第一篇：《數(shù)字信號(hào)處理(第四版)》部分課后習(xí)題解答

Chapter 9 9.1 Develop a lowpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 100 Hz, stopband edge frequency at Fs = 600 Hz, passband ripple ap = 1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.9.2 Develop a highpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 600 Hz, stopband edge frequency at Fs = 100 Hz, passband ripple ap =1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.

第二篇：數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題解答1

第一章

3.判斷下面的序列是否周期的(1).x(n)?Acos(3?n??),A是常數(shù)78j(1n??)(2).x(n)?e85.試判斷系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(?n)6.試判斷系統(tǒng)是否為因果穩(wěn)定系統(tǒng)（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)?e第二章

1.求下列序列的傅里葉變換（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=?x(2n)e-j?nn=-??令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-?，m為偶數(shù)??x(m)e-j?m/2mm=-???[x(m)?(?1)-j?m/2m=-??x(m)]e-j?m/2?[?x(m)e?12[X(ej1?2?m=-?j(1???)2?e?)]?jmx(m)e-j?m/2])?X(e14.求出下列序列的z變換及收斂域(1)2-nu(n)X(z)???n??????2z?n?nu(n)z?n

n????2???n1?1,|(2z)|?1?11?(2z)z?,|z|?121z?2-3z-117.已知X(z)=,分別求：-1-22-5z+2z（1）收斂域0.5< | z | < 2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)(2)收斂域 | z | > 2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收斂域0.5< | z | < 2時(shí)：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收斂域 | z | > 2時(shí)：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)及單位脈沖響應(yīng)h(n)(2)寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej?)的表達(dá)式，并定性畫(huà)出其幅頻特性曲線解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z當(dāng)n?1時(shí)，有極點(diǎn)z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=2?0.9n因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng)，所以有h(n)=0,n<0當(dāng)n=0時(shí)，有極點(diǎn)z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1?h(n)=2?0.9nu(n-1)+?(n)ej?+0.9(2)H(e)=j?e-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j?=?h(m)x(n-m)m=0?0n-m）=?h(m)ej?（?m=0?

=?h(m)ej?0ne-j?0mm=0=ej?0nH(ej?0)=ej?0nej?0+0.9ej?0-0.9

第三章

6.設(shè)下列x(n)長(zhǎng)度為N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)??(n)(2)x(n)??(n?n0)0?n0?N?

1(3)x(n)?an(5)x(6)(4)x(n)?ej?0nRN?n?

?n??cos??0n??RN?n?

x?n??sin??0n??RN?n?(7)x?n??n?RN?n?

?1?00?k?N?1

其他0?k?N?1

其他解：(1)X(k)???kn0??j2N?e

(2)X(k)????0?kn0?N?1?j2N1?aN???e2??jk

(3)X(k)??n?0N1?ae?0?0?k?N?1其他2?knNj(?0?2?k)nN

(4)X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??en?0N?1j?0ne?j?e

(5)x(n)?cos(?0n)?RN(n)?1j?0n(e?e?j?0n)RN(n)21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2?1?eWN1?e?j?0WN?

kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?ej?0N1?e?j?0WN??? j?0?j?0kk2?1?eWN1?eWN?k1?cos?0N??cos?0?N?1??cos?0?WN?k2k1?2cos?0WN?WN????????????

(6)

1x(n)?sin(?0n)?RN(n)?(ej?0n?e?j?0n)RN(n)

21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2j?1?eWN1?e?j?0WN?j?N?j?kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?e01?e0WN?

?? kk2j?1?ej?0WN1?e?j?0WN??sin?0?N?1??sin?0?WNk?sin?0N?k2k1?2co?s0WN?WN????????????1?z?N

(7)設(shè)x1(n)?RN(n)，則X1(z)?

1?z?1d?1?z?N?

x(n)?n?x1(n)，則X(z)??z?1dz?1?z???? ?

X(z)??zNz?N?11?z?1?z?21?z?NX(k)?X(z)z?W?kN?1?z?NW?1?W??W???1?W??12kNNkN???kNk2N???Nz?1?z??z?1?z?

?1?z??1?W??N

?N?1?1?N?12kNNkWN?1kNkN

因?yàn)閃N?1，WN?1?0

N?1n?0X(k)k?0??n?1?2?3???(N?1)?N(N?1)221.(1)模擬數(shù)據(jù)以10.24KHz速率取樣，若已知1024個(gè)取樣的離散傅立葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。

(2)以上數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)經(jīng)處理以后又進(jìn)行了離散傅立葉反變換，求離散傅立葉反變換后抽樣點(diǎn)的間隔為多少？整個(gè)1024點(diǎn)的時(shí)寬為多少？

10240Hz?10Hz

10241?s?97.66?s（2）抽樣點(diǎn)的間隔

?T?10.24?103整個(gè)1024點(diǎn)的時(shí)寬

T?97.66?1024ms?100ms 解：（1）頻率間隔

?F?第四章

1.如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘法需要50us，每次復(fù)數(shù)加法需要5us。用它來(lái)計(jì)算N=512點(diǎn)DFT，問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間，用FFT計(jì)算需要多少時(shí)間？照這樣計(jì)算，用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，估算可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率。解：

(1)512點(diǎn)直接DFT計(jì)算的時(shí)間： 復(fù)數(shù)乘法：N=512x512x50us=13.1072s 復(fù)數(shù)加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512點(diǎn)直接DFT計(jì)算的時(shí)間=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT計(jì)算的時(shí)間：

復(fù)數(shù)乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=復(fù)數(shù)加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT計(jì)算的時(shí)間=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)處理時(shí)間： 假設(shè)IFFT也用FFT程序計(jì)算，則在實(shí)時(shí)計(jì)算中使用的時(shí)間是兩次FFT時(shí)間（h(n)的FFT計(jì)算按照事先計(jì)算好存儲(chǔ)備用），外加一次512點(diǎn)的復(fù)數(shù)乘法：

用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)處理時(shí)間=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 實(shí)時(shí)處理時(shí)，信號(hào)采樣的最高采樣頻率：210.302512=1695.36Hz 信號(hào)的最高頻率=1695.36/2=847.68Hz 7.某運(yùn)算流圖如圖所示，問(wèn)：

（1）圖示是按時(shí)間還是按頻率抽取的FFT？（2）把圖示中未完成的系數(shù)和線條補(bǔ)充完整。解：

（1）分析圖示的流圖結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中基本的蝶形運(yùn)算單元是先加減后乘系數(shù)的，因此是按頻率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脈沖響應(yīng)不變法及雙線性變換法將模擬傳遞函數(shù)Ha?s??X(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3?s?1??s?3?轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字傳遞函數(shù)H(z)，采樣周期T?0.5。

解：Ha(s)?3113(?);ha(s)?(e?t?e?3t)u(t)2s?1s?323h(n)?T(e?nT?e?3nT)u(n),代入T?0.523?(e?n2?e?3n2)u(n)43113(1?e?32z?1)?(1?e?12z?1)H(z)?(?)??12?1?32?141?ez4(1?e?12z?1)(1?e?32z?1)1?ez3(e?12?e?32)z?10.2876z?1????12?32?1?2?241?(e?e)z?ez1?0.829z?1?0.135z?2(2)雙線性變換H（z）?Ha(s)?T1?z?121?z?1?s?3s2?4s?3s?41?z?11?z?131?z?121?z?116()?16?3?1?11?z1?z3(1?2z?1?z?2)3?6z?1?3z?2??16?32z?1?16z?2?16?16z?2?3?6z?1?3z?235?26z?1?3z?20.0875?0.1714z?1?0.0857z?2?1?0.7429z?1?0.0857z?2MATLAB程序及運(yùn)算結(jié)果如下：%脈沖不變法、雙線性變換法；b?[003];a?[143];3(1?z?1)2?16(1?z?1)2?16(1?z?1)(1?z?1)?3(1?z?1)2

[bz1az1]?impinvar(b,a,2)%脈沖不變法bz1分子系數(shù)az1分母系數(shù)；[bz2az2]?bilinear(b,a,2)%s雙線性變換法bz2分子系數(shù)az2分母系數(shù)；結(jié)果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脈沖響應(yīng)不變法及雙線性變換法將模擬傳遞函數(shù)Ha?s??3轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字傳遞函數(shù)H(z)，采樣周期2s?s?1T?2。

解：（1）脈沖響應(yīng)不變法Ha(s)??111??s2?s?1(s?12)2?34(s?12)2?(32)2A1s?12?j(32)1s?12?j(32)*s??12?j(32)?A2s?12?j(32)??1j3?1j3T?(12?j(32)T?1A1??j3??j3)將T?2代入A2?A1H(z)?1s?12?j(32)j31?e(T?(12?j(32)Ts??12?j(32)1?ez?2?2e?1sin3z?10.8386z?1????1?2?1?1?2?2?3?1?2ecos3z?ez?1?0.1181z?0..135z其中：sin3?sin3?180.?/??0.987cos3?cos3?180.?/???0.1606(2)雙線性變換H（z）?Ha(s)?11?z?11?z?1z?1??s?1s2?s?1s?1?z?11?z?11?z?121?z?1()??1?1?11?z1?z(1?2z?1?z?2)1?2z?1?z?2???122?121?2z?z?1?z?1?2z?z3?z20.3333?0.6667z?1?0.3333z?2?1?0.3333z2(1?z?1)2?(1?z?1)2?(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)2

MATLAB程序及運(yùn)算結(jié)果如下：%脈沖不變法、雙線性變換法；b?[001];a?[111];[bz1az1]?impinvar(b,a,0.5)%脈沖不變法bz1分子系數(shù)az1分母系數(shù)；[bz2az2]?bilinear(b,a,0.5)%s雙線性變換法bz2分子系數(shù)az2分母系數(shù)；

結(jié)果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.設(shè)有一模擬濾波器Ha(s)?

1，采樣周期T?2，用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

s2?s?1解

由變化公式

1?z?1

s?c? ?11?z及c?2,T?2,可得 T1?z?1

s?

1?z?1所以

H(z)?Ha(s)1?z?11?z?1

s?

=

11?z?121?z?1()?()?1?1?11?z1?z

(1?z?1)2

=

3?z?218.用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃茲數(shù)字高通濾波器，要求通帶邊界頻率為0.8rad，通帶最大衰減為3dB，阻帶邊界頻率為0.5rad，阻帶最小衰減為18dB。

解：已知?p?0.8rad,?s?0.5rad,?p?3dB,?s?18dB

（1）將數(shù)字高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬高通濾波器Ha(s)的邊界頻率。（令T=2）

?ph?tan?p2?tan?0.80.5?0.006981,?sh?tans?tan?0.004363 222（2）將Ha(s)的指數(shù)轉(zhuǎn)換為模擬低通歸一化原型濾波器G（p）的指標(biāo)

?p?1,?p?3dB;?s??ph?sh1.6,?s?18dB

設(shè)計(jì)程序：

% 調(diào)用函數(shù)buttord,butter,lp2hp和bilinear用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃思數(shù)字高通濾波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az為所設(shè)計(jì)巴特沃思數(shù)字高通濾波器的階數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)； 運(yùn)行結(jié)果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.設(shè)計(jì)巴特沃茲數(shù)字帶通濾波器，要求通帶范圍為0.25?rad???0.45?rad，通帶最大衰減為3dB，阻帶范圍為0???0.15?rad和0.55?rad????rad，阻帶最小衰減為15dB。解：(1)確定數(shù)字帶通濾波器性能

，?1?0.25?rad，?s2?0.55?rad，?s1?0.15?rad ?u?0.45?rad通帶內(nèi)最大衰減?p?3dB，阻帶內(nèi)最小衰減?s?15dB(2)確定模擬濾波器性能。若T＝2s

?u??2tanu?tan0.22?5?0.854r1ad/s T2

?1??2tan1?tan0.12?5?0.414r2ad/s T2

?s2??2tans2?tan0.27?5?1.170r8ad/s T2

?s1??2tans1?tan0.075??0.2401rad/s T2?u?1?0.5948rad/s，通帶心頻率?0?帶寬B??u??1?0.4399將頻率對(duì)B歸一化，得到相應(yīng)歸一化帶通邊界頻率：

?u??u???1.941，6?1?1?0.9416，?s2?s2?2.6615，BBB?s1?0.5458，?0??u?1?1.3521 B

?s1?(3)由歸一化帶通性能確定相應(yīng)模擬歸一化低通性能

?s22??02

歸一化阻帶截頻率為?s??1.9746

?s2

歸一化通帶截頻率為?p?1,?p?3dB,?s?18dB(4)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通G(p)

?s10p?1100.3?1

ksp?，???1.9746 ??0.1266sp0.1?s1.8?p10?110?1

N??

取N=3.查表得，G(p)?0.1?lgksplg?sp??lg0.1266?3.04

lg1.97461p3?2p2?2p?1

(5)頻率變換，將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬帶通Ha(s)Ha?s??G(p)p?s2??02?

sBB3s3?s22??0?322?2s2??0sB?2s2??0s2B2?s3B33??2??

?0.08s55432s6?0.879s8?1.448s4?0.707s6?0.512s4?0.110s1?0.0443(6)用雙線性變換公式將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)H(z)?Ha?s?s?2?1?z?1T1?z?1?[0.0181?1.7764?10?15z?1?0.0543z?2?4.4409z?3?0.0543z?4?2.7756?10?15z?5?0.0181z?6]?[1?2.272z?1?3.515z?2?3.2685z?3?2.3129z?4?0.9628z?5?0.278z?6]?1 第七章

7.畫(huà)出下面系統(tǒng)函數(shù)的直接型結(jié)構(gòu)圖

2.5?2z?1?0.6z?2

H(z)?

1?0.5z?1?0.6z?2?0.5z?3解：

8.用級(jí)聯(lián)方式畫(huà)出下面系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2(z?1)(z2?1.414z?1)

H(z)?

(z?0.3)(z2?0.9z?0.81)21?z?11?1.414z?1?z?2解：H?z??

1?0.3z?11?0.9z?1?0.81z?2????????

6.已知FIR的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)?1(1?0.9z?1?2.1z?2?0.3z?3?2.2z?4?0.3z?5?2.1z?6?0.9z?7?z?8)15

畫(huà)出該系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)。解：

9.已知FIR系統(tǒng)的16個(gè)頻率采樣值為：

H(0)?12，H(1)??3?j3，H(2)?1?j，H(3)?H(4)?......?H(13)?0，H(2)?1?j,H(1)??3?j3，試畫(huà)出其頻率采樣結(jié)構(gòu)圖，如果取r=0.95,畫(huà)出其修正的采用實(shí)系數(shù)乘法的頻率采樣結(jié)構(gòu)圖。

1?z?N解：H?z??NH?k?,??k?1k?01?WNzN?1N?16

取修正半徑r=0.95，將上式中互為復(fù)共軛得并聯(lián)支路合并，得

1?r16z?16H?z??16?H?k?1?16?1?0.4401z??k?116k?01?rW16z15?H?0????1?0.95z??1?H?1????1?0.95W?1z?116?

????H?15?H?2?H?14???? ???15?1??2?1?14?1???1?0.95W16z??1?0.95W16z1?0.95W16z??11?0.4401z?16

?16??????12?6?6.5254z?12?2.6870z?1??其結(jié)構(gòu)圖如????1?1?2?1?2???1?1.3435z?0.9025z???1?1.7554z?0.9025z?1?0.95z下圖：

第三篇：數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題解答

數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題解答

第1-2章：

1.判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。若不是，說(shuō)明理由（1）f1(t)= sin2t + cos3t

（2）f2(t)= cos2t + sinπt

2、判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。若不是，說(shuō)明理由

（1）f1(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 則周期是N=

3、判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期;若不是，說(shuō)明理由

（1）f(k)= sin(πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)解

1、解 β1 = π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8，N2 = 4，故f(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。

（2）β1 = 3π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8，N2 = 4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。

4、畫(huà)出下列函數(shù)的波形(1).(2).解 f1(t)?tu(t?1)

f2(t)?u(t)?2u(t?1)?u(t?2)

5、畫(huà)出下列函數(shù)的波形

x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)

6.離散線性時(shí)不變系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)g(n)?8

nu(n)，則單位響應(yīng)h(n)=?

h(n)?g(n)?g(n?1)?8nu(n)?8n?1u(n?1)

7、已知信號(hào)為fs?（200)Hz。

?f(t)?5cos(200?t?)，則奈奎斯特取樣頻率

38、在已知信號(hào)的最高頻率為100Hz(即譜分析范圍)時(shí)，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，采樣頻率 最少要200 Hz：

9.若信號(hào)f(t)的最高頻率為20KHz，則對(duì)該信號(hào)取樣，為使頻譜不混疊，最低取樣頻率是40KHz

10、連續(xù)信號(hào)：xa(t)?5sin(2?*20*t??3)用采樣頻率fs?100Hz 采樣，寫(xiě)出所得到的信號(hào)序列x(n)表達(dá)式，求出該序列x(n)的最小周期

解：T??1?0.01，x(n)?xa(nT)?5sin(0.4?n?)

3fs?2? N?0?2??5 0.4?

11、連續(xù)信號(hào)：xa(t)?Acos(80?t??3)用采樣頻率fs?100Hz 采樣，寫(xiě)出所得到的信號(hào)序列x(n)表達(dá)式，求出該序列x(n)的最小周期長(zhǎng)度。解：T??1?0.01，x(n)?xa(nT)?Acos(0.8?n?)

3fs?2?5?;?N?5 0.8?2 2??012、設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)

h(n)?u(n)，輸入序列為

x(n)??(n?1)，求系統(tǒng)輸出序列y(n)

y(n)?x(n)*h(n)?u(n)*?(n?1)?u(n?1)

n解：

13、設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)?au(n),0?a?1，輸入序列為 x(n)??(n)?2?(n?2)

完成下列各題：

y(n)；(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的Z變換。

(1)求出系統(tǒng)輸出序列

解：y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)]=anu(n)+2an?2u(n?2)X(z)?n????[?(n)?2?(n?2)]z??n?1?2z H(z)??2n????au(n)zn??n??anz?n?n?0?1 ?11?az1?2z?Y(z)?H(z)?X(z)?1?az?1

14、設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)

h(n)?u(n)，輸入序列為

x(n)??(n?2)，求系統(tǒng)輸出序列y(n)

y(n)?x(n)*h(n)?u(n)*?(n?2)?u(n?2)

解：

15、離散時(shí)間單位延遲器的單位響應(yīng)為?(k?1)

16、線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸入為 x（n）時(shí)，輸出為y（n）； 則輸入為9x（n-23）時(shí)，輸出是9y（n-23）

17、求x(n)?c?n的z變換（?1?n?n?c?

1)解 X(z)?n????x(n)z??n?n???n?ncz?c??z

n?0 X1(z)??cnz?n?n?011?cz?1cz1?czz?c

z?1

c X2(z)?n????c?1?nz?n?c?1，s?k????|h(k)|??|a|k?0??k則存在公共的收斂區(qū)域X(z)?1cz1

?,c?z??11?cz1?czc的線性時(shí)不變系統(tǒng) 18、分析單位脈沖響應(yīng)為h(k)?aku(k),的因果性和穩(wěn)定性。

解：1）因?yàn)?k?0時(shí)，h（k）=0，因此系統(tǒng)是因果的

2）如果 |a|<1, 則 s?1 故系統(tǒng)是穩(wěn)定的1?|a|

如果 |a|≥1 , 則s → ∞，級(jí)數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在|a|<1時(shí)才是穩(wěn)定的

19、分析單位脈沖響應(yīng)為h(k)?0.5ku(k),的線性時(shí)不變系統(tǒng) 的因果性和穩(wěn)定性。

解：1）因?yàn)?k?0時(shí)，h（k）=0，因此系統(tǒng)是因果的 2）s?kh(k)?0.5???k?0??k???1?2,1?0.故系統(tǒng)是穩(wěn)定的nx(n)?au(n),0?a?1 的DTFT求序列解

X(e)??aej?n?0?n?j?n??(aen?0??j?n1)?1?ae?j?)=|H(e)|e

jω

jθ(ω)

21、如果信號(hào)的自變量和函數(shù)值都取 __ ____值，則稱為數(shù)字信號(hào)。離散 22.數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示為H(e

jω

。式中，|H(ejω)|稱為 函數(shù)，θ(ω)稱為 函數(shù)。幅頻特性，相頻特性

23、因果穩(wěn)定（可實(shí)現(xiàn)）系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓()，收斂域在某個(gè)圓()。

24、已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述：

y(n)?0.9y(n?1)?x(n)?0.9x(n?1)

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；(2)寫(xiě)出H(ej?)

解：（1）y(n)?0.9y(n?1)?x(n)?0.9x(n?1)

對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換，得Y(z)?0.9Y(z)z?1?X(z)?0.9X(z)z?1

H(z)?

第3--5章： Y(z)1?0.9z（2）?X(z)1?0.9z?1?11?0.9ej?H(e)?H(z)|z?ej??

1?0.9ej?j?1.求序列 x(n)??(n),0?n?N?1的DFT

nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WNN?1n?0解

nk???(n)WN?1,1?k?N?1n?0N?1

2.求序列x(n)?an(0?n?N?1)的DFT

N?1n?0nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WN解nk??anWNn?0N?1kN1?(aWN)1?aN??1,1?k?N?1kk1?aWN1?aWN

3.求有限長(zhǎng)序列x(n)=cos(nπ解：由DFT的定義

/6)(0?n?11)的N點(diǎn)DFT

?nk??j2?e12??n?n??jn?nk111?j6X(k)??cosW12???e?e6?6n?0n?02?111???e??2?n?0112??jn(k?1)12??en?0112??jn(k?1)12????

利用復(fù)正弦序列的正交特性, 再考慮到k的取值區(qū)間，??6k?1,11可得X(k)??

??0 elsek,k?[0,11].按基-2 FFT算法 , N=16的時(shí)間抽取法的 FFT運(yùn)算 流圖中，從x(n)到X(k)需（4）級(jí)蝶形運(yùn)算過(guò)程。5.按基-2 FFT算法 , N=64的時(shí)間抽取法的 FFT運(yùn)算 流圖中，從x(n)到X(k)需（6）級(jí)蝶形運(yùn)算過(guò)程。

6.序列x1（n）的長(zhǎng)度為8，序列x2（n）的長(zhǎng)度為16，則它們線性卷積的長(zhǎng)度是（23），要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為圓周卷積的長(zhǎng)度（≥ 23）7.設(shè)有限長(zhǎng)(N=4)序列為:x(n)=2δ(n)-δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3)，X(k)=DFT[x(n)]N, 試計(jì)算(1)X(k)k-0(2)X（N22)(3)?X(k)(4)?|X(k)|。

k?0N?1N?1k?0解：(1)X(0)??x(n)WN0??x(n)?5

n?0n?0N?1N?1N?1N?1NnN/2(2)X()??x(n)WN??x(n)(?1)n?5

2n?0n?0

N?11N?11N?10(3)x(0)??X(k)WN??X(k)，故?X(k)?Nx(0)?8

Nk?0Nk?0k?0

(4)由離散帕塞瓦爾定理，得 ?X(k)2?N?x(n)2?60

k?0n?0N?1N?

18、數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度分類，可以分成(無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR))濾波器和(有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR))濾波器。

9.無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的兩種常用設(shè)計(jì)方法是沖激響應(yīng)不變法和雙線性 變換法.沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率變換關(guān)系是線性的，即ω=ΩT;沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生不同程度的 頻率混疊失真。

10.采用按時(shí)間抽取的基-2 FFT算法計(jì)算N=1024點(diǎn)DFT，需要計(jì)算()次復(fù)數(shù)加法，需要()次復(fù)數(shù)乘法。1024*10，512*10 11.設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H?(s)?211??s2?6s?8s?2s?T=2s

試?yán)秒p線性變換法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器H(z)。

解：利用雙線性變換法

C=2/T=1

1?z?1H(z)?H?(c)?11?z11??1?z?11?z?1 2?4??11?z1?z?11?z?11?z?1???13?z5?3z?112、有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒(méi)有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：（1）頻率分辨力≤10Hz（2）信號(hào)的最高頻率≤4kHz試確定以下參量：（1）最小記錄長(zhǎng)度Tp；（2）抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。

解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長(zhǎng)度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小記錄長(zhǎng)度為0.1秒。

（2）從信號(hào)的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T.fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足N≥2fh /F=800

13、對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F ≤10 Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz，試確定:

(1)最小記錄時(shí)間Tpmin;(2)最大的采樣間隔Tmax;(3)最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。

14、頻率分辨率與信號(hào)實(shí)際長(zhǎng)度成 比，信號(hào)越長(zhǎng)，其分辨率越。反，高。

15.由RC組成的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)?1 s?1(1)采樣間隔T=2s，試用雙線性不變法將該模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z);

(2)求出H(z)對(duì)應(yīng)的序列h(n);

(3)判斷系統(tǒng)H(z)的穩(wěn)定性與類型（IIR、FIR）

解：（1）H(z)?Ha(s)s?c1?z?1?1?z?11?10.5?0.5z

1s?1s?c1?z??11?z（2）h(0)=0.5, h(1)=0.5

（3）FIR，穩(wěn)定

16、如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛_____對(duì)稱___分量和共軛____反對(duì)稱____分量。

第四篇：數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題Matlab作業(yè)

數(shù)字信號(hào)處理MATLAB

第1頁(yè)

習(xí)題數(shù)字信號(hào)處理MATLAB習(xí)題

M1-1 已知g1(t)?cos(6?t)，g2(t)?cos(14?t)，g3(t)?cos(26?t)，以抽樣頻率fsam?10Hz對(duì)上述三個(gè)信號(hào)進(jìn)行抽樣。在同一張圖上畫(huà)出g1(t)，g2(t)和g3(t)及抽樣點(diǎn)，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論。

解：

第2頁(yè)

從以上兩幅圖中均可看出，三個(gè)余弦函數(shù)的周期雖然不同，但它們抽樣后相應(yīng)抽樣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值都相同。那么這樣還原回原先的函數(shù)就變成相同的，實(shí)際上是不一樣的。這是抽樣頻率太小的原因，我們應(yīng)該增大抽樣頻率才能真實(shí)還原。如下圖：f=50Hz

第3頁(yè)

程序代碼

f=10;

t=-0.2:0.001:0.2;g1=cos(6.*pi.*t);g2=cos(14.*pi.*t);g3=cos(26.*pi.*t);k=-0.2:1/f:0.2;h1=cos(6.*pi.*k);h2=cos(14.*pi.*k);h3=cos(26.*pi.*k);% subplot(3,1,1);

% plot(k,h1,'r.',t,g1,'r');% xlabel('t');% ylabel('g1(t)');% subplot(3,1,2);

% plot(k,h2,'g.',t,g2,'g');% xlabel('t');% ylabel('g2(t)');% subplot(3,1,3);

% plot(k,h3,'b.',t,g3,'b');% xlabel('t');% ylabel('g3(t)');

plot(t,g1,'r',t,g2,'g',t,g3,'b',k,h1,'r.',k,h2,'g.',k,h3,'b.')

第4頁(yè)

xlabel('t');ylabel('g(t)');

legend('g1(t)','g2(t)','g3(t)');

M2-1 利用DFT的性質(zhì)，編寫(xiě)一MATLAB程序，計(jì)算下列序列的循環(huán)卷積。

(1)g[k]={1,-3,4,2,0,-2,},h[k]={3,0,1,-1,2,1}；(2)x[k]=cos(?k/2),y[k]=3k,k=0,1,2,3,4,5。解：(1)循環(huán)卷積結(jié)果

6.0000-3.0000 17.0000-2.0000 7.0000-13.0000

程序代碼

第5頁(yè)

g=[1-3 4 2 0-2];h=[3 0 1-1 2 1];l=length(g);L=2*l-1;GE=fft(g,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y(k)')title('循環(huán)卷積')

(2)循環(huán)卷積結(jié)果

-71.0000-213.0000 89.0000 267.0000 73.0000 219.0000

第6頁(yè)

程序代碼

k=0:5;

x=cos(pi.*k./2);y=3.^k;l=length(x);L=2*l-1;GE=fft(x,L);HE=fft(y,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);

else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y’(k)')title('循環(huán)卷積')

第7頁(yè)

M2-2 已知序列x[k]???cos(k?/2N),|k|?N

0,其他?(1)計(jì)算序列DTFT的表達(dá)式X(ej?),并畫(huà)出N=10時(shí)，X(ej?)的曲線。

(2)編寫(xiě)一MATLAB程序，利用fft函數(shù)，計(jì)算N=10時(shí)，序列x[k]的DTFT在?m?2?m/N的抽樣值。利用hold函數(shù)，將抽樣點(diǎn)畫(huà)在X(ej?)的曲線上。

解：

(1)X(e)?DTFT{x[k]}?j?k????x[k]e??j?k?k??N?cos(k?/2N)eN?j?k

程序代碼

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));W=linspace(-pi,pi,512);

第8頁(yè)

X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

plot(W,abs(X))xlabel('W');ylabel('abs(X)');

(2)

程序代碼

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));X_21=fft(x,21);L=-10:10;

W=linspace(-pi,pi,1024);X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

第9頁(yè)

plot(W,abs(X));hold on;

plot(2*pi*L/21,fftshift(abs(X_21)),'o');xlabel('W');ylabel('abs(X)');

M2-3 已知一離散序列為x[k]?Acos?0k?Bcos[(?0???)k]。用長(zhǎng)度N=64的Hamming窗對(duì)信號(hào)截短后近似計(jì)算其頻譜。試用不同的A和B的取值，確定用Hamming窗能分辨的最小的譜峰間隔??w?c的值。

解：f1=100Hz f2=120Hz時(shí)

2?中cN

f2=140Hz時(shí)

第10頁(yè)

f2=160Hz時(shí)

第11頁(yè)

由以上三幅圖可見(jiàn)

f2=140Hz時(shí)，各譜峰可分辨。則?f又

??w?c2?N

?40Hz

且

??w???T?2??fT?2??40?1 800所以c=3.2（近似值）

程序代碼

N=64;L=1024;

f1=100;f2=160;;fs=800;

A=1;B1=1;B2=0.5;B3=0.25;B4=0.05;T=1/fs;ws=2*pi*fs;k=0:N-1;

x1=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B1*cos(2*pi*f2*T*k);x2=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B2*cos(2*pi*f2*T*k);x3=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B3*cos(2*pi*f2*T*k);x4=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B4*cos(2*pi*f2*T*k);hf=(hamming(N))';x1=x1.*hf;x2=x2.*hf;x3=x3.*hf;x4=x4.*hf;

X1=fftshift(fft(x1,L));X2=fftshift(fft(x2,L));X3=fftshift(fft(x3,L));X4=fftshift(fft(x4,L));

W=T*(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1);plot(W,abs(X1));title('A=1,B=1');xlabel('W');ylabel('X1');subplot(2,2,2);

第12頁(yè)

plot(W,abs(X2));title('A=1,B=0.5');xlabel('W');ylabel('X2');subplot(2,2,3);plot(W,abs(X3));title('A=1,B=0.25');xlabel('W');ylabel('X3');subplot(2,2,4);plot(W,abs(X4));title('A=1,B=0.05');xlabel('W');ylabel('X4');

M2-4 已知一離散序列為x[k]?cos?0k?0.75cos?1k,0?k?63。其中, ?0?2?/15，?1?2.3?/15。

(1)對(duì)x[k]做64點(diǎn)FFT, 畫(huà)出此時(shí)信號(hào)的譜。

(2)如果(1)中顯示的譜不能分辨兩個(gè)譜峰，是否可對(duì)(1)中的64點(diǎn)信號(hào)補(bǔ)0而分辨出兩個(gè)譜峰。通過(guò)編程進(jìn)行證實(shí)，并解釋其原因。

解：(1)

第13頁(yè)

程序代碼

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x);

plot(k/N,abs(X));grid on;

title('64點(diǎn)FFT');

(2)

第14頁(yè)

第15頁(yè)

由以上三幅圖看出：不能對(duì)(1)中的64點(diǎn)信號(hào)補(bǔ)零而分辨出兩個(gè)譜峰，這樣的方法只能改變屏幕分辨率，但可以通過(guò)加hamming窗來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)譜峰的分辨。程序代碼

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;L=1024;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x,L);

plot((0:L-1)/N,abs(X));grid on;

title('1024點(diǎn)FFT');

M2-5 已知一連續(xù)信號(hào)為x(t)=exp(-3t)u(t)，試?yán)肈FT近似分析

第16頁(yè)

其頻譜。若要求頻率分辨率為1Hz，試確定抽樣頻率fsam、抽樣點(diǎn)數(shù)N以及持續(xù)時(shí)間Tp。

解：

本題使用矩形窗，則N?fsamfsam1??fsam，Tp??1 ?f1?f

第17頁(yè)

由以上三幅圖可以看出當(dāng)fsam越來(lái)越大時(shí)，近似值越來(lái)越接近

第18頁(yè)

于實(shí)際值。即fsam越大擬合效果越好，造成的混疊也是在可以允許的范圍內(nèi)。程序代碼

fs=100;ws=2*pi*fs;Ts=1/fs;N=fs;

x=exp(-3*Ts*(0:N-1));y=fft(x,N);l=length(y);

k=linspace(-ws/2,ws/2,l);

plot(k,Ts*fftshift(abs(y)),'b:');hold on;

w=linspace(-ws/2,ws/2,1024);y1=sqrt(1./(9+w.^2));plot(w,y1,'r')

title('fs=100Hz時(shí)的頻譜')legend('近似值','實(shí)際值);

M2-6 試用DFT近似計(jì)算高斯信號(hào)g(t)?exp(?dt2)的頻譜抽樣值。

π?2通過(guò)和頻譜的理論值G(j?)?exp(?)比較，討論如何根據(jù)時(shí)域的信

d4d號(hào)來(lái)恰當(dāng)?shù)剡x取截短長(zhǎng)度和抽樣頻率使計(jì)算誤差能滿足精度要求。

解：

第19頁(yè)

第20頁(yè)

由以上三幅圖可以看出：

當(dāng)時(shí)域截取長(zhǎng)度相同時(shí)，抽樣間隔越小時(shí)誤差越小，當(dāng)抽樣間隔一定時(shí)，時(shí)域截取長(zhǎng)度越長(zhǎng)，誤差越小。當(dāng)取抽樣間隔為1S，時(shí)域截取長(zhǎng)度為2S時(shí)，誤差較大，絕對(duì)誤差在0.5左右；當(dāng)抽樣間隔為0,5S，時(shí)域截取長(zhǎng)度為2S時(shí)，誤差比間隔為1S時(shí)小，絕對(duì)誤差不大于0.2；當(dāng)抽樣間隔為0.5S時(shí)域截取長(zhǎng)度為4S時(shí)，誤差更小，絕對(duì)誤差不大于0.04。因?yàn)闀r(shí)域截取長(zhǎng)度越長(zhǎng)，保留下來(lái)的原信號(hào)中的信息越多，抽樣間隔越小，頻譜越不容易發(fā)生混疊，所以所得頻譜與理論值相比，誤差更小。

程序代碼

Ts=0.5;N=4;N0=64;

k=(-N/2:(N/2))*Ts;

第21頁(yè)

x=exp(-pi*(k).^2);X=Ts*fftshift(fft(x,N0));

w=-pi/Ts:2*pi/N0/Ts:(pi-2*pi/N0)/Ts;XT=(pi/pi)^0.5*exp(-w.^2/4/pi);subplot(2,1,1)

plot(w/pi,abs(X),'-o',w/pi,XT);xlabel('omega/pi');ylabel('X(jomega)');

legend('試驗(yàn)值','理論值');

title(['Ts=',num2str(Ts)subplot(2,1,2)plot(w/pi,abs(X)-XT)ylabel('實(shí)驗(yàn)誤差')

xlabel('omega/pi');

'N=',num2str(N)]);第22頁(yè)

' '

第五篇：數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題與答案

3.已知

單位抽樣響應(yīng)為

，通過(guò)直接計(jì)算卷積和的辦法，試確定的線性移不變系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

9．列出下圖系統(tǒng)的差分方程,并按初始條件

求輸入為

時(shí)的輸出序列,并畫(huà)圖表示。

解：系統(tǒng)的等效信號(hào)流圖為：

解：根據(jù)奈奎斯特定理可知：

6.有一信號(hào),它與另兩個(gè)信號(hào)

和的

關(guān)系是:

其中

，已知，解：根據(jù)題目所給條件可得：

而

所以

8.若是因果穩(wěn)定序列，求證：

證明:

∴

9．求的傅里葉變換。

解：根據(jù)傅里葉變換的概念可得：

13.研究一個(gè)輸入為

和輸出為的時(shí)域線性離散移不變系

統(tǒng)，已知它滿足

并已知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。試求其單位抽樣響應(yīng)。解：

對(duì)給定的差分方程兩邊作Z變換，得：，為了使它是穩(wěn)定的，收斂區(qū)域必須包括

即可求得

16.下圖是一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，試列出系統(tǒng)差分方程，求系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)

時(shí)，求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) , 畫(huà)出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線。

由方框圖可看出：差分方程應(yīng)該是一階的

則有

因?yàn)榇讼到y(tǒng)是一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng);所以其收斂

17．設(shè)是一離散時(shí)間信號(hào)，其z變換為

求它們的z變換：，對(duì)下列信

號(hào)利用(a)

，這里△記作一次差分算子，定義為：

(b)(c)解：(a){

(b)，(c)

由此可設(shè)

1.序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

~解: X(k)?n?0?5~x(n)W6nk?n?0?5?j2?nk~x(n)e6 ?j2?k?14?12e6?j2?2k?10e6?j2?3k?8e6?j2?4k?6e6?j2?5k?10e6

計(jì)算求得:

~2.設(shè)x(n)?R4(n),x(n)?x((n))6.~~ 試求X(k)并作圖表示~x(n),X(k)。~~~X(0)?60;X(1)?9?j33;X(2)?3?j3;~~~X(3)?0;X(4)?3?j3;X(5)?9?j33。

~解: X(k)?n?0x(n)W6nk??~5n?0?j~x(n)e?52?nk6

~~~計(jì)算求得：X(0)?4;X(1)??j3;X(2)?1;~~~ X(3)?0;X(4)?1;X(5)?j3。?j?k?1?e3?j2?k?e3?e?j?k

?n?1,0?n?43.設(shè)x(n)??,h(n)?R4(n?2),0，其它n?~令~x(n)?x((n))6,h(n)?h((n))4,~試求~x(n)與h(n)的周期卷積并作圖。解：在一個(gè)周期內(nèi)的計(jì)算

~~~y(n)?~x(n)*h(n)?h(n?m)~~~y(n)?~x(n)*h(n)?h(n?m)7?x(n), 0?n?5設(shè)有兩序列 x(n)???0, 其他n?y(n), 0?n?14 y(n)???0, 其他n各作15點(diǎn)的DFT,然后將兩個(gè)DFT相乘,再求乘積的IDFT,設(shè)所得結(jié)果為f(n),問(wèn)f(n)的哪些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于x(n)?y(n)應(yīng)該得到的點(diǎn)。

解：序列x(n)的點(diǎn)數(shù)為N1?6,y(n)的點(diǎn)數(shù)為N2?15故又x(n)*y(n)的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為：N?N1?N2?1?20f(n)為x(n)與y(n)的15點(diǎn)的圓周卷積，即L?15所以，混疊點(diǎn)數(shù)為N?L?20?15?5。用線性卷積結(jié)果 以15 為周期而延拓形成圓周卷積序列 f(n)時(shí)，一個(gè)周期 內(nèi)在n?0到n?4(?N?L?1)這5點(diǎn)處發(fā)生混疊，即f(n)中只有n?5到n?14的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于x(n)*y(n)應(yīng)該得到的點(diǎn)。

8.已知x(n)是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,X(k)?DFT[x(n)]。現(xiàn)將長(zhǎng)度變成rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列y(n)?x(n), 0?n?N-1y(n)???0, N?n?rN-1試求DFT[y(n)](rN點(diǎn)DFT)與X(k)的關(guān)系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

?x(n)n?0rN?1N?1?j2?nkeNN?1n?00?k?N?1?n?0nky(n)WrN??x(n)WnkrN?n?0N?1?j2πnkx(n)eNrk?X()rk?lr(l?0,1,???N?1)?在一個(gè)周期內(nèi),Y(k)的抽樣點(diǎn)數(shù)是X(k)的r倍(Y(k)的周期為Nr),相當(dāng)于在X(k)的每?jī)蓚€(gè)值之間插入(r?1)個(gè)其他的數(shù)值k(不一定為零），而當(dāng)k為r的整數(shù)l倍時(shí)，Y(k)與X()相等。r 9已知x(n)是長(zhǎng)為N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列,X(k)?DFT[x(n)]現(xiàn)將x(n)的每?jī)牲c(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)r?1個(gè)零值點(diǎn),得到一個(gè)長(zhǎng)為rN點(diǎn)的有限長(zhǎng)度?x(n/r), n?ir, 0?i?N序列y(n), y(n)???0, 其他n試求rN點(diǎn)DFT[y(n)]與X(k)的關(guān)系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

N?1n?0?n?0nkx(n)WN,0?k?N?1rN?1?nky(n)WrNN?1i?0?x(ir/i?0N?1irkr)WrN??x(i)WikN,0?k?rN?1?Y(k)?X((k))NRrN(k)?Y(k)是將X(k)(周期為N)延拓r次形成的，即Y(k)周期為rN。

10.頻譜分析的模擬信號(hào)以8kHz被抽樣,計(jì)算了512個(gè)抽樣的DFT,試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔,并證明你的回答。

證明 :??? ?s2?f??s?sF0?0fs?F0??02?其中?s是以角頻率為變量 的 頻譜的周期,?0是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。fs?s???NF0?0?F0?對(duì)于本題:fsNfs?8KHzN?512 8000?F0??15.625Hz51211.設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器,抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪,假定沒(méi)有采用任何殊數(shù)據(jù)處理措施,要求頻率分辨力?10Hz,如果采用的抽樣時(shí)間間隔為0.1ms,試確定(1)最小記錄長(zhǎng)度;(2)所允許處理的信號(hào)的最高頻率;(3)在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。11解:(1)TP?而F?10Hz ?TP?sF10 ?最小紀(jì)錄長(zhǎng)度為 0.1s??? 11??103?10KHzT0.11 fs?2fh ?fh?fs?5KHz2 ?允許處理的信號(hào)的最高頻率為5KHz(2)fs???? TP0.1??103?1000,又因N必須為2的整數(shù)冪T0.1 ?一個(gè)紀(jì)錄中的最少點(diǎn)數(shù)為:N?210?1024(3)N?

用直接I型及典范型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)

3?4.2z?1?0.8z?2H(z)?2?0.6z?1?0.4z?2

?1?21.5?2.1z?1?0.4z?2?1.5?2.1z?0.4zH(z)??1?2?1?21?(?0.3z?0.2z)1?0.3z?0.2z解：H(z)?

∵1??anz?nn?1m?0N?bznM?m?Y(z)X(z)

∴a1??0.3，a2?0.24(z?1)(z2?1.4z?1)H(z)?(z?0.5)(z2?0.9z?0.8)

2.用級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)b0?1.5，b1?2.1，b2?0.4

試問(wèn)一共能構(gòu)成幾種級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)。1??1kz?1??2kz?2H(z)?A??1?21??z??zk1k2k解：

4(1?z?1)(1?1.4z?1?z?2)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

∴ A?4

?11?1, ?11?0.5 , ?21?0 , ?12??1.4 ,?21?0 , ?12??0.9 ,?22?1 ?22??0.8

由此可得：采用二階節(jié)實(shí)現(xiàn)，還考慮分子分母組合成二階（一階）基本節(jié)的方式，則有四種實(shí)現(xiàn)形式。

3.給出以下系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)。

5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

解：對(duì)此系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解并展成部分分式得：

5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

0.21?0.3z?1?4???11?0.5z1?0.9z?1?0.8z?2 ?G0? ?11?0.5 , ?21?0，?12??0.9 ,?22??0.8

?01?0.2 , ?11?0

，?02?1 , ?12?0.3

4．用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)：

?1??1?H(z)??1?z?1??1?6z?1??1?2z?1??1?z?1??1?z?1?26????

解：

11H(z)?(1?z?1)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26

11?1?1?2?2??(1?z?1?2z?1?z?)(1z?6z?z)(1?z)26

1537?(1?z?1?z?2)(?1z?1?z?26

2??)(z11)8205?22058?1?z?1?z?z?3?z?4?z?531212 5．已知FIR濾波器的單位沖擊響應(yīng)為

?0.?3n?（h(n)??(n)N?1n?0?1)?0.n7?2(?2?)n0.?11?(?3n)?0

試畫(huà)出其級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。

H(z)?根據(jù)?h(n)z?n得：

22?0.?z7?0.z31?1?4?

1H(z)?1?0.z3?z0.12)?1z?23

?(1?0.z2?0.?)(1z?10.?1z?2 0.4而FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的模型公式為：

H(z)??(?0k??1kz?1??2kz?2)k?1?N???2??

對(duì)照上式可得此題的參數(shù)為：

?01?1 , ?02?1, ?11?0.2 , ?12?0.1?21?0.3 , ?22?0.4

6．用頻率抽樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)：

5?2z?3?3z?6H(z)?1?z?1

抽樣點(diǎn)數(shù)N = 6，修正半徑r?0.9。解；

因?yàn)镹=6，所以根據(jù)公式可得：

H(z)?21?6?6?(1?rz)?H0(z)?H3(z)??Hk(z)?6k?1??(5?3z?3)(1?z?3)H(z)?1?z?1 ?(5?3z?3)(1?z?1?z?2)故 H(k)?H(Z)Z?2?k/N ?(5?3e?j?k)(1?e因而 H(0)?24,H(1)?2?23j,H(2)?0 H(3)?2,H(4)?0,H(5)?2?23j

?j?3k?e?j2?k3)則 H0(z)?H(0)24?1?rz?11?0.9z?1H(3)2 H3(z)??1?rz?11?0.9z?1

?01??11z?1?2???1求 ： Hk(z)k?1 時(shí) ：H1(z)?2?21?2zrcos???rz?N?

?01?2Re?H(1)??2Re[2?23j]?4?11?(?2)?(0.9)?ReH(1)W61?3.64?3.6z?1H1(z)?1?0.9z?1?0.81z?2k?2 時(shí) ：?02??12?0，H2(z)?0?? 7．設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5

試畫(huà)出此濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解：由題中所給條件可知：

1331h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)5555

則 h(0)?h(4)?1?0.253 h(1)?h(3)??0.65 h(2)?1N?1?2 2即h(n)偶對(duì)稱，對(duì)稱中心在 n?處，N 為奇數(shù)(N?5)。8．設(shè)濾波器差分方程為：

y(n)?x(n)?x(n?1)?11y(n?1)?y(n?2)34

⑴試用直接I型、典范型及一階節(jié)的級(jí)聯(lián)型、一階節(jié)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)此差分方程。

⑵求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（幅度及相位）。

⑶設(shè)抽樣頻率為10kHz，輸入正弦波幅度為5，頻率為1kHz，試求穩(wěn)態(tài)輸出。解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根據(jù) y(n)??ak?1Nky(n?k)??bx(n?k)可得：kk?0M

11a1? , a2?34；

b0?1 , b1?1

一階節(jié)級(jí)聯(lián)型：

1?z?1H(z)?111?z?1?z?2341?z?1 ?1?10?11?10?1(1?z)(1?z)66

1?z?1??1?1

(1?0.7z)(1?0.36z)

一階節(jié)并聯(lián)型：

H(z)?1?z?1(1?1?10?11?10?1z)(1?z)66

1717?10?10220220??1?10?11?10?11?z1?z66

?1.60.6?1?0.7z?11?0.36z?1

1?z?1（2）由題意可知 H(z)?111?z?1?z?234 1?e?j??H(e)??1?j?1?2j?1?e?e34 j?(1?co?s)?jsin?111?1?1?co?s?co2s??j?sin??sin2??344?3?

幅度為：

?H(ej?)?

(1?cos?)2?sin2?1111(1?cos??cos2?)2?(sin??sin2?)23434

相位為：

sin????argH(ej?)??arg)??tg(1?co?s??

??11??sin??sin2???4?tg(3?arg)?11?1?co?s?co2s????34??

（3）輸入正弦波為 ： x(t)?5sin(2?t?103)

3由 ?T?2??10T1?2? 可得：

又抽樣頻率為10kHz，即抽樣周期為

1?3T??0.1?10?0.1ms310?10

∴在x(t)的一個(gè)周期內(nèi)，采樣點(diǎn)數(shù)為10個(gè)，且在下一周期內(nèi)的采樣值與(0,2?)間的采樣值完全一樣。所以我們可以將輸入看為 周期為：T1?1?10?3s?1ms1000

? ?5sin?10x(n)?5sin2??103?nT3?2??10?4?n?????1? ?5sin?n??(n?0 ,1 ,?5?

由此看出,9)

?0?0.2?

根據(jù)公式可得此穩(wěn)態(tài)輸出為：

y(n)?5H(ej?0)cos?0n?argH(ej?0)?12.13cos0.2?n?51.6?????

4.試用N為組合數(shù)時(shí)的FFT算法求N?12的結(jié)果(采并畫(huà)出流圖。??1.如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘需50? s 計(jì)算需要多少時(shí)間，用FFT運(yùn)算需要多少時(shí)間。

每次復(fù)加5? s，用它來(lái)計(jì)算512點(diǎn)的DFT[x(n)]，問(wèn)直拉?對(duì)于0?n?N,有解：依題意：N?3?4?r1r2，解: ⑴ 直接計(jì)算:

復(fù)乘所需時(shí)間: T?61?5?10?N2 ?5??10?65122 ?1.31072s

復(fù)加所需時(shí)間: T2?0.5?10?6?N?(N?1)?0.5?10?6?512?(512?1)?0.130816s ?T?T1?T2?1.441536s⑵用FFT計(jì)算:

復(fù)乘所需時(shí)間: T?61?5?10?N2log2N ?5?10?6?5122?log2512 ?0.01152s

復(fù)加所需時(shí)間: T2?0.5?10?6?N?log2N ?0.5?10?6?512?log2512 ?0.002304s ?T?T1?T2?0.013824s

n?n?1r2?n0,?n1?0,1,2?n0?0,1,2,3 同樣： 令N?r2r1 對(duì)于頻率變量k(0?k?N)有k?k?k1?0,1,2,31r1?k0,??k0?0,1,2x(n)?x(n1r2?n0)?x(4n1?n0)?x(n1,n0)X(k)?X(k1r1?k0)?X(3k1?k0)?X(k1,k0)11?X(k)??x(n)Wnk12n?0?3?2 ?x(n(4n1?n0)(3k1?k01,n)0)W12n0?0n1?0

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