學生馬上在自己的便攜式電腦中進行程序設計練習，并通過檢查程序是否通過把握學生的掌握程度。

4.3 積極鼓勵甚至要求學生參與課堂教學

傳統課堂的學生習慣被動接受教師所傳授的知識，然而基于BOPPPS模型的課堂要求學乍更多地參與到教學活動中，因此教師需要轉換學生的學習觀念，激起學生“我要學”的求知欲，盡量使學生認識到參與式學習、主動學習對提高學習效果的作用，鼓勵他們積極參與到教學活動中。為突破觀念上的障礙，除了說服學生和力求在教學內容上具有吸引之外，還應采取各種鼓勵性和干預性措施，如對積極參與課堂活動的學生進行鼓勵，給予相應的平時分數獎勵，以激發學生參與欲望，對不能積極參與的學生應該點名回答問題或者有意制造其參與活動的機會。

4.4 精心安排上課內容和方式

基于BOPPPS模型課堂的核心是以學生為主體的參與式學習過程，這就要求教師能深挖知識點，對授課知識認識上升高度，幫助學生處理在學習過程中可能出現的各種錯誤并解答學生在解決問題過程中可能會產生的疑惑，闡明學生容易出現的錯誤點、易混點和解決問題的思維方式。因此，教師每次課前應認真準備，做好學生的教學需求分析，在教學計劃中考慮“這次課主要內容是什么”“這次課如何更好地引入”“學生應該做些什么，又會做些什么”“課堂中間如何進行參與學習”“怎樣在教學內容上與學生進行溝通交流，如何回答學生的一些問題”等，同時告訴學生該課程的教學計劃安排，希望學生給予哪些支持和配合，通過教學需求分析使互動式教學更有針對性，調動學生學習的積極性和主動性，提高教學效果。

4.5 及時收集學生反饋

為了鼓勵學生參與教學過程并了解教學效果，教師應及時掌握學生學習動態，收集學生的學習信息并把有關的答案反饋給學生，調動學生的學習興趣；利用反饋信息修改教學內容，改進教學方法。獲取反饋信息可以有多種形式，可以是提問、電子回答器（clickers）、各種小測驗、反饋信息表等，如根據BOPPPS模型進行預測和后測以及在教學過程中隨時利用各種測試、提問等獲取學生學習情況，以便對后面教學進行調整。

每周或每章課結束時，教師可要求學生填寫以下內容：①這周（章）學到了哪些知識____，還有以下內容沒聽懂____；②喜歡這周（章）課的地方是____，不喜歡這周（章）課的地方是____；③對下面課的建議是____。對學生提交的以上信息，教師要盡快整理分析并及時在下周（章）課之前反饋給學生，這樣既能滿足學生的學習需要，又能不斷地提高自身教學水平。結語

在基于BOPPPS教學模型進行教學活動過程中，教師要時刻牢記教學必須是“教”與“學”雙向互動，教學相長，在教學過程中要體現“主導”性作用，讓學生充分發揮學習過程中的“主體”性地位，通過主動學習、主動參與、主動探究、主動創新不斷發展自我、完善自我、超越自我，實現學生變被動學習為主動學習，變“要我學”為“我要學”，最終達到提高教學效果，培養創造性人才的目的。

當然，如果學生加大課堂參與力度，那么在課時有限情況下課堂教學內容量會下降，這就要求學生加大課外學習量，甚至教師采用翻轉課堂的形式進行教學。少灌一點知識而培養學生主動學習的品格和能力，比生硬地灌輸知識要好得多。

第三篇：從《植樹問題》談數學建模

從《植樹問題》談數學建模 哈爾濱市經緯小學校 劉洋

教學片段：

師：同學們，你們知道最早的計數方法是什么嗎？對了，結繩計數。這節課，老師也帶來了一根繩子。這是一根長0.4米的繩子，平均0.1米分一段，可以分幾段？ 生：0.4÷0.1=4（段）師：為什么用除法？ 生：因為是平均分。

師：在這根長0.4米的繩子上，每隔0.1米打一個結，共可以打幾個結？ 生：0.4÷0.1=4（個）

師：究竟可以打幾個結，請利用學具在小組中實際驗證一下，看看有哪些情況？ 生：小組操作

師：哪個小組可以匯報你們的驗證結果？

生1：我們小組通過操作發現，從第一個結到最后一個結，一共可以打5個結。生2：我們小組通過操作發現，從第一個結到最后一個結，一共可以打4個結。生3：我們小組通過操作發現，從第一個結到最后一個結，一共可以打3個結。師：仔細觀察這三組結論，有什么發現？

生：第一組繩子的兩端打了結。第二組繩子的一端打結，另一端沒有打結。第三組繩子的兩端都沒有打結。

師：這么多種情況，我們逐一研究。先從第一組繩子兩端都打結的情況開始，好不好？ 師：我們一共解決了兩個問題，這兩個問題一樣嗎？ 生：不一樣

師：幾段，幾個有什么不一樣呢？

生：段是指兩個點之間的部分，個在這里表示打了幾個結，結是打在段與段之間的點上的。師：段和點的差別又是什么？ 生：1段有2個點。師：2段有幾個點？ 生：3個點。

師：點和段有什么聯系？ 生：點比段多1。師：我們一起來數一數。

在數學中，我們可以用一條適當長度的線段來表示這條長度為0.4米的繩子，把這條線段平均分成4份，線段上的每一個點就可以表示繩子上的結。我們再來數一數，看看在這條線段上點和段之間是否還有這樣的關系。

師：請你也選擇一條適當長度的線段來表示這條繩子，用線段上平均分得的點來表示繩子上的結。生：展示作品

師：說一說你是怎樣畫的？為什么這樣畫？一共可以打幾個結？

生：我用這樣長的一條線段表示這條繩子。在這條繩子上每隔0.1米打一個結，就是把這條繩子平均分成了4分，所以我把這條線段也平均分成4份，這樣線段上一共有5個點，那么這條繩子就可以像這樣打5個結。

師：不用畫線段圖，如果這條繩子長1米、2米、3米……又該打幾個結呢？請同學們拿出學習卡，填寫表格。

師：認真觀察表格，你發現在這樣的一條線段上畫點，段數和點數之間有什么關系？將自己的發現在小組內說一說。生：匯報發現。

師：為什么兩端都打結，點數比段數多1？

借助課件幫助學生進一步直觀理解。

師：在這種兩端都打結的情況中，我們發現點與段之間有這樣的關系，那么其他兩個小組匯報的情況中，點和段又有怎樣的關系呢？ 生2：我們小組發現，點和段數量相同。師：能用線段圖表示你們的結論嗎？試一試 生：展示作品

師：我們一起來數一數。

生3：我們小組發現，點比段少1。我們也可以用線段圖這樣表示。（展示作品）師：我們一起來數一數。

師：你們都是善于觀察發現并樂于研究的孩子。

師：在數學中，我們把類似于這樣的問題稱為植樹問題。這也是我們本節課要重點來研究的問題。像這樣直直的線段我們可以把它看做一條直直的小路，通常我們可以把樹植在像這樣平均分的點上。在數學中，通常把這樣的段叫做間隔，每一段的長度就是間隔長，那么段的數量就是間隔數，把這樣的點稱為棵，那么點的數量就是棵數。

像第一種兩端都植樹的情況，棵數與間隔數之間有什么關系？ 生1：棵數=間隔數+1 生2：老師我知道了。像第二種一端植樹另一端不植樹的情況，棵數與間隔數之間的關系是，棵數=間隔數。

生3：像第三種兩端都不植樹的情況，棵數與間隔數之間的關系是，棵數=間隔數-1。教學反思：

課標中對建模有這樣的描述：建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立等式等表示數學問題中數量變化和變量規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用知識。對幾何直觀又有這樣的描述：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀的理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。本節課從實物模型到數學圖形（線段圖），教者用這樣的方式借助幾何直觀幫助學生分析問題并學會一種分析問題的方法，不失為這節課的亮點之處。

一、面向全體，暴露已有認知經驗

“師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。”學生的已有經驗中包括已有認知經驗、已有知識經驗，也包括已有活動經驗。本課以“同學們，你們知道最早的計數方法是什么嗎？”這樣的問題導入新課是面向全體學生的，照顧到全體學生的已有認知經驗——結繩計數，又照顧到學生剛剛掌握的已有知識經驗——小數除法。由一個問題溝通已有經驗和探究問題，照顧到全體學生的發展水平。

二、構建模型，充分利用數學思想

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。廣義的講，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數學模型。狹義的講，只有反映特定問題或特定的具體事物系統和數學關系結構才叫數學模型。選擇從實物模型過度到數學模型（線段圖）就是一種廣義上的建模。兒童的思維特點就是形象思維優于抽象思維，因而對于比較抽象的數學知識，借助幾何直觀，通過建模，幫助學生進行思維轉換的做法是比較科學的。讓學生借助繩子這一實物模型探究數學問題，可以幫助學生很好的將外部世界和數學溝通起來。學生在觀察和操作的過程中，在相同的解決問題的情境下反復經歷由實物模型到數學模型的抽象過程，培養學生的模型思想，鍛煉學生的抽象思維。選擇貼近學生已有認知經驗的，形象性更強的實物模型符合兒童的形象思維特點。

學生通過對比觀察所展示的成果，從中學生發現：在同一問題情境下卻出現三種不同結果，從而引導學生觀察思考，發現三種不同結果之間的內在聯系與本質區別。學生在對比觀察的過程中，發現三種結果平均分得的份數相同，而所畫的點數卻不同。進而歸納出三者不同之處的關鍵在于繩子的端點處是否畫點以及畫幾個幾點。學生根據不同猜測點數與平均分得份數之間有怎樣的數量關系。

僅僅通過猜測得出結論并不科學，還需要繼續驗證。由于本課要對三種情況都進行驗證，課程容量非常大，因此，課上重點驗證第一種最基本的情況，即“兩端都畫點”。其他兩種情況學生可以自主選擇運用畫圖分析、合情推理等方法進行驗證。

三、落實四基，積累基本活動經驗

課標中指出數學學習的四基：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。通過畫圖分析和數據積累幫助學生積累基本活動經驗的同時，使學生掌握了探究問題的方法，即畫圖分析和數據積累。

本節課以這樣的問題：“僅通過一組數據，就能驗證結論是正確的嗎？”引導學生經歷舉例驗證積累數據的過程，進一步發展學生的抽象思維，經歷由一般到特殊的思維發展過程。考慮到探究容量大及學生的接受能力，將填表舉例的過程中難度降低，只研究加減情況，使學生經歷繩長變化，間隔長不變，仿照上述探究活動，用畫線段圖的方法在畫一畫，分一分，填一填，在一系列探究活動中再次經歷驗證規律的過程。

本節課借助幾何直觀，激發學生已有認知經驗，通過建模，逐步深入的引導學生通過合理猜測、畫圖分析、尋求規律、解決問題一系列掌握一種數學活動經驗。學生在本節課不僅僅學會解決一類問題的方法，感受幾種數學思想，而是學會了一種探究問題的方法，這才是學生最應該積累的數學學習經驗，在“做數學”中將生活“數學化”。

第四篇：植樹問題教學設計

植樹問題（兩端都栽）教學設計

教學目標：

1．建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數=間隔數+1”的數學模型。

2．利用線段圖理解“點數=間隔數+1”“總長=間隔數×間距”等間隔數與點數、總長、間距之間的關系，解決生活中的實際問題。

教學重點：建立并理解“點數=間隔數+1”的數學模型。

教學難點：培養用畫線段圖的方法解決問題的意識，并能熟練掌握這種方法。

教學準備：課件、直尺、白紙若干

教學過程：

一、激趣導入，直觀認識間隔

（1）、猜謎語：兩棵小數十個叉，不長葉子不開花，能寫會算還會畫，天天干活不說話。（謎底：手）

（2）、引出間隔，直觀認識間隔

師：其實，我們的手上也蘊含著很多數學問題，你能找到嗎？大家一起伸出你們的左手，張開，我們現在伸出了幾根手指。

生：五根。

師：再仔細觀察，手指昱手指之間有什么？ 生：間隙。

師：“間隙”在我們的數學里有一個專業的名詞，叫“間隔”。有多少個間隔叫做間隔數。你能找出生活中的間隔嗎？

（PPT展示圖片）請生找出圖片中的間隔，并問間隔數是多少。

設計意圖：導入環節的設計意圖主要是引出間隔、間隔數的概念，讓同學們直觀的認識間隔，為后面的教學鋪墊。

師：我們生活中到處都存在著間隔，在這些事物中，物體的個數與間隔數之間都存在著一定的規律。這節課我們就一起來探究一下他們之間到底存在著什么樣的規律。（板書：植樹問題）

二、創設情境，探究新知

師：同學們，我們都知道植樹不僅可以綠化環境還可以凈化空氣。我們學校準備在明年春天植樹，他們是怎樣植樹的呢？請看例題。（PPT出示例題）

1、同學們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

讀題、審題 師：同學們對于這道題還有沒有不理解的地方？沒有？那么老師有一個小問題，誰來告訴老師這個“兩端要栽”是什么意思？

生：兩端要栽是指小路的兩端都要栽。

請生上來指一指哪里是兩端，找到關鍵信息（一邊），理解（兩端要栽）師：理解了題意后，有沒有同學心中已經有了答案？誰來舉手說一說。生一：21 100÷5＋1=21（棵）生二：22

100÷5＋2=22（棵）

師：好，現在兩個同學的答案不一樣了，那么誰的答案才是正確的呢？我們應該怎么辦？

生：畫線段檢驗。

師：應該怎么畫？誰來教教老師。請生指導、示范。

師：100m是不是太長了?如果要畫完，是不是太麻煩了？應該怎么辦? 生：截取一段小一點的分析。

設計意圖：這里老師選擇了100m作為例題的數據，主要是讓學生覺得100m畫起來太麻煩了，從而讓他們選取一段小的做為研究對象，體會“化繁為簡”。

三、探索實踐，建立模型

教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。

實物投影或課件出示：

教師：說說你是怎么想的？

預設：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。

教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學生操作）誰來說說你的想法？

預設：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。

還可以這樣畫：這里的藍色線段表示什么？（間隔數）紅色線段呢？（植樹棵數）

教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？

（根據學生回答，教師在課件上輸入數據）你發現了什么規律？

預設：棵數要比間隔數多1。（追問：可以用怎樣的一個式子表示？）棵數=間隔數+1。

教師：誰能說說為什么要“+1”？（因為兩端都要栽，所以栽樹的棵樹比間隔數多1。）你能用發現的規律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解）

教師：回顧這個問題的解答過程，說說你的想法。

歸納小結：在解決較復雜或數據較大的問題時，可以先從簡單數據出發得出規律，然后將規律運用于復雜問題進行解決。

【設計意圖】“畫示意圖──抽象出線段圖──不畫圖”的教學過程，體現了從具體到抽象、從特殊到一般的設計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學活動，使學生建立起“兩端都栽”這類植樹問題的數學模型。

四、利用新知，解決問題

師：剛剛我們用我們勤勞的雙手與聰明的大腦為我們的小路種上了樹，綠化了我們的生活環境。接下來，我們來亮化一下我們的街道，給我們的街道安裝上路燈，好不好？

生：好！

（PPT出示例題）1．在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？

預設1：單位不統一，要先進行轉化再計算。

預設2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現？（先算出一邊的路燈的數量，再乘以2。）

學生練習，指名回答。km=2000 m

（2000÷50+1）×2=82（盞）答：一共要安裝82盞路燈。

師：2000÷50算的是什么？（間隔數）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝）

師：接下來，我們來玩一個小游戲，老師需要5個男同學。哪些同學愿意？

要求：如果每兩個男同學的中間站一個女同學，需要幾個女同學？ 生：4個。

（這里請女生上來站一下，并問男同學相當于植樹問題中的什么？女同學相當于植樹問題中的是那么？）

2．馬路一邊栽了25棵梧桐樹。如果每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹，一共要栽多少棵？

師：仔細讀題，認真思考，說說你對這個題目的理解。

引導得出：要求一共栽多少棵銀杏樹，實際就是求梧桐樹的間隔數。由“棵數=間隔數+1”可得“間隔數=棵數-1”。

25-1=24（棵）

答：一共要栽24棵銀杏樹。

師

【設計意圖】練習中的實際問題，相比例題有一些變化，對于學生的理解能力提出了更高的要求。第1題用畫圖的方法直觀地表示出“兩旁”，解決了算式中為什么要“×2”的問題；第2題先讓學生思考，說說自己的理解，驗證的環節既是對方法的回顧，又體現了數學的趣味性。

五、逆向思考，拓展新知

園林工人沿一條筆直的公路一側植樹，每隔6 m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？

教師：讀題并思考，要求“從第1棵到最后一棵的距離”就是求什么？（路長）跟例題相比，有什么不同？

預設：例題是知道了路長求栽樹的棵數，這題是知道了栽樹的棵數，求路線長度。

教師追問：該怎樣解答呢？試一試，并說說你的思路。（36-1）×6=210（m）

答：從第1棵到最后一棵的距離是210 m。

教師：“36-1”算的是什么？（間隔數）再根據“間隔數×間隔距離=路長”計算。

【設計意圖】通過變式練習，加深學生對例題中發現的規律的理解。該題是植樹問題數學模型的逆向應用，有了前一題“間隔數=棵數-1”的知識為基礎，學生應該能比較容易地解決這一問題。對于學習有困難的同學，也可引導他們用畫線段圖的方法解答。

六、回顧思考，全課總結

教師：通過這一節的學習，你有什么收獲？跟大家交流一下。根據學生回答，強調：

1．解決兩端都要栽的植樹問題的數學模型：棵數=間隔數+1。

2．當遇到較為復雜的數學問題時，可以先從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。

板書設計

植樹問題（兩端都栽）棵樹=間隔數＋1 間隔數=總長÷間隔距離

100÷5＋1=21棵 答：一共需要21棵樹。

嘉禾縣珠泉完小：曾馳

2016年12月26日

第五篇：植樹問題教學設計

《數學廣角--植樹問題》教學設計

【教學內容】《義務教育課程標準試驗教科書 數學》（人教版）四年級下冊117頁《數學廣角》例1.【教學目標】

1、理解間隔概念，知道間隔數與棵樹之間的關系，初步建構植樹問題的三種數學模型，并能根據數模解決簡單的實際問題（兩端都種），培養學生觀察、分析及推理能力。

2、讓學生經歷觀察、猜想、自主實驗、探究、交流，從中發現規律，抽取數學模型過程。

3、能夠應用本節所建構的植樹問題的數模以及探尋到的規律，針對實際情形靈活的來解決問題。

4、讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。【教學重點】會應用植樹問題的規律解決兩端都種的問題。【教學難點】 建構數模，探尋規律。【課前準備】

植樹的模型、多媒體課件等。【教學過程】

一、情境導入，初步感知 出示課件。（伴隨著鐘的聲音）

上課的鐘聲再次響起，它將帶我們去數學王國里遨游。請聽鐘聲（鐘聲邊響邊打出點），1、鐘聲響一下打一個點，有幾個點幾個間隔? 6個點，5個間隔(課件閃一下)

2、請同學們仔細觀察，是點數多, 還是間隔數多?

3、那用數學式子怎么表示呢？

點數=間隔數+1（板書）

4、生活中哪些問題也可以用這樣的數學知識表示？ 課件出示（花籃、紅旗、燈籠）

【設計意圖】 生活中不是缺少美，而是缺少一雙發現美的眼睛。數學來源于生活、回歸于生活、又服務于生活。巧用“鐘聲”打點，將“間隔”問題通過屬性結合映入到課堂中。借用“生活中哪些問題也可以用這樣的數學知識表示？”讓學生從生活中發現數學知識，從而發現數學來源于數學！

二、探求新知

現在，我們就用學到的規律來解決一些實際問題。

（一）設計方案，動手植樹 出示招聘啟事：學校將對校園進行進一步綠化，特聘請校園設計師一名。

要求設計植樹方案一份，擇優錄取。

你們下個不想成為我們校園的設計師？我們一起來看一看設計的具體要求吧！出示要求：同學們在全長20 米的小路一邊植樹，每隔 5 米栽一棵。請按照這樣的要求，設計一份植樹方案，并說說你的設計理由。

1、從這份要求上你能獲得哪些信息？

2、每隔5米是什么意思

3、現在，小組合作，并用你喜歡的方式或者畫線段圖表示，看看一共要栽幾棵樹，并觀察棵樹與間隔數之間的關系。

（二）學生生匯報設計方案，反饋交流

很多小組都已經完成了，先請同學們說一說，根據你的方案，需要栽幾棵樹？（5棵、4棵、3棵）

1、為什么同樣的一段路，同樣的要求，種的棵數卻不一樣呢？你們的方案分別是怎樣的？

2、小組展示設計方案：交流設計思路

3、我們一起來回顧一下同學們設計的方案，（再出示三種方案），三種方案都符合設計的要求，誰能說說他們相同的地方在哪里？

4、不同的地方又在哪里呢？

5、介紹線段圖

6、分析植樹問題的三種情況，研究棵樹的間隔數的關系

根據學生回答板書

兩端都栽

棵樹=間隔數+1

只栽一端

棵樹=間隔數

兩端不栽

棵樹=間隔數-1 小結： 同學們這就是我們今天學習的植樹問題（板書）。植樹問題分為三種情況——

情況不同，棵樹與間隔數的關系也就不同。

【設計意圖】 課標指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”同時指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。”結合新課標的要求，教學中力求發揮學生的主體地位，讓他們動腦、動手、合作探究，經歷分析、思考、解決問題的全過程，體會植樹問題這一重要的數學思想方法。

（四）出示例題：同學們在全長30 米的小路一邊植樹，每隔 5 米栽一棵(兩端要栽)。一共需要栽幾棵樹?

1、分角色讀題，你獲得了哪些信息

2、解析一邊與兩端

3、現在請大家用自己喜歡的方式來表示一共種了幾棵樹？再觀察棵樹與間隔數的關系。

4、請學生匯報 根據學生回答板書

÷

5=

6（個）

↓

↓

↓ 全長

間隔

間隔數

6+1=7(棵)

5、那現在小路變成100米，1000米，你會求嗎？

6、把條件“一邊”改“兩邊”，再讓學生計算。小結

【設計意圖】滲透“以小見大”的數學思想方法。“授人以魚不如授人以漁”，新課程理念有個更具“與時俱進”的顯著特點是對滲透數學思想方法的關注。從30米到100米在到1000米從而引導通過“以小見大”來找規律加以驗證，總結出求棵樹，都要先求間隔數，又不失時機給學生滲透常用的數學思想方法，為將來的后續學習積累更豐富實用的思想經驗。

三、鞏固提高

植樹問題的知識在生活中的運用是很廣范的，我們就一起運用剛剛學的規律來解決下面的問題吧！

出示練習：我的選擇我做主

和平街長100米，現在城建局要在街道兩旁每隔10米裝上路燈（兩端都裝）。請同學們為城建局設計一下，一共要裝（）盞路燈？

A、C、B、D、1、學生獨立設計選項

2、生匯報

小結 同學們不僅能夠做出正確的選擇，還能夠分析可能出現的錯誤的情況，看來大家是真正掌握了指數問題！真棒！老師感到很高興！【設計意圖】有效的練習是提高課堂教學實效性的重要途徑。而開放性練習不僅有利于學生對基礎知識和基本技能的掌握，更有利于培養學生的發散思維和創新能力。

四、課堂總結

如果老師用數字3和2來表示今天學習的知識，大家知道3和2分別代表什么嗎？（3種情況，2種方法）

栽樹三種情況： 兩端都栽、只栽一端、兩端不栽 解決問題的兩種方法： 抓關鍵的信息、畫線段圖

【板書設計】

植樹問題

兩端都栽

棵樹=間隔數+1

÷

=

6（個）只栽一端

棵樹=間隔數

↓

↓

↓ 兩端不栽

棵樹=間隔數-1 全長

間隔

6+1=7(棵)

間隔數