第一篇：從一道幾何證明題談面積法

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從一道幾何證明題談面積法

作者：李小龍

來源：《理科考試研究·初中》2014年第01期

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求證：CF=PD+PE

對于該題，一般同學會想到截長法與補短法

如圖2，過點P作P⊥CF于，則四邊形PFD是矩形，則PD=F易證△PC≌△CPE，則C=PE于是CF=F+C=PD+PE這種方法叫做截長法

如圖3，過點C作CN⊥DP交DP的延長線于點N，則四邊形NCFD是矩形，則CF=DN易證△CPN≌△CPE，則PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE這種方法叫做補短法

無論是截長法還是補短法，都需要證明三角形全等，比較麻煩如果能夠注意到已知條件中的垂直條件，聯想到三角形的面積公式，于是便有如下簡捷證法：

如圖4，連結AP，則S△ABC=S△ABP+S△ACP

由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得

這樣我們僅根據圖形面積間的關系，利用三角形的面積公式便輕而易舉地完成證明這種證明幾何命題的方法叫做“面積法”巧用“面積法”證明幾何命題，往往能收到出奇制勝、簡捷明快之效

說明平行線具有“傳遞面積”的功能也就是說，如果兩條直線互相平行，那么在其中一條直線上取兩定點，以這兩個定點和另一條直線上的任意一點構成的三角形的面積都相等

第二篇：一道幾何證明題的探究

一道幾何證明題的探究

在很多人眼里，數學的學習首先是識記一些知識點，其次更重要的是要做大量的題，見很多不同的題，這樣才能真正把數學學好。但是在茫茫題海中很多學生卻找不到了方向，這又是為什么呢？其實上面這種題海的學習方法并不完全正確，做題固然重要，但是知識點也同等重要，做題只是一個手段，是為了更好的掌握所學的知識點，更重要的是通過一道題你真正從當中學會什么知識，學會什么解題方法等等，換句話說題不一定要做多，關鍵是要做得“精”，每做一道題就要從當中去“挖”你所需要的東西，之后再和你所學的知識點進行聯系對比學習，這樣兩者結合才是學好數學的最佳辦法，比如我們從下面一道題來講解。

例.如圖：在?ABC中，?B?2?C.A

求證：AC?2AB

分析：這道題的已知條件是給出一個三角

形和一個等式，要證明的卻是一個不等

C式，從所學過的三角形知識入手，聯系已B

知條件和結果的重要定理為：三角形兩邊

之和大于第三邊，故應該把AC（或者是和AC相等的線段）和AB（或者是和AB相等的線段）放在同一個三角形里邊，這道題的關鍵就是如何構造含AC和AB的三角形。

證法一：（割補法中“補邊”的思想）

延長線段CB到點D，使得BD?AB

?BD?BA

A??D??BAD

又??ABC??D??BAD

??ABC?2?D

又??ABC?2?C

DB??C??D

?AC?AD

在?ABD中，AD?AB?DB?2AB

?AC?2AB

這種證法是把AB和與AC相等的線段AD放在同一個三角形里，欲證明結論只需要證明BD?BA，通過唯一的一個條件?B?2?C可以證明到?ABD為等腰三角形，再利用三角形的不等式性質可以輕松進行證明。

證法二：（割補法中“割邊”的思想）A

作AD交BC于點D，使AB?AD

??B??ADB

??ADB??C??DAC,??B??C??DAC

B又 ??B?2?C DCC

??C??DAC?AD?DC又?AB?AD

?AB?AD?DC在?ADC中，AC?AD?DC

?AC?2AB

這種證明方法是通過把AC?2AB中的2AB化為AD?DC，與證法一類似還是通過構造等腰三角形和三角形的兩邊之和大于第三邊來證明結論。

證法三：（割補法中“補角”的思想）

以C為頂點作?BCD??ACB其中CD與AB的延長線角于點D??ABC?2?ACB,?ACB??BCD??BCD為等腰三角形；故BD?BC,2BC?CD??A??A;?ABC??ACD??ABC∽?ACD?

AB

ACCD2

?AC?2AB

?BC

?1

B

C

A

D

這種證法與證法一相對應，證法一是通過補邊得到等腰三角形，這里是 通過補角構造等腰三角形來進行證明。證法四：（割補法中“割角”的思想）

A作?ABC的角平分線BD交AC于點D

易證：?ABD∽?ACB?

ABAC

?BDCB

?AB?

AC?BDBC

C

又??ABC?2?C

B

??BCD為等腰三角形?BD?DC

又?BC?2BD(三角形兩邊之和大于第三邊）?AB?

AC?BDBC

?

AC?BD2BD

?AC2

?AC?2AB

這種證明方法與證法二相對應，證法二是通過割邊，這里是通過割角來構造等腰三角形，利用三角形相似來得到AC和2AB的大小關系。

證法五：作?ABC的外接圓⊙o

作AC的中垂線OD交⊙o于點D則AD=DC

又 ??B?2?C??

ADC=2AB

B

?AB?AD?DC

在?ADC中，AD?DC?AC?AC?2AB

這種證明方法是通過三角形外接圓的性質構造等腰三角形來進行證明。

證法六：由正弦定理得：則

ABsinC

?

ACsin2C

?

AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 ?0?cosC?1

?

?

ABAC

?

12cosC

?

B

C

即AC?2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

?ACsinB

?BCsinA

?2R，R為?ABC外接圓半徑）

很多人一看這道題還以為只是在講一題多解的問題，其實并不是這樣，因為當中蘊含著很多的東西。通過這道題我們可以想到一些問題：（1）一道幾何題，甚至可以說是一道數學題，往往都可以一題多解。（2）通過一題多解可以培養學生不斷思考的能力，有利于學生思維的培養。（3）正是由于一題多解就導致其中會涉及到很多內容，很多知識點，很多學生在做了題過后根本就不知道做題是為了什么？他有沒有學到東西？其實做題只是一個手段，是為了通過題來更好地掌握知識，把所學的知識點，方法學會。這道題看似很簡單，其實把每種解法看了過后，你就會發現里面幾乎涉及了所有初中幾何方面的知識，比如：輔助線的作法，角平分線定理，正弦定理，圓的知識等等。也就是說每做一道題我們都應該教學生如何去思考，往深處想，往廣處想，看似越簡單的題里面蘊含的知識，方法就越多，不要做完題就“走人”，這樣是達不到學習效果的，如果長期以這種態度做題，即使你做再多的題也是沒有效果的。

第三篇：幾何證明題

幾何證明題集（七年級下冊）

姓名：_________班級：_______

一、互補”。

E

D

二、證明下列各題：

1、如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求證：DB//EC.E D

3ACB2、如圖，已知AD//BC，∠1=∠B，求證：AB//DE.AD BCE3、如圖，已知∠1+∠2=1800，求證：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如圖，已知DF//AC，∠C=∠D,求證：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如圖，在三角形ABC中，D、E、F分別為AB、AC、BC上的點且DE//BC、EF//AB，求證：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如圖，已知EC、FD與直A線AB交于C、D兩點且∠1=∠2，1求證：CE//DF.CE

FD

2B7、如圖，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分別是∠ABC和∠ADC的平分線，AB//CD，求證：DE//BF.FDC

A E8、如圖，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如圖,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求證: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一點，GE⊥BC于E，GE的延長線與BA的延長線交于F，∠BAD=∠CAD，求證：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求證：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上圖，已知∠BCD=∠B+∠D，求證：AB//CD.15、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上圖，已知∠BCD=∠B-∠D，求證：AB//CD.17、如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上圖，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求證：AB//CD.

第四篇：談初中幾何證明題的入門

談初中幾何證明題的入門

l初一了，學生開始從實驗幾何向論證幾何過渡。在之前，雖然學過一部分，但沒有格式上的特殊要求，只要能看懂圖形，根據圖形回答問題，也就是說初一是學生學習幾何的關鍵期。要學好幾何證明題，關鍵是順利闖過幾何證明題入門這一關。如果能把握好了這一步，就可以順利地進行幾何這門學科的學習。那么，怎樣才能使學生過好這一關呢？

一、強心理攻勢——闖畏難情緒關

初

一、初二學生的年齡，一般都在十三、十四歲左右，從心理學角度來看，正是自覺思維向邏輯思維的過度階段。因此，幾何證明的入門，也就是學生邏輯思維的起步。這種思維方式學生才接觸，肯定會遇到一些困難。從自己多年的教學實踐來看，有的學生在這時“跌倒了”，就喪失了信心，以至于幾何越學越糟，最終成了幾何“門外漢”。但有的學生，在這時遇到了一些困難，失敗了，卻信心十足，不斷地去總結，認真思考，最后越學越有興趣。2008學年當我接班伊始，我就注意到那個坐在教室中間的小周：雖然她平時上課能安靜聽講，但是集中注意力時間很短，記憶能力也特別差，當老師提問她時，總是羞澀地低下頭，默不作聲。她經常偷工減料地寫作業，對自己的要求也不高，所以她數學總分只有30多分。我想自己一定要努力改變這一情況，共同尋找一條適合她的教學之路。

通過與她談心，讓她意識到幾何證明題是學習幾何的入門，是學生邏輯思維的起步。“你和同學們同時開始學習幾何，相信自己的能力，只要上課認真聽講，在學習過程中不斷地總結經驗，有不懂的，有疑問的及時問老師，相信自己的能力，同時也是證明自己不比別人差的一個最好的機會。”“不管在什么情況下，老師做到有問必答，也保證不會有任何批評的話。老師相信在你自己的不斷總結和嘗試下，在幾何證明這一塊上不會輸于任何一個學生?！蔽易屍涿靼壮?/p>

一、初二正是學習幾何證明的一個契機，只要能學好，代數部分也會有所提高，更何況她的前一階段的數學成績在個人的努力下還是有所提高，說明思維能力還是比較強的。通過談心她表示愿意克服困難，和大家一起學習幾何證明。當她有進步后，及時地給予表揚?！澳阕龅谜婧?，繼續努力！”“雖然有點小問題，但有進步，加油!”在交上的作業中，總是給予點評，寫些鼓勵的語言。在不斷的鼓勵和幫助下，學習逐漸有了信心，學習成績在逐步提高。

二、小梯度遞進——闖層層技能關

學好幾何證明，起步要穩，因此要求學生在學習幾何時要扎扎實實，一步一個腳印，在掌握好幾何基礎知識的同時，還要培養學生的邏輯思維能力。

1、牢記幾何語言

幾何證明題，要使用幾何語言，這對于剛學幾何的學生來說，僅當又學一門“外語”，并努力盡快地掌握這門“外語”的語言使用和表達能力。

首先，從幾何第一課起，就應該特別注意幾何語言的規范性，要讓學生理解并掌握一些規范性的幾何語句。如：“延長線段AB到點C，使AC=2AB”,“過點C作CD⊥AB，垂足為點D”，“過點A作l∥CD”等,每一句通過上課的教學，課后的輔導，手把手的作圖，表達幾何語言；表達幾何語言后作圖，反復多次，讓學生理解每一句話，看得懂題意。其次，要注意對幾何語言的理解，幾何語言表達要確切。例如：鈍角的意義是“大于直角而小于平角的叫鈍角”，“大于直角或小于平角的角叫鈍角”，把“而”字說成了“或”字，這就是學習對幾何語言理解不佳，造成的表達不確切。“一字之差”意思各異，在輔導時，注重語言的準確性，對其犯的錯誤反復更正，做到學習之初要嚴謹。

2、規范推理格式

數學中推理證明的書寫格式有許多種，但最基本的是演繹法，也就是從已知條件出發，根據已經學過的數學概念、公理、定理等知識，順著推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求證的結論來。這種證題格式一般叫“演繹法”，課本上的定理證明，例題的證明，多數是采用這種格式。它的書寫形式表達常用語言是“因為?，所以?”特別是一開始學習幾何證明，首先要掌握好這種推理格式，做到規范化。如：在平行線性質的教學中，開始以填空的形式填寫，圖1：因為∠1=∠2（已知）

所以 a∥b（）

其后把圖形復雜化

圖2：因為∠DAB=∠B（已知）

所以DE∥BC()

改變填空的形式

因為____________（已知）

所以DE∥BC()

通過反復、不同形式的填寫，讓學生掌握基本性質的表達格式，體會圖形與題目存在的依存關系。同時通過從定義、性質、判定出發，由簡到難，逐步深入，讓學生提高對幾何證明的信心。

3、積累證明思路

“幾何證明難”最難莫過于沒有思路。怎樣積累證明思路呢？這主要靠聽講，看書時積極思考，不僅弄明白題目是“如何證明？”，還要進一步追究一下，“證明題方法是如何想出來的？”。只有經常這樣獨立思考，才會使自己的思路開闊靈活。隨著證明題難度的增加，還要教會學生用“兩頭湊”的方法，即在同一個證明題的分析過程中，分析法與綜合法并用，來縮短已知與未知之間的距離，在教學安排時，要給其足夠的時間思考，而且重復證明思路，提高對解題思路的理解和應用能力。例如：在教授平行線和角平分線的關系時,設置了不同的例題：

如圖3：已知BE平分∠ABC，∠DBE=∠DEB.求證:DE∥BC

通過講解,要求學生仿寫一遍,總結思路,形成”角平分線和等量代換可以證明平行線"的思想，之后，又共同完成與上面例題相仿的變式練習：

如圖4：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AE=DE.求證: DE∥BC.經過學生之間的互學互教進一步掌握方法和解題格式,再通過變式訓練達到本課的教學要求。

通過反復操練解題思路，在注重解題格式的要求下，每個學生在每一堂課上積累一個解題思想，學到一點新知識，都有所收獲增強對學習幾何的信心。

4、培養書寫證明過程中的邏輯思維能力

有的學生寫出的證明過程，條理清楚，邏輯性強，但有的學生寫出的證明過程邏輯混亂，沒有條理性，表達不清楚，這種情況，就是在平時的教學中，沒有注意培養學生的邏輯思維能力。

首先，一開始學習幾何，一定要在書寫證明過程中逐步培養學生的邏輯思維能力。強調由哪個條件才能得出什么結論，不要根據初三數學對幾何證明的要求，忽略中間的條件的描

述。例如在三角形全等的幾何證明中，如圖，AC∥DE，AC=DE，BD=FC.說明△ABC≌△EFD.解：因為AC∥DE（已知）

所以∠ACB=∠EDF(兩直線平行，內錯角相等)（第一段）

因為BD=FC（已知）

所以BD+DC=FC+DC(等式性質)

即BC=FD（第二段）

在△ABC和△EFD中

AC=DE（已知）

∠ACB=∠EDF（已證）

BC=FD（已證）

所以△ABC≌△EFD（S.A.S）（第三段）

在描述中不要漏了條件的大括號，判定依據等，檢驗在寫的過程中是否符合所寫的幾何命題的格式等注意思維的嚴密性。

其次，在書寫證明過程時，要逐步培養學生書寫證明過程中的整體邏輯性，即通過分析，這個證明過程可分幾大段來寫，每一段之間的邏輯關系是什么?哪些段應先寫，哪些段應后寫。例如在上面的幾何證明過程中，分成三大段，強調應先寫第一段和第二段，第一段和第二段可以互換，第三段與第一段和第二段之間不能互換，提醒注意段與段之間的邏輯性，在搞清楚了這些之后，然后再分段書寫證明過程，前面已證明的結論，在后面的證明過程中直接應用應把條件在寫一次，體現其邏輯性。這樣寫出來的證明過程才條理清楚，邏輯性強。

三、善于總結經驗——把好思維總結關

隨著幾何課程的進展，幾何證明題的內容和難度都會不斷地增加。因此，學習了一段之后，要回顧一下，看看已學了哪些知識點？自己在審題，推理、思路分析，證明過程等的書寫方面掌握了沒有，熟練的程度如何？如果在某些方面掌握得還不很好，就要在該方面多作一些練習，多想多問，使自己達到即熟練，又會“巧用”的程度。

例如在經過一個星期的幾何證明學習后，每個星期出好一份與前一階段講課內容一致的練習題，通過學生的答題了解學生的掌握情況，在試卷分析的時候著重對思維能力較強的，學生錯的較多的問題進行講解，同時通過小組之間的合作，互相說出解題思路和錯誤的原因，不斷的地找出自己在解題過程中的問題，總結前一階段學習中的幾何證明推理和思維上存在的問題，使下一階段的學習更優化。

總之，如果以上過程都一步一個腳印地走好了，那么你就會很輕松地進入幾何證明學習的大門，在幾何證明的王國里遨游。我始終堅持幫助學生闖過畏難心理，堅信每一個孩子都是擁有巨大的潛能，永不放棄一個學生。我反復把握關鍵點，反復指導學生，讓他們體會學習數學的樂趣，獲得成功的喜悅。我相信只要時刻關注學

第五篇：談初中幾何證明題教學（模版）

談初中幾何證明題教學

眾所周知，幾何證明是初中數學學習的難點之一，其難就難在如何尋找證明思路，追根問底還是因為幾何證明題的本質不易把握。為此，在初等幾何的學習中融入數學思想方法，具有重要意義，而且切實可行。通過平時的學習、探索和積累，我發現其中的“結構思想”，即“數學是一個有機的整體，觀察數學問題要著眼于結構的整體性。從宏觀上對數學問題進行整體研究，抓住問題的框架結構和本質關系，把一些貌似獨立而實質又緊密聯系的特征視為系統中的整體”對探尋幾何的證明思路，把握問題的本質，培養觀察能力有一定的指導意義。

新一輪課程改革立足于“改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調形成積極主動的學習態度，使獲得基礎知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程。”在這樣的指導思想下，初中幾何發生了較大的變化。

初中幾何一直就是中學數學的重要內容，秉承“深化教育改革，全面推進素質教育”的指導思想，在這次新課程改革中，初中幾何部分有了較大的調整。對比新課程改革后初中幾何的變化，深入理解教改的初衷，全面貫徹教改的思想，不但有利于更好地完成教改的任務，而且有利于利用新教材創造性地提高學生的數學素養。

考題：如圖，在Rt△ABC中∠C=90°以AC為直接徑，作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E，連接ED。

⑴求證：ED是⊙O的切線。

⑵E為BC的中點，如果⊙O的半徑為1.5，ED=2，求AB的長。

這是某市九年級人教版秋季學期一道期考試題，從題型看這是一道再普通不過的圓有關證明和計算的幾何考題，而我校作為一所比較有名的初中，全校九年級約500個考生的答卷中，第問“求AB的長”尚有80％左右的考生能正確的解答出來，而第（1）“求證：ED是⊙O的切線”只有約10％的考生能正確地寫出證明解答過程。究其原因何在？筆者認為，其主要原因是教師在平時的課堂教學中，對幾何證明的指導不到位、引導方法不夠靈活，措施不到位造成的直接后果。

怎樣指導學生對幾何證明題進行有效正確的證明分析解答，并簡單地寫出證明過程，筆者通過對本考題學生答卷出現的各種錯誤情況，結合本校使用新課改教材突出的特點，歸納總結出以下4個步驟，進行指導，收到良好的效果。

1.讀

讀就是閱讀題目和題圖的過程中，做到逐個條件，逐個問題地對號入座地進行審題、讀圖。

2.記

記就是在“讀”的過程中，對題目中給出的條件和問題作簡要的濃縮并作劃記，并用①、②??和“？”作標記。如本考題問可作標記為：已知①∠C=90°；②AC為直徑；③OE∥AB求證ED是⊙O的切線？

3.選

“選”就是選定解題思路，確定解題方法，即根據讀題和標記的結果，結合自己所掌握的數學知識。選定解題思路，最終確定解題方法，并寫出簡要解答過程。如本題中，要證明DE為⊙O的切線，得作輔助線：連結

OD，則點D就是⊙O的外端，只須再證明OD⊥DE（即∠ODE=90°）就可以了，從而選定證明∠ODE=90°；而要達到這個∠ODE=90°這個結果，只有通過證明△EOC≌△EOD從而也就確定了解題方法。

4.返

就是選定了解題思路、確定了解題方法，并寫出解答的過程中，特別是遇到解答的過程受阻時，不斷地返回到題目中已作的標記和題圖的標記和已知條件中去，檢查是否漏用或誤用已知條件，及時調整解題方案。可以看出，“讀、記、選、返”四個步驟通俗易懂、淺顯具體，只要始終堅持滲透課程數學課堂教學之中，并要求學生始終運用到平時的練習之中，善于積累，逐漸養成“見其型，通其路，套其法”的良好習慣，就能很好糾正學生不良的解題思維習慣和學習習慣！

初中數學，廣西賀州市從2008年秋季學期啟用人教版新課改教材至今，恰好經歷了兩個周期。五年來，課改的新理念、新思維、新評價如風暴襲來，我們有過欣喜和期盼，教學實踐中，沒有石頭照樣過河。

評價考試后，我們充滿困惑與無奈，卻不知路在何方。長期以來，我們數學課堂教學關注的是大量繁雜的公式，陷入了題的海洋。中學數學課堂教學最應該關注什么？既不是單純的方法總結，也不是數學知識技能的簡單積聚。數學教育的發展方向應與教育發展的大方向相一致，數學教育更應該關注思考：上完一節數學課，在學生頷首的同時還是有那么多的學生仍在質疑，到底學到了什么？他們對自己在數學學科上付出那么多的時間和精力感到惋惜，對自己在數學上的天賦和能力產生懷疑與反思。而教師本身是否也反省過自己，一節課下來我們到底教給了學生什

么？方法、過程，還是答案？所謂“點石成金”我們到底教給學生“點石”的手指還是“點成”的金子？我們不能武斷地歸結于學生的不努力，我們的數學教育有沒有問題。就目前的狀況，中學數學教育仍舊可以用“紙上談兵”這句成語簡單概括之。

課堂是教師演練陣容的戰場，解題成為操起的刀戈，忽略了解題思路、解題方法，一味追求解題結果，將會逐漸迷失自我，喪失自我思考的能力！我們是否思考過：路就在自己的腳下，路就在自己的每一節課中，讓校本科研走進我們每一個數學教師的每一節課中吧！

當今世界，反思意識已成為學術界的重要特征。要使基礎教育課程改革向縱深推進，就必須提高教師的素質，尤其是提高教師的反思特質。開展校本教育科研活動，有利于學校引導教師理性反思教學，喚醒教師的自覺能動性和創造性，促使教師不斷追求教育實踐的合理性，讓教師學會“教”，學生學會“學”。

學校要倡導教師以科學的精神、研究者的姿態，在不斷反思中自覺運用先進的教育理論指導實踐，探索教育規律。這既是時代對教師的要求，也是促進每一個學生都得到發展的前提條件。

校本科研的特征是“為了學校，在學校中，基于學?！保處熞@得專業發展，離不開“校本科研”的引領。學校應積極構建以校為本的研究機制，引領教師專業成長，反之又以教師的專業成長來推動學校發展，提升學校的辦學水平。教學的生機與活力存在于教學研究中，教科研必須充分考慮教師的感受和內在需求。從教師角度講，加強理論學習，并自覺接受理論的指導，努力提高教學理論素養，這也是教師專業成長的必經之路。