第一篇：數(shù)學(xué)運算之抽屜原理專題公務(wù)員

數(shù)學(xué)運算之抽屜原理專題

抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理（“如果有五個鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當(dāng)鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”）。它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。

假設(shè)有3個蘋果放入2個抽屜中，則必然有一個抽屜中有2個蘋果，她的一般模型可以表述為：

第一抽屜原理：把（mn+1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至少有（m+1）個物體。

若把3個蘋果放入4個抽屜中，則必然有一個抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。

制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵

例

1、一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？ A．12 B．13 C．15 D．16 【解析】根據(jù)抽屜原理，當(dāng)每次取出4張牌時，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當(dāng)取出12張牌時，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當(dāng)抽取第13張牌時，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。例

2、從1、2、3、4……、12這12個自然數(shù)中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，他們的差是7？

A．7

B．10

C．9

D．8 【解析】在這12個自然數(shù)中，差是7的自然樹有以下5對：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，還有2個不能配對的數(shù)是｛6｝｛7｝。可構(gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個抽屜。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，顯然從7個抽屜中取8個數(shù)，則一定可以使有兩個數(shù)字來源于同一個抽屜，也即作差為7，所以選擇D。

例

3、有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（）

A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】這是一道典型的抽屜原理，只不過比上面舉的例子復(fù)雜一些，仔細分析其實并不難。解這種題時，要從最壞的情況考慮，所謂的最不利原則，假定摸出的前4粒都不同色，則再摸出的1粒（第5粒）一定可以保證可以和前面中的一粒同色。因此選C。

傳統(tǒng)的解抽屜原理的方法是找兩個關(guān)鍵詞，“保證”和“最少”。

保證：5粒可以保證始終有兩粒同色，如少于5粒（比如4粒），我們?nèi)〖t、黃、藍、白各一個，就不能“保證”，所以“保證”指的是要一定沒有意外。最小：不能取大于5的，如為6，那么5也能“保證”，就為5。

例

4、從一副完整的撲克牌中至少抽出()張牌.才能保證至少 6 張牌的花色相同。

A.21

B.22

C.23

D.24 解析：2+5*4+1=23

第二篇：數(shù)學(xué)運算之抽屜原理專題

數(shù)學(xué)運算之抽屜原理專題 數(shù)學(xué)運算之抽屜原理專題

抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理（“如果有五個鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當(dāng)鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”）。它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。

假設(shè)有3個蘋果放入2個抽屜中，則必然有一個抽屜中有2個蘋果，她的一般模型可以表述為：

第一抽屜原理：把（mn+1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至少有（m+1）個物體。

若把3個蘋果放入4個抽屜中，則必然有一個抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵

例

1、一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？

A．12 B．13 C．15 D．16

【解析】根據(jù)抽屜原理，當(dāng)每次取出4張牌時，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當(dāng)取出12張牌時，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當(dāng)抽取第13張牌時，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。

例

2、從1、2、3、4??、12這12個自然數(shù)中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，他們的差是7？

A．7

B．10

C．9

D．8

【解析】在這12個自然數(shù)中，差是7的自然樹有以下5對：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，還有2個不能配對的數(shù)是｛6｝｛7｝。可構(gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個抽屜。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，顯然從7個抽屜中取8個數(shù)，則一定可以使有兩個數(shù)字來源于同一個抽屜，也即作差為7，所以選擇D。

例

3、有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（）

A.3

B.4

C.5

D.6 【解析】這是一道典型的抽屜原理，只不過比上面舉的例子復(fù)雜一些，仔細分析其實并不難。解這種題時，要從最壞的情況考慮，所謂的最不利原則，假定摸出的前4粒都不同色，則再摸出的1粒（第5粒）一定可以保證可以和前面中的一粒同色。因此選C。傳統(tǒng)的解抽屜原理的方法是找兩個關(guān)鍵詞，“保證”和“最少”。保證：5粒可以保證始終有兩粒同色，如少于5粒（比如4粒），我們?nèi)〖t、黃、藍、白各一個，就不能“保證”，所以“保證”指的是要一定沒有意外。

最小：不能取大于5的，如為6，那么5也能“保證”，就為5。例

4、從一副完整的撲克牌中至少抽出()張牌.才能保證至少 6 張牌的花色相同。

A.21

B.22

C.23

D.24 解析：2+5*4+1=23 轉(zhuǎn)載自:http://

第三篇：[數(shù)學(xué)運算]抽屜原理

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127 抽屜原理一

把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有4種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

……

更進一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個月過生日。

【例 2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個，即至少應(yīng)取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

教練員提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。

運用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學(xué)可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類等等

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個例子：如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設(shè)相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1時，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

例1某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127 原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

例3六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。

例4籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個“抽屜”。

81÷10=8……1（個）。

根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。

例5學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個課外學(xué)習(xí)班，每個學(xué)生最多可以參加兩個（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，要有學(xué)生

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

7×（5-1）＋1＝29（名）。

晨風(fēng)公務(wù)員考試QQ討論群

8326127

第四篇：2014年安徽政法干警考試：行測數(shù)學(xué)運算之抽屜原理

【導(dǎo)讀】安徽政法干警考試網(wǎng)為您提供：2014年安徽政法干警考試：行測數(shù)學(xué)運算之抽屜原理，歡迎加入安徽政法干警考試交流群：25350358。更多信息請關(guān)注安徽人事考試網(wǎng)http://wuhu.offcn.com

推薦閱讀：

2014年安徽政法干警筆試輔導(dǎo)簡章【面授】

2014年安徽政法干警筆試輔導(dǎo)簡章【網(wǎng)校】4680元不過全退

題干中含有諸如“至少??才能保證??”、“要保證??至少??”這類敘述的題目，一般可以用抽屜原理來解決，稱為抽屜問題。對于這類問題，常應(yīng)用到以下兩個抽屜原理，中公教育政法干警考試專家通過以下兩個例子為您詳細解析。

抽屜原理1

將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品件數(shù)不少于2件。抽屜原理2

將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于(m+1)件。

除此之外，抽屜問題也可以用最差原則來考慮。所謂最差原則，就是考慮問題發(fā)生的最差情況，然后就最差情況進行分析。最差原則是極端法的一種應(yīng)用，一般情況下，我們優(yōu)先考慮用最差原則來解決抽屜問題。

【例題1】抽屜里有黑白襪子各10只，如果你在黑暗中伸手到抽屜里，最少要取出幾只，才一定會有一雙顏色相同?

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：此題答案為B。應(yīng)用最差原則，最差的情況是先取出兩只不同的襪子，此時再取一只必然出現(xiàn)一雙顏色相同的，故最少取出3只可保證題干條件。

【例題2】把154本書分給某班的同學(xué)，如果不管怎樣分，都至少有一位同學(xué)會分得4本或4本以上的書，那么這個班最多有多少名學(xué)生?

A.77 B.54 C.51 D.50

解析：此題答案為C。此題首先考慮使用最差原則，發(fā)現(xiàn)不容易得出答案。看到“至少有一位同學(xué)會分得4本或4本以上”這種抽屜問題的標(biāo)準(zhǔn)表述，因此可以考慮使用抽屜原理。每位同學(xué)看成一個抽屜，每個抽屜內(nèi)的物品不少于4件，逆用抽屜原理2，則有m+1=4，m=3。154=3×n+1，n=51，所以這個班最多有51名學(xué)生。

更多信息查看安徽人事考試網(wǎng) 安徽政法干警考試網(wǎng) 安徽公務(wù)員考試網(wǎng)

第五篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個蘋果放到4個抽屜中，必然有一個抽屜中至少有2個蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有（m＋1）個物體。

使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說來，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。

例1 從1，2，3，…，100這100個數(shù)中任意挑出51個數(shù)來，證明在這51個數(shù)中，一定：

（1）有2個數(shù)互質(zhì)；

（2）有2個數(shù)的差為50；

（3）有8個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組，這一組中的2個數(shù)是兩個相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。

（2）將100個數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個數(shù)中，必有2個數(shù)屬于同一組，這一組的2個數(shù)的差為50。

（3）將100個數(shù)分成5組（一個數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個數(shù)，故選出的51個數(shù)至少有29個數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個余數(shù)是相同的，這2個數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個人都與其中的66人相識，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識（假定相識是互相的）。

分析：注意到題中的說法“可能出現(xiàn)……”，說明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說的結(jié)論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學(xué)生作為3個抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認識的66人只在B，C中，同時，B，C中的學(xué)生所認識的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說情況

/ 7

就可能出現(xiàn)。

因為禮堂中任意4人可看做4個蘋果，放入A，B，C三個抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來自同一組，那么他們認識的人只在另2組中，因此他們兩人不相識。

例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

分析：此題中沒有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問題的角度。

解：內(nèi)外兩環(huán)對轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個環(huán)轉(zhuǎn)動。一個環(huán)轉(zhuǎn)動一周后，每個滾珠都會有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個抽屜。

注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動45°角就有一次滾珠相對的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動一周共有8次滾珠相對的局面，而最初的8對滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動中，將7次轉(zhuǎn)動看做7個抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對的局面看做8個蘋果，則至少有2次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動中，即必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

例5 有一個生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間。現(xiàn)在需要重量相差不超過0.005克的兩只鐵盤來裝配一架天平，問：最少要生產(chǎn)多少個盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個盤子，就一定可以從中找到兩個盤子屬于同一組，這2個盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個籌碼，其中有41個紅的和59個藍的。那么總可以找到兩個紅籌碼，在它們之間剛好放有19個籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時，使每個抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個籌碼。

解：依順時針方向?qū)⒒I碼依次編上號碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個紅籌碼看做蘋果，放入以上20個抽屜中，因為41=2×20＋1，所以至少有一個抽屜中有2+1=3（個）蘋果，也就是說必有一組5個籌碼中有3個紅色籌碼，而每組的5個籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個相鄰籌碼之間都有19個籌碼，那么3個紅色籌碼中必有2個相鄰（這將在下一個內(nèi)容——第二抽屜原理中說明），即有2個紅色籌碼之間有19個籌碼。

下面我們來考慮另外一種情況：若把5個蘋果放到6個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

/ 7

第二抽屜原理：把（mn-1）個物體放入n個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有（m-1）個物體。

例7 在例6中留有一個疑問，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個籌碼，其中有3個是同色的，那么這3個同色的籌碼必有2個相鄰。

分析：將這個問題加以轉(zhuǎn)化：

如右圖，將同色的3個籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個籌碼將其隔開。

解：如圖，將同色的3個籌碼放置在圓周上，將每2個籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個籌碼看做蘋果，將2個蘋果放入3個抽屜中，則必有1個抽屜中沒有蘋果，即有2個同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個變形——平均值原理。

我們知道n個數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個數(shù)不大于a，也至少有一個不小于a。

例9 圓周上有2000個點，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，…，1999（每一點只標(biāo)一個數(shù)，不同的點標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標(biāo)的三個數(shù)之和不小于2999。

解：設(shè)圓周上各點的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個點，與它緊相鄰的兩點和這點上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時回來，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來時，每個客人都能用自己分到的鑰匙打開一個房門住進去，并且避免發(fā)生兩人同時住進一個房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個房間中至少有一個房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開，因此90個人就無法按題述的條件住下來。

/ 7

另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個房間一把），那么任何90名旅客返回時，都能按要求住進房間。

最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問題時，往往要多次反復(fù)地運用抽屜原理，請看下面兩道例題。

例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個四角同色的長方形。

證明：我們先考察第一行中28個小方格涂色情況，用三種顏色涂28個小方格，由抽屜原理知，至少有10個小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個小方格中，至少有2個小方格是涂有紅色的，那么這2個小方格和第一行中與其對應(yīng)的2個小方格，便是一個長方形的四個角，這個長方形就是一個四角同是紅色的長方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個小方格便只能涂上黃、藍兩種顏色了。

我們先考慮這個3×7的長方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍色，那么這2個涂上藍色的小方格和第一行中與其對應(yīng)的2個小方格便是一個長方形的四個角，這個長方形四角同是藍色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍、黃兩色涂3個小方格，由抽屜原理知，至少有2個方格是同色的，無論是同為藍色或是同為黃色，都可以得到一個四角同色的長方形。

總之，對于各種可能的情況，都能找到一個四角同色的長方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學(xué)生最多有多少人？

解：設(shè)每題的三個選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對第一題的答案只有兩種。對于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對于這3人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求。可見，所求的最多人數(shù)不超過9人。

另一方面，若9個人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個問題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13

1.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績相同。”請問王老師說得對嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個乒乓球盒，每個盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個

/ 7

乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問：在至少多少個初二學(xué)生中一定能有4個人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)，證明在這51個數(shù)中，一定：

（1）有兩個數(shù)的和為101；

（2）有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個數(shù)或若干個數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個白格，證明

（1）若僅含一個白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個白格；

（2）只有一個白格的列只有3列。

6.某個委員會開了40次會議，每次會議有10人出席。已知任何兩個委員不會同時開兩次或更多的會議。問：這個委員會的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺機器組成，只有每臺機器都開動時，這條流水線才能工作。總共有8個工人在這條流水線上工作。在每一個工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場。為了保證生產(chǎn)，要對這8名工人進行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機器的操作方法稱為一輪。問：最少要進行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。

練習(xí)13

1.對。解：因為49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說，把從100分至86分的15個分數(shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分數(shù)在同一抽屜中，即成績相同。

2.4個。解：18個乒乓球盒，每個盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個盒子中放了1只乒乓球，3個盒中放了2只乒乓球……3個盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個抽屜里的任何一個盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進原來有2只乒乓球的一個盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個盒子，這樣就有4個盒子里裝有3個乒乓球。所以至少有4個乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個。

解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個）。

根據(jù)抽屜原理，要保證有4個人身高相同，至少要有初二學(xué)生

3×11+1=34（個）。

4.證：（1）將100個數(shù)分成50組：

/ 7

｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個數(shù)。在選出的51個數(shù)中，第10組的41個數(shù)全部選中，還有10個數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個數(shù)，一個是另一個的倍數(shù)。

（3）將選出的51個數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個和中有一個是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個和中沒有一個是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個，故必然有兩個的余數(shù)是相同的，這兩個和的差是51的倍數(shù)，而這個差顯然是這51個數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個數(shù)或若干個數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個白格，則剩下的5個白格要放入3列中，將3列表格看做3個抽屜，5個白格看做5個蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個蘋果放入3個抽屜，則必有1個抽屜至多只有（2-1）個蘋果，即必有1列只含1個白格，也就是說除了原來3列只含一個白格外還有1列含1個白格，這與題設(shè)只有1個白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個白格。推知其余4列每列恰好有2個白格。

（2）假設(shè)只含1個白格的列有2列，那么剩下的9個白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個白格矛盾。所以只有1個白格的列至少有3列。

6.能。

解：開會的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個委員開了7次（或更多次）會。但由已知條件知沒有一個人與這位委員同開過兩次（或更多次）的會，故他所參加的每一次會的另外9個人是不相同的，從而至少有7×9=63（個）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應(yīng)大于60。

7.20輪。

解：如果培訓(xùn)的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺機器上可進行工作的工人果這3個工人某一天都沒有到車間來，那么這臺機器就不能開動，整個流水線就不能工作。故培訓(xùn)的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進行20輪培訓(xùn)就夠了。對3名工人進行全能性培訓(xùn)，訓(xùn)練他們會開每一臺機器；而對其余5名工人，每人只培訓(xùn)一輪，讓他們每人能開動一臺機器。這個方案實施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個點A1，A2，…，A9表示9個數(shù)學(xué)家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語言涂上不同顏色）。此時有兩種情況：

（1）9點中有任意2點都有聯(lián)線，并涂了相應(yīng)的顏色。于是從某一點A1出發(fā)，分別與

/ 7

A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據(jù)題意，每人至多能講3種語言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語言通話。

（2）9點中至少有2點不聯(lián)線，不妨設(shè)是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設(shè)從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語言通話。

/ 7