第一篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3弧度制優(yōu)化訓(xùn)練北師大版4教案

1.3 弧度制

5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.下列諸命題中，真命題是（）A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧 B.一弧度是長度為半徑的弧

C.一弧度是一度的弧與一度的角之和

D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角，它是角的一種度量單位 解析：由1弧度的意義可知，選D.答案：D 2.下列諸命題中，假命題是（）

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 B.1度的角是周角的11，1弧度的角是周角的 3602?C.根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度

D.不論用角度制還是用弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關(guān)

解析：由角和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與半徑的長短無關(guān)，而是與弧長與半徑的比值有關(guān).故應(yīng)選Ｄ.答案：D 3.單位圓中，長為2個(gè)單位長度的弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為___________ rad.解析：由α=答案：2 l2，可得圓心角α的弧度為=2 rad.r18?弧度化為角度是____________.5?5?解析：-300°=×（-300）rad=?, 18038?8rad=180°×=288°.555?答案：? rad 288°

34.-300°化為弧度是，10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.在直角坐標(biāo)系中，集合S={β|β=k·

?，k∈Z}的元素所表示的角的終邊在（）2A.第一象限 B.x軸上 C.y軸上 D.坐標(biāo)軸上 解析：終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合應(yīng)為{β|β=

k?，k∈Z}易知當(dāng)整數(shù)k為偶數(shù)時(shí)，β的2終邊落在x軸上；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，β的終邊落在y軸上.所以β角的終邊應(yīng)落在坐標(biāo)軸上.答案：D 2.下列兩組角中，終邊不相同的是（）A.?3?2?4?+kπ與?+kπ（k∈Z）B.?+2kπ與（k∈Z）

33?2k?44 1 ?13?5?7?+2kπ與+2kπ（k∈Z）D.+2kπ與?+2kπ（k∈Z）

126612?解析：對(duì)整數(shù)k的取值進(jìn)行分類討論.一一驗(yàn)證，易知B、C中兩組角終邊相同.A中，kπ+

43?5?7?和kπ-（k∈Z）的終邊相同；D中，由于和?不在一個(gè)象限，所以它們的終邊41212C.不相同.答案：D 4?rad化為度應(yīng)是_____________.54?4解析：∵π rad=180°，∴rad=×180°=144°.553.答案：144°

4.把下列各角化為2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.27?39?；（2）.4627?3?27?解：（1）=6π+,在第二象限；

44439??39??6??,（2）的終邊落在y軸的正半軸上.626（1）5.某飛輪直徑為1.2 m，每分鐘按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)300圈，求：

（1）飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)；

（2）輪周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長.解：（1）因?yàn)轱w輪每分鐘按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)300圈，而逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的弧度數(shù)為2π，所以飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是300×2π=600π rad.（2）∵飛輪每分鐘按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)300圈，∴每秒鐘轉(zhuǎn)5圈.又飛輪直徑為1.2 m，∴一圈的長（即圓的周長）為1.2π m.因此輪周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長是5×1.2π m=6π m.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.下列各命題中正確的是（）

A.地球到太陽的距離y與時(shí)間t構(gòu)成的函數(shù)是周期函數(shù) B.用弧度制表示的角都是正角

C.大圓中1弧度角比小圓1弧度角大 D.圓心角為1弧度的扇形的弧長相等

解析：據(jù)物理學(xué)知識(shí)，任何一時(shí)刻，地球與太陽的距離y是唯一確定的，且每經(jīng)過一年地球繞太陽旋轉(zhuǎn)一周，無論哪個(gè)時(shí)刻t，經(jīng)過一年，地球又回到原來的位置，所以我們有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函數(shù).所以A正確；對(duì)于弧度制，定義為弧長等于1個(gè)單位長度所對(duì)的圓心角大小為1弧度，與圓的大小無關(guān).大小不同的圓1弧度的扇形的弧長不等，所以C、D均不正確.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可負(fù)，所以B不正確.答案：A 2.圓的一段弧長等于這個(gè)圓的內(nèi)接正三角形的一條邊長，那么這段弧所對(duì)的圓心角是弧度.解析：設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正三角形的邊長為3r，即弧長為3r，所以所求圓心 2 角的弧度數(shù)為|α|=l3r??3.rr答案：3

3.地球赤道的半徑是6 370 km，赤道上1°的弧長是__________ km.（可用計(jì)算器）解析：由于1°=?180≈0.017 45 rad，所以赤道上1°的弧長是0.017 45×6 370 km=111.156 5 km.答案：111.156 5 4.已知α∈(?解：∵?∴??4,?4<α

5?；（2）-20.125?5解：（1）?rad=?×180°=-75°；

1212（1）?（2）-20 rad≈57.3°×（-20）=-1 146°.6.將下列角度數(shù)化為弧度數(shù)：

（1）-12°45′；（2）112°30′.解：(1)-12°45′=-1275°=-12.75×（2）112°30′=112.5°=112.5×

?180rad??17?； 240?180rad?5?rad.87.已知一扇形的周長是40 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?最大面積是多少? 解：設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l+2r=40，∴l(xiāng)=40-2r.∴S=11lr?×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100.222∴當(dāng)半徑r=10 cm時(shí)，扇形的面積最大，這個(gè)最大值為100 cm，這時(shí)θ=l(40?2?10)?rad=2 rad.r108.已知圓中一段弧長正好等于該圓外切正三角形的邊長，求這段弧所對(duì)的圓心角.解：設(shè)圓的半徑為r，則圓的外切正三角形的邊長為23r，由題意知弧長為23r，所以這段弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為

23r?23rad.r9.已知圓上一點(diǎn)A(1,0)按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，1秒鐘時(shí)間轉(zhuǎn)過θ(0＜θ≤π)角，經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過14秒鐘轉(zhuǎn)到與最初位置重合的位置，求θ角的弧度數(shù).解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π.又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=∴k=4或5.∴θ=

3?.22k?2k?3?721(k∈Z)，∴π<<,即?k?.772244?5?或.7710.在已知圓內(nèi)，1弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長及扇形的面積.解：如圖，作OC⊥AB于C，則C為AB的中點(diǎn)，且AC=1，∠AOC=

12，所以

r=OA=AC1sin?AOC?.sin12則弧長l=|α|·r=1,面積S=1lr?1.sin12122sin22 4

第二篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3弧度制的由來素材北師大版4教案

弧度制的由來

以已知角?的頂點(diǎn)為圓心，以任意大于0的值R為半徑作圓弧，則角?所對(duì)的弧長l與R之比是一個(gè)定值﹝與R無關(guān)﹞，我們稱l=R時(shí)的正角為1弧度的角。以1弧度角為量角大小的單位，稱此度量制為弧度制，以示與角的另一種度量制──角度制區(qū)別。

弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然后用對(duì)應(yīng)的弧長與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源于印度。印度著名數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圓周長為21600分，相應(yīng)地定圓半徑為3438分﹝即取圓周率π

3.142﹞，但阿利耶毗陀沒有明確提出弧度制這個(gè)概念。嚴(yán)格的弧度概念是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhardo Eulero，1707年－－1783年）于1748年引入。他在1748年出版的一部劃時(shí)代的著作《無窮小分析概論》第八章中提出了弧度制的思想.但與阿利耶毗陀不同的是，他先定義了半徑為1個(gè)單位的圓，那么半圓的弧長為π，此時(shí)的正弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長為π/2，此時(shí)的正弦為1，記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對(duì)的中心角。其它的角也可依此類推。這一思想將線段與弧的度量單位統(tǒng)一起來，大大簡化了某些三角公式及計(jì)算．

1873年6月5日，數(shù)學(xué)教師湯姆生（James Thomson）在北愛爾蘭首府貝爾法斯特（Belfast）女王學(xué)院的數(shù)學(xué)考試題目中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞．當(dāng)時(shí)，他將“半徑”（radius）的前四個(gè)字母與“角”（angle）的前兩個(gè)字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和引用．我國學(xué)者曾把radian譯成“弳”（由“弧”與“徑”兩字的一部分拼成）．中華人民共和國成立以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書都把radian譯作“弧度”．

1881年，學(xué)者哈爾斯特（G.B.Halsted）等用希臘字母ρ表示弧度的單位，例如用3/5πρ表示3/5π弧度．1907年，學(xué)者包爾（G.N.Bauer）用r 表示；1909年，學(xué)者霍爾（A.G.Hall）等又用R來表示，例如將π/4弧度寫成π/4．現(xiàn)在人們習(xí)慣把弧度的單位省略．

R 1

第三篇：高三數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（含答案）

任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1．若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則有()

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z

C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

2．已知扇形的周長是6

cm，面積是2

cm2，則扇形的圓心角α的弧度數(shù)是()

A．1　　　　B．4　　　　C．1或4　　　　D．2或4

3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－5，－12)，則sin的值等于()

A．－

B．－

C.D.4．設(shè)α是第三象限角，且|cos|＝－cos，則的終邊所在的象限是()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．已知角α的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(4,6sin

330°)，則cos

2α的值為()

A．－

B.C．－

D.6．若一個(gè)扇形的面積是2π，半徑是2，則這個(gè)扇形的圓心角為()

A.B.C.D.7．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A．若0＜α＜，則sin

α＜tan

α

B．若α是第二象限角，則為第一象限或第三象限角

C．若角α的終邊過點(diǎn)P(3k,4k)(k≠0)，則sin

α＝

D．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為1弧度

8．已知點(diǎn)P(sin

x－cos

x，－3)在第三象限，則x的可能區(qū)間是()

A.B.C.D.9．已知角α(0°≤α＜360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin

215°，cos

215°)，則α＝()

A．215°

B．225°

C．235°

D．245°

10．角α的終邊在第一象限，則＋的取值集合為()

A．{－2,2}

B．{0,2}

C．{2}

D．{0，－2,2}

11．sin

2·cos

3·tan

4的值()

A．小于0

B．大于0

C．等于0

D．不存在12．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tan

α＝()

A．－1

B．1

C．－2

D．2

13．設(shè)θ∈R，則“sin

θ＝”是“tan

θ＝1”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

14．已知A(xA，yA)是單位圓(圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O)上任意一點(diǎn)，將射線OA繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交單位圓于點(diǎn)B(xB，yB)，則xA－yB的取值范圍是()

A．[－2,2]

B．[－，]

C．[－1,1]

D.15.在平面直角坐標(biāo)系中，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖所示)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊．若tan

α＜cos

α＜sin

α，則P所在的圓弧是()

A.B.C.D.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

17．若α＝1

560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.18．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且sin

α＞0，cos

α＜0，則a的取值范圍是________．

19.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，P沿著直線l向右運(yùn)動(dòng)，Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積S1，S2的大小關(guān)系是________．

1．C

2．C

3．C

4．B

5．B

6．D

7．C

8．D

9．C

10．A

11．A

12．B

13．D

14．C

15.C

16．(－1，)

17．120°或－240°

18．(－2,3)

19.S1＝S2

第四篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣教案北師大版

1.2 角的概念的推廣

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教材首先通過實(shí)際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)(生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn))的基礎(chǔ)上,更好地認(rèn)識(shí)任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會(huì)到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個(gè)統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認(rèn)識(shí)問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個(gè)重要任務(wù).學(xué)生的活動(dòng)過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“分析理解”欄目及“分析理解”示圖的過程功能,在這個(gè)過程上要不惜多花些時(shí)間,讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動(dòng)態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過程中體會(huì),既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標(biāo)

1.通過實(shí)例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),并由此深刻理解推廣之后的角的概念.2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)集合S中k、α的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.這對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價(jià)值觀具有重要意義.3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)正角、負(fù)角并體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用,為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學(xué)難點(diǎn):用集合來表示終邊相同的角.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(情境導(dǎo)入)可由學(xué)生所熟悉的游戲引入,激起學(xué)生的探求興趣.如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機(jī),只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎(jiǎng)品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣,進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題.圖1 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實(shí)生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進(jìn)而引入角的概念的推廣問題.推進(jìn)新課 知識(shí)探究 提出問題

①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時(shí),你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角? ②體操運(yùn)動(dòng)中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個(gè)動(dòng)作中,運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度? ③請(qǐng)兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動(dòng)作.在這個(gè)過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度? 活動(dòng):讓學(xué)生到講臺(tái)利用準(zhǔn)備好的教具——鐘表,實(shí)地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動(dòng)作.教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)給予鼓勵(lì)、表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點(diǎn)是O,它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個(gè)角α,點(diǎn)O是角的頂點(diǎn),射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.如圖2.圖2 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角.鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記作“α”.如果一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合,我們稱這樣的角為零度角,又稱零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,記作α=0°.討論結(jié)果:①順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了30°;逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了450°.②順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°…… 提出問題

①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思? 活動(dòng):先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點(diǎn)撥,并對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會(huì)作出很多形式不同的角.教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會(huì)怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.今后我們?cè)谧鴺?biāo)系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要特別強(qiáng)調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系——角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.討論結(jié)果:①能.如圖3.圖3 ②使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.這樣: 210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限,比如0°角.可以借此進(jìn)一步設(shè)問: 銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何? 將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中,給定一個(gè)角,就有唯一一條終邊與之對(duì)應(yīng),反之,對(duì)于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系? 提出問題

①在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系? ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),怎樣用一個(gè)式子表示出來? 活動(dòng):讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時(shí)地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備.為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個(gè)32°角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,形成-32°角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對(duì)后者的回答是多種多樣的.至此,教師因勢利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對(duì)問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點(diǎn)得以突破.同時(shí)學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識(shí)本身更重要的.討論結(jié)果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.設(shè)S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時(shí)k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個(gè)元素顯然與-32°角終邊相同.②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z}, 即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí): ①k∈Z;②α是任意角;

③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.應(yīng)用示例

例1 判定下列各角是第幾象限角:(1)-60°;(2)585°;

(3)-950°12′.解:(1)因?yàn)?60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因?yàn)?85°=360°+225°,所以585°與225°角的終邊重合,而225°的終邊在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因?yàn)?950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的終邊在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.變式訓(xùn)練

在0°—360°范圍內(nèi),找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點(diǎn)評(píng):教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2 在直角坐標(biāo)系中,寫出終邊在y軸上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活動(dòng):終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個(gè).學(xué)生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡這兩個(gè)式子,用一個(gè)式子表示出來.讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識(shí),教師再規(guī)范地板書出來.并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.解:在0°—360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè), 即90°和270°角,如圖4.圖4 因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合 S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合 S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí),表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓(xùn)練

寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.寫出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β＜720°的元素是: 60°-1×360°=-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.變式訓(xùn)練

寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來.解:如圖5,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合

圖5 S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β＜720°的元素是: 45°-2×180°=-315°, 45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°, 45°+1×180°=225°, 45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.例4 寫出在下列象限的角的集合: ①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動(dòng):本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導(dǎo)學(xué)生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.點(diǎn)評(píng):教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共識(shí),并進(jìn)一步深刻理解終邊相同角的意義.知能訓(xùn)練

課本習(xí)題1—2 1、2.課堂小結(jié)

提問的方式與學(xué)生一起回顧順理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總結(jié).讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)?你是怎樣獲得這些新知識(shí)的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論: 本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個(gè)角是第幾象限的角,關(guān)鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內(nèi)找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角.數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法,也是我們學(xué)習(xí)本章知識(shí)的常用思想方法,要細(xì)心領(lǐng)悟.作業(yè)

①習(xí)題1—2 3.②預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制.設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)課設(shè)計(jì)的容量較大,學(xué)生的活動(dòng)量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會(huì)很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校,可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行探究,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中掌握知識(shí)、提煉方法.2.本節(jié)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是充分利用實(shí)際背景加強(qiáng)直觀.利用幾何直觀有利于對(duì)抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后,可以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì):在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ).3.幾點(diǎn)說明:(1)列舉不在0°—360°的角時(shí),應(yīng)注意所有的角在同一個(gè)平面內(nèi),且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中,角的頂點(diǎn)不動(dòng).(2)在研究終邊相同的兩個(gè)角的關(guān)系時(shí),k的正確取值是關(guān)鍵,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立思考領(lǐng)悟.(3)在寫出終邊相同的角的集合時(shí),可根據(jù)具體問題,對(duì)相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).習(xí)題詳解

習(xí)題1—2 1.點(diǎn)撥:由銳角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,銳角是第一象限角,而第一象限角不一定是銳角,對(duì)于直角不屬于任何象限,軸線角不一定是直角.鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為123°,第二象限角.點(diǎn)撥:把角化為k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z}, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-300°,-660°,60° ②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝，當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-405°,-45°,315°.③｛β|β=k·360°+1 303°18′,k∈Z｝, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-136°42′,223°18′,-496°42′.④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z｝, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-225°,-585°,135°.點(diǎn)撥:利用終邊相同的角的定義寫出β的集合,再取k的值,求出符合條件的角.備課資料

備用習(xí)題

1.若角α與β終邊相同,則一定有()A.α+β=180° B.α+β=0°

C.α-β=k·360°(k∈Z)D.α+β=k·360°(k∈Z)2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},則A∩B等于()A.{-36°,54°} B.{-126°,144°} C.{-126°,-36°,54°,144°} D.{-126°,54°}

3.在直角坐標(biāo)系中,若角α與角β的終邊互相垂直,則角α與角β的關(guān)系是()A.β=α+90° B.β=α±90°

C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之間的關(guān)系是()A.ZY B.ZY C.Z=Y D.Z與Y之間的關(guān)系不確定 5.已知角θ的終邊與168°角的終邊相同,則在(0°,360°)范圍內(nèi)終邊與

?角的終邊相同3的角是_____________________.6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z},集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+

405°,k∈Z},求A∩B.7.寫出終邊在四個(gè)象限角平分線上的角的集合.參考答案: 1.C 2.C 3.答案:D 點(diǎn)撥:將角的終邊按逆(或順)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,知α±90°與角β的終邊重合.4.答案:C 點(diǎn)撥:先分別將n和k賦以不同的整數(shù)值,找出角x的終邊,然后再比較.5.答案:56°,176°,296°

點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件有θ=k·360°+168°,k∈Z,?=k·120°+56°,k∈Z.又30≤k·120°+56°

＜360°,滿足條件的k為0,1,2.6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z}.采用數(shù)形結(jié)合法,在直角坐標(biāo)系內(nèi),分別尋找集合A和集合B中的角的終邊所在的區(qū)域,終邊在這兩個(gè)區(qū)域的公共部分內(nèi)的角的集合就是A∩B,可以求得

A∩B={x|30°+k·360°＜x＜45°+k·360°,k∈Z}.7.解:終邊在四個(gè)象限角平分線上的角的集合為 {β|β=n·90°-45°,n∈Z}.

第五篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣幫你認(rèn)識(shí)角素材北師大版4教案

幫你認(rèn)識(shí)角

角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，對(duì)角的圖形特點(diǎn)，一般有以下兩種認(rèn)識(shí)：(1)角可以看成是平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形，(2)平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角．下面我們通過幾個(gè)例子理解角的概念.一.任意角

規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.例1.畫圖表示下列各角:?=390, ??-210，?=-330.0

0

0分析: ?為正角，將射線繞其端點(diǎn)逆時(shí)針旋390,?、?為負(fù)

0角，將射線繞其端點(diǎn)順時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)210和330.解: 如圖.點(diǎn)評(píng): 畫圖表示一個(gè)大小為定值的角，先要畫一條射線作為角的始邊（一般畫成水平向右的射線），再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注． 二.象限角和軸線角

為了便于討論角，我們常常將角放到直角坐標(biāo)系中，并且使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，這樣就出現(xiàn)了象限角和軸線角．

(1)象限角：當(dāng)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．

(2)軸線角：當(dāng)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么角的終邊落在坐標(biāo)軸上，稱做軸線角，這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．例如0，90，180，270,360,-90,-180，-270，-360，-1080等都是軸線角．

例2 已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：

(1)225；（2）-300；（3）-450.分析：以原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸的正半軸為始邊作出 0

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00225,-300，-450.解答：如圖，觀察角的終邊所在位置，知225,-300分別是第三象限角和第一象限角，-450的終邊在y軸負(fù)半軸上，不屬于任何象限．

點(diǎn)評(píng)：在直角坐標(biāo)系內(nèi)作角，其始邊位置及角的頂點(diǎn)是統(tǒng)一固定的，結(jié)合角的正負(fù)符號(hào)和角的絕對(duì)值大小作出其終邊，并用帶箭頭的螺旋線標(biāo)注就行了．確定一個(gè)角是第幾象限角，可以通過在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這個(gè)角來說明，這是象限角概念的直接應(yīng)用． 三.終邊相同的角

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360,k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．

例3 求與3900終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出它們是第幾象限角． 分析：與3900終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，就是分別在0～360;-360～0范圍內(nèi)，與3900終邊相同的角．找出了在0～360范圍內(nèi)與3900終邊相同的角，就能指出它的象限位置．

解：設(shè)β=3900+k·360,(k∈Z).則當(dāng)k=-l0時(shí),β=3900-10×360=300 當(dāng)k=-11時(shí)，β=3900-11×360=-60.∴與3 900終邊相同的最小正角是300,最大負(fù)角是-60,且3900是第四象限的角.點(diǎn)評(píng)：求在某個(gè)范圍內(nèi)與α終邊相同的角，先要寫出其一般表達(dá)式：β=α+k·360(k∈Z)，再根據(jù)β的取值范圍確定整數(shù)k的取值.確定絕對(duì)值較大的角的象限位置，可先在0～360范圍內(nèi)找出其終邊相同的角，再作出判斷.四.半角與倍角

已知α角的象限，確定α角的半角、倍角的象限是學(xué)習(xí)和、差、倍、半三角公式的基礎(chǔ)，解決這類問題一般是根據(jù)終邊相同的角的集合表示，再通過分類討論的方法進(jìn)行．

例4 已知角θ的終邊與30的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，試在0～360范圍內(nèi)找出與同的角．

分析：利用角θ的終邊與30角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，可得到θ的一般表達(dá)式，進(jìn)而得到

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?終邊相3??00的一般表達(dá)式．再由0≤<360,確定k的取值，就能得出結(jié)論． 33解答：∵角θ的終邊與30角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，0 2 ∴θ=k·360-30，∴由0≤0000

?00

＝k·120-10(k∈Z)． 3?0<360，300

0得0≤k·120-10<360?∵k∈Z，∴k=1，2，3.137?k?.1212??00=110，當(dāng)k=2時(shí)，=230，33?0當(dāng)k=3時(shí)，=350.3?00000故在0～360內(nèi)與終邊相同的角是110,230,350.3?0000點(diǎn)評(píng)：求在0～360范圍內(nèi)與終邊相同的角，也可轉(zhuǎn)化為先求在0～1080范圍內(nèi)與

3當(dāng)k=1時(shí)，θ終邊相同的角，共有3個(gè)角，即330,690，1 050．再分別除以3即得結(jié)果．

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