第一篇：畢業論文線性方程組的欲條件解法

學校代碼：10206 學生學號：051074210

白城師范學院

畢業論文

線性方程組的預條件解法

Pre-conditions for Solution of System of Linear Equations

學生姓名：孫雷 指導教師：牟欣 講師 學科專業：數學與應用數學 所在單位：數學系

2011年 6 月

摘要

摘 要

隨著計算機的發展，在許多實際應用和數學研究中，經常遇到求解線性方程組的問題，而數值代數己經成為處理這些問題的強大工具。在本文中，主要研究了對線性方程組的幾種預條件迭代解法。使用預條件矩陣來加速迭代方法的收斂性是通常所采用的方法，預條件迭代法對于解決系數矩陣是大型稀疏矩陣的情況有較好的效果。

證明了當線性方程組的系數矩陣A為不可約L-矩陣時的預條件AOR方法，并且證明了其收斂性，最后用數值試驗驗證所提出的理論結果。當選取最優參數時，通過數值試驗可看出我們的方法所得迭代矩陣的譜半徑比小。

提出以SSOR多分裂作為內分裂的松弛不定常二級多分裂法，然后研究了所提出的方法在求解當系數矩陣為H-矩陣的線性系統的收斂性，最后具體給出此方法收斂性的論證及其應用。

關鍵詞： L-矩陣，H-矩陣，M-矩陣，預條件AOR法，SSOR多分裂

I

Abstract

Abstract With the development of the computers, numerical analysis concerned with the solution of linear systems of equations is always used in the practical and mathematic problems.For a linear system, we study the several preconditioning method in this paper.It is quite common to use preconditioning to accelerate the convergence of a basic iterative scheme which is very useful to solve the large sparse coefficient matrix.We improve the preconditioned AOR iterative scheme for irreducible L-matrices considered and then we prove the convergence of our method.Lastly, numerical experiments to illustrate the theoretical results are provided.When choosing the approximately optimal parameters, our scheme has small spectral radii of the iterative matrices than the spectral radii of AOR iterative scheme, which is shown through numerical examples.We present the relaxed nonstationary two-stage multisplitting method using an outer splitting and the SSOR multisplitting as inner splitting.Then, we study the convergence of the proposed method for solving the linear system whose coefficient matrix is an H-matrix.At last, we give the specific convergence of this method of argumentation and its application.KeyWords： L-matrix, H-matrix, M-matrix, preconditioned AOR method, SSOR multisplitting

II

目錄

目 錄 緒論.............................................................................................................................................1

1.1引言....................................................................................................................................1 1.2常見的預條件方法............................................................................................................2 2 預條件AOR迭代法....................................................................................................................4

2.1概論....................................................................................................................................4 2.2預備知識............................................................................................................................5

2.2.1本章中用到的定義................................................................................................7 2.2.2本章中用到的定理................................................................................................7 2.3主要結果............................................................................................................................7 2.4小結..................................................................................................................................13 3 預條件多分裂迭代法...............................................................................................................14 3.1概論..................................................................................................................................14 3.2預備知識..........................................................................................................................14 3.2.1本章中用到的定義..............................................................................................14 3.2.2幾種常見的分裂方式..........................................................................................15 3.2.3本文中用到的定理..............................................................................................16 3.3主要結果..........................................................................................................................17 3.4小結..................................................................................................................................19 結論................................................................................................................................................20 參考文獻.........................................................................................................................................21 致謝................................................................................................................................................22

I

緒論 緒論

1.1引言

很多科學問題的解決都需要解這樣一個線性方程組，求解線性方程組是數值線性代數的一個基本問題，即給定A?Cn?n,b?Cm，尋找解向量x?Cn使得Ax?b。解線性方程組的傳統方法是用Gaussian消元法，假設系數矩陣A是一個這樣用Gaussian消元法直接解的運算量是O?n3?。并且許多微n?n的非退化陣，分方程經過適當差分或有限元離散所產生的線性代數方程組的系數矩陣，不僅具有大型稀疏的特性，而且常常呈現出規則的分塊結果。當n很大且A稀疏時，用直接法就很不劃算，而且需要很大的存儲空間，人們開始考慮和研究用迭代法求方程組Ax?b的近似解，即用某種極限過程去逐漸逼近精確解，并發展了許多非常有效的迭代方法，常見的如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法、SSOR方法，這幾種迭代方法是最常用的一階線性定常迭代法。

即若系數矩陣A的一個分裂：A=M-N，M為可逆矩陣，線性方程組

Ax=b

(M-N)x=b ?Mx=Nx+b

?x =M?1Nx+M?1b

得到迭代方法的一般公式：

x(k?1)?Hx(k)?d

其中：H?M?1N，d?M?1b，H稱為迭代矩陣，它的收斂性直接關系到方程組的求解，收斂性迭代矩陣M?1N的譜半徑有關，譜半徑小于1時就收斂，否則就發散，而且譜半徑越小，迭代矩陣收斂速度就越快。

若假設A是n?n階矩陣，且A?I?L?U，?L和?U分別是的嚴格下三角和嚴格上三角部分，則經典的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為H?(I?L)?1U。迭代法解線性方程組時都假設矩陣A是非奇異矩陣，當矩陣A是奇異矩陣時，可以通過變換把Ax?b變為一個和它同解的新的系數矩陣為非奇異的線性方程組。

為改善迭代法的收斂性和收斂速度，Hadjidioms于1978年提出一種快速超松弛迭代法(簡稱AOR迭代法)，它含有兩個參數ω，τ，當時ω=τ，這種方法就

緒論

變為逐次超松弛迭代法(簡稱SOR迭代法)；隨著并行計算機的發展，1983年Misirlis提出一種解線性方程組的方法，稱為并行Jacobi型方法，它的突出優點是適合大型并行機的計算。胡家贛[1]在1992年提出了兩參并行的Jacobi型方法(簡稱2PPJ型方法)，使Misirlis提出的方法成為2PPJ型方法的特例。另外，結合實際的需要，還產生了一些如SSOR型迭代法、SAOR型迭代法、PSD型迭代法等一系列迭代方法，目的都在于改善迭代矩陣的收斂性和收斂的速度。

1.2常見的預條件方法

在實際的計算過程中，收斂性的改善不僅取決于迭代方法以及迭代矩陣中參 數的選取，而且同方程組自身的某些變化也密切相關，例如可以對方程組兩邊左 乘一個非奇異矩陣P(預處理)。通過這種技巧，線性方程組Ax=b等價變為

PAx=Pb

(1-1)如果PA還有分裂PA?MA?NA，那么(1-1)對應的迭代格式為

x(k?1)?MA?1NAx(k)?MA?1Pb,k?0,1,...(1-2)

式(1-1)稱為預條件方法。1991年，Gunawardena等提出了修改的Gauess-Seidel方法（簡稱MGS方法）如下：令(1-2)式中的P=I+S，其中

?a120?0??0??00?a?023???????

S?????000??an?1,n???000?0???文獻[3]證明了該預條件用于Gauess-Seidel迭代法的收斂性。為了進一步研究MGS方法并改善其收斂速度，1997年Kohno等利用帶有n-1個參數的預條件矩陣P?I?S?，其中

???

S???????00?00?a1a120?000?a2a23?00???????0?? ???an?1an?1,n??0?0并采用與文獻[3]相同的迭代格式（只把S改成S?），將文獻[3]的結果進行了推廣。隨后文獻[5]將文獻[4]中的預條件方法應用到H-矩陣類。國內外很多學者對于這類方法都進行了進一步的研究，如GAOR迭代法，并且給出了當A為H-矩陣時的一些收斂性結論。

本文的第二章將考慮用如下兩種預條件矩陣形式：

緒論

P?PS1 和 P?PS2

這里PS1?I?S1,PS2?I?S2，其中

?0???a2a21S1???a3a31?????aa?nn1000?0?????0????0???0?S?2???????0??00?00?a1a120?000?a2a23?00???????0?

????an?1an?1n,??0?0

并討論了該預條件用于AOR迭代法的收斂性。當選取不同的參數值時，通過實例可以看出，我們所提出的預條件迭代矩陣的譜半徑要比文獻中所提到的預條件迭代矩陣譜半徑小的多，在一定程度上改進了迭代法的收斂速度。

若A=M?N是A的一個分裂，則三角陣(Mk,Nk,Ek),k?1?l稱為A的一個多分裂，Ek是非負矩陣，并且

?Ek?1lk?I。由此多分裂，我們得到了求解線性系統Ax=b的多分裂法，Bai，Sun和Wang在統一的算法框架下建立了矩陣多分裂迭代算法的收斂理論。多分裂法首先由O’Leary和White所提出，后來又被許多學者進行了進一步的研究。多分裂法被廣泛的應用于二級分裂迭代法中，其中ILU多分裂法在文獻里對于系數矩陣為H-矩陣或M-矩陣等的收斂性以及由此做出的預條件矩陣已做了深入研究和討論，并得到了較好的收斂效果，但還有許多分裂法仍可用于二級迭代法中，及其他一些特殊類型的矩陣的多分裂法還可做進一步討論。本文第三章將考慮當系數矩陣為H-矩陣時用SSOR多分裂作為內分裂的二級多分裂法的預條件法，并討論了該預條件迭代法的收斂性，并與SSOR多分裂法進行了比較，數值表明我們的算法要優于SSOR多分裂法。

預條件AOR迭代法 預條件AOR迭代法

2.1概論

在第一章中已經提到，當線性方程組Ax?b的系數矩陣A是大型稀疏矩陣或具有某些特殊性質時，對方程組的系數矩陣A進行預條件處理是一種不但常用而且較為有效的方法。其基本思想就是尋找一個特殊的可逆矩陣P，左乘方程組Ax?b后，使得矩陣PA相應分裂的迭代矩陣的譜半徑較小。近年有好多學者對系數矩陣為特殊情形進行了深入的研究。

在本章中，我們考慮當線性方程組的系數矩陣A為不可約L-矩陣時，預條件迭代法的構造及其具體應用。主要構造了二種預條件矩陣，把這二種預條件矩陣應用到AOR迭代法中，比較在此迭代法中的作用，還討論了預條件AOR迭代法收斂性同預條件矩陣的參數之間關系。

考慮線性方程組

Ax?b

(2-1)

其中x,b∈Rn，A?(aij)nn在實際應用中，Gauss消去法及Cholesky分解法是常見的直接解法，但當系數矩陣A具有某些特殊性質時，這時迭代法具有了相當的優勢，相比之下，直接解法往往很不實用，效果不佳。

上面我們已就相關內容的展開作了鋪墊性的說明，對于應具備的理論背景作了扼要的介紹，下面我們就系數矩陣為不可約L-矩陣的線性方程組預條件矩陣的選取作詳細的論證。

為了更好的求解線性方程組Ax=b，這里A?(aij)nn?Rnn是非奇異矩陣，常用某些非奇異矩陣P對(1-1)式進行預處理，即考慮方程組

PAx=Pb 這里P稱為預條件矩陣。1991年，Gunawardena提出了修改的Gauess-Seidel方法（簡稱MGS方法）如下：令上式中的P=I+S，其中

?a120?0??0??00?a?023??S????????

??000??an?1,n???000?0???文獻[3]證明了該預條件用于Gauess-Seidel迭代法的收斂性。為了進一步研究MGS方法并改善其收斂速度，1997年Kohno利用帶有n-1個參數的預條件矩陣P?I?S?，其中

預條件AOR迭代法

???

S???????00?00?a1a120?000?a2a23?00???????0?? ???an?1an?1,n??0?0并采用與文獻[3]相同的迭代格式（只把S改成S?），將文獻[3]的結果進行了推廣。隨后文獻[5]將文獻[4]中的預條件方法應用到H-矩陣類。

本文則考慮用如下兩種預條件矩陣形式：

P?PS1 和 P?PS2 這里PS1?I?S1，PS2?I?S2，其中

?0???a2a21S1???a3a31?????aa?nn1000?0?????000?0???????S2??????????00?00?a1a120?000?a2a23?00???????0?

????an?1an?1,n??0?0并討論了該預條件用于AOR迭代法的收斂性。

2.2預備知識

考慮線性方程組Ax=b，這里A?(aij)nn?Rnn是非奇異矩陣，我們考慮用迭代法求解此方程組。對于矩陣A的一個分裂A?M?N，其中M?0，則有求解線性方程組(2-1)的基本迭代法為：

xj?1?M?1Nxj?M?1b k?0,1,...不失一般性，設矩陣A的一個分裂形式為A?D?L?U，這里D，L和?U分別是A的對角、嚴格下三角和嚴格上三角矩陣。不妨設D=I，則定義A的AOR迭代矩陣為：

x(j?1)?(I?rL)?1[(l??)I?(??r)L??U]x(i)?(I?rL)?1?b

(2-2)

則有AOR迭代法的迭代矩陣為：

Tr??(I?rL)?1[(l??)I?(??r)L??U]

(2-3)這里參數ω和r都為正的。

現在我們將原來的線性方程組(2-1)轉換為預條件系統

PAx=Pb

(2-4)

這里矩陣P稱為預條件矩陣。則求解線性方程組(2-4)的基本迭代法為：

xk?1?Mp?1Npxk?Mp?1Pb(2-5)

預條件AOR迭代法

其中x0為初始向量，PA?Mp?Np是矩陣PA的一個分裂。

?i(i?2,3,...,n)是實參數并且對所有的i=2,3,…,n都有?i >0。特別的，若令?i?1(i?2,3,...,n)，則所對應的預條件矩陣就為[6]中所討論的形式。

令

??PA, SU?D??L??U?

A1S1這里D?，L?和U?分別是A的對角、嚴格下三角和嚴格上三角矩陣。由于S1L=0，我們可得

??(I?S)(I?L?U)?I?L?D?S?SU?D??L??U?(2-6)A111??I?D?,L??L?S?L?,U??U?U?。其中D1令A?PS2A和S2L?D*?L*，其中D*是對角矩陣，L*是嚴格下三角矩陣，則我們可得到：

??L??U?(2-7)A?(I?S2)(I?L?U)?I?L?D?S2?S2U?D其中D =I ?D*，L?L? L*，U?U?S2?S2U。

若我們將AOR迭代法用在預條件線性系統（2-4），則我們得到預處理AOR迭代法，其迭代矩陣為：

??(D??rL?)?1((1??)D??(??r)L???U?)

若P?P

(2-8)TS1r?或

Tr??(D?rL)?1((1??)D?(??r)L??U)

若P?PS(2-9)

當ω=r時，則（預條件）AOR迭代法就是（預條件）SOR迭代法[5]。對ω=r及?，T，由(2-3)，(2-8)，(2-9)可得到相應的迭代矩陣T，T?，迭代矩陣Tr?，T?r?r??T?，即：

T??(I?rL)?1((l??)I??U)

(2-10)??(D??rL?)?1((l??)D???U?)

(2-11)

T?

T??(D?rL)((l??)D??U)

(2-12)

?1

預條件AOR迭代法

2.2.1本章中用到的定義

定義2.2.1.1設A?(aij)為n×n的矩陣，若aij?0(i?j),則我們稱之為Z-矩陣。

定義2.2.1.2記所有n×n實矩陣A?(aij)所組成的集合為Rn?n,Rn?n的子集為Zn?n?{A?(aij)A?Rn?n,aij?0,(?i,j,i?j)}。當A?Zn?n，且aij?0(?)i成立時，稱矩陣A為L-矩陣。

定義2.2.1.3設A??aij?,B??bij?是同階矩陣，若?i,j,aij?bij，則稱A?B;?i,j,a則稱A?B。ij?bij,2.2.2本章中用到的定理

定理2.2.2.1設A為n階非負不可約方陣，則

(a)ρ(A)為A的一個正特征值；

(b)A對于ρ(A)，相應地存在一個正的特征向量x>0；(c)ρ(A)為A的一個簡單特征值。

定理2.2.2.2設A為n階非負方陣，則有如下結論成立：

(a)若存在一非負向量x，x≠0，使得Ax≥βx，則有ρ(A)≥β；

(b)存在一正向量x，使得Ax≤γx，則有ρ(A)≤γ；進一地的，如果A是不可約的且0≠βx≤Ax≤γx對某一非負向量成立，則β≤ρ(A)≤γ成立，并且是一正向量。

2.3主要結果

n?n

定理2.3.1設A?aij?R是一個L-矩陣，A?2:n,2:n?是A的不可約子

??陣。假設存在一個非空集??N1??2,3,?n?和實參數?i?0，i=2,3,…,n，使得

i???0??ia1iai1?1, ? 若

aa?0,i?N??1?1ii1?若0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，則有：

設(2-3)和(2-8)定義的矩陣分別為Tr?和Tr???；(a)若??Tr???1，則??Tr?????Tr???；(b)若??Tr???1，則??Tr?????Tr?

預條件AOR迭代法

??。(c)若??Tr???1，則??Tr?????Tr?

證明 由(2-3)，Tr?可表示為

Tr?= ?1???I???1?r?L??U?H

(2-13)

這里H是一個非負矩陣。由于A是一個L-矩陣，故L和U也是非負的。由(2-13)可得

Tr??0。由于A?2:n,2:n?是不可約矩陣，對所有的i∈β，都有a1iai1?0，所以可得矩陣A也是不可約的。由于ω≠0,r≠1，A是不可約矩陣，得??1?r?L??U是不可約矩陣。故由(2-13)得Tr?是不可約矩陣。由定理2.2.2.1，則存在一個正向量x，使得Tr?x??x，我們很容易的可得：

?1???I???1?r?L??Ux???I?rL?x

???S1Ux??????1?S1x

(2-14)

由(2-8)和(2-14)有：

?1????????r?L???U????D??rL??x

Tr?x??x??D?rL??1???D?1???????r??r?L???U??x

??D?rL???1?????D????rL???1??????1?D?????r??r??L??S???U??x ??D1??rL???1????1?D?????1?rL???r????r?S??SU?x ??D11?1????D?rL?????1??D??rL??????r???r?1?S1?x

??rL???1?D??rL???1?r?S?x

(2-15)????1??D1??L??U?也是L-矩陣，?,L?由于0??ia1iai1?1，得D?,L?和S1是非負的。由于A則D?都為非負矩陣。經簡單計算，T?可表示為： 和Ur????1??T?1??1?12????

Tr???1???I???1?r?DL??DU?H???

(2-16)?T22??0?是一非負矩陣，??0是1??n?1?階矩陣，??0是?n?1???n?1?階矩陣。這里H TT1222?是一非零矩陣A?2:n,2:n?是不可約的，我們由于對所有的i∈β，a1i?0，故T128

預條件AOR迭代法

??2:n,2:n?也是不可約的。由于ω≠0,r≠1,由(2-16)得很容易得到A??2:n,2:n??T?是不可約的。令 Tr?22?1????

及

z?D?rLy??D?rL??1?r?S1?x?? y

(2-17)

對所有的i∈β，ai1?0，當r?1及x>0時y?0是一非負向量且y向量的第一個??rL?元素都為0。由于D???1是非負的下三角矩陣，故z≥0是一非負向量且z向量的第一個元素都為0。所以，我們可令

?x1??0?

x???

及

z???

(2-18)

?x2??z2?這里x1?R1?0,x2?Rn?1?0,z2?Rn?1?0是一非負向量。由(2-15)-(2-18)，得

?x??x????1?z，故 Tr??x??

(2-19)

?1???x1?T122?x??x????1?z

(2-20)

T22222當λ>1時，由(2-20)，我們可得：

?x??x

及

T?x??x

(2-21)

T22222222????。由于0?1???1，有： 由式(2-20)及定理2.2.2.2，有??T22?????T???????T?

??Tr?22r?當λ<1時，由(2-20)，我們可得：

?x??x

及

T?x??x

(2-22)

T22222222??0是不可約的且x?0，由(2-22)式及定理2.2.2.2得 T222??T22???

(2-23)

??0是非負的且x?0，有T?x?0。由(2-19)，?1???x??x，及 由于T21212211????

(2-24)

???????T?。??max?1???,?T?,由(2-23)及(2-24)得??T由于?Tr?r?r?22???????x??x。因此，由定理2.2.2.2可得： 當λ=1時，由式（2-15）Tr????????T? ??Tr?r?9

預條件AOR迭代法

推論2.3.2設A??aij??Rn?n是一個L-矩陣，A(2:n,2:n)是A的不可約子陣。假設存在一個非空集??N1??2,3,...,n?和實參數ai?0,i?2,3,...,n,使得

i???0?aia1iai1?1 ? 若

aa?0i?N???1ii11?。若0<ω<1，則有： 設(2-10)和(2-11)所定義的矩陣分別為T?和T?????T?;

（1）若??T???1,則?T???????T?;（2）若??T???1,則??T???????T?。（3）若??T???1,則??T????注: 若r=ω=1時，則（預條件）AOR法就是我們所說的（預條件）Gauss-Seidel

?不一定可約，故定理法。對于r=ω=1，由于在定理2.3.1的證明中矩陣Tr?和T222.3.1就不一定成立。因此，當r=ω=1時，推論2.3.2就不一定成立。在今后的工作中我們會進一步討論當r=ω=1時推論2.3.2成立的條件。

引理2.3.3設A??aij??Rn?n是一個L-矩陣，假設存在一個非空集

?i?0,i?2,3,...,n使得對所有的i?N2，都有??N2??1,2,3,...n?,?和實參數1ai?1ai,j?1ai?1,j?1設(2-3)和(2-9)定義的矩陣分別為Tr?和Tr?。如果0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，且A是不可約的，對所有的i??,令ai,j?1?0,則有Tr?和Tr?是非負不可約的。

證明由已知對所有的i??,ai,j?1?0,A是不可約的，故A?I?L?U是不可約的。因此由(2-13)，Tr?是非負不可約矩陣。令：

A?P2A??I?S2?A?D?L?U

這里D,L及U為(2-7)式中所定義的矩陣。由于A是L-矩陣，并且對所有的i?N2,有?i?1ai,j?1ai?1,j?1故可得A是L-矩陣，并且D,L和U為全都是非負矩陣。對所有的i∈γ，當ai,j?1?0時A矩陣的非零結構與A的非零結構相同，故由假設可知A也是不可約的。這時Tr?可表示為如下形式：

預條件AOR迭代法

1?1

Tr???1???I???1?r?D?1L?1??D?U?H

(2-25)這里H是一個非負矩陣。由(2-25)可得，Tr?也是非負的。由于ω≠0,r≠1，A是不可約的，則??1?r?D?1L?1??D?1U?1也是不可約矩陣。因此，由(2-25)，Tr?是不可約矩陣。

n?n

定理2.3.4設A?aij?R是一個L-矩陣，假設存在一個非空集

????N2??1,2,3,...,n?1?使得對所有的i∈γ滿足條件ai,j?1?0，以及實參數ai?0,i=2,3,…,n，使得對所有的i?N2，都有?i?1ai,j?1ai?1,j?1。設(2-3)和(2-9)所定義的矩陣分別為Tr?和Tr?。如果0≤r≤ω≤1(ω≠0,r≠1)，且A是不可約的，對所有的i∈γ，令ai,j?1?0，則有：

(1)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??；(2)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??；(3)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??。證明

由引理2.3.4，Tr?是非負不可約矩陣。由定理2.2.2.1得，存在一個正的向量x>0，使得Tr?x??x，這里????Tr??。由Tr?x??x，我們很容易得到：

??1???I????r?L??U?x???I?rL?x

??????1?S??r????r?SL?x??SUx

(2-26)

222?1由(2-9)和(2-26)得： Tr?x??x??D?rL???1???D????r?L??U???D?rL??x

??1?????D????r??r?L??U?x ??D?rL???D?rL???D?rL???D?rL??1?1??????1?D????r??r?L???SU?S??x??22

?1??????1?(D???S2)????r??r?(L??S2L)??S2?x?2?1??????1?D????1?S????r??r?D?x11

預條件AOR迭代法

??D?rL??1????r???r?1?D????1?S?x

?2

????1?D?rL????1?r?D?1??S2?x

(2-27)由于0??ia1iai1?1，得D，D?，L和S2是非負的。令

y?((1?r)D??S2)x

及

z?(D?rL)?1y

(2-28)

對所有的i∈γ，ai,j?1?0，當r≠1及x>0時有y?(yi)?0是一非負向量且對所有

??rL?)?1是非負的下三角矩陣，故z≥0是一非負向的i∈γ，yi都不為零。由于(D量且對所有的i∈γ，zi都不為零。由(2-27)和(2-28)，我們可得：

Tr?x??x????1?z

(2-29)

當λ=1和λ>1時，由定理2.3.1和定理2.3.3，我們可直接相應的得到Tr?x??x及Tr?x??x(Tr?x??x)。當λ<1時，由(2-29)得Tr?x??x和(Tr?x??x)。由引理2.3.3可知Tr?是不可約的，故由定理2.2.2.2可得??Tr???????Tr??。故由定理2.2.2.2，結論成立。

推論2.3.5設A?(aij)?Rn?n是一個L-矩陣，假設存在一個非空集??N2??1,2,3,...,n?1?使得對所有的i∈γ滿足條件ai,j?1?0，以及實參數使得對所有的i?N2，都有?i?1ai,j?1ai?1,j?1。設(2-10)和(2-12)ai?0,i?2,3,...,n，所定義的矩陣分別為Tr?和Tr?。如果0<ω<1，且A是不可約的，對所有的i∈γ，都有ai,j?1?0成立，則有：

(1)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??；(2)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??；(3)若??Tr???1，則??Tr?????Tr??。

注: 若r=ω=1時，由于在定理2.3.4的證明中矩陣Tr?和Tr?不一定可約，故定理2.3.4就不一定成立。因此，當r=ω=1時，推論2.3.2就不一定成立。在今后

預條件AOR迭代法 的工作中我們會進一步討論當r=ω=1時推論2.3.6成立的條件。

2.4小結

在這一章中，我們首先提出了對于不可約L-矩陣的AOR迭代法的預條件矩陣，并且證明了其收斂性。特別的，我們還可以討論如何選取一組參數值，使得我們所提出方法的收斂速度有進一步的提高。如何選取一組最優參數將是我們今后繼續研究的課題。

預條件多分裂迭代法 預條件多分裂迭代法

3.1概論

對方程組的系數矩陣A進行預條件處理是一種不但常用而且較為有效的方法，因而，眾多學者致力于系數矩陣A的預條件研究，比如Pool和Ortega[23]所用不完全矩陣因子分解預條件方法；Johnson和Saad所用多項式矩陣分裂預條件方法。在本章中，我們首先提出以SSOR多分裂作為內分裂的松弛不定常二級多分裂法，并且研究了所提出的方法在求解當系數矩陣為H-矩陣的線性系統的收斂性。通過具體的數據實例，我們可以看出，當選取一組近似最優參數時，所提出的方法的收斂速度比松弛SSOR多分裂法快。下面我們就具體給出此方法收斂性的論證及其應用。

3.2預備知識

考慮線性方程組Ax=b，這里A?(aij)?Rn?n是非奇異H-矩陣，我們考慮用迭代法求解此方程組。自從O’Leary和White基于矩陣的多分裂提出了并行多分裂迭代法。

3.2.1本章中用到的定義

下面對本文將要涉及的矩陣理論作簡單介紹。

定義3.2.1.1記所有n×n實數矩陣A?(aij)所成集合為Rn,n，Rn,n的子集為n?nR??A?(aij)A?Rn?n,aii?0,(?i)?? Zn?n?A?(aij)A?Rn?n,aii?0,(?i,j,i?j)當A?Rn?n且aii?0,(?i)時，稱A為L陣。

定義3.2.1.2設A?(aij)，B?(bij)是同階矩陣，若?i,j,aij?bij，則稱A≥B；若?i,j，aij?bij，則稱A>B。

定義3.2.1.3 若A?Rn?n，且A可表示為A=sI-B，I為n階單位矩陣，B≥0，??14

預條件多分裂迭代法

那么當s???B?時，稱A為M-矩陣，特別的當s???B?時，稱A為非奇異M-矩陣，如果有s???B?，則稱A為奇異M-矩陣。

定義3.2.1.4 若A?Zn?n，A可逆且A?1?0，則稱A為非奇異M-矩陣。定義3.2.1.5 若A為L陣，且有分解A?D?C,D?diag(A)那么A為非奇異M-矩陣的等價條件為?(D?1C)?1。

由定義可看出，定義3.2.1.3，定義3.2.1.4，定義3.2.1.5是等價的，L-矩陣在線性迭代理論中很大程度上指M-矩陣，M-矩陣在迭代法中主要指非奇異M-矩陣，很少涉及奇異M-矩陣。

定義3.2.1.6 A??ij稱為A的比較矩陣，若滿足條件

(a)當i=j時，?ij?aij；(b)當i=j，?ij??aij。

定義3.2.1.7 若A的比較陣A是M-矩陣，則稱A為H-矩陣。

3.2.2幾種常見的分裂方式

定義3.2.2.1如果A是方陣，且M為非奇異M-矩陣，N≥0，那么A=M-N稱為矩陣A的M-分裂。

定義3.2.2.2如果A是方陣，A有分裂A=M-N，則(1)如果M?1?0，N?0，那么這種分裂叫正規分裂。

(2)如果M?1?0，M?1N?0，那么這種分裂叫弱正規分裂。

(3)如果M?1?0，N?0，且M為非奇異M-矩陣，那么這種分裂叫M-分裂。顯然，M-分裂?正規分裂?弱正規分裂。

定義3.2.2.3 稱?MkNkEk??k?1是矩陣A的一個多分裂，若：(1)A?Mk?Nk,k?1,2,...,l是A的一個分裂；

(2)Ek?0,k?1,2,...,l，是一個非負對角矩陣，稱為權矩陣；(3)?Ek?I，這里I是一個單位矩陣。k?1l

預條件多分裂迭代法

對于矩陣A的一個多分裂?MkNkEk??k?1，松弛參數β為一個正數，對于求解線性系統Ax=b的松弛多分裂算法如下：

算法3.2.2.4松弛多分裂法：

給定一個初始向量x0

For i=1,2,…,直到收斂

for

k =1 to l

Mkyk?Nkxk?b, ?Ek?IMkyk?Nkxk?bxi???Ekyk?(1??)xi?1

k?1k?1ll

注3.2.2.5 若?MkNkEk??k?1是矩陣A的一個多分裂的一個多分裂，對每一個k，Mk?Bk?Ck是Mk的一個分裂，松弛參數β為一個正數，則對于求解線性系統Ax=b的松弛非定常二級多分裂算法如下：

算法3.2.2.6松弛非定常二級多分裂法：

給定一個初始向量x0

For

i=1,2,…,直到收斂

for k=1…l

yko?xi?1

for

j =1 to s?k,i?

yk,j??Bk?1(Ckyk,j?1?Nkxi?1?b)?(1??)yk,j?1

xi??Ekyk,s?k,i?

k?1l 注3.2.2.7在算法3.2.2.6中，分裂A?Mk?Nk稱為外分裂，分裂Mk?Bk?Ck稱為內分裂。當A是一個單調矩陣（即, A?1?0）或A是一個H-矩陣，在算法3.2.2.6中當內迭代數s?k,i?用一個常量s代替，即s與變量k和i無關時，則我們得到了松弛二級多分裂法(即算法3.2.2.8)。3.2.3本文中用到的定理

引理3.2.3.1 設A?D?B是H-矩陣，這里D=diag(A)，則有以下結論成立：

預條件多分裂迭代法

(a)A和D是非奇異矩陣，且?(D(b)A?1?A?1?1B)?1。

?s 定義3.2.3.2 設0<ω<2，A?D?Lk?Uk(k?1,2,...,l)，這里D=diag(A)，Lk?s是一般矩陣。若?MkNkEk??k?1,k?1,2,...,l是A的一個多是嚴格下三角矩陣，Uk分裂，則稱?MkNkEk??k?1,k?1,2,...,l是A的SSOR多分裂。其中

Mk(?)?1/???2?????D??Lk?D?1?D??Uk?

Nk(?)?1/???2?????(1??)D??Lk?D?1?(1??)D??Uk?

3.3主要結果

定理3.3.1 設A是一個n×n階的H-矩陣，且

?s?s是嚴格下三角矩陣，UkA?D?B?D?Lk?Uk(?1k?l，這里D=diag(A)，Lk是一般矩陣，若

?MkNkEk??k?1,k?1,2,...,l是A的一個多分裂，A?D?Lk?Uk,k?1,2,...,l。則當0<ω<2/(1+α)時，有如下結論成立，這里???D??1B： ???1???；

(a)Mk?1????Mk????；(b)Nk????Mk??1???N????。

(c)Mk?1???Nk????Mkk其中：

??1????1/???2?????D??L Mkk?D?D??U?

?1k?(1)????if0???1N?k? Nk??????(2)

if1???2/1??N?????k???(1)????1/???2????((1??)D??L)D?1((1??)D??U)

Nkkk?(2)????1/???2????((1??)D??L)D?1((??1)D??U)Nkkk17

預條件多分裂迭代法

證明 顯然，當ω>0時，設C?D??Uk，則C?D?UD??Lk是H-矩陣。??1?1?1k是矩陣C的一個正規分裂。當ω<2/(1+α)，ω<1/α，由引理3.2.3.1，得α<1, 從而我們可得?(?DUk)??(?DB)????1并且C?0。即當0<ω<2/(1+α)時D??Uk是H-矩陣。由于D??Lk和D??Uk是H-矩陣，由引理3.2.3.1，我們可以得到

??D??Lk?D?1?D??L1k????D(D??Lk)?1

?(D??U?1k)D(D??L?1k)?D??U?1kDD??L?1k

?(D??U?1?1k)D(D??Lk)由(3-1)，M?1k(?)?M??1k(?)。(a)證畢。下面我們證明(b)和(c)。情況1：令0<ω≤1，則

??1???D??Lk?D?1??1???D??Uk?

??1???D??L?1kD?1???D??Uk

???1???D?L?D?1k??1???D??Uk?

因此M?1k(?)Nk(?)?M?1k(?)Nk(?)?M?(1)k(?)N?(1)k(?)?M??1k(?)N?k(?)情況2：令1<ω<2/(1+α)，則

((1??)D??L?1k)D?(1??)D??Uk?

?(1??)D??L?1kD(1??)D??Uk

??(1??)D??L?1k?D?(1??)D??Uk?

因此N)?N?(2)k(?k(?)?N?k(?)，則 M?1k(?)Nk(?)?M?1k(?)Nk(?)?M??1k(?)N(2)k(?)?M??1k(?)N?k(?)至此，(b)和(c)證畢。

(3-1)

(3-3)

(3-2)預條件多分裂迭代法

3.4小結

在本章中，我們討論了在求解線性系統Ax=b（這里A?Rn?n是一個H-矩陣）時，用SSOR多分裂作為內分裂的松弛非定常二級多分裂法的收斂性。

為了有效的加快我們所提出方法的收斂性，如何選取一組參數將是我們今后所要探討的問題，有待于進一步的研究。

結論

結論

我們首先提出了對于不可約L-矩陣的AOR迭代法的預條件矩陣，并且證明了其收斂性。特別的，我們還可以討論如何選取一組參數值，使得我們所提出方法的收斂速度有進一步的提高。如何選取一組最優參數將是我們今后繼續研究的課題。

我們在本文中還討論了在求解線性系統Ax?b(這里A?Rn?n是一個H?矩陣)時，用SSOR多分裂作為內分裂的松弛非定常二級多分裂法的收斂性，當選取近似最優參數時，我們所提出的算法其收斂速度更快。為了更有效的加快我們所提出方法的收斂性，如何選取一組參數將是我們今后所要探討的問題，還有許多多分裂法仍可用于二級迭代法中，及其他一些特殊類型的矩陣的多分裂法還有待進一步討論。

參考文獻

參考文獻

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致謝

致謝

在論文撰寫過程中，得到了系里各位老師的支持與鼓勵，尤其是指導教師牟欣老師，從確定題目到定稿打印，一直不顧勞累，抽出時間對論文的寫作目的和方向予以指導和改正。對論文中出現的疑難問題，牟欣老師又幫忙查閱資料、文獻，使論文能夠順利完成。在此對牟欣老師及系里的各位老師表示深深的感謝。

第二篇：本科生畢業論文縮寫件

本科畢業論文縮寫規范

具體要求：

1． 校級優秀論文須經各專業教研室評審，且成績為優秀者；

2． 題目用3號黑體，專業班級及作者姓名、指導教師姓名（5號宋體）； 3． 中、外文摘要（約300字，關鍵詞不超過5個，5號宋體）；

4． 縮寫正文部分的格式要求與原論文相同（3~5頁，單倍行距，5號宋體）； 5． 主要參考文獻不超過10篇 ； 6.論文縮寫用word軟件輸入計算機； 7.校級優秀論文按每專業1~2篇推薦。參考樣張：

復雜數字系統設計與驗證平臺的設計(小3號黑體)

(空一行)電子97—2 ＊＊＊ 指導教師 ＊＊＊（5號宋體）

(空一行)摘 要 當前集成電路設計，特別是在大規模復雜數字系統的SOC設計，成為我國重點發展的方向。本文圍繞目前比較流行的IC設計方法之一----軟/硬件協同設計、驗證、仿真，設計一個復雜數字系統設計與驗證平臺，以期在平臺上能利用新的設計方法進行進行各種識字系統的開發和現場驗證；…

關鍵詞 大規模復雜數字系統；協同設計；驗證；仿真；SOC Abstract The design of integrated circuit,especially SOC design of large-scaled compiex digital system has currently become very important in the development of computer science in our country.In this paper ,how to design the designing and verifying platform of a complex digital system on which the popular IC design can be spplied, is discussed in detail.…

Key Word large-scaled complex digital system；co-design；verification；simulation；SOC 前言

協同設計、驗證、仿真是復雜數字系統設計技術，在嵌入式系統設計中成為新的研究方法。它可以使軟件開發人員盡早接觸到硬件設計部分。… 1 數字系統設計方法

以軟硬件協同設計（Software/Hardware Co-Design）具有知識產權的內核（Intellectual Property Core，簡稱IＰ核）復用和超深亞微米技術為支撐的系統集成芯片是國際超大規模集成電路的發展趨勢和新世紀集成電路的主流〔3〕。… 2平臺設計思想

2.1 以高性能FPGA為核心

FPGA(field programmable gates array, 現場可編程門陣列)是當今集成電路（IC）領域中發展迅速、應用廣泛的一種新型數字集成電路。… 2.2 軟硬件協同設計、仿真、驗證

通過使用公用接口技術，使用多個公司的FPGA做為核心芯片。… 3平臺的設計實現 3.1平臺的設計規劃

平臺設計中一個關鍵問題就是I/O資源的分配。顯然，在我們的這個實驗平臺上面，…

3.2平臺設計的實現

按以上的思想和規劃設計的電路原理和PCB圖如下：圖略 … 4 復雜數字系統設計與驗證平臺的應用

在平臺上，可以進行CPU的設計、研究、開發，進行計算器組成原理和計算機體系結構的研究，進行各種數字專用集成電路的設計和開發，進行… … 5 結論 參考文獻（不超過10篇）

第三篇：魚我所欲也 說課稿件

尊敬的各位老師、親愛的同學們： 大家好！

今天說課的題目是《魚我所欲也》，這是九年級語文教材的學習內容。下面我將重點從教材分析、教學目標、教學內容、教學結果，這四個部分來進行說明。

一、教材分析

1.這是九年級人教版語文教材中的一篇經典文言文篇目，也是儒家經典篇目之一，其意蘊深長，寓意豐富，值得學生深刻鉆研學習。

2.文章以形象生動的比喻，將“生”與“義”和魚與熊掌相類比，從而道出了舍生取義，堅守道義的哲理，層層深入，由表及里，由淺入深，化抽象為具體，使學生能夠更好地接受理解作者的思想成果，從而受到教育。

3.這篇文言文生字生詞少，難字難詞不多，是一篇很好的基礎文言文教學的文章，整篇文章除個別詞語需要稍加解釋以外，基本能夠自主學習，可以激發學生自主學習文言文的興趣與激情。

4.語文課程應重視提高學生的品德修養和審美情趣，使他們能逐步形成良好的個性和健全的人格，促使德、智、體、美的和諧發展。因此在說課時，注意將課文與實際相結合。

二、教學目標

（一）知識目標

1．積累文言文常用的實詞、虛詞，擴充文言詞匯量，逐步提高文言文閱讀能力。

2．了解孟子的道德主張，領會文章的思想內涵。

（二）能力目標

1．強化朗讀訓練、品味《孟子》散文的語言特色。

2．把握古人運用具體事例、正反對比或比喻說理的方法，理解作者的觀點。

（三）德育目標

引導學生正確選擇，摒棄一己之私利，將正義、道義放在首位，明辨是非，永葆善良之心，做一個大寫的人。

（四）教學重點、難點

1．理解文意，理清論證思路，背誦課文。

2．掌握本文的論證方法。

3．理解“失其本心”中“本心”的內涵，辨析“失其本心”與“舍生取義”的關系，把握本文的主旨。

三、教學內容

（一）導入新課

以腦經急轉彎“如何做到魚與熊掌兼得？”“養一只會抓魚的熊。”開頭激發學生興趣。并由此引向課文標題魚我所欲也。

（二）介紹作者

提問學生本文作者是誰，引導學生關注課文下角注解作者生平簡介。并拓展作者生平（孟子是孔子之孫孔伋的再傳弟子，是戰國時期偉大的思想家、教育家，儒家學派的代表人物。與孔子并稱“孔孟”。代表作有《魚我所欲也》、《得道多助，失道寡助》、《生于憂患，死于安樂》和《寡人之于國也》。后世追封孟子為“亞圣公”，尊稱為“亞圣”，其弟子及再傳弟子將孟子的言行記錄成《孟子》一書，屬語錄體散文集，是孟子的言論匯編，由孟子及其弟子共同編寫完成,倡導“以仁為本”。提倡性善論。）。

（三）朗讀作品

朗讀課文，標識讀音。

（四）課題講解

孟子主張人性是善的，他認為人生而具有惻隱之心、羞惡之心、禮讓之心、是非之心。只要不使這些“善心”喪失，就在道德方面具備“仁義禮智”。本文就是從這種理論出發，闡明了義重于生，義重于利和不義可恥的道理。提出“舍生取義”的主張。孟子認為，如果把生命看得比義更重要，就會做出各種不義的事情來。他對比了兩種生死觀，贊揚了那些重義輕生、舍生取義的人。斥責了那些茍且偷生。見利忘義的人。告誡人們要辨別義和利，不要失去“本心”。

本文行文流暢，論證嚴密；引譬設喻，生動形象；排比鋪陳，氣勢恢弘。體現了《孟子》一書的文筆特點。

（五）字詞講解

逐字逐句講解文言實詞及虛詞釋義。

（六）自主翻譯

在老師已經講解過詞語的基礎上，學生自主理順句意。并請同學起立朗讀自己的翻譯。

（七）概括段意

在翻譯的基礎上，分小組概括課文段意，提煉中心思想。

（八）提問探究

1、提問：文章開頭寫“魚”和“熊掌”有什么作用？

2、提問：“所欲有甚于生者”“所欲”可以指哪些事情？

3、提問：“所惡有甚于死者”“所惡”可以指哪些事情？

4、提問：“故患有所不辟”“患”指什么？

5、提問：“非獨賢者有是心“是心”指什么？

6、分析本文是如何展開論證的？

（九）課堂總結

本文闡明了的道理，提出了“舍生取義”的中心論點。作者對比了兩種人生觀，贊揚了那些舍生取義的人，斥責了那些茍且偷生安于富貴享樂的人。告誡人們不辨禮義而貪求富貴的行為是不可取的。

（十）作業布置

復習課文，熟記實詞虛詞含義，背誦課文。

四、教學結果 1.拓展了學生的文學常識 2.豐富了學生的文言詞庫 3.引導學生樹立正確的價值觀

附原文如下：

魚，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍魚而取熊掌者也。生，亦我所欲也，義，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取義者也。生亦我所欲，所欲有甚于生者，故不為茍得也。死亦我所惡，所惡有甚于死者，故患有所不避也。如使人之所欲莫甚于生，則凡可以得生者何不用也。使人之所惡莫甚于死者，則凡可以避患者何不為也！由是則生而有不用也；由是則可以避患而有不為也。是故所欲有甚于生者，所惡有甚于死者。非獨賢者有是心也，人皆有之，賢者能勿喪耳。一簞食，一豆羹，得之則生，弗得則死。呼爾而與之，行道之人弗受；蹴爾而與之，乞人不屑也。

萬鐘則不辨禮義而受之，萬鐘于我何加焉！為宮室之美，妻妾之奉，所識窮乏者得我歟？向為身死而不受，今為宮室之美為之；向為身死而不受，今為妻妾之奉為之；向為身死而不受，今為所識窮乏者得我而為之：是亦不可以已乎？此之謂失其本心。

第四篇：配合件畢業論文

工具鉗工技師資格考評論文

論文題目：樣板設計

單位名稱：

作 者：

年月日

工具鉗工技師資格考評論文

論文題目：樣板設計

作 者： 職業技能鑒定等級：工具鉗工技師 單位名稱： 單位地址： 指導老師：

年月日

目 錄

緒論.....................................................1 摘要.....................................................2 第一章 對圖紙的工藝分析..................................3 1.1相配件的技術要求...................................3 1.2工藝分析..........................................4 第二章 凸件的加工.......................................5 2.1凸件中心孔的加工...................................5 2.2凸件輪廓的加工.....................................6 2.3計算與測量......................................................8 第三章 凹件的加工.......................................13 3.1凹件加工的路線....................................13 3.2凹件的劃線.......................................13 3.3凹件的加工.......................................13 第四章 配合............................................16 4.1公差配合.........................................16 4.2透光和研點的配合..................................17 4.3加工表面3×?8H7的孔..............................18 4.4引鉆凹件中心孔....................................18 總結....................................................20 致謝....................................................21 參考文獻................................................22

緒 論

鉗工大多數時使用手工工具，并經常在臺虎鉗上進行手工操作的一個工種。鉗工的主要工作是加工零件及裝配，安裝，調試和檢修機器和設備。機器零件經過車削，銑削，刨削，磨削等機械加工后，還有一些采用機器加工方法不太適合或不能解決的工作，需要鉗工來完成。如零件加工中的劃線，銼配樣板，配作，以及機器和設備的組件，部件的裝配和總裝配等。

隨著科學技術的發展和工業技術的進步，現代化機械設備不斷出現，鉗工所掌握的技術知識和技能，技巧越來越復雜，鉗工的分工也越來越細。鉗工一般分為普通鉗工，劃線鉗工，工具鉗工，裝配鉗工和機修鉗工等。

鉗工操作技術內容很廣泛，主要有劃線，鏨削，銼削，鋸削，鉆孔，擴孔，鉸孔等基本操作。此外，還有機器和設備的裝配，安裝和修理等工作。

無論何種鉗工，進行何種鉗工操作，都離不開鉗工基本操作。鉗工基本操作是各種鉗工的基礎。

摘 要

本次技師設計的是樣板相配，經過幾天的設計和操作，已經完成此次任務。此次相配件分為2個部分，凸件和凹件，凸件是此相配件的關鍵，尺寸的要求全部在凸件上面，因為凹件沒尺寸要求，所以主要是做凸件保證兩者的配合間隙。還要注意凹凸件打的中心孔，要保證垂直度，在插入芯棒不影響換位換向，保證配合間隙。關鍵詞：鉆孔 研點 配作

第一章 對圖紙工藝分析

1.1對相配件的技術要求

1相配圖

圖1-1

2.技術要求

1）件Ⅰ是基準件，件Ⅱ是配作件；

2）配合時凹凸件注意換向，凹凸件配合間隙≤0.04； 3）︱ a-a′︱≤0.10mm 4）銳邊去毛刺、倒角。

1.2工藝分析

1.對孔進行分析

件1，件2，件3共有三個孔，打孔時要注意各孔的加工順序，以免給工件的測量、精度的保證以及換向換位帶來影響。其中主要的是件1和件3上的定位孔，打孔時一定要保證三件配合的對稱度。在配合時插入芯棒不影響換向。2.對件1進行分析

件1備的是一塊60.26×44×10的料，件1的加工面多且復雜，精度要求高，要用到量塊、正弦臺、杠桿表來測量加工，保證其角度尺寸精度，銼削時按件1的加工工藝路線去做，以方便測量和尺寸要求的保證。3.對件2進行分析

件2是一塊31.11×31.11×10的料，件2是配作件，沒有過多精確的尺寸要求，只有一個插銷的尺寸要求。，最主要的還是與件1和件3的配合和Ф8H7孔的位置精度，保證三者配合間隙和于件3孔的位置精度。件2尺寸盡量做大一點，做件1的下線尺寸。4．對件3進行分析

件3是一塊80×80×10的料，件3也是配做件，要保證與另外兩個件的配合精度，另外最重要的是與件2的直線度要符合要求。5.配合分析

相配件的主要工藝尺寸在件1上，件1為基準，件2件3配做。

想要做好這個工件主要在于基準件各個尺寸要求的把握和兩個Ф8H7的孔位精度的保證。在配合一起鉆芯棒孔的時候一定要注意裝夾！確定孔的垂直與對稱。保證在件1和件2插入芯棒的翻轉時的配合間隙都在規定范圍內從而達到技術要求。

第二章 件1的加工

2.1件1中心孔的加工

圖2-1

1.加工中心孔

拿到凸件毛坯料之后，首先精修85×10的兩個對面，保證表面的平面度，以其中一個表面為基準面用高度尺在這個面的中心畫出?6的孔位線以及方框線，畫孔位加工線時必須畫方框線，這樣可以消除劃

規樣沖等積累誤差。然后打上樣沖眼，進行鉆鉸孔（用?5.8的鉆頭鉆孔，?6的鉸刀鉸孔）。

2.注意事項

為了保證打孔的對稱度、垂直度要注意以下幾點：

① 鉆孔前先把孔中心的樣沖眼打大一些，這樣可以使橫刀刃預先落入樣沖眼的錐坑中，鉆孔時鉆頭不易偏離中心。

② 裝夾時，工件一定要擺正，工件表面一定要與臺虎鉗裝夾面垂直，為了保證工件表面的水平，可以連同臺虎鉗一起搬到平板上用杠桿表去打平行度，來保證工件表面水平！還要注意臺虎鉗上是否有毛刺，及時清理臺虎鉗并夾緊。

③ 鉆孔時使鉆尖對準鉆孔中心，先試鉆一淺坑，如鉆出的錐坑與所劃的鉆孔圓周線不同心可及時予以糾正，如偏離較少，可靠移動工件或移動鉆床主軸（搖臂鉆床鉆孔）來解決。如果偏離較多，可用尖鏨或樣沖在偏移的相反方向鏨出幾條槽來，以減少此處的切割阻力而讓鉆頭糾正偏心。

3.確定凸件的對稱度

以孔為基準去做兩邊。鉸好孔之后插上一根長10×?6的芯棒，在選用芯棒的時候，芯棒的尺寸不能大于?6，不然在插入孔時因為擠壓容易使孔變形，最好比?6小4～5um。然后利用杠桿表和粘合好的量

塊組（量塊組尺寸為48.5）去測量。選用量塊時，數量不可以多，一般在3～5塊，避免造成誤差。測量時芯棒的兩頭一起測量去做來保證孔與面的平行度；上下面測量來保證孔兩個面的對稱度。

圖2-2

2.2凸件輪廓的加工

1.畫線

圖2-3

畫線過程中我們在將用到畫線平板，高度尺等，如上圖所示，根據圖面畫出所標注的輪廓線。

凸件可用高度尺配合劃針和鋼尺找點畫出凸件的形狀。也可以通過計算并利用正弦臺（用量塊墊出60°的正弦臺），根據各點的尺寸測量出各斜面到平板的距離，從而劃出各斜線。但需要注意的是凸件為基準件與凹件配做。畫線時格外注意，避免之后的制作中產生偏差。最后畫出?8H7的孔位線及方框線。

2.凸件的工藝路線

1→2→3→4→5→6

圖2-4

加工凸件應先從工件的一邊做起，將工件夾持于臺虎鉗端面，鋸除需剔除部分，余量根據自己的鋸削經驗而定，一般為20～50絲。銼削時注意手法，單面銼削不可觸碰其他表面。首先加工1面，利用杠桿表和量塊去做，這樣即省掉了其他量具的使用又提高了精度高！在使用比較法測量尺寸時，注意應經常在量塊上校驗，以防百分表尺寸變換，造成尺寸超差。加工好1面之后接著做2、3兩面，這樣方便得到1面需要部分的尺寸和便于銼削。做2、3兩個斜面就必須要用到杠桿表，正弦臺（100）、量塊這樣精密的量具搭配，來保證其角度尺寸以及對稱度，這樣來控制凹凸件配合間隙。使用正規測量角度面時，特別注意角度偏差方向，因為在使用杠桿表時，容易看錯方向和尺寸，造成尺寸超差。做好一邊1、2、3面之后用同樣的方法去做4、5、6三個面。這樣做保證精度便于測量減少誤差。注意3和6面不易用銼削的方法得到，可以在劃好線后在3面和6面上面打排孔，注意最后

鏨削時不要讓工件變形影響工件加工。

2.3計算與測量

此工件為相配件，必須保證較高的角度、尺寸精度以及對稱度，我們在測量過程中 必須要用到精密量具：杠桿表、正弦臺、量塊。并了解其使用方法加以計算。1）正弦規墊塊的高度計算

正規的使用方法：使用時，將正弦規放置在精密平板上，工件放在正弦規工作臺的臺面上。在正弦規一個圓柱的下面墊上一組量塊。量塊組的高度根據被測工件的錘度，通過計算獲得。然后用百分表檢查錘面上母線兩端的高度，若兩端高度相等，說明錘度正確，若高度不等，說明工件的錘度有誤差。所需量塊組的高度可按下式計算： h=Lsina 式中h-量塊組高度，mm；

L-正弦規中心距，mm； a-被測工件錐角

根據公式h=Lsina得h=100×sin60°=86.6 所以量塊墊的高度為86.6mm。

注意：為了減少累計誤差應選取較少的量塊組，并且要是使量塊之間沿合在一起。

圖2-5

2)正弦規“尖點”到平板的尺寸計算

要利用正弦規結合杠桿表對工件的尺寸進行控制，必須測量并計算出正弦規的“尖點”（正弦工作面和正面擋板相交的直線在正投影面上的交點）到平板的尺寸h，根據a=45°的角度如圖在正弦規的動作面和正面擋板之間放一個直徑適當的驗棒（?10）用杠桿表和量塊測量出驗棒最高點到平板的尺寸H=32.81（本人所使用的正弦臺），通過直角三角間的關系可求出“尖點”到驗棒中心的距離，即可得出公式：

h=H-R(1+sina+cona)h—“尖點”到平板的尺寸

R—驗棒的半徑 a—正弦規和平板的角度

根據公式:h=H-R(1+sina+cosa)得h=32.81-11.83=20.98 從而得出“尖點”到平板的尺寸為20.98mm

圖2-6

3）角度面到平板尺寸的計算與測量

根據凸件圖中所給的各個尺寸計算出正弦規“尖點”到被測角度面的垂直距離。用求得的垂直距離加上尺寸h（“尖點”到平板的尺寸）即是要測量的角度面到平板的尺寸

① 求得2面到“尖點”的垂直距離為37.99加上“尖點”到平板的距離20.98得到2面到平板的尺寸為58.97，由于2面朝下應用杠桿表反打表來做。

② 求得3面到“尖點”的垂直距離為68.12加上“尖點”到平板的距離20.98，得到2面到平板的尺寸為89.1。

圖2-7

用同樣的方法去做4、5、6面！達到技術要求。注意：杠桿表使用中，一般吃表0.2mm，在使用時注意不要將測量頭突然碰到工件表面，以免造成測量頭的損壞。

第三章 凹件的加工

3.1凹件的加工路線 1→2→3→4→5

圖3-1 凹件為配作件，不僅僅要達到自己需要的精度范圍還要去配合凸件的各個尺寸來完成，從而達到配合技術要求。做凹件時注意盡量把1面和3面做大一些,這樣做是為了凹凸件最后配合時會比較容易完成。

根據工藝路線去做，避免尺寸誤差。

3.2凹件劃線

凹凸件需要劃線的圖形一致，只是基準面的選擇和劃線的尺寸有所改變。凹件和凸件一樣用高度尺和方箱或者是利用正弦臺劃各尺寸點，用劃針和鋼尺連接起來。打傾角孔2×? 3。

3.3凹件的加工 1.打排孔

由于此凹件加工的是半封閉的內表面，不能夠直接采用鋸削，所以采用打排孔的方法先去除中間多余的材料。

打排孔也有兩種方法：

一種是沿線打完排孔，直接鏨下。

打排孔的時候要注意，排孔與線的距離不能太遠，也不能打到線上，并且孔與孔之間的距離要短，最好有連孔。離線太遠，會造成加工余量大，浪費加工時間；當孔打到線上就會使工件產生缺陷；孔與孔之間的距離短，在排孔打好后容易鏨下，否則不容易鏨下，在鏨削時用力過大，容易使工件變形，所以不容易鏨下的時，最好換個大點的鉆頭再打幾個排孔。（這個方法如果排孔鉆的孔與孔的之間的距離相距較遠的話，在鏨削的時候容易是工件變形）第二種是用大點的鉆頭沿邊鉆幾個孔，然后鋸下。

在凹件去除部分用大鉆頭鉆孔，接著把鋸條的寬度弄削點，是鋸條比

較容易的放入孔中，安裝好鋸弓去鋸下剔除部分。（這個方法會使得凹件的銼削余量變的很少，有利于加工，但是鋸削不過關的人也很容易鋸到線上，使工件作廢）

注意：以上的兩種方法可以根據自己的實際條件去做。鏨削時對準自己用力的地方，不可用力過猛導致工件變形，也不可鏨到凹件上，使凹件產生缺陷，影響工藝！鋸削時同樣注意自己不要鋸到線上，使工件作廢！2.去除余量

打完排孔去除余料后，會產生大量的余量在工件上，這時首先要逐邊去除余量，但各邊銼削的過程中要留少許的余量，為后面的加工做好準備，以免加工好一個面，再加工它的一個鄰邊時銼刀碰擦到已經加工好的面，或者在鄰邊的角處清根時清不干凈。

3.計算與測量

如圖用去做凸件一樣的做法，利用量塊、正弦臺、杠桿表并計算出斜面到平板的距離來做好凹件。注意做的時候凹件尺寸根據凸件尺寸來做，做凸件的下線尺寸，尤其是1面和3面稍微做大一下。這樣凹凸件做配合時會比較容易!① 1面到平板的距離 = 斜面到“尖點”的距離37.99+“尖點”到平板的距離20.98=58.97mm ② 2面到平板的距離= 斜面到“尖點”的距離68.12 +“尖點”到平板的距離20.98=89.1mm（由于2面朝下應用杠桿表反打表）

圖3-2 用同樣的方法去做好3、4面。最后去做5面的時候，做5面的時候把工件凹面朝下擺放在平板上，用杠桿表反打表和粘合好的量塊去做35mm的高度，做出5面。

第四章 配合

4.1公差配合

做凹凸件的時候，都有尺寸的計算，計算的基本尺寸都有上公差和下公差。公差的配合，就是凸件和凹件在做的時候，兩者都有尺寸公差，凸件做下偏差，做小；凹件做下偏差或者上偏差，將槽做大；但是兩者的尺寸公差都要在要求范圍以內。

圖4-1

4.2透光和研點的配合

透光就是凸件和凹件配合后，插入?6×10芯棒，去做配合。通過相配合時，每個配合面的透光程度，來判斷修配高的尺寸面。

研點就是在配合時，凸件和凹件配合時相互摩擦出的黑點，而黑點就是需要修配的高點。

在前面已經分析過，凸件為主要工件，尺寸要求分布在凸件上面，凹件為配作件沒有尺寸要求。凹件主要是在配合后，插入芯棒能與凸件換位換向，能夠和凸件的間隙保持在0.04mm以內就行。

所以在凸件完成后，配合時發現高點都只是修配凹件，使凹件和凸件能夠很好的配合。

在凹件做的過程中計算過的尺寸，每個尺寸都留有0.01mm的修配余量，用凹件來配作凸件，首先用透光法來判斷凹件和凸件是否能夠配合。以凸件比對凹件的外形，估出大概余量，等凸件稍微能夠進入凹件時，是用研點法和透光法結合。

先將兩者能配合的部位配合，然后用透光法看光線從個配合的間隙處穿透的是否均勻，如果均勻，則通過研點法直接去除研出的高點。如果透出的光線不均勻，則需要分析是不是相配面是否有高處或者修配面是否不平整。這時候研點法就能夠研出高點，然后銼去高點就可以了。但是有些時候研出的高點，并不準確，只是因為由于其他的高點的干擾，才出現的。

每個點都分析過，將高點去除，先固定一個方位配合，等配合間隙達到后，再換位。由于之前凸件尺寸的計算控制，在有一個方位進

去后，其他方位也能夠互換，只是個配合面配合時的配合間隙大小有些許的差別。

4.3加工表面3×?8H7的孔

加工凹凸工件表面上的3×?8H7的孔，在打好孔位線以及方框線的地方打上樣沖眼，然后分別裝夾在臺虎鉗上。裝夾時，工件表面一定要與臺虎鉗裝夾面垂直，為了保證工件表面的水平可以連同臺虎鉗一起搬到平板上用杠桿表去打平行度，來保證工件表面的平行。打好孔之后保證凹凸件間孔的距離

注意：由于中心孔?6與凸件 ?8孔與孔之間重合，應多鉸幾次孔去掉重合處毛刺，直到?6的芯棒能插入孔中。

4.4引鉆凹件中心孔

圖4-2

把做好的凹凸件配合在一起裝夾在臺虎鉗上，利用凸件的?6H7的孔去引凹件上的孔。這樣做省去畫線時間并且能很好的保證配合精度，裝夾過程中一定要保證凹凸件配合后平行，且夾緊。凹件引好孔之后把凸件拿下來重新裝夾好凹件，保證表面水平之后，利用引好的孔眼去鉆孔鉸孔。之后凹凸件配合插入芯棒換位，如果換向之后出現一點間隙，在公差范圍內可以再次利用鉸刀把換向后的凹凸件裝夾好再鉸一次。最后去毛刺倒角。

總 結

樣板的配合。工件在插入芯板后換位很簡單，只要孔鉆的正和凸件的公差控制好就很容易互換。在控制公差時，工件用精密量具（杠桿表、正弦臺、量塊）朝著基本尺寸去做是最好的，每個邊的邊長盡量靠近基本尺寸，并且各邊的尺寸保持在比要求的公差范圍小，配合就能夠互換，并且互換后對應的間隙也不會有太大的差別。

在做配合件時，方法很多，但是計算工藝尺寸是必不可少的。當有些邊的劃線尺寸和測量尺寸沒有直接告訴我們時，那么我們就要自己計算。一般在計算斜邊的時候，為了更容易算出尺寸，我們就要借助三角形來計算，將所要計算的邊放到構筑的三角形中。有時只是知道一個角度，沒有其他尺寸，這時我們可以借助芯棒來測量一個尺寸，芯棒的直徑和半徑構建到三角形中可以當做已知的尺寸來計算。

有了計算好的尺寸，如果不是盲配的話，那么就要用配合時的研點和透光來修配。在研點時，往往會出現假點，這時分清假點很重要。去除真正的高點，保留假點，間隙才能夠得到修配。

致 謝

對幾年來辛勤教導我的老師和學校致以最崇高的敬意！

對本次畢業設計指導我的老師表示我最衷心的感謝!畢業設計開始以來，有幸多次聆聽老師的教誨。老師以她寬廣的知識、高瞻遠矚的學識、在實際生產中所積累的經驗。拓寬了我的視野和思維，更為重要的是老師以她對事業孜孜不倦的追求和待人接物謙遜的態度和豁達的胸襟，時刻都在潛移默化地影響著我，這將使我終生受益。

通過本次畢業設計，獲得實踐動手能力而一個重要的實踐性一次綜合性實踐。在專業技術應用能力上達到培養目標的基本要求，為今后的學習工作打下堅實的基礎。

參考文獻

1《公差配合與技術》 中國勞動社會保障出版 2 《CAD/CAM技術》 中國勞動社會保障出版社 3《鉗工工藝學》 中國勞動出版社 4《鉗工工藝與技能訓練》5《機械制圖》 6《機修鉗工》 7《鉗工速算手冊》

中國勞動社會保障出版社 中國勞動社會保障出版社 機械工業出版社 機械工業出版社

第五篇：數學_學年論文_畢業論文_行列式解法小結

行列式的解法小結

摘要：本文列舉了行列式的幾種計算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。

關鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環行列式

行列式的計算是一個很重要的問題，也是一個復雜的問題，階數不超過3的行列式可直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對于一般n階行列式，特別是當n較大時，直接用定義計算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般n階行列式的計算方法是十分必要的。由于不存在計算n階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計算方法，基本上可解決一般n階行列式的計算問題。升階法

在計算行列式時，我們往往先利用行列式的性質變換給定的行列式，再用展 開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎上 添行加列使其升階構造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種 計算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計算的行列式具有的特點是：除 主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應元素成比例。升 階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據原行列式的特點 作出選擇。

c?a21例1計算n階行列式 Dn?a1a2?ana2ana1an???1a1an?a1c00a2a1?ana1???c?a2?a2an22?c?an，其中c?0

10a1c?a21a2a1?ana1a2a1a2?ana2a2?an0c0???00 c?a1??an解 Dn?0?0c?a2?a2an??a222?c?an????將最后一個行列式的第j列的c?1aj?1倍加到第一列（j?2,3?n?1)，就可以

?1n變為上三角形行列式，其主對角線上的元素為1+c?ai?12i,c,c,?,c

n?1n故

Dn?cn?c

?ai?12i

1x1x21?x1n?2x1n1x2x22?nx2?????1xn2xn例2 計算n階行列式Dn??xnn

n?2n?2x2?xn解

好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結果，令

1x1x121x22x2????1xn2xn1yy2? yn?2yn?1yn

Dn??x1n?2x1n?1x1n??n?2n?2x2?xnn?1n?1x2?xnnx2?nxn

按第n?1列展開，則得到一個關于y的多項式，yn?1的系數為(?1)n?1?nDn??Dn。另一方面Dn?1?1?j?i?n?(xi?xj)*?(y?xi)

i?1n顯然，Dn?1中yn?1的系數為所以Dn??xi*i?1n1?j?i?n?(xi?xj)??(x1?x2???xn)?

1?j?i?n?(xi?xj)

2利用遞推關系法

所謂利用遞推關系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關系——遞推關系式，再利用遞推關系求出原行列式的值。

abac???bbacc例3計算n階行列式 Dn?????，其中b?c,bc?0

解 將Dn的第一行視為(a?c)?c,0?c,?0?c,據行列式的性質，得

a?c?cbac???bba?a?c0?0bac???bba?cccbac???bba

Dn?0?c?0?c??????????

Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?

1(1)

于b與c的對稱性，不難得到Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1

(2)聯立（1），(2）解之，得Dn?(b?c)?1b(a?c)n?c(a?b)n

a?b10?00aba?b1?000ab?00????000?0000?aba?b??例4計算n階行列式 Dn?a?b?

?a?b

10ab?00???00?100? aba?ba?b?解將Dn按第一行展開，得Dn??a?b?Dn?1?ab?00?a?b于是得到一個遞推關系式Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2，變形得Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?1)

易知 Dn?bDn?1?a2(Dn?2?bDn?3)?a3(Dn?3?bDn?4)

???an?2(D2?bD1)?an?2(a?b)2?ab?b(a?b)?an

所以Dn?an?bDn?1，據此關系式在遞推，有

Dn?an?b(an?1?bDn?2)?an?an?1b?b2Dn?2

??

???an?an?1b???a2bn?2?bn?1D1?an?an?1b???abn?1?bn

如果我們將Dn的第一列元素看作a?b,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個行 列式的和，那么可直接得到遞推關系式Dn?an?bDn?1，同樣可得Dn的值。化三角形法

此種方法是利用行列式的性質把給定的行列式表為一個非零數與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且帶符號

abab??????bbabba1??a??n?1?b??00b?0??b0?a?b?bb1bab11例5計算N階行列式Dn?????

解 Dn??a??n?1?b?????

?a?b

?a?(n?1)b?(a?b)n?1 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

著名的范德蒙行列式，在線性代數中占有重要地位，研究它的應用引起了一些數學家的興趣，因此在計算行列式時，可直接用其結果。

1x1(x1?1)1x2(x2?1)2x2(x2?1)????1xn(xn?1)2xn(xn?1)

例6 計算n階行列式Dn?x12(x1?1)???n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)

解 將第一行可視為x1?(x1?1),x2?(x2?1),?xn?(xn?1)，再由行列式的性

x1質，得Dn?x2x2(x2?1)????xnxn(xn?1)?

x1(x1?1)?n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)4

x1?1

?x2?1x2(x2?1)xn?1xn(xn?1)n?1xn(xn?1)x1(x1?1)

n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)把第一個行列式從第一行起依次將i行加到i?1行；第二個行列式的第i列提取xi?1(i?1,2,3?n),得

x1Dn?x12?x1nx2??xn????(xi?1)i?1n1x1(x1?1)?1x2(x2?1)????1xn(xn?1)? 22x2?xnnnx2?xnn?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)n?n?=??xi??(xi?1)?*?(xi?xj)

i?1?i?1?1?j?i?n5 利用乘法定理法

在計算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時不直接計算給定的行列式，而是選一個適當的與給定行列式同階的行列式，計算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。

1?a1b1例7計算n階行列式Dn?1?a1b2?1b1100?1?a1bn????10 01?a2b11?a2b2?1?a2bn??1?anb11?anb2?1?anbn

1a1a2an000?0?0?0

解 Dn?11b2?bn??????00????所以，當n?2時，Dn?0；

當n?2時，D2?(a2?a1)(b2?b1)當n?1時，D1?1?a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

拉普拉斯定理，在計算行列式時，主要應用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當行列式里零元素很多時，運用一般情形的拉普拉斯定理，往往會給行列式的計算帶來方便。

a??ab??ba?ba??ab??ba?ba??ab??ba?ban?1b例8 計算2n階行列式D2n??n?

?ab解 D2n?(?1)1?2n?1?2nabba2??n?1?

?ab

?(?1)1?2(n?1)?1?2(n?1)abba2?n?2?

??? abba*abba?(a2?b2)n 提取公因式法

若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“a,a,?,a型”；（2）有兩行（列）的對應元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式a變為“1，1，…，1型”，于是應用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據行列式的性質變為滿足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。

x?a1例9計算N階行列式 Dn?a2?a26

??anan?

a1?a1x?a2??x?an

n解 該行列式各行元素之和都等于 x??ai，屬于“全和型”，所以

i?11Dn?(x??ai)i?1na2x?a2?a2????anan?x?an?(x??ai)i?1n1a20?0x?0?an???0?x1?1

?xn?1(x??ai)

i?1n總結:計算行列式的方法很多,除了以上常見的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計算方法、極限法、導數法、積分法等。對于一個給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡便的方法。