第一篇：直覺思維在數學教學中的應用

直覺思維在數學教學中的應用

數學思維按照思維過程中是否遵循一定的邏輯規則可劃分為分析思維和直覺思維。分析思維，就是邏輯思維，它主要是以邏輯規則對事物按部就班地認識，對其過程主體有清晰的意識。在中學數學中，由于數學知識的嚴謹性，抽象性和系統性，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，因而在目前教學中往往偏重于演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，而忽視了直覺思維的突發性理解與頓悟作用。在新課程標準深入課堂的今天，加強學生直覺思維能力的培養是非常有必要的。本文擬從以下三個方面談談個人的看法。

一、數學直覺思維的涵義及其特性

數學直覺思維是人腦對教學對象，結構以及關系的敏銳的想象和迅速的判斷。所謂判斷就是人腦對于數學對象及其規律性關系的迅速認識、直接的理解、綜合的判斷，也就是數學的洞察力，有時也稱為數學直覺判斷。

根據數學直覺思維的涵義，它具有下列特性：（1）直接性。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動，這種思維活動表現為對認識對象的直接領悟或洞察，這是數學直覺思維的本質屬性。（2）或然性。由于數學直覺思維是一種跳躍的思維，是在邏輯依據不充分的前提下做出判斷，因而直覺思維的結果可能正確，也可能不正確，這一特性稱為數學直覺思維的或然性。（3）不可解釋性。由于直覺思維是在一剎那時間內完成的，許多中間環節被略去了，思維者對其過程沒有清晰的意識，所以要對它的過程進行分析研究和追憶，往往是十分困難的，只有當得出結果并轉換成邏輯語言時才能為別人所理解。

邏輯思維在數學中雖然據著主導的地位，但直覺思維是思維中最活躍，最積極，最具有創造性的成分。邏輯思維與直覺思維形成了辨證的互補關系。直覺思維為邏輯思維提供了動力并指引方向，而邏輯思維則對直覺思維做出檢驗與反饋，是直覺思維的深入和精化。

二、數學直覺思維的重要地位和作用

(一)數學直覺思維是學習數學與創造數學必不可少的思維形式

彭加勒認為：“邏輯是證明的工具，直覺是發現的工具”，“沒有直覺，數學家只能按語法書寫而毫無思想”。愛因斯坦說：“我相信直覺與靈感，真正可貴的因素是直覺”，“看來，直覺是頭等重要的”。數學家們對直覺思維在數學研究和數學發現中的作用都給予高度評價。因此，數學直覺思維是學習數學與創造數學必不可少的思維形式。

(二)數學直覺思維有利于提高學生的思維品質，可以提高解題效率

直覺思維要求一定的依據，但又不苛求有充分的依據。這既符合學生的思維習慣，又不至于過早篩掉可能有用的信息。在數學解題中，不但要運用邏輯進行分析，而且還應在分析問題特征的同時，運用數學直覺思維判斷思路，直覺解題方向，并迅速洞察問題實質，可獲得事半功倍的效果。

三、數學直覺思維能力培養的途徑

（一）鼓勵大膽猜想，養成善于猜想的數學思維習慣

猜想是一種合情合理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺性的高級認識過程，牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”，對于數學研究或者發現性學習來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法。正如G．波利亞所說：“在您證明一個數學定理之前，您必須猜想這個定理證明的主導思想”。數學猜想是證明的前提，“數學事實首先是被猜想，然后是被證實”，猜想是數學發現的動力。數學理論上的重大突破，常常起源于主意深刻的猜想。比如目前的數學“王冠”上的顆顆“明珠”，就是一個個的猜想：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、費馬猜想等。

(二)鼓勵標新立異培養直覺思維

有突出創造智能的人，總想突破常人思維的局限，熱衷于求異思維，標新立異。在傳統的中學數學教學過程中，基本上注意力放在由學生準確地再現學過的知識上面，常常對有天賦的學生的獨到之見評價不高，卻給死記硬背的答案以高分。而前者有時雖不能給出清晰的思維過程，但結果正確，而后者缺乏創造力。因此在教學過程中要創設寬松的研討環境培養學生獨立思考，善于思考的習慣，鼓勵學生敢于發表自己的想法，哪怕錯了也沒關系，對有天賦的學生的獨到之見要給予高度評價以激發他們的積極性。

(三)加強觀察力的訓練，培養學生洞察問題實質的能力

在平時的教學中，應結合教材內容，提供素材，讓學生進行認真仔細的觀察、分析、有意識地進行訓練，在觀察中，特別要注意培養抽象、概括、洞察問題實質的能力。

第二篇：淺論數學直覺思維及培養

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉兩個字，概念的內涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現了認識上的轉變。在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的；同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多的注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、數學直覺概念的界定

簡單的說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。

對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂'直覺'……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

(2)直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數學證明是這些基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質”。

(2)創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩．斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

(3)自信力

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學時就能解決問題“1+2+　…… +99+100＝?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。

三、直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。

(!)扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”阿達瑪曾風趣的說：“難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?”

(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

(4)設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

“跟著感覺走”是教師經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征；重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發展大有稗益。

四、結束語

直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思．斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

第三篇：數學直覺思維的培養

數學直覺思維的培養

定西師范高等專科學校 03級數學(1)班 xxx 743000

【摘要】 在數學發展史上,許多數學家都十分重視直覺思維的作用.“邏輯用于證明，直覺用于發明。” 偉大的數學家彭加勒的這一名言對于數學創造活動中直覺思維的作用論述是十分精辟的.一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。” 本文主要闡述了本人對數學直覺思維的認識，以及培養數學直覺思維的重要性和必要性，進一步闡述了如何培養的問題。

【關鍵詞】 直覺思維 邏輯思維 創新 猜想 數型結合

我們在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養，由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。思·斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”。許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，基于直覺，歐幾里得幾何學的五個公設夢幻般建立起了歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法。現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。因此培養學生的直覺思維是必要的。

一、對數學直覺思維的認識

1.扎實的基礎是產生直覺的源泉,直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”前蘇聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動。”直覺思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。

2．數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。關于數學直覺思維的研究，目前比較統一的看法是認為存在著兩種不同的表現形式，即數學直覺和數學靈感。這兩者的共同點是它們都能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題。

3．數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺’。”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

直觀性：數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現為跳躍性；在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。

創造性：直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外擴展，因而具有反常規律的獨創性。許多重大的發現都基于數學直覺。

自信力: 數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學生的自我價值得以充分實現，也就是最高層次的需要得以實現，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。布魯納認為學習的最好刺激是對教學材料的興趣。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力。高斯在小學時就能解決問題“1＋2＋?? ＋99＋100＝?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。

數學直覺思維還有利于提高學生的思維品質。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”、“放射”的感覺，一計不成又生一計。因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是有利的。

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”對于一個專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程：“我以為獲得‘直覺’的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”。“直覺”不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”

在課堂教學中，數學直覺思維的培養和發展是情感教育下的產物之一，把知情融為一體，使認知和情感彼此促進，和諧發展，互相促進。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯想習慣、科學美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強有利的語言表達能力是直覺思維的載體。美國心理學家布魯納認為，應該做更多的工作去發展學生的直覺思維。直覺思維能力可以通過多方聯想，學會從整體考察問題，注意挖掘問題內部的本質聯系，借助對稱、和諧等數學美感，養成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養。1．注重整體洞察，培養學生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質的理解，側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發現，更不能有創造。中學數學教學中圖形的識別，規律的發現以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。指導學生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導學生從角、函數名和形式進行觀察，注意幫助學生養成自問和反思的習慣，努力培養學生濃厚的觀察興趣。

2．重視解題教學，注重培養學生數形結合思維。華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”、“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學．例如:設a,b,c為三角形ABC的三邊長,求證:ab?c?a?bc?a?b?ca?b?c?3

分析:用證明不等式的一般方法證明結論較為繁瑣,由左邊諸分母的形式,可以聯想到構造三角形ABC的內切圓,利用上圖就可以將左邊化簡,于是原不等式可證.3．注重引導學生進行合理猜想，培養歸納直覺思維。在數學解題中，運用歸納直覺，是值得重視的。在我們的數學教學中，培養學生進行猜想，是激發學生學習興趣，發展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。為了啟發學生進行猜想，我們還可以創設使學生積極思維，引發猜想的意境，可以提出“怎么發現這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學生進行猜想、探索，還可以編制一些變換結論，引發學生猜想的愿望，猜想的積極性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。比如：探討平面內n條直線最多能把平面分成幾個部分？

從一條直線開始，尋找規律（如圖1）． 從圖1到圖2，我們發現圖中多了一個交點，平面被多分成2個部分，即為2+2個部分；

圖1 從圖2到圖3，我們發現圖中多了2 個交點，而平面被多分成3個部分，即 為（2+2）+3=7個部分；

依次類推，每多m個交點，則平面被多分成m+1分．因此，可以得到，圖圖2 圖3 個

4圖5 部

n(n+1)2 一般地，n條直線最多可分平面為2+2+3+4+5+?+n=1+1+2+3+4+5+?+n=1+ 個部分．

4．注重滲透數學的哲學觀點，加強在其它學科中應用的意識，提高信息處理能力。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等特點。例如(a+b)2=a2+2ab+b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。而函數y=x+(1/x)的單調性充分體現了對立統一的辯證關系。有意識地應用于其它學科，尤其是應用學科。例如，已知a+b=1，a>0，b>0求(1/a)+(1/b)的最小值．運用物理學科的知識去解釋，即串聯電路的電阻值為1，將其改裝為并聯電路，使得并聯電路電阻值最大，由并聯電阻的阻值總比任一支路的電阻值小，從而使得基本不等式“深入人心”。使學生在豁然開朗中提高直覺思維能力。

5.設置直覺思維的意境和動機誘導, 注意誘發學生的靈感.靈感是一種直覺思維。它大體是指由于長期實踐，不斷積累經驗和知識而突然產生的富有創造性的思路。它是認識上質的飛躍。靈感的發生往往伴隨著突破和創新。在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定。同時，還應當應用數形結合、變換角度、類比形式等方法去誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口。有這樣 道題:把3/7,6/13,4/9,12/25用”>”號排列起來.對與這道題,學生通常都是先通分再比較的,但由于公分母太大,解答非常麻煩,為此我們可以讓學生回頭觀察題目(*/*,*/*,*/*,*/*),然后再想一想,可以輕松的比較這些數的大小.倒過的數字引發學生瞬間的靈感.三.總結

思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思．斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

參考書目：

［1］張奠宙主編《數學教育研究引導》江蘇教育出版社

［2］郭思樂 喻緯著《數學思維教育論》 上海教育出版社 [3] 李玉琪主編 《中學數學教學與實踐研究》 高等教育出版社

［4］唐紹友 《試論數學教學與情感教育》《數學教學通訊》2002.3 [5] 趙振威 《中學數學教材教法》 華東師范大學出版社

［6］史保懷 《直覺思維在解題中的運用》 2000.5

第四篇：思維導圖在小學數學教學中的應用

思維導圖在小學數學教學中的應用

摘要：數學是一門抽象的學科，為了更好地使學生們掌握好基礎知識，教師通過不斷地探究，發現學生對數字與圖示的理解是最快的，在數學教學的課堂上，實施了思維導圖教學法。通過教師利用思維導圖合理地設計教學內容，不僅僅提高了學生們的學習成績，更好地培養學生們學會識圖、分析圖示的能力。在新課程改革的不斷推進下，將思維導圖運用到小學數學教學中，教師開展了思維導圖的數學思維訓練之后，明顯地提高了學生的想象能力、理解能力，有效提高了教學的質量，提高教學效率。

在新課程標準的指導下，教師不斷地努力嘗試著新的教學方法，在小學的數學教學中實施了思維導圖的教學方法之后，體現了學生學習的主動性，激發學生的學習興趣，提高了學生學習的邏輯思維，挖掘了學生的學習潛能，提高學生的學習效率和整體成績，直接體現出學生的綜合素質。在學習數學知識的時候，需要學生具有一定的認知能力和理解能力，但是由于小學生受到年齡因素的影響，學習時的思路不夠明確，思維方式也缺乏，為了讓學生的思維得到訓練與發展，思維導圖式教學法起到了非常中要求的作用。

一、應用思維導圖在小學數學教學中的重要意義

思維導圖可以使學生發散性思維，利用圖形可以更直觀、更直白地表達某一觀點，解題過程中思路明確，培養學生創新能力。思維導圖相當于心智圖、腦圖、流程圖、示意圖，可以使人類思維發散，充分發揮學生的潛能。這種教學方法應用在小學的數學教學中，對學生們的學習起到了積極的作用，有效提高教學質量，利用圖形技術是打開學生的學習思路，充分發揮出學生的學習潛能。在思維導圖的協助下，更好地培養學生們養成良好的解題思路與學習習慣，具有較強的邏輯分析能力，有效地提高學生的學習成績。

二、應用思維導圖在小學數學課程中的教學策略

（一）、利用思維導圖激發學生興趣

學生接受新鮮事物的能力不同，但是大多數的學生都對數字與圖示的感覺比較好，相對于對文字的理解要直接得多，通過思維導圖的教學方式，可以吸引學生學習的注意力，使學生們具有較強的學習興趣[1]。例如在學習《數一數》《分一分》《比一比》這些內容的時候，首先，教師可以先給學生講授課程的主要內容，然后，教師可以用多媒體將彩色的圖示按照教師早已設計好的樣式展示在學生的眼前，使學生們看見數字與數字之間的關系，“1、2、3、4、5、6、7、8、9??”清晰認識數字的大小，并能夠快速地進行對比和分解，接著，教師給學生們在用思維導圖的方式，將對應的習題展示在學生的眼前，使學生們看圖說明答案。最后給與學生正確的指導與鼓勵。通過這樣的教學策略，有效地提高了學生的學習興趣，使學生們積極主動地進行學習，按照思維導圖的引導，能夠正確的分析與判斷，有利于培養學生的創新精神和實踐能力，使學生們熱愛數學知識，有效提高學生的數學成績。

（二）、利用思維導圖活躍課堂氣氛

在小學的數學課堂上營造出活躍的課堂氣氛，是每一名優秀教師希望達到的效果，通過思維導圖的方式，使學生們在學習中可以相互探究，可以到黑板進行實踐填寫，使學生們學習的氣氛更加濃厚。例如在學習《認識鐘表》這部分內容的時候，首先，教師講授一下認識鐘表的技巧，然后，教師可以讓學生們自己到黑板前利用思維導圖將認識時間的過程表示出來，學生們馬上拿出了自己了筆記本，認真地進行畫著，寫著，教師需要檢驗學生的完成情況，讓學生們輪流到黑板去完成之前布置的任務，讓其他的學生們一同進行審查，學生們你一言我一語，最后，教師給與正確的評價與鼓勵。通過這樣的教學策略，使學生更好地進行探究與合作，活躍了課堂氣氛，使學生們都能夠參與到課堂的教學活動中來，不斷地提高學生的參與能力，更好地掌握數學知識。

（三）、利用思維導圖找到解題路徑

應用題是小學數學教學中重要的組成部分，也是占據試卷的分值較高的習題，早解析應用題的過程中，應用思維導圖的教學方式，可以使學生們解題過程中找到正確的思路[2]。例如在習《解決問題的策略》這部分知識內容的時候，教師可以在講授習題之前，先用思維導圖的方式，舉一些形象的案例，然后，再將所要傳授的知識內容套進去，讓學生們看見解題的關鍵，例如：要想知道個小朋友一共有幾個蘋果，需要找到的條件是“有多少個小朋友？”“每個小朋友有多少個蘋果?”,通過學生們仔細的分析，很快就會在習題中找到正確的答案。通過這樣的教學策略，有助于師生更好地進行溝通，學生可以通過自己完成思維導圖的內容，發現自己在知識掌握方面存在的問題。教師需要不斷地引導學生能夠自己獨立制作思維導圖，讓學生們學會利用框圖與線段和箭頭的方式進行分析，使學生們具有良好的解題思路和邏輯分析能力。

思維導圖是教師有力地教學助手，通過思維導圖教師能夠在學生們的視野里清晰地呈現知識的框架與結構，使教師更加有條理地進行教學。在小學的數學教學中，通過合理地運用思維導圖的教學方式，使學生們具有正確的邏輯思維方式，并按照自己的推理進行畫圖，提高學生們用圖示進行表達的能力，不斷促進學生大腦潛能的開發。總而言之，通過思維導圖的合理使用，加深了學生們學習的印象，對數學知識產生濃厚的學習興趣，更好地找到解題的思路，有效提高小學生的數學能力，提高教學質量和教學效果，使思維導圖成為促進學生學會學習的有效工具。

第五篇：計算機在音樂直覺培育中的應用

計算機在音樂直覺培育中的應用

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曉

白

[摘要] 直覺在人的認知過程中非常重要，它在音樂學習中的表現便 是“天賦”，而這種“天賦”并非一定要與生俱來。本文以計算機多媒 體教學用于音樂直覺培育的實踐經驗，闡述了對“天賦”培養的方法 和將現代科技用于音樂教學的重要性。

[關鍵詞] 計算機多媒體，音樂，直覺培養，薩克斯教學 [中圖分類號] [文獻標識碼] [文章編號]

計算機自20世紀60年代的誕生，到21世紀的今天，硬件配置功能、軟件開發利用等方面都在日臻完善，改變著人們的音樂文化生活，并從創作、演奏、影視配樂到大眾娛樂等方面獲得了突飛猛進的發展，已經影響到傳統的音樂教育模式。

學習音樂需要音樂的直覺思維和理性思維，然而在音樂教育中，往往把音樂直覺看作是天賦，而忽視了對音樂直覺的后天培養。其實音樂直覺主要是靠早期訓練得以形成的。直覺的表現是感覺的直觀，是形象的某種抽象化，但卻是理性的最高表現。這種理性思維的培育，是相當一部分學生倍感枯燥和頭疼的事。

音樂直覺的表現大體在對樂譜的空間直覺、對樂器操作時的直覺，對音樂各要素的直覺，對音樂的意義以及創作等方面，音樂教育如果把直覺看作是少數人的天賦，忽視它在音樂認知、記憶、表演、創作以及方法論

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上的意義，那么就很難達到令人滿意的結果。人對音樂的接受是感性的，而不是理性的。只有感性才能直覺，理性是不能直覺的。心理學認為人的認知發展需要經歷感覺動作階段、前運算階段、具體運算階段和形成運算等四個階段，循序漸進，不能顛倒。只有在前一個階段形成、完成之后才會進入下一個階段。在思維方面，也是先有具體的感性經驗，后有抽象的理性思維。

音樂是聽覺藝術，由于它刻薄的時間性，轉瞬即逝，不能給人以思考的時間。因此，學習音樂者要想立刻認知、鑒賞、理解音樂，只能靠直覺去把握，而且直覺也是激活靈感和培養理性思維的基礎。對音樂空間的最初認知離不開粗淺的直觀，它建立在如樂器的音高、五線譜上的位置、音階結構的階梯圖像、模仿聲音時在身體上的位置、音程與節奏概念在心理上想象的空間，以及音樂進行的圖形等方面，是一切認知的基礎。在音樂實踐中，直覺有著獨特的作用，是學習音樂最重要的能力，也是進入理性思維的前提。

由于對音樂空間的認知看不到摸不著，因而更需要直觀教學的輔助。多下些力量到直覺培育上, 勢必能達到事半功倍的效果。

在音樂學習初級階段, 學生要把音程、節奏和音色作為最重要的內容去完成。人在五、六歲時有一個學習音樂的關鍵時段，這個時段的學生經過視唱練耳或學習樂器，心里已有內模仿活動，較容易培養對音樂各要素的直覺，但如果錯過了這一時段，學起來將很困難。而學習薩克斯的學生恰好是剛剛超過這個年齡時段的孩子或進入成年愛好薩克斯的年輕人，因而越過了對音樂直覺培養的最佳時期。他們在理性知識學習的過程中感覺枯燥而乏味，本能地形成了一種排斥心理。利用計算機上的音樂軟件將抽象的音樂空間轉化成有聲的圖形，為他們拓寬感官接受范圍，形成立體的認知情境，因而進一步提高了學習興趣，效果非常顯著。

在筆者早些時候的薩克斯教學中, 學生曾經與所有初學音樂的人一樣，走過基本樂理的學習過程, 從音符、音程、時值開始，直到樂句、樂段的劃分、各種和聲及自己在聲部中所應承擔的作用等等。盡管按教程的要求加上自己多年的教學經驗傾盡了全力，仍覺得對學生的學習進度和樂感培養不盡人意。近四五年來，本人在薩克斯教學中用計算機作為輔助工具，收效顯著，發現了它在傳統教學中無可替代的優勢。這個優勢便是利用相應的音樂軟件制造培養“音樂天

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賦”的外在環境，這不僅提高了學生直覺思維，而且增強了學生的邏輯思維能力和對音樂學習的主觀能動性。下面談幾點體會：

1.在計算機上了解音符 和旋律的屬性

老師在對學生音符屬性的講解中通常會畫出各種形態的圖形，但都不如在音樂軟件（如Cakewalk中的Piano Roll）中來得更為形象和直觀。在這里，學生既能看到音符的時值，聽到配以節拍后，速度在音符時值中的支配作用，又能在軟件給我們的幾個界面中欣賞到各音程在旋律走向中優美的姿態。

我曾將某些鋼琴曲和其他樂器的獨奏曲做成MIDI文件讓初學者“耳濡目染”，從他們的目光和話語中,我看到的是神奇和驚喜；我也將各類音符點在Piano Roll中，讓他們用尺子丈量、用耳朵分辯，再用樂器吹奏并錄成音頻信號, 自己去分析所吹奏音符的時值和音準是否準確無誤，致使他們得到了極深刻的印象。

這種對音樂直覺的培養方式，效果是過去幾年里從未見到的。

2.讓計算機規范學生 的演奏

在器樂學習上, 初學者最難掌握的是節奏和音準。由于學生在基本功訓練中掌握程度的不同，這方面的表現均不太理想。我將他們的練習曲制成MIDI文件，加上軟件中的節拍器，或配以較豐富形象的打擊樂伴奏，對學生的吹奏進行強化訓練，讓學生自己找到不足之處，再由老師指出他基本功中所欠缺的那一部分環節。

學生在吹奏老師所留作業的時候，往往因注意力集中在樂譜上，手指因靈活度的不同而與內心節奏產生差異。在吹完這首曲子之后，老師指出不足之處時，他并不認可——這種情況在我們任何一個音樂界人士身上可能都曾經發生過——這不要緊，把他的吹奏錄下來與MIDI文件比較一下即可。這樣，不僅能讓學生聽到自己與標準節奏“岔皮”的地方, 還能讓他看到與標準節奏所差的距離。

如此，既有直覺的感受，又有直觀的理性分析，讓學生“口服心服”，進而直覺與理性雙贏，在輕松的狀態下完成了感性到理性的升華。

3.通過各種類型的練習曲伴奏去找感覺

練習曲對任何一個學生都是枯燥而乏味，卻又不得不完成的作業負擔。在這種狀態下，老師若逐“字”逐句地挑毛病，便很容易造成他們的逆反心理，而不利于鞏固和提高。

針對這種情況，我將同一首練習曲用數種伴奏型做成MIDI文件，讓學生自己從中體會其間的差別與風格，在同一旋律中去找不同的感覺，并區分它們之中哪一類更貼近樂曲所要表達的主題……學生可能無法準確地將這些感覺加以描述，但會在他們的直覺中留下深遠的影響，繼而在以后的學習和深造中產生廣泛的聯想及觸類旁通的作用——我認為這就是“音樂天賦”產生初始階段的表現。

4.讓學生欣賞自己“流動的美術”作品

在學生走出或幾近走出以上幾個

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階段后，我便開始采用了讓學生欣賞自己“流動的美術”作品的辦法，當然，這個辦法是要耗費很多時間和精力的。

第一，可以讓學生用MIDI吹管將旋律輸入，去分析欣賞自己演奏中節奏、音準、情感（力度）和音量的變化，從中感受是否達到了老師和自己的要求。這種感覺是呈螺旋形變化與發展的，它在自己滿意和不滿意的不斷往復中得到提高，是感性到理性涅槃的重要過程。

第二，可以將學生和老師吹奏的同一樂曲錄入電腦，通過頻譜讓他們自己在老師的指導下進行對比，分析音色的優劣；按樂曲的要求檢查音符的各種形態、樂句與樂段強弱的圖像等等，經反復實踐直到滿意為止。

第三，我將重點練習曲和樂曲在Cakewalk上認真地制成伴奏，讓學生在比較準確的感覺中吹奏，將節奏、音準與情感均限定在固定的框架中，做到規范化。這樣，既大大增強了學生的興趣和吹奏練習曲的積極性，又使學生找到了樂隊中的感覺。同時，各種和聲的色彩又吸引著學生向更深層次的追求。

我的學生中有小部分人經過一年的學習后，已經迫不及待地開始了MIDI制作，盡管做出的東西很幼稚，可是別忘了，他們在到我這里之前還是連音符都不認識的孩子。由此可見，音樂直覺是可以培養的，“音樂天賦”也并非一定要與生俱來，只要老師與學生付出足夠的努力。

現在，我國有的教師將音樂教材中的歌曲配上動畫，以鮮明、活潑的畫面激發了學生對歌曲的興趣；高校音樂系的教師以建題庫的方式將樂理、視唱練耳等學科的試題輸入電腦，覺地將其靈活運用于自己所學的學科使枯燥的測試變成了饒有興味的游和專業中，更是一種遺憾。戲；還有的把音樂理論課紛繁復雜的我的學生能將計算機多媒體技術知識構建建成一個富有邏輯性的知識運用到器樂學習中，自覺或不自覺地體系，給教學帶來了極大便利。在學校、網吧、家中對電腦音樂軟件、網絡時代把人們的距離拉近了，電腦音樂制作隨時學習，鞏固所學的互聯網上的豐富多彩的音樂資源，可知識，使我進一步增強了利用現代科以成為音樂教育巨大的“資源庫”，技知識從事音樂教學的信心，同時也眾多音樂網站提供了中外音樂作品、把我與學生緊密地粘合在一起，因為大師介紹、作品歷史背景、音樂作品我在教學中使用的方式和方法是他們賞析等等，為學生的直覺培育提供了的最愛。豐富的營養，創造了很好的環境和氣數字化音樂教學還是一門新生事候。如果我們對這一點視而不見，不物，有著廣闊的發展空間，音樂教育去加以充分利用，將是教育工作者極要想趕上時代的要求，應該最大化地大的悲哀。采用各種新興教學手段，計算機數字至于學生，他們中絕大部分人對化音樂教學便是其中最重要的手段之電腦也僅僅局限于上網聊天、收發一。E-mail及電腦游戲等方面，而未能自

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白曉穎（曉白）：承德市藝術研究中心

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