第一篇：正切函數的性質與圖象 教學設計

《1.4.3 正切函數的性質與圖象》教學設計

一、教材內容分析

本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修4第一章《三角函數》1.4《三角函數的圖象與性質》中的第1.4.3節《正切函數的性質與圖象》，屬于本小節第四課時.第一課時我們學習了“正弦函數、余弦函數的圖象”，第二課時學習了“正弦函數、余弦函數的性質中的周期性”，第三課時學習了“正弦函數、余弦函數的性質中的奇偶性、單調性”，學生通過前面幾節內容的學習，對研究函數的方法有了一個更加清晰的認識，即先給出函數的定義，然后研究函數的圖象，最后得到函數的性質，事實上這種研究方法是我們在一直采用的方法.有了前面的研究經驗，加之有些函數的圖象并不好畫，因此本節我們從一個新的角度研究正切函數,先研究它的性質，在對性質有了一個初步了解后，再來研究函數的圖象，最后利用圖象驗證我們之前所得到的性質，本節給出了研究函數的另一種方法.例題的編寫意圖：這是一個與復合函數有關的問題，是對正切函數性質的深入應用.學生在求定義域時容易想到換元法，讓“新元”落在正切函數的定義域內解出自變量x的取值范圍；關于該函數的周期學生有了前面求正弦型函數周期的經驗，利用類比的方法猜想T??，接下來需要利用周期函數的定義驗證這一猜想；本例題比較難處理的地方是單調?1?x?)，x?[?2?,2?]的增區間的求法，這使得學生對方法的接受變得自23性，教材為了化解難點，在必修一研究了復合函數單調性的判斷方法，在上一節的例5給出了函數y?sin(然.課后習題正切函數的性質及其圖象的應用，針對性強.二、學情分析

學生在初中學習了簡單的一次函數、二次函數、反比例函數，進入高中以后又學習了指數函數、對數函數、冪函數，還有前兩節學習的正弦函數、余弦函數，我們在學習這些函數的時候都是先研究函數的圖象，在由圖象得到函數的性質.但是在學習過程中，他們會遇到某些函數的圖象并不容易直接作出的情況，此時就需要有一種新的研究方法出現，即本節的研究方法，先研究函數的性質再研究函數圖象.有了前面三節課的研究經驗，學生容易想到從兩域三性的角度研究.首先通過探究（幾何畫板演示）獲得正切函數的性質，接下來采用類比的方法利用正切線作正切函數在(???,)上的圖象，結合正切函數的周期性得到正切22函數在整個定義域上的圖象，最后利用圖象討論函數的性質.學生在例題的接受上可能會存在較大的困難，結合之前學習的正弦型函數的周期及單調區間的求法再來理解本例題會變得更加容易.三、教學目標分析

知識與技能：

1.理解并掌握正切函數的定義域、周期性、奇偶性、單調性和值域等基本性質及正切函數的圖象；

ππ 2.了解用正切線作正切函數在(-,)內的圖象.22過程與方法：

1.通過探究（觀察-猜想-驗證）獲得正切函數的性質,體會數形結合的數學思想； 2.利用類比的方法獲得正切函數的圖象； 3.講解例題，總結方法，鞏固練習.情感態度與價值觀：

1.通過幾何畫板演示，引發學生的學習興趣；

2.創設問題情境，激發學生分析、探求的學習態度，增強學生的探究意識；

四、教學重點、難點分析

教學重點：

1.正切函數的性質的探究；

2.利用正切線作正切函數的圖象.教學難點：

正切函數性質的應用（例題）.五、教學支持條件分析

為了更加直觀地突出重點、突破難點，激發學生的學習興趣，本節課以幾何畫板為依托，對正切函數的性質逐一探究，并利用正切線作出正切函數的圖象，讓學生體會“類比”的方法及“數形結合”的數學思想.六、教學方法分析

本節采用引導探究、講練結合的教學方法，通過幾何畫板演示讓學生發現規律、提出猜想、驗證猜想，經歷問題解決的過程，體會研究問題的方法.通過老師分析例題，加強學生分析問題的能力.七、教學過程

（一）復習引入

1、研究正弦函數、余弦函數的方法是什么？ 師生活動：共同回憶之前研究函數的方法.設計意圖：之前研究函數的方法是先給出定義然后研究圖象，再由圖象得函數的性質.本節采用的研究方法是先研究性質再研究圖象，提供了研究函數的另一種方法.2、正切函數是如何定義的？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生回憶正切函數的定義.設計意圖：為接下來性質的探究做好準備.（二）新課講解

探究

（一）正切函數的性質

知識探究1 正切函數的定義域

問題1 研究一個函數，我們需要先考慮它的什么性質？

師生活動：教師利用幾何畫板演示角x終邊的情況，學生思考x的取值范圍并得出結論，教師在幾何畫板上展示定義域在x軸上的分布情況.設計意圖：研究函數需優先考慮定義域，學生觀察圖象不難得出定義域關于原點對稱，為后面研究函數的奇偶性作準備.知識探究2 正切函數的周期性 問題2 正切函數是周期函數嗎？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.通過學生自主觀察、發現，激發學生的研究興趣.2.為探究

（二）作正切函數的圖象作鋪墊.知識探究3 正切函數的奇偶性 問題3 正切函數具有奇偶性嗎？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.復習判斷函數奇偶性的方法.2為探究

（二）作準備.知識探究4 正切函數的單調性 問題4 正切函數的單調性如何？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論

設計意圖：1.通過層層設問，獲得正切函數單調區間的表示形式，明確函數圖象的特征，為畫函數圖象作準備.2.復習正切線的定義，為接下來的研究作鋪墊.知識探究5 正切函數的值域 問題5 正切函數的值域是什么？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論

設計意圖：通過幾何畫板演示明確函數的值域，并強調正切函數沒有最值.探究

（二）利用正切線作正切函數的圖象

問題6 通過對性質的研究，你認為我們應該如何作出正切函數的圖象？ 師生活動：教師展示研究成果（五條性質），學生思考.設計意圖：讓學生明確：欲研究正切函數在定義域內的圖象，只需研究它在一個周期內的圖象，結合奇偶性只需研究(???,)上的圖象.22問題7 如何作出正切函數在(???,)上的圖象？ 22師生活動：教師利用幾何畫板演示“利用正切線作正切函數圖象”的過程，學生觀察、回憶、對比，獲得圖象的直觀認識.設計意圖：1.讓學生類比正弦線作正弦函數圖象的方法，作出正切函數在(???,)上的圖.2.22體會數形結合的數學思想.問題8 如何得到正切函數的圖象？

師生活動：教師演示平移后的圖象，學生觀察獲得對圖象的整體認識.設計意圖：1.再一次體會圖象的特征，從圖象的角度驗證函數的性質；2.給出正切曲線的定義.問題9 正切函數的對稱中心是什么？

師生活動：教師演示正切曲線繞(k?,0),k?Z和(現與原圖象重合.設計意圖：給出正切函數對稱中心的表達形式.?2?k?,0),k?Z旋轉180?，學生觀察發

（三）例題講解

例1 已知函數y?tan(?2x??3)

（1）求出函數的定義域、周期和單調區間；（2）試作出函數的簡圖.師生活動：教師分析題目特點，明確解題方法.設計意圖：加強對正切函數性質的應用

練習：求函數y?tan(1?x?)的定義域、周期和單調區間.24師生活動：學生練習，教師巡視，展示學生的學習成果.設計意圖：加強對方法的使用，掌握這類題的解法,鞏固正切函數的性質.（四）課堂總結

1.正切函數的性質： 2.正切函數的圖象： 3.數學思想與方法：

（五）作業布置與思考

1.作業：教材46頁A組：6,7,9 2.思考：（1）如何證明正切函數的最小周期為?？

（2）如何證明正切函數在(???,)上是增函數？

第二篇：《正切函數的圖象與性質》教學設計

《正切函數的圖象與性質》教學設計

教學年級。遼河油田第二高級中學高一學年 版本：人教B版 課時：第10課時

一、教學目標

知識與技能：掌握正切函數的性質與圖象，會應用正切函數的性質解決問題 過程與方法：類比正弦函數的性質和圖象得出正切函數的性質和圖象，體會類比與歸納的應用

情感態度與價值觀：類比不同的函數得出不同的性質，學會分析問題，透過現象看本質

二、教學重點與難點

重點：正切函數的圖象和性質 難點：利用正切線畫正切曲線

三、教學方法：啟發、引導自學探究

四、教學流程(一)導入新課

1、正弦函數、余弦函數的圖象與性質及作圖過程

作圖利用描點法、采用幾何方法，平移正弦線作正弦函數圖象 教學處理：學生回顧正弦函數的研究過程。

設計意圖：通過對正弦函數研究過程的回顧，為研究正切函數的圖象與性質做好準備。

（二）新課講析

2、給出正切函數定義，探究正切函數的圖象并研究正切函數的性質。

教學處理：學生自主探究，交流結果，分析方法，教師引導學生歸結作圖的基本方法與研究正切函數性質的基本方法。設計意圖：學生通過對正弦函數的學習，學會利用學過的知識與方法通過類比的方式去解決具體問題。

3、歸納圖象、性質

教學處理：歸納正切函數的性質

設計意圖：使學生掌握正切函數的圖象與性質。

4、例題：求函數y?tan??x???的定義域、周期、和單調區間

???23?教學處理：學生自主探究，歸納方法與結論。

設計意圖：學生利用正切函數的圖象自主研究形如y?Atan5、比較大小

(1)tan1380與tan143(2)tan??13??與tan??17??

????0??x???的性質。

?4??5?教學處理：學生獨立思考，歸納方法

設計意圖：應用正切函數的性質解決具體問題

（三）課堂教學檢測

1、求函數y??tan????x??6???2的定義域

2、求函數y?tan??2x????,x?5??12?k?2?k?Z?的最小正周期 3?

3、比較大小

（1）tan??????與5??tan????3?? 7??(2)tan15190與tan14930

4、寫出下列不等式成立的x的集合

（1）1?tanx?0（2）tanx?3?0

（四）課堂小結：掌握研究正切函數的方法及正切函數的圖象與性質。

第三篇：《正切函數的性質和圖象》的教學設計

《正切函數的性質和圖象》的教學設計

本課例是現代信息技術與課程內容有機整合的一次有效實踐，幾何畫板軟件的應用起到了突破難點的作用；在引導學生完成性質到圖像和圖像到性質轉化的兩個關鍵環節中，充分滲透了數形結合的思想和方法；引導啟發學生積極運用觀察、思考、猜想、討論、推理、運算等多樣化的學習策略，發展了學生的計算能力、空間想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函數的性質和圖像。

【教學資源】

教材；教參；課程標準；多媒體；投影儀；幾何畫板軟件。

【教學目標】

1.知識與技能目標：利用已學的正切函數的知識探究性質；學會畫正切函數的圖像；掌握正切函數的性質；通過函數性質到圖像和圖像到性質的轉化，體會數形結合的基本數學思想和方法。

2.過程與方法目標：通過想象圖象、描點畫出圖象、計算機軟件畫出圖象，研究函數圖象的方法有了基本的認識，也增強了想象力；體會從性質到圖象和從圖象到性質兩種研究函數的不同思路。

3.情感態度與價值觀目標：借助幾何畫板，動態演示單位圓中的正切線的變化和正切函數準確圖象，讓學生親身經歷數學研究的過程，體會探索的樂趣，增強學習數學的樂趣；獨立解答和分組討論相結合的學習方式，增強學生自主創新和團結協作的精神。

【教學重難點】

1.重點：正切函數的主要性質和圖像及畫法。

2.難點：通過性質掌握圖像特點，觀察圖像總結函數性質。

【教學方法】

主要采取類比、討論、啟發等教學方式，并借助多媒體輔助手段

【教學過程】

八、教學反思

初次閱讀這篇教材內容，只覺得教學內容少、難度小，又由于本課之前學生已學習過正余弦函數、單調性、奇偶性、周期性等內容，好像沒什么可細究的，也出不了什么新東西。但是再次詳細閱讀課本和教參后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函數按照從函數定義到作函數圖像再到討論函數性質最后到函數模型應用的順序展開，而正切函數先利用誘導公式和單位圓討論性質，然后再利用性質作圖像，這樣做的目的是為了使學生體會可以從不同角度討論函數。通過改進呈現方式，提供直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、反思與建構等思維活動的載體，貫徹體現數學教育新理念，促進學生采取積極主動、勇于探索的學習方式進行學習。

其次，加強相關知識的聯系性，加強幾何直觀，強調數形結合的思想方法。為了更好的體現數形結合思想，教學中充分發揮單位圓和三角函數線的直觀作用，使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣。同時引導學生體會從正切函數的定義和幾何意義出發，發現正切函數的性質，再想象正切函數圖像的樣子，直到畫出函數圖像后，再次總結函數性質，每個環節之間的轉換都滲透著數形結合的思想方法。數形結合的思想方法是這節課的精髓。

再次，使用信息技術，符合新課程的基本要求。為了突破難點，本節適當使用了信息技術。多媒體教學的呈現方式不僅在課堂上為學生留出了更多的思考和討論的時間，還加強了知識的發生發展過程，加深了對有關概念的認識，突破了學習中可能遇到的困難。特別是幾何畫板的一步步地使用，積極引導學生學習和使用計算機及專業工具和軟件，以突破難點。

最后，加強學生學習的“過程性”，使數學思想的學習和數學能力培養落到實處。通過學生對五個思考題的各個擊破，得出了主要性質；通過學生想象圖象、描點畫出圖象，計算機軟件畫出圖象，對圖象有了深刻的印象，也增強了想象力；通過兩組討論和探究，深化知識，升華思想。教師提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行了具體示范、引導，學生或看、或說、或想、或聽、或寫、或畫完成了每個過程。

【參考資料】

[1]《數學（A版）教師培訓手冊》，人民教育出版社.（作者單位：甘肅省嘉峪關市第一中學）

第四篇：示范教案(1.4.3 正切函數的性質與圖象)

1.4.3 正切函數的性質與圖象

整體設計

教學分析

本節課的背景是:這之前我們已經用了三節課的時間學習了正弦函數和余弦函數的性質.函數的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來說,對函數性質的研究總是先作圖象,通過觀察圖象獲得對函數性質的直觀認識,然后再從代數的角度對性質作出嚴格表述.但對正切函數,教科書換了一個新的角度,采取了先根據已有的知識(如正切函數的定義、誘導公式、正切線等)研究性質,然后再根據性質研究正切函數的圖象.這樣處理,主要是為了給學生提供研究數學問題更多的視角,在性質的指導下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強了理性思考的成分,并使數形結合的思想體現得更加全面.教師要在學生探究活動過程中引導學生體會這種解決問題的方法.通過多媒體教學,讓學生通過對圖象的動態觀察,對知識點的理解更加直觀、形象.以提高學生的學習興趣,提高課題教學質量.從學生的實際情況為教學出發點,通過各種數學思想的滲透,合理運用各種教學課件,逐步培養學生養成學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點的能力,學會運用數學思想解決實際問題的能力.這樣既加強了類比這一重要數學思想的培養,也有利于學生綜合運用能力的提高,有利于學生把新舊知識前后聯系,融會貫通,提高教學效果.由于學生已經有了研究正弦函數、余弦函數的圖象與性質的經驗,這種經驗完全可以遷移到對正切函數性質的研究中,因此,我們可以通過“探究”提出,引導學生根據前面的經驗研究正切函數的性質,讓學生深刻領悟這種遷移與類比的學習方法.三維目標

1.通過對正切函數的性質的研究,注重培養學生類比思想的養成,以及培養學生綜合運用新舊知識的能力.學會通過對圖象的觀察來整理相應的知識點,學會運用數學思想解決實際問題的能力.2.在學習了正弦函數、余弦函數的圖象與性質的基礎上,運用類比的方法,學習正切函數的圖象與性質,從而培養學生的類比思維能力.3.通過正切函數圖象的教學,培養學生欣賞(中心)對稱美的能力,激發學生熱愛科學、努力學好數學的信心.重點難點

教學重點:正切函數的性質與圖象的簡單應用.教學難點:正切函數性質的深刻理解及其簡單應用.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.(直接導入)常見的三角函數還有正切函數,前面我們研究了正、余弦函數的圖象和性質,你能否根據研究正弦函數、余弦函數的圖象與性質的經驗,以同樣的方法研究正切函數的圖象與性質？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數的幾何作圖法來畫出正切函數的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統的導入法.推進新課 新知探究 提出問題

①我們通過畫正弦、余弦函數圖象探究了正弦、余弦函數的性質.正切函數是我們高中要學習的最后一個基本初等函數.你能運用類比的方法先探究出正切函數的性質嗎？都研究函數的哪幾個方面的性質？

②我們學習了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限的正切線嗎？

③我們知道作周期函數的圖象一般是先作出長度為一個周期的區間上的圖象,然后向左、右擴展,這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區間來研究正切函數呢？為什么？

④我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數的簡圖,你能畫出正切函數的簡圖嗎？ 你能類比“五點法”也用幾個字總結出作正切簡圖的方法嗎？

活動:問題①,教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數的性質是從定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數的性質.由于還沒有作出正切函數圖象,教師指導學生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導公式

tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z

2可知,正切函數是周期函數,周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數的周期性,后面的正切函數圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠?+kπ,k∈Z 2

可知,正切函數是奇函數,所以它的圖象關于原點對稱.教師可進一步引導學生通過圖象還能發現對稱點嗎？與正余弦函數相對照,學生會發現正切函數也是中心對稱函數,它的對稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調性

通過多媒體課件演示,由正切線的變化規律可以得出,正切函數在(?又由正切函數的周期性可知,正切函數在開區間(?(4)定義域

??22,)內是增函數,?2+kπ,?+kπ),k∈Z內都是增函數.2y,顯然,當角α的終邊落在y軸上任意一點時,都有x=0,這時x?正切函數是沒有意義的；又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+,k∈Z,所以正切函

2??數的定義域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個問題不少初學者很不理解,在22

根據正切函數的定義tanα=解題時又很容易出錯,教師應提醒學生注意這點,深刻明了其內涵本質.(5)值域

由多媒體課件演示正切線的變化規律,從正切線知,當x大于??2且無限接近??2時,正

切線AT向Oy軸的負方向無限延伸;當x小于向無限延伸.因此,tanx在(???且無限接近時,正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內可以取任意實數,但沒有最大值、最小值.因此,正切函數的值域是實數集R.問題②,教師引導學生作出正切線,并觀察它的變化規律,如圖1.圖1

問題③,正切函數圖象選用哪個區間作為代表區間更加自然呢？教師引導學生在課堂上展開充分討論,這也體現了“教師為主導,學生為主體”的新課改理念.有的學生可能選取了［0,π］作為正切函數的周期選取,這正是學生作圖的真實性的體現.此時,教師應調整計劃,把課件中先作出［-??,］內的圖象,改為先作出［0,π］內的圖象,再進行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個定義域內函數的圖象,讓學生觀察思考.最后由學生來判斷究竟選用哪個區間段內的函數圖象既簡單又能完全體現正切函數的性質,讓學生通過分析得到先作區間(-這時條件成熟,教師引導學生來作正切函數的圖象,如圖2.根據正切函數的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2

圖3

問題④,教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數y=tanx,x∈(???22,)的簡圖.學生可看出有三個點很關鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數簡圖的方法就是:先描三點(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學生動手畫一畫,這對今后解題很有幫助.2討論結果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點兩線”法.提出問題

①請同學們認真觀察正切函數的圖象特征,由數及形從正切函數的圖象討論它的性質.②設問:每個區間都是增函數,我們可以說正切函數在整個定義域內是增函數嗎？請舉一個例子.活動:問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=

?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導學生進一步思考,這點反應了它的哪一性質——定義域；并且函數圖象在每個區間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質——值域為R；每隔π個單位,對應的函數值相等,得到它的哪一性質——周期π;在每個區間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性質——單調性,單調增區間是(??2+kπ,?+kπ),k∈Z,沒有減區間.它的圖象是關于原點對稱2的,得到是哪一性質——奇函數.通過圖象我們還能發現是中心對稱,對稱中心是(k?,0),k∈Z.2問題②,正切函數在每個區間上都是增函數,但我們不可以說正切函數在整個定義域內是增函數.如在區間(0,π)上就沒有單調性.討論結果:①略.②略.應用示例

例1 比較大小.(1)tan138°與tan143°；(2)tan(?13?17?)與tan(?).4

5活動:利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小,可以先利用誘導公式將已知角化為同一單調區間內的角,然后再比較大小.教師可放手讓學生自己去探究完成,由學生類比正弦、余弦函數值的大小比較,學生不難解決,主要是訓練學生鞏固本節所學的基礎知識,加強類比思想的運用.解:(1)∵y=tanx在90°-tan, 554413?17?即tan(?)>tan(?).45(2)∵tan(?

點評:不要求學生強記正切函數的性質,只要記住正切函數的圖象或正切線即可.例2 用圖象求函數y=tan?3的定義域.活動:如圖4,本例的目的是讓學生熟悉運用正切曲線來解題.不足之處在于本例可以通過三角函數線來解決,教師在引導學生探究活動中,也應以兩種方法提出解決方案,但要有側重點,應體現函數圖象應用的重要性.圖4

圖5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用圖4知,所求定義域為［kπ+

??,kπ+)(k∈Z).32點評:先在一個周期內得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節的重點是正切線,但在今后解題時,學生哪種熟練就用哪種.變式訓練

根據正切函數的圖象,寫出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1, ??,kπ+),k∈Z;42??(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.23??例3 求函數y=tan(x+)的定義域、周期和單調區間.23∴x∈［kπ-

活動:類比正弦、余弦函數,本例應用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數的類似問題時已經用過換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將可讓學生自己類比地探究,只是提醒學生注意定義域.解:函數的自變量x應滿足即x≠2k+

??x+作為一個整體.教師23???x+≠kπ+,k∈Z, 2321,k∈Z.31,k∈Z}.3??????由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2), 232323所以函數的定義域是{x|x≠2k+因此,函數的周期為2.51????+kπ

點評:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,這里可引導學生探究

y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=變式訓練

求函數y=tan(x+解:由x+

?.??)的定義域,值域,單調區間,周期性.4???≠kπ+,k∈Z可知,定義域為{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.424值域為R.3?????∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函數.44224?周期是π,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個單位得到,其周期仍然是π.4由x+例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說明理由.活動:引導學生利用函數y=tanx的單調性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學生注意本節中活動的結論:正切函數在定義域內的每個區間上都是增函數,但我們不可以說正切函數在整個定義域內是增函數.學生可能的錯解有:

錯解1:∵函數y=tanx是增函數,又1<2<3<4,∴tan1

?3?,)上是單調遞增函數, 223??且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<，22解法一:∵函數y=tanx在區間(∴tan2

課本本節練習1—5.解答: 1.在x軸上任取一點O1,以O1為圓心,單位長為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,將⊙O1分成左右兩個半圓,過右半圓與x軸的交點作⊙O1的切線,然后從圓心O1引7條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對應于?軸上從?????3?3?,?,?,0，,等角的正切線.相應地,再把x488848?這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動,使它的起點與x軸上的點22??x重合,再把這些正切線的終點用光滑的曲線連結起來,就得到函數y=tanx,x∈(?,)的圖

22到

?象.點評:可類比正弦函數圖象的作法.2.(1){x|kπ

??+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|?+kπ

22(2)不會.因為對于任何區間A來說,如果A不含有側的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).點評:理解正切函數的單調性.課堂小結

1.先由學生回顧本節都學到了哪些知識方法,有哪些啟發、收獲.本節課我們是在研究完正、余弦函數的圖象與性質之后,研究的又一個具體的三角函數,與研究正弦、余弦函數的圖象和性質有什么不同?研究正、余弦函數,是由圖象得性質,而這節課我們從正切函數的定義出發得出一些性質,并在此基礎上得到圖象,最后用圖象又驗證了函數的性質.2.(教師點撥)本節研究的過程是由數及形,又由形及數相結合,也是我們研究函數的基本方法,特別是又運用了類比的方法、數形結合的方法、化歸的方法.請同學們課后思考總結:這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學習有什么指導意義？ 作業

課本習題1.4 A組6、8、9.設計感想

1.本教案的設計背景剛剛學完正弦函數、余弦函數的圖象與性質.因此教案的設計主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學生在鞏固原有知識的基礎上,通過類比,由學生自己來對新知識進行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識點有機地結合在一起,學生對新知識也較易接受.2.本教案設計的學習程序是:溫故(相關知識準備)→新的學習對象與舊知識的聯系→類比探究→解決問題→應用成果→歸納總結→進一步的發散思考→探索提高.

第五篇：高中數學教案：正切函數的圖象和性質

正切函數的圖象和性質

（一）教材分析：

學習正切函數的圖象和性質，主要包括：定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性等，以及具體的應用。

（二）素質教育目標： 1.知識目標：

（1）用單位圓中的正切線作正切函數的圖象；（2）用正切函數圖象解決函數有關的性質； 2.能力目標：

（1）理解并掌握作正切函數圖象的方法；

（2）理解用函數圖象解決有關性質問題的方法； 3.德育目標：培養研究探索問題的能力；

（三）教學三點解析：

1.教學重點：用單位圓中的正切線作正切函數圖象； 2.教學難點：性質的研究；

3.教學疑點：正切函數在每個單調區間是增函數，并非整個定義域內的增函數；

（四）教學過程設計 1．設置情境

前面我們研究了正、余弦函數的圖象和性質，但常見的三角函數還有正切函數，今天我們來探討一下正切函數的圖象，以及它具有哪些性質。2．探索研究

由研究正、余弦函數的圖象和性質的方法引出正切函數的圖象和性質。下面我們也將利用單位圓中的正切線來繪制y?tanx圖象．

（1）用正切線作正切函數圖象

1分析一下正切函數y?tanx是否為周期函數？

○? f(x??)tax?n?(?sinx?(??))?coxs?(??)xsin?x?tfaxn xcos()

∴y?tanx 是周期函數，?是它的一個周期．

我們還可以證明，?是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數在一個周期上的圖象，下面我們利用正切線畫出函數y?tanx，x???

????,?的圖象． 22??

作法如下：

①作直角坐標系，并在直角坐標系

軸左側作單位圓．

②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．

③描點。（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應的正切線）．

④連線．

圖1

根據正切函數的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數y?tanx，(x?R,x?k???2,k?Z)的圖象，并把它叫做正切曲線（如圖1）．

圖2

（2）正切函數的性質

請同學們結合正切函數圖象研究正切函數的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．

①定義域：?x|x?k??

②值域：R

③周期性：正切函數是周期函數，周期是?． ????,k?Z? 2?

④奇偶性：tan(?x)??tanx，∴正切函數是奇函數，正切曲線關于原點O對稱．

⑤單調性：由正切曲線圖象可知：正切函數在開區間(?強調：a.不能說正切函數在整個定義域內是增函數

b.正切函數在每個單調區間內都是增函數

c.每個單調區間都包括兩個象限：

四、一或二、三 3．例題分析

【例1】求函數y?tan(x??2?k?,?2?k?),k?Z內都是增函數．

?4)的定義域．

分析：我們已經知道了y?tanz的定義域，那么y?tan(x??4)與y?tanz有什么關系呢？令z?x??4，我們把y?tan(x??4)說成由y?tanz和z?x??4復合而成。此時我們稱y?tan(x??4)為復合函數，而把y?tanz和z?x??4為簡單函數

解：令z?x??4，那么函數y?tanz 的定義域是?z|z??????k?,k?Z? 2?

由 x??4?z?k???2，可得 x?k???4

所以函數y?tan(x??4)的定義域是{x|x?k???4,k?Z}

解題回顧：這種解法可稱為換元法，因此復合函數可通過換元法來求得。

練習1：求函數y?tan(2x?

【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數值的大?。?/p>

（1）與

；

?4)的定義域。（學生板演。）（2）tan(?11?13?)與tan(?)． 45分析：比較兩個正切函數值的大小可聯想到比較兩個正、余弦函數值的大小。

比較兩個正、余弦函數值的大小是利用函數的單調性來比較。注意點是應把相應的角化到正或余弦函數的同一單調區間內來解決．類比得到比較兩個正切函數值的大小的解法

解：（1）?90?167?173?180

又 ∵y?tanx，在(90?,270?)上是增函數

∴tan167?tan17（2）∵tan(???????11?11??)??tan?＝tan 44tan(?13?13?2?)??tan?tan 555又 ∵0＜?2??????＜＜，函數y?tanx，x???,? 是增函數，542?22?2?11?13?)?tan(?)． 即tan(?54∴ tan?4＜ tan解題回顧：比較兩個正切型實數的大小，關鍵是把相應的角誘導到y?tanx 的同一單調區間內，利用y?tanx 的單調遞增性來解決．

練習2：比較大小：

(1)tan138?_____tan143?（學生口答）（＜）(2)tan(?1317?)_____tan(??)（學生板演）（＞）45【例3】求f(x)?tan2x的周期

3．總結提煉

（1）這節課我們采用類比的思想方法來學習正切函數的圖象和性質

（2）正切函數的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得一個周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。

（3）正切函數的性質．

4.布置作業：作業：蘇大資料“12.正切函數的圖象與性質”.