第一篇：抽屜原理在數(shù)學(xué)中的運用

抽屜原理在初等數(shù)學(xué)中的運用

摘要：抽屜原理也稱為鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)中的一個最基本的原理.也是數(shù)學(xué)中的一個重要原理，抽屜原理的簡單形式可以描述為：“如果把n+1個球或者更多的球放進n個抽屜，必有一個抽屜至少有兩個球.”它的正確性十分明顯，很容易被并不具備多少數(shù)學(xué)知識的人所接受，如果將其靈活地運用，則可得到一些意想不到的效果.運用抽屜原理可以論證許多關(guān)于“存在”、“總有”、“至少有”的存在性問題。學(xué)習(xí)抽屜原理可以用來解決數(shù)學(xué)中的許多問題，也可以解決生活中的一些現(xiàn)象。如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用。在解決數(shù)學(xué)問題時有非常重要的作用.抽屜原理主要用于證明某些存在性問題及必然性題目，如幾何問題、涂色問題等.各種形式的抽屜原理在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常被采用，使用該原理的關(guān)鍵在于如何巧妙地構(gòu)造抽屜，即如何找出合乎問題條件的分類原則，抽屜構(gòu)造得好，可得出非常巧妙的結(jié)論.本文著重從抽屜的構(gòu)造方法闡述抽屜原理在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)（競賽題）中的應(yīng)用,同時指出了它在應(yīng)用領(lǐng)域中的不足之處.關(guān)鍵詞：抽屜原理；初等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、抽屜原理（鴿巢原理）

什么是抽屜原理？先舉個簡單的例子說明，就是將3個球放入2個籃子里，無論怎么放，必有一個籃子中至少要放入2個球，這就是抽屜原理.或者假定有五個鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，當(dāng)鴿子飛回巢中，那么一定至少有一個鴿籠里有兩只鴿子，這就是著名的鴿巢原理.除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經(jīng)許多學(xué)者推廣出其他的形式.比如陳景林、閻滿富編著的中國鐵道出版社出版的《組合數(shù)學(xué)與圖論》一書中對抽屜原理給出了比較具體的定義，概括起來主要有下面幾種形式: 原理1 把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素.原理2 把m個元素任意放到n(m>n)個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

原理3 把無窮個元素按任一確定的方式分成有窮個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素.盧開澄在《組合數(shù)學(xué)》（第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進行了推廣[2].鴿巢原理：設(shè)k和n都是任意正整數(shù)，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子.二、抽屜的構(gòu)造途徑

在利用抽屜原理解題時，首先要明確哪些是“球”，哪些是“抽屜”，而這兩者通常不會現(xiàn)成存在于題目中，尤其是“抽屜”，往往需要我們用一些巧妙的方法去構(gòu)造。我們利用抽屜原理解題的關(guān)鍵,就在于怎樣設(shè)計“抽屜”.三、抽屜原理在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

初等數(shù)學(xué)問題的特點：只給出一些相關(guān)的條件，或者即使給出一些數(shù)值條件，也不能利用這些條件進行計算、或代入求值、或列方程、或做圖、或證明等方法去解決，只能利用這些條件進行推理、判斷，從而解決問題.討論存在性問題是數(shù)學(xué)競賽中的一類常見問題。處理這類問題常用到抽屜原理。下面我們就列舉抽屜原理在初等數(shù)學(xué)(競賽)中的應(yīng)用.例9 某次考試有5道選擇題，每題都有4個不同的答案供選擇，每人每題恰選1個答案.在2000份答卷中發(fā)現(xiàn)存在一個n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3題相同.n的最小可能值.(2000，中國數(shù)學(xué)奧林匹克)解：將每道題的4種答案分別記為1，2，3，4，每份試卷上的答案記為(g,h,i,j,k)，其中g(shù),h,i,j,k∈{1,2,3,4}，令{(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)}，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256個四元組.由于2000=256×7+208，故由抽屜原理知，有8份試卷上的答案屬于同一個四元組.取出這8份試卷后，余下的1992份試卷中仍有8份屬于同一個四元組，再取出這8份試卷，余下的1984份試卷中又有8份屬于同一個四元組.又取出這8份試卷.三次共取出24份試卷，在這24份試卷中，任何4份中總

有2份的答案屬于同一個四元組，不滿足題目的要求.所以，n下面證明n=25.令

≥25.}S={(g,h,i,j,k)|g+h+i+j+k≡0(mod4),g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}.則S=256，且S中去掉6個元素，當(dāng)余下的250種答案中的每種答案都恰有8人選用時，共得到2000份答案，其中的25份答案中，總有4份不相同.由于它們都在S中，當(dāng)然滿足題目要求.這表明，n=25滿足題目要求.綜上可知，所求的n的最小可能值為25.先運用抽屜原理給出n的下界，然后用構(gòu)造法給出例子.這是一道典型的運用構(gòu)造法解題的好題目.在解題中合理構(gòu)造抽屜往往會收到意想不到的效果.例10 任給7個實數(shù)，證明必存在兩個實數(shù)a,b滿足0≤3

(a-b)<1+ab.ππ證明：設(shè)七個實數(shù)為a1,a2,a3,?,a7，作Qi=arctgai(i=1,　2,　?　,7),顯然Qi∈(-,)，22ππππππππππππ把(-,)等分成六個區(qū)間：(-,-)，(-,-)，(-,0)，(0,)，(,)，(,)，222336666332由抽屜原理，Q1,Q2,?,Q7必有兩個屬于同一區(qū)間，不妨設(shè)為Qi,Qj,而不論Qi,Qj屬于哪個小Qi-Qj<區(qū)間都有0≤ππ1(*)，不，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，0

a-bab,b=tgQj，則tg(Qi-Qj)=妨記a=tgQ,而由(?)知0≤0(Qi>Qj),1+ab>0, 從而有0≤3(a-b)<1+ab.例11 從1-100的自然數(shù)中，任意取出51個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。

分析：要解決該題，就得找到其關(guān)鍵，其實就在于“兩個數(shù)”，他們的關(guān)系是“其中一個是另一個的整數(shù)倍”。我們要構(gòu)造“抽屜”，就要在每個抽屜中任取兩個數(shù)，并且有一個數(shù)是另一個的整數(shù)倍，而只有把公比是正整數(shù)的整個等比數(shù)列都放在同一個抽屜才行，這里用得到一個自然數(shù)分類的基本知識：任何一個正整數(shù)都可以表示成一個奇數(shù)與2的方冪的積，即若m∈N,K∈N，n∈N,則m=(2k-1)·2，并且這種表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2，3=3×2°，?

+

+

n

證明：因為任何一個正整數(shù)都能表示成一個奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下50個抽屜（因為1-100中共有50個奇數(shù)）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

??

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

??

（50）{99}。

這樣，1-100的正整數(shù)就無重復(fù)，無遺漏地放進這50個抽屜內(nèi)了。從這100個數(shù)中任取51個數(shù)，也即從這50個抽屜內(nèi)任取51個數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有兩個數(shù)屬于同一個抽屜，即屬于（1）-（25）號中的某一個抽屜，顯然，在這25個抽屜中的任何同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)中，一個是另一個的整數(shù)倍。

說明：（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。想一想，為什么？因為1-2n中共含1，3，?，2n-1這n個奇數(shù)，因此可以制造n個抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結(jié)論就是必然的了。給n以具體值，就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個自然數(shù)中最少要（不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”

（2）如下兩個問題的結(jié)論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想，為什么？

①從2，3，4，?，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？

②從1，2，3，?，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？

你能舉出反例，證明上述兩個問題的結(jié)論都是否定的嗎？

（3）如果將（2）中兩個問題中任取的n+1個數(shù)增加1個，都改成任取n+2個數(shù)，則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？

例12（第6屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每兩名科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時，只討論三個題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時只討論一個題目，證明：其中至少有三名

科學(xué)家，他們相互通信時討論的是同一個題目。

證明：視17個科學(xué)家為17個點，每兩個點之間連一條線表示這兩個科學(xué)家在討論同一個問題，若討論第一個問題則在相應(yīng)兩點連紅線，若討論第2個問題則在相應(yīng)兩點連條黃線，若討論第3個問題則在相應(yīng)兩點連條藍線。三名科學(xué)家研究同一個問題就轉(zhuǎn)化為找到一個三邊同顏色的三角形。（本例同第十二講染色問題例4）

考慮科學(xué)家A，他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個問題，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段，將它們?nèi)境?種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，?，6）之間有紅線，則出現(xiàn)紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍兩色。

考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因為5=2×2+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。這時若B2，B3，B4之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無黃線，則△B2，B3，B4，必為藍色三角形，命題仍然成立。

說明：（1）本題源于一個古典問題--世界上任意6個人中必有3人互相認識，或互相不認識。（美國普特南數(shù)學(xué)競賽題）。

（2）將互相認識用紅色表示，將互相不認識用藍色表示，（1）將化為一個染色問題，成為一個圖論問題：空間六個點，任何三點不共線，四點不共面，每兩點之間連線都涂上紅色或藍色。求證：存在三點，它們所成的三角形三邊同色。

（3）問題（2）可以往兩個方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點數(shù)。

本例便是方向一的進展，其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進，可有下題：

在66個科學(xué)家中，每個科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個題目，而任何兩個科學(xué)家之間僅僅討論一個題目。證明至少有三個科學(xué)家，他們互相之間討論同一個題目。

（4）回顧上面證明過程，對于17點染3色問題可歸結(jié)為6點染2色問題，又可歸結(jié)為3點染一色問題。反過來，我們可以繼續(xù)推廣。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過程，易發(fā)現(xiàn)

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?

我們可以得到遞推關(guān)系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4?這樣就可以構(gòu)造出327點染5色問題，1958點染6色問題，都必出現(xiàn)一個同色三角形。

參考文獻

[1]陳景林,閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論.北京：中國鐵道出版社出版,2000.4-6 [2]盧開澄.組合數(shù)學(xué)（第3版）.北京清華大學(xué)出版社，2002.07

[2]曹汝成.組合數(shù)學(xué).廣州：華南理工大學(xué)出版社,2001.170-173 [3]忘向東,周士藩等.高等代數(shù)常用方法.山西：高校聯(lián)合出版社,1989.64-66 [4]劉否南.華夏文集.太原：高校聯(lián)合出版社,1995.88-90 [6]嚴示健.抽屜原則及其它的一些應(yīng)用.數(shù)學(xué)通報,1998,4.10-11 [7]丁一鳴《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，1988年第02期 [8] 楊忠.《中學(xué)生數(shù)學(xué)》，2010年第08期

[9]石立葉，于娜，劉文涵.《抽屜原理及其應(yīng)用》，2009，4.11 [10]《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》，1987年第03期 [11]《中學(xué)生數(shù)學(xué)》，2005年第18期

第二篇：[數(shù)學(xué)運算]抽屜原理

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8326127 抽屜原理一

把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有4種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

……

更進一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個月過生日。

【例 2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

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【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個，即至少應(yīng)取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

教練員提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。

運用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學(xué)可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類等等

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個例子：如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設(shè)相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1時，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

例1某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜

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8326127 原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

例3六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。

例4籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。

81÷10=8……1（個）。

根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。

例5學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個課外學(xué)習(xí)班，每個學(xué)生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，要有學(xué)生

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7×（5-1）＋1＝29（名）。

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第三篇：抽屜原理的運用教學(xué)設(shè)計

抽屜原理的運用 教學(xué)設(shè)計

江華白芒營中心小學(xué)

陳冬姣

教學(xué)內(nèi)容：

人教版教材六年級數(shù)學(xué)上冊70頁例3及練習(xí)十三。教學(xué)目標(biāo)：

1.通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，尋找隱藏在實際問 題背后的“抽屜問題”的一般模型。體會如何對一些簡單的實際問題“模型化”，用“抽屜原理”加以解決。

2.在經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)的魅力。同時積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗與方法，在靈活應(yīng)用中，進一步理解“抽屜原理”。

教學(xué)重點、難點：

1．教學(xué)重點：利用“抽屜原理”解決實際問題。2．教學(xué)難點：怎樣把具體問題轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”。教學(xué)準(zhǔn)備：

一個袋子、4個紅球和4個藍球為一份，準(zhǔn)備這樣的教、學(xué)具若干份。教學(xué)過程：

一、小故事導(dǎo)入新課

講《月黑風(fēng)高穿襪子》的故事。

一天晚上，毛毛房間的電燈突然壞了，伸手不見五指，這時他又要急著出去，于是他就摸床底下的襪子，他有藍、白、灰色的襪子各一雙，由于他平時做事隨便，襪子亂丟，在黑暗中不知道哪些襪子顏色是相同的。毛毛想拿最少數(shù)目的襪子出去，到外面借街燈配成相同顏色的一雙。你們知道最少拿幾只襪子出去嗎？

教師：這節(jié)課我們利用鴿巢問題解決生活中的實際問題。板書：“鴿巢問題”的具體應(yīng)用。

二、推波逐浪，探究新知

1.把4個紅球和4個藍球裝到盒子里，晃動幾下。師：同學(xué)們,猜一猜：摸一個球可能會是什么顏色的？

2.如果老師想讓這位同學(xué)摸出的球，一定有2個同色的，最少要摸出幾個球？（課件出示）例題。

例：盒子里有同樣大小的紅球和藍球各4個。要想摸出的球一定有2個同色的，一次最少要摸出幾個球？

3.師：那么就讓我們摸2個球試試看吧？（1）摸出幾種情況？（3種）（課件出示）（2）摸2個球能滿足題目要求嗎？為什么？（3）哪就摸3個球看一看，能不能滿足題目要求。4.小組合作摸球，（1）小組活動

（2）匯報展示。師：剛才同學(xué)們通過討論和動手操作得出了怎樣的結(jié)果？ 請每個小組派代表展示討論結(jié)果。其他小組有不同想法可以補充匯報。（3）老師把每個組摸到的情況統(tǒng)計如下。（出示課件）（4）觀察你有什么發(fā)現(xiàn)？（生自由說）

師小結(jié)：要想摸出的球一定有2個同色的，最少要摸出3個球。5.引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化為“鴿巢問題”。

教師：生活中像這樣的例子很多，我們不能總是猜測或動手試驗吧，能不能把這道題與前面所講的“鴿巢問題”聯(lián)系起來進行思考呢？

思考：

a.“摸球問題”與“鴿巢問題”有怎樣的聯(lián)系？

b.應(yīng)該把什么看成“鴿巢”?有幾個“鴿巢”?要分放的東西是什么？ c.得出什么結(jié)論？ 學(xué)生討論，匯報。

結(jié)論：要保證摸出有兩個同色的球，摸出的數(shù)量比顏色種數(shù)多一。6.把例3的一定有2個同色的球，改成3個同色的球。（1）學(xué)生思考，然后回答。（2）引導(dǎo)用假設(shè)法說。

（5）小結(jié)：物體數(shù)=（至少數(shù)-1）×抽屜數(shù)+1

三、鞏固應(yīng)用，內(nèi)化提高

1.把紅、黃、藍、白四種顏色的球各10個放到一個袋子里。至少取多少個球，可以保證取到3個顏色相同的球？ 2.綜合應(yīng)用

從一副撲克牌（52張，沒有大小王）中要抽出幾張牌來，才能保證有一張是紅桃？54張呢？

四、課堂總結(jié)：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

第四篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計 芙蓉中心小學(xué) 簡淑梅 【教學(xué)內(nèi)容】：

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書●數(shù)學(xué)》六年級（下冊）第四單元數(shù)學(xué)廣角“抽屜原理”第70、71頁的內(nèi)容。【教材分析】：

這是一類與“存在性”有關(guān)的問題，教材通過幾個直觀例子，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規(guī)律。并利用這一規(guī)律對一些簡單的實際問題加以“模型化”。即：只需要確定實際生活中某個物體（或某個人、或種現(xiàn)象）的存在就可以了。【學(xué)情分析】：

抽屜原理是學(xué)生從未接觸過的新知識，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點：六年級學(xué)生既好動又內(nèi)斂，教師一方面要適當(dāng)引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

思維特點：知識掌握上，六年級的學(xué)生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。【教學(xué)目標(biāo)】：

1．知識與能力目標(biāo)：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建模”思想。

2．過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進行思考和推理的能力。

3．情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。【教學(xué)重點】：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。【教學(xué)難點】：

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。【教學(xué)準(zhǔn)備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習(xí)紙。【教學(xué)過程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學(xué)，想要嗎？

（2）在送之前，我想請同學(xué)們猜一猜，這三張卡片會到男生手上還是會到女生手上？（學(xué)生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學(xué)們列出的這四種情況是這個活動中可能存在的現(xiàn)象，你能從這四種可能存在的現(xiàn)象中找到一種確定現(xiàn)象嗎？（學(xué)生思考后回答：得到卡片的三個同學(xué)當(dāng)中，至少會有兩個同學(xué)的性別相同。）

（4）老師背對著學(xué)生把卡片拋出驗證學(xué)生的說法。

（5）如果老師再拋幾次還會有這種現(xiàn)象出現(xiàn)嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)原理，也就是我們今天這節(jié)課要研究的學(xué)習(xí)內(nèi)容，想不想研究啊？

〖設(shè)計意圖〗：在知識探究之前通過送卡片的游戲，從之前學(xué)過的“可能性”導(dǎo)入到今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。一方面是使教師和學(xué)生進行自然的溝通交流；二是要激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學(xué)生明白這種“確定現(xiàn)象”與“可能性”之間的聯(lián)系，為接下來的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1．動手擺擺，感性認識。

把4枝鉛筆放進3個文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說一說，把可能出現(xiàn)的情況都列舉出來。

（2）提問：不管怎么放，一定會出現(xiàn)哪種情況？討論后引導(dǎo)學(xué)生得出：不管怎樣放，總有一個文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設(shè)計意圖〗：抽屜原理對于學(xué)生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中

至少放進2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。

2．提出問題，優(yōu)化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進4個文具盒里呢？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？（學(xué)生自由擺放，并解釋些種現(xiàn)象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非常快的同學(xué)問：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡潔、最快速的方法，快快說出來和同學(xué)一起分享好嗎？

（3）學(xué)生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設(shè)法（平均分的方法），組織學(xué)生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎(chǔ)上，師生小結(jié)：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設(shè)計意圖〗：鼓勵學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認識。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進6個文具盒里呢？

把8枝筆放進7個盒子里呢？

把20枝筆放進19個盒子里呢？

……

（2）符合這種結(jié)果的情況你能一一說完嗎？你會用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設(shè)計意圖〗：通過這個連續(xù)的過程發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維，從而達到理性認識“抽屜原理”。

4．?dāng)?shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。

7只鴿子要飛進5個鴿舍里，無論怎么飛，至少會有兩子鴿子飛進同一個鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個算式表示，你會嗎？

（2）算式中告訴我們經(jīng)過第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會怎么飛呢？（有可能兩只飛進了同一個鴿舍里，也有可能飛進了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會出現(xiàn)哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據(jù)學(xué)生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設(shè)計意圖〗：從余數(shù)1到余數(shù)2、3、4……，讓學(xué)生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進行二次平均分。并發(fā)現(xiàn)余下的鴿子數(shù)只要小于鴿舍數(shù)，就一定有“至少有兩子鴿子飛進同一個鴿舍”的現(xiàn)象發(fā)生。

5．構(gòu)建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（只要鴿子數(shù)比盒鴿舍數(shù)多，且小于鴿舍數(shù)的兩倍，至少有2只鴿子飛進了同一個鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現(xiàn)象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。“抽屜原理”的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。

（4）請你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學(xué)一定有兩個同學(xué)的性別是一樣的？其中什么相當(dāng)于“物體”？什么相當(dāng)于“抽屜”？

〖設(shè)計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學(xué)生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學(xué)生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學(xué)生體會平常事中也有數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情。

三、循序漸進，總結(jié)規(guī)律。

（1）出示71頁的例2：把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？

A、該如何解決這個問題呢？

B、如何用一個式子表示呢？

C、你又發(fā)現(xiàn)了什么？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，繼續(xù)板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”還是“商＋余數(shù)”呢？為什么？

教師師讓學(xué)生充分討論后得出正確的結(jié)論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”（教師板書。）

〖設(shè)計意圖〗：對規(guī)律的認識是循序漸進的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生抓住假設(shè)法最核心的思路---“有余數(shù)除法”，學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。從而得出“某個抽屜書的至少數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，從而使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。四．運用原理，解決問題。

1、基本類型，說說做做。

（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

2、深化練習(xí)，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請五位同學(xué)每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個人每一個人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統(tǒng)計人口顯示，本街道轄區(qū)內(nèi)當(dāng)年共有 370名嬰兒出生。統(tǒng)計員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的。”這是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個月出生的？為什么？

〖設(shè)計意圖〗：讓學(xué)生運用所學(xué)知識去分析、解決生活實際問題，不僅是學(xué)生掌握知識的繼續(xù)拓展與延伸，還是他們成功解決問題后獲取愉悅心情的重要途經(jīng)；不同題型、不同難度的練習(xí)不僅能進一步調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能滿足不同的孩子學(xué)到不同的數(shù)學(xué)，并體會抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結(jié)，課外延伸。

（1）說一說：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識？你還有什么困惑？

（2）用今天學(xué)到的知識向你的家長解釋下列現(xiàn)象：

從1、2、3……100，這100個連續(xù)自然數(shù)中，任意取出51個不相同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)互質(zhì)，這是為什么呢？

〖設(shè)計意圖〗：既讓學(xué)生說數(shù)學(xué)知識的收獲，也引導(dǎo)學(xué)生談情感上的感受，同時培養(yǎng)他們的質(zhì)疑能力，使三維目標(biāo)落到實處；把課堂知識延伸到課外，與家長一起分析思考，主要是想拓展學(xué)生思維，達到“家校牽手，共話數(shù)學(xué)”的教學(xué)目的。

板書設(shè)計。

抽屜原理

物體數(shù) 抽屜數(shù) 至少數(shù) =商＋1

（鉛筆數(shù)）（盒子數(shù)）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設(shè)計意圖〗：這樣的板書設(shè)計是在教學(xué)過程中動態(tài)生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設(shè)計便于學(xué)生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學(xué)重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。

第五篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)反思

嚴田小學(xué)彭性良

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)必須注意從學(xué)生的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供參與的機會，使他們體會數(shù)學(xué)就在身邊，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣和親近感。也就是創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過讓學(xué)生放蘋果的環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。通過3個蘋果放入2個抽屜的各種情況的猜測，進一步感知抽屜原理。認識抽屜原理不同的表述方式：①至少有一個抽屜的蘋果有2個或2個以上；②至少有一個抽屜的蘋果不止一個。

充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，對可能出現(xiàn)的結(jié)果進行猜測，然后放手讓學(xué)生自主思考，采用自己的方法進行“證明”，接著再進行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“假設(shè)法”等方法進行比較，教師進一步比較優(yōu)化，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。在有趣的類推活動中，引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理。最后出示練習(xí)，讓學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識，解決生活中的實際問題，使學(xué)生所學(xué)知識得到進一步的拓展。

這種“創(chuàng)設(shè)情境——建立模型——解釋應(yīng)用”是新課程倡導(dǎo)的課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的理解，進一步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力。