第一篇：2013年全國研究生數學建模競賽F題

可持續的中國城鄉居民養老保險體系的數學模型研究

一、問題的提出

中國共產黨第十八次全國代表大會政治報告中提出了“統籌推進城鄉社會保障體系建設”的任務：“社會保障是保障人民生活、調節社會分配的一項基本制度。要堅持全覆蓋、保基本、多層次、可持續方針，以增強公平性、適應流動性、保證可持續性為重點，全面建成覆蓋城鄉居民的社會保障體系”。

近年來，我國城鎮職工養老保險金制度基本建立，參保覆蓋面日益擴大，退休人員待遇逐年提高，養老保險基金規模不斷上升，在制度層面上提前完成了城市和農村居民社會保障全覆蓋，成為我們社會保障事業發展的重要里程碑。然而也面臨巨大的挑戰。我國的養老保險體系建設遠遠滯后于社會發展水平。一方面資金規模相對較少，保障能力有限，地區差距、城鄉差距明顯；另一方面資金管理分散，運營效率不高，保值增值的壓力很大。進一步完善養老保險保障體系仍將是中國政府未來最重要的任務之一。

全國人大常委會法工委信春鷹副主任是《社會保險法》的制定者，她指出中國養老制度“最大的問題就是‘可持續’”，“我們看當下的歐洲，我們看現在出現財政危機的那些國家，他們的養老保險無一不遇到了極大的挑戰和問題。和其他國家相比，中國有特殊的問題，像前面幾位專家講的，我們比人家窮，比人家人口多，‘未富先老’。從制度上來說，我們的制度本身就有很多的缺陷，本身就很青澀，它是對現實妥協的一個產物。但是同時，這個制度一經產生就遇到了人口結構快速變化，社會尚未準備好，這些大的問題都出現了，對我們這個制度是非常大的挑戰。” 由于中國養老保險繳納與支付同時開始，中國保監會副主席陳文輝在陸家嘴論壇上承認“中國養老金缺口確實非常大”。社會科學院世界社保研究中心主任鄭秉文給出的數字是2011年城鎮基本養老保險個人賬戶“空賬”已經超過2.2萬億，較2010年增加約5000億。世界銀行的研究機構在研究我國的養老金問題研究報告中，認為到2013年，中國養老基金缺口達到18.3萬億元。在當前養老制度不變情況下，以后的年份缺口逐年放大。假設2013年后中國GDP的年增長率為6%，到2033年時養老金缺口將為驚人的68.2萬億元，占當年GDP的38.7%（見附件3、4，由于這是根據國家資產負債表估算，顯然比較粗糙）。另據中國社科院財貿所學者高培勇和汪德華最近的一項研究指出，在現有社保制度框架下，要確保2020年中國每個退休者都能領取養老金，以替代率52.4%計算，養老金支付缺口都會持續增加。最早在2015年，中國城鎮職工養老保險就會出現支付缺口。兩位學者預計，如果現在不能未雨綢繆，及時調整政策，到2050年，養老金缺口累積將達到該年GDP的95%。這樣巨大的資金缺口，必將使國家財政不堪重負。

而現有官方公布的數據卻有明顯差別。2012年6月4日，中國人力資源與社會保障部向社會公布了2011年度人力資源和社會保障事業發展統計公報。此公報是透視中國人力資源與社會保障工作成績的重要窗口，也是解析社會保險最權威的數據來源。統計公報顯示，截至2011年末，全國基本養老保險基金累計結余1.9497萬億元，全年城鎮基本養老保險基金總收入1.6895萬億元，比上年增長25.9％，全年基金總支出1.2765萬億元，比上年增長20.9％。和2009年、2010年相比，城鎮職工基本養老保險基金當期結余資金規模進一步擴大，已由2010年當期結余的2865億元增加到4130億元，增幅較大，這有利于緩解部分

省市養老金支付壓力。但有分析認為：基金征繳收入增長較快是其中一個重要原因。上述觀點分別反映中國養老金現狀的不同側面和未來趨勢的不確定性。

二、現實的情況

中國在20世紀90年代確立了城鎮職工基本養老保險“統賬結合”制度，基本養老保險是由社會統籌和個人賬戶兩部分組成。社會統籌部分由單位負擔繳費，為單位職工工資總額的20%，個人賬戶則由職工個人繳費，為個人工資的8%。前者“現收現付”，用于支付已退休人員的養老金，后者實行長期封閉積累，產權個人所有的“完全積累”制，原則上不能調劑借用的方式。

由于在現行養老保險制度確立之前，企業員工基本無需繳納養老保險費用，所以現有的養老保險基金中沒有這部分職工的個人賬戶部分。在養老保險制度設立之后，這部分職工退休后卻要從養老保險基金中領取養老金，這是我國社會保險制度必須承擔的轉軌成本的一部分。僅靠統籌賬戶不足以應對當期發放，加之各地財政實力不同，多數地區不得不在實際上采用了“現收現付制”的方法，即挪用個人賬戶的資金，用正在工作人合計繳納的28%的月工資來支付現有退休人員的退休金，現在工作人賬戶僅僅用來記賬，上述2.5萬億的記賬額由此形成。為解決這一問題，中國從2000年開始了“做實”個人賬戶試點。截至到2011年底，參與試點的遼寧、江蘇和山東等13個省份共積累個人賬戶基金達到2703億元，但其與記賬額之間的差額，仍達到2.23萬億元，此“空賬”被輿論定義成了養老保險“缺口”概念而廣為傳播。

三、需要解決的問題

面臨人口老齡化以及經濟結構性減速、財政收入增長速度下降，社會保障體系可持續問題亟待解決，必須進行前瞻性研究，否則將形成社會問題。我們應該承認歷史、立足現實、尊重規律、借鑒國外、留有余地，既量力而行，又盡力而為地完善我國的養老保險體系。本題要求運用數學模型方法研究、解決該問題。為此，請你們團隊做好以下幾項工作。（請研究生注意：可以引用有關參考文獻的結論和數學模型，更鼓勵創新，獨立提出新模型。若引用他人的模型與結論，必須注明出處，否則視情節輕重，直至作為抄襲處理）

1，分別建立合乎國情、適應國力的中國城鄉居民（含新農保）養老金收入、支出的宏觀數學模型，至少包括替代率（基本養老保險人均養老金占城鎮單位在崗職工平均工資比率）、繳費率（基本養老保險人均繳費占城鎮單位在崗職工平均工資比率）、人口結構、分年齡段死亡率、經濟增速、財政補貼、工資水平或物價指數、投資效益等主要因素，要做到模型結合現實，分多個層次（含企業基金等），體現“多繳多得，長繳多得”（不考慮分省、分地區模型）。如果使用國家統計局公布和題目提供數據以外的數據，必須指明出處并向競賽網站申請張貼于“資料下載”處，首先公布者可適當加分。

2，根據你們的數學模型、對養老金缺口的理解和對未來有關情況的合理估計，估計從今年至2035年我國養老金缺口，并說明你們對養老金缺口分析的合理性。如果全部情況維持不變，按照你們的數學模型我國城鄉居民養老保險收支矛盾最尖銳的情況發生在什么時間，嚴重程度如何？考慮到黨的十八大提出的收入倍增計劃，你們的數學模型哪些部分需要調整？

3，養老保險制度也是調節社會分配，請你們分析各國養老保險的不同模式，取其精華，去其糟粕，根據你們建立的數學模型和中國的實際情況，利用仿真手段尋找替代率和繳費率的合理區間以保證我國養老保險體系的可持續性（因為人口結構、分年齡段死亡率、經濟增速、投資效益等主要因素幾乎無法人為較大幅度改動）；在步入良性循環之前，在矛盾最尖銳到來前的過渡期內應該采取哪些政策措施實現平穩過渡并仿真預測相關政策的效果。

四．嘗試建立第三問增加可調節變量的數學模型。

參考文獻

1.《中國養老金發展報告2012》中國社會科學院世界社保研究中心(其中部分全國性數據掃描在附件中，并提供word等版本省去輸入)2.中國新聞網

《中國養老金發展報告2012》在京發布式 3.馬駿等《化解國家資產負債中長期風險》

4.曹遠征《意見中國――網易經濟學家訪談錄》

第二篇：2017年中國研究生數學建模競賽F題（推薦）

地下物流系統網絡

背景

交通擁堵是世界大城市都遇到的“困局”之一。2015年荷蘭導航經營商TomTom發布了全球最擁堵城市排名，中國大陸有十個城市位列前三十名。據中國交通部2014年發布的數據，我國交通擁堵帶來的經濟損失占城市人口可支配收入的20%，相當于每年國內生產總值(GDP)損失5~8%。15座大城市的居民每天上班比歐洲發達國家多消耗28.8億分鐘。大量研究表明：“時走時停”的交通導致原油消耗占世界總消耗量的20%。高峰期，北京市主干線上300萬輛機動車擁堵1小時所需燃油為240萬~330萬升。2015年城市交通規劃年會發布數據顯示：在石油消費方面，我國交通石油消費比重占到了消費總量的54%，交通能耗已占全社會總能耗10%以上，并逐年上升。高能耗也意味著高污染和高排放。

導致城市交通擁堵的主要原因是交通需求激增所帶來的地面道路上車輛、車次數量巨增，其中部分是貨物物流的需求增長。盡管貨車占城市機動車總量的比例不大，但由于貨運車輛一般體積較大、載重時行駛較慢，車流中如果混入重型車，會明顯降低道路的通行能力，因此，其占用城市道路資源的比例較大。如北京，按常規的車輛換算系數（不同車輛在行駛時占用道路凈空間的程度），貨運車輛所占用的道路資源達40%。因此，世界各國都在為解決城市交通和環境問題進行積極探索，而處理好貨運交通已成為共識。大量實踐證明，僅通過增加地面交通設施來滿足不斷增長的交通需求，既不科學也不現實，地面道路不可能無限制地增加。因此“統籌規劃地上地下空間開發”勢在必行，“地下物流系統”正受到越來越多發達國家的重視。概念

地下物流系統（Underground Logistics System——ULS）是指城市內部及城市間通過類似地鐵的地下管道或隧道運輸貨物的運輸和供應系統。它不占用地面道路，減輕了地面道路的交通壓力，從而緩解城市交通擁堵；它采用清潔動力，有效減輕城市污染；它不受外界條件干擾，運輸更加可靠、高效。地面貨車的減少同時帶來巨大的外部效益，如路面損壞的修復費用，環境治理的費用，可以用于補償地下物流系統建設的高投資。

圖1 日本ULS概念圖

圖2 德國ULS概念圖

圖3 地下物流系統的技術形式

圖1和圖2描繪的分別是日本和德國對ULS的設計構想圖。圖1進一步描繪了地下節點的運作狀況；圖2側重于ULS與其他地下設施的平行關系，在復雜的地下空間條件下實施ULS的空間并不富余。圖3中展示的分別是運載車輛形式設計及運輸通道的形式。

然而ULS的研究與實踐還剛剛興起，尚無成熟、成功的案例可供借鑒。盡管國內外在發展地下物流的必要性、可行性、技術系統和建造管理等方面取得了不少重要的研究成果，但地下物流系統是涉及地上與地下、物流與工程、技術與管理等多個學科領域的復雜巨系統，而且相比于其他物流方式，ULS復雜，造價高，風險大，不成功則損失巨大，而現有研究成果還處于“試驗”階段，相對單一，尚無系統的理論支撐其走向實際應用，尤其是迄今為止世界上還沒有一個城市規模的成功案例，失敗的情況反而有幾個。因此，亟待進行城市規模的前瞻性研究，為發展地下物流系統的理論和實踐進行探索。

我國人口眾多、大城市密集、交通狀況不佳已經到了迫切需要改善的程度，而且我國城市地鐵網絡的建設、高鐵公路隧道的建造正大規模地進行，地下空間開發利用的規 模和速度已居世界前列，地下工程的技術水平也已基本滿足需要，ULS應該提上議事日程。撇開可行性、工程技術問題，構建地下物流系統網絡是建設“地下物流系統”必不可少的關鍵步驟。

地下物流系統的基本特征：

1.建造與運營成本高；網絡形式多樣（環型、樹形、網狀等等）且隨區域特征變化。2.地下物流無法完全替代地面物流，“多式聯運”是其重要運輸組織方式。多式聯運：由兩種及兩種以上的交通工具相互銜接、轉運而共同完成的運輸過程統稱為復合運輸，我國習慣上稱之為多式聯運。如地下物流-公路運輸，公路-鐵路。

3.對于貨物單

一、流量大且穩定、地面交通差的區域應優先建立線路。

4.地下物流系統可以適應不同貨物的運輸需求，管道或隧道直徑可根據需求進行設計。運行速度可以達到20-60 公里/小時，同一線路上同向兩班車運行間隔2分鐘以上。

5.地下物流網絡由一級、二級節點和節點間地下通道構成。各級節點均與地面銜接并實現多式聯運。一級節點與物流園區相連且采用10噸的大型車輛地下運輸，并可跨區域調運貨物，從地面收發貨物總量上限為4000噸，一級節點之間連通。二級節點從地面收發貨物總量上限為3000噸，且與非本區域一級節點僅通過本區域一級節點連通。

車輛參數（供參考）

? 一班車一般由四至八節車輛構成；

? 兩種型號的車輛設計載重分別為10噸、5噸； ? 運行速度13.5米/秒（約49公里/小時）； ? 加（減）速度：1 米/秒2；

? 電壓：三相380伏，頻率：50赫茲，單個直線電機感應板電流：460安； ? 轉彎半徑70-80米；

? 每個節點每12分鐘可發車一班（含裝卸貨物、啟動和等待時間），每小時最多發車5班，每天可以運營18小時（每天剩余為檢修時間）。

? 盡量采用雙向雙軌（雙洞）的隧道形式，在貨運量特別大的線路可設置雙向四軌（雙洞）。題目給出了南京市仙林地區的交通貨運區域劃分圖和相應的貨運OD（Origin Destination）流量矩陣（只考慮始發地和目的地的貨運流量，不考慮在此之間的途徑地）、各區域中心點及區域面積、各區域交通擁堵系數（為簡化計算，部分數據經過處理）。其他相關數據可以自行查找，收集你們認為與建立該區域“地下物流系統”網絡有關的數據資料。

請完成以下幾項任務：

發展城市地下物流網絡的兩個直接目標：一是緩解交通擁堵直至交通暢通，至少基本暢通；二是降低物流成本。

1.地下物流節點選擇；根據你們的觀點和該區域的實際情況建立該區域節點選擇模型，確定該區域地下物流網絡節點群。

計算結果需要但不限于提交：

一、二級節點數及位置、各節點的服務范圍（經該節點出、入地面貨物的起或訖點形成區域）、各節點實際貨運量、各一級節點的轉運率。

① 交通擁堵指數取值范圍為0至10，每2個數為一等級，分別對應“0-2暢通”、“2-4基本暢通”、“4-6輕度擁堵”、“6-8中度擁堵”、“8-10嚴重擁堵”五個級別，數值越高，表明交通擁堵狀況越嚴重。由于該地區非人口高度密集區，可以近似認為區域交通擁堵指數與OD數據反映出來的區域總貨運量（進、出之和）成正比，考慮到比例關系給出的指數最高值可以大于10。（為簡化計算，擁堵指數計算僅根據貨運量）。

② 一級節點的轉運率（φ）：從物流園區經由最近的一級節點轉運至其他所有一級節點的貨物量占該物流園區總出貨量的百分比，稱為該一級節點的轉運率。由于需要更換運輸車輛，在滿足運輸要求前提下，轉運率低可減少工作量。

③ 考慮到部分區域貨運量與面積之比過小，若節點覆蓋了某區域中心點即可視為對該區域進行了覆蓋。

④ 所有節點的服務半徑在 3 公里范圍內自由選擇，節點間距離不受限制。⑤ 貨物從二級節點至地面后采用人力或小型車輛在節點服務區域內進行運輸，可認為不影響交通。

⑥ 進出4個物流園區的貨物盡最大可能放入地下運輸，區域內部的貨物根據擁堵情況自行考慮。

2.地下通道網絡設計；請你們在地下物流網絡節點群的基礎上選擇合適的地下路線以建立該區域的“地下物流系統”網絡。在轉運率變化不大的情況下，若考慮優化網 絡，可適當調整一、二級節點位置。除園區至一級節點的地下通道外其他地下通道均采用5噸的地下運輸車輛。

計算結果需要但不限于提交：網絡構成（節點及通道位置）；各節點實際貨運量；各級通道的位置和實際流量。

① 地下節點及通道內的貨物每天要清倉。

② 每兩個相鄰節點間地下物流通道雙向尺寸一致，以單向流量較大的為設計原則。③ 要求總成本最小。每天的總成本由貨物的運輸成本和地下物流隧道與節點的折舊構成。

假設每噸貨每公里的平均運輸成本始終相等，約為1元/噸·公里（已計入車輛和設備折舊），與所經過的隧道尺寸無關。

地下物流隧道與節點的建設成本為：雙向四軌（雙洞）（10噸）造價5億元/公里，雙向雙軌（雙洞）（10噸）造價4億元/公里，雙向四軌（雙洞）（5噸）造價3.5億元/公里，雙向雙軌（雙洞）（5噸）造價3億元/公里，一級、二級節點的建設成本分別約為1.5億元/個、1億元/個；通道與節點的設計年限100年，年綜合折舊率均為1%。

④ 不考慮物流園區的建設及園區內的地下節點建設，但從園區出發的通道長度需要計入總成本。

3.網絡改進；以上是分步設計網絡，并未從全局出發，根據你們對運行情況的仿真，上面得到的網絡有無修改的必要？能否通過增加、減少節點的個數，調整節點的位置或級別，增加、減少、改變路徑的方法縮短貨物運輸總里程（同時節省運輸時間），降低運輸成本。

進一步從增強ULS的抗風險能力（如某通道中斷，某方向貨運量激增）考慮，需要對第二問的ULS作怎樣的改動？

4.建設時序與動態優化；“地下物流系統”造價高，風險大，改建困難，所以應做好頂層設計，如果希望考慮滿足該市近30年內的交通需求（可以認為需求量每年呈5%增長）并根據建設進度分八年完成“地下物流網絡系統”的建設（每年可建設道路長度大致相等），請給出該市“地下物流系統”網絡各線路的建設時序及演進過程，與你在第三題中設置的網絡有什么差別？并比較優劣。

① 圖5為地下物流整體網絡可能的演進示意。

② 隨著需求量逐年增長，你在第三題中設計的網絡是否仍然可行？何時班次和每班車的車廂節數達到滿載，如何進行擴容處理？例如：建設期考慮增加線網容量、增設 節點等。

整體

演進過程

圖5 地下物流整體網絡演進示意

附件包含：

南京市仙林區域的交通貨運區域劃分圖和相應的貨運OD流量矩陣（單位：噸，表中數據表示橫軸對縱軸的發貨量）、各區域面積及中心點坐標（單位：米）、各區域交通擁堵系數。

第三篇：2014研究生數學建模競賽A題

2014年全國研究生數學建模競賽A題

小鼠視覺感受區電位信號(LFP)與視覺刺激之間的關系研究

人類腦計劃（Human Brain Project, HBP）是繼人類基因組計劃之后，又一國際性科研計劃，其核心是神經信息學(Neuroinformatics）。該研究旨在努力探究數十億個神經元的信息，以期對知覺、行動以及意識等有更進一步的了解。科學家們預期這是一條開發新技術的好途徑，由此可能進一步認識像老年癡呆和帕金森綜合癥等疾病，有望為各種精神疾病研究出新的治療方法。此外，該計劃還可以更好地為人工智能服務。目前該計劃已經取得一定進展，例如在2014年足球世界杯巴西開幕式上，脊髓損傷患者開球就是利用了美國杜克大學的神經生物學家、大腦-計算機界面研究的先驅、巴西人Miguel Nicolelis開發的一種由大腦腦電波控制的外骨骼系統。它既是人類腦計劃的結晶，也是2014年Nature十大科學展望領域之一神經科學的代表性成就。1.腦電波介紹

腦是支配人和高級動物活動的司令部和信息中心，神經系統承擔著感受外界刺激，產生、處理、傳導和整合信號，實現各種認知活動（如知覺、學習、記憶、情緒、語言、意思和思維等），以及運動控制等眾多功能。神經系統的基本結構單元是神經元，其放電活動涉及復雜的物理化學過程，表現出豐富的非線性動力學行為。神經系統整體可視為由數目眾多的神經元組成的龐大而復雜的信息網絡，通過對信息的處理、編碼、整合，轉變為傳出沖動，從而聯絡和調節機體的各系統和器官的功能。神經元對信息的處理和加工是神經元集群共同完成的，而神經元集群的同步形成較強的電信號就是腦電波。

腦電波（Electroencephalogram,EEG）是大腦在活動時，腦皮質細胞群之間形成電位差，從而在大腦皮質的細胞外產生電流。它們是腦神經細胞的電生理活動在大腦皮層或頭皮表面的總體反映，將大腦活動時這種電波的變化記錄下來就得到腦電圖。2.腦電波的應用

腦電波或腦電圖是一種比較敏感的客觀指標，不僅用于腦科學的基礎理論研究，而且更重要的在于臨床實踐的應用。事實上，腦電波是診斷癲癇的重要依據，而且對于各種顱內病變，如腦中風、腦炎、腦瘤、代謝性腦病變等的診斷，亦有很大幫助。腦疾病的診斷主要是從腦電波的異常入手，結合臨床，對顱內病變進行定位。

另外，腦電波也是人們思維活動的體現。人的大腦是由數以萬計的神經交錯構成的。神經相互作用時，腦電波模式就是思維狀態。人的大腦平均每天產生7萬個想法，而且每次神經活動時都會產生輕微的放電。單個神經產生的放電很難從頭皮外測量到，但是許多神經共同放電產生的集體電波是可以通過腦電波技術測量到的。因此，我們測量得到的腦電波是由許多神經共同放電產生的集體神經活動決定的。經過近一個世紀的科學實驗，神經系統科學領域的專家們已經發現了大腦中控制具體活動的部位。如控制四肢的區域位于大腦的頂部。而負責視力的區域位于大腦的后部。從進化論角度看，大多數動物的大腦也具備這些功能。所以在研究人腦思維時，可以借助于動物實驗。

盡管我們知道大腦意識和神經沖動的基礎都是電信號，這些電信號是如何精確表達一連串復雜動作一直為科學家所熱衷。一旦解析出這種信息密碼就可以實現人機互動，甚至用電腦控制動物的行為。Miguel Nicolelis[1]在2011年10月完成了一個獼猴意識控制機械臂的試驗。他們將一特殊裝置的電極放置到獼猴大腦的運動皮質區和軀體感受皮質區，前者是發出運動信號的區域，后者負責身體其他部分傳來的信息。該試驗的目標是為癱瘓病人設計可以由大腦控制義肢行為的裝置。

該領域的研究目前處于起步階段，特別是關于人腦的研究，遠沒有達到實際應用的階段。所以進行腦電波分析的基礎研究具有重要意義。由于人腦的復雜性，在研究腦電波形成機理時，科學工作者大多采用動物實驗，比如小鼠等。

一般認為δ波是由大腦皮層和丘腦之間的內在網絡所產生的。Ito等人今年4月在“Nature Communication”上發表論文“Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration”[2]，他們在對小鼠進行的研究中，發現δ波段的峰值震蕩與清醒狀態下的小鼠晶須桶狀皮層局部場電位的活動被呼吸鎖相（delta band oscillation in spike and local field potential activity in the whisker barrel cortex of awake mice is phase locked to respiration）。這也許表明δ波段可能與呼吸有關。（注：鎖相是使被控振蕩器的相位受標準信號或外來信號控制的一種技術。用來實現與外來信號相位同步，或跟蹤外來信號的頻率或相位）

此外，大量研究都表明腦電波信號與動物的認知等功能活動有關[3]。3.問題的難點

與腦電波對顱內病變診斷不同的是，利用腦電波分析人（動物）的行為與腦電波之間的關系，并反過來通過腦電波確定或引導人的行為，具有更大的挑戰性。腦電波信號是無數神經放電的混合，我們不可能也沒有必要將單個神經放電分離出來。宏觀意義上，控制某個特定行為或想法的腦電波是一系列眾多神經放電的迭加。而我們測量所得到的腦電波信號又是由許許多多構成不同想法和控制行為的腦信號合成的。研究表明這些信號的強弱差別很大。在實現人機交互時，我們也許只關注若干個行為或思想，而對應的腦電波可能很弱。這在信號處理領域，相當于弱信號檢測。在數學領域，這可能屬于不適定的反問題。顯然只有將腦電波信號很好地分離才能從中確定某種腦電波與某種行為相對應。這也可以理解為盲源分離或半盲信號分離問題。但通常的盲源分離技術在這里很難奏效，或誤差太大，因為腦電波這一混合信號是由尺度差異很大的信號所構成的。

4.具體問題描述

腦電波來自于大腦內部，一般認為大腦在活動時，腦皮質細胞群之間就會形成電位差，從而在大腦皮質的細胞外產生電流。它是腦神經細胞的電生理活動在大腦皮層或頭皮表面的總體反映。而局部場電位（Local Field Potential, LFP）則反映來自神經元網絡局部神經核團的活動狀態，它也是一種神經集合的協同行為。所以LFP信號是腦內某局部大量神經元樹突電位和的綜合反映。LFP可能與大腦對行為的控制有關，如呼吸及視覺刺激等。對應于不同行為或思維的腦電波，我們稱之為腦電波成份。事實上，當一個人面對一個物品或需要拿起一個物品時，我們希望知道對應腦電波的反應，即該腦電波成份。該工作具有深遠意義，如果能分離出與行為相關聯的腦電波，將有助于對大腦疾病的診斷及腦中風病人的生活自理。由于人的大腦非常復雜，研究人的思維也相對困難。為了容易建立腦電波與行為之間的關系模型，這里我們選取的研究對象為小白鼠。我們感興趣的是：

(1)視覺感受區的局部電位是否有規律性的變化？與呼吸曲線的周期性之間是否有聯系？(2)視覺感受區的局部電位是否與視覺刺激相關？具體的聯系是什么？

為了建立模型，我們提供的數據包括兩方面：（1）睡眠狀態下；（2）清醒狀態下：(a)沒有視覺刺激；(b)有視覺刺激。

提供的數據如下：

(1)文件名稱：LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat 數據格式：Matlab(.mat;int16)采樣頻率：1000 Hz 數據長度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大腦視覺皮層局部電位(睡眠狀態)第6道（Ch17）：呼吸曲線[注：僅波峰和波谷點有生理意義，分別代表吸氣和呼氣末。呼 吸信號是通過熱敏電極在鼻子附近記錄的，主要表現是呼氣時溫度升高（曲線下降）。因為是 間接記錄呼吸，因此只能用曲線的峰或 谷的時間點標記呼吸時程（吸氣相或呼氣相），曲線 具體幅度等沒什么價值。](2)文件名稱：V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat 數據格式：Matlab(.mat;int16)采樣頻率：1000 Hz 數據長度：30秒 第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大腦視覺皮層局部電位(清醒狀態)第6道（Ch17）：呼吸曲線

(3)文件名稱：V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat 數據格式：Matlab(.mat;int16)采樣頻率：1000 Hz 數據長度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大腦視覺皮層局部電位(清醒狀態)第6道（Ch17）：呼吸曲線

第7道（Ch18）：兩次CheckBoard視覺刺激（注：波峰處為黑白配對視覺刺激開始。具體實 現見附圖說明：moveonoff.pdf）信號采集條件說明：

信號（LFP：局部電位）分別來自睡眠或清醒狀態下小鼠大腦皮層的視覺感受區，5個電極（一排）同時記錄，每個電極間距為0.25 毫米。（電極置于皮下5毫米處，這樣可以減少肌電的影響）。

另外，為了研究視覺刺激對LFP的影響。在記錄視覺感受區局部電位的同時，動物的眼睛給了視覺刺激。該刺激是通過配對出現的Checkboard，開關的相隔時間是隨機的（在小鼠的眼前放置一個Checkboard,隨機地打開或關閉）。

請研究如下問題（部分問題給出了猜想，但問題的解決不局限于這些猜想）：

（1）由于對呼吸的觀測是間接的，能否通過分析呼吸的機理，建立數學模型反映小鼠在睡眠狀態下與呼吸相關聯的腦電波。（猜測：呼吸過程是由腦干部分發出“呼”和“吸”的命令，由神經元集群同步產生動作電位，該電位完成呼吸過程。）（2）一般認為：在睡眠狀態下，小鼠腦電波的周期節律有可能與呼吸相關聯[2]。該結論是否正確？通過對所給的視覺感受區的局部電位數據建立模型論證你的結論。（3）研究在清醒狀態下，小鼠視覺感受區的局部電位信號是否有周期性的變化？該周期性的變化是否與小鼠呼吸所對應的腦電波的周期性的變化有關？是線性相關嗎？如果不是線性相關，是否具有其他形式的相關性？（4）建立腦電波信號的分離模型，能否從前兩種狀態（睡眠狀態、無視覺刺激的清醒狀態）的局部腦電位信號LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat、V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat中分離出與小鼠呼吸相關聯的腦電波信號？

（5）通過Checkboard隨時間變化的曲線，分析小鼠視覺刺激的時間曲線及其功率譜，并與呼吸曲線的功率譜對比。利用問題(4)所建立的信號分離模型，從數據V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat中分離出與Checkboard刺激相關的腦電波信號成份和可能與呼吸相關的腦電波信號成份？請驗證所分離出來的刺激腦電波成份與視覺刺激之間的相關性，并說明該腦電波成份中是否包含圖形形狀因素。

參考文獻：

[1] J.Wessberg, C.R.Stambaugh, J.D.Kralik, P.D.Beck, M.Laubach, J.K.Chapin, J.Kim, J.Biggs, M.A.Srinivasan, M.A.L.Nicolelis, Real-time prediction of hand trajectory by ensembles of cortical neurons in primates, Nature,408, 361-365, Nov.2000 [2].J.Ito, S.Roy, Y.Liu, M.Fletcher, L.Lu, J.D.Boughter,S.Grun, D.H.Heck, Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration, Nature Communication, 2014, April.[3]Mark E.Bear等，王建軍等譯，神經科學—探索腦，高等教育出版社，2004 [4]王青云，石霞，陸啟韶，神經元耦合系統的同步動力學，科學出版社，2008

附錄：“關于大腦”

關于大腦

1.腦電波

現代科學研究已經發現人腦工作時會產生自己的腦電波。經過研究證實大腦存在至少多個不同波段的腦電波。事實上，腦電波是一系列自發的有節律的神經電活動，其頻率變動范圍在每秒1－30次之間的，可劃分為四個波段，即δ（1－3Hz）、θ（4－7Hz）、α（8－13Hz）、β（14－30Hz）。（這幾種波的頻率邊界，學界還沒有完全統一的標準。亦有學者認為δ波小于4Hz，θ波4～7Hz，α波8～12Hz，β波13～35Hz，并認為有大于35Hz的腦電波，并命名為γ波。長期處于該狀態下的人會有生命危險。另外，這幾種波的劃分是針對人類的。對于其它動物頻率邊界會有變化）δ波，頻率為每秒1－3次，當人在嬰兒期或智力發育不成熟、成年人在極度疲勞和昏睡狀態下，可出現這種波段。

θ波，頻率為每秒4－7次，成年人在意愿受到挫折和抑郁時以及精神病患者這種波極為顯著。但此波為少年（10－17歲）的腦電圖中的主要成分。

α波，頻率為每秒8－13次，平均數為10次左右，它是正常人腦電波的基本節律，如果沒有外加的刺激，其頻率是相當恒定的。人在清醒、安靜并閉眼時該節律最為明顯，睜開眼睛或接受其它刺激時，α波即刻消失。

β波，頻率為每秒14－30次，當精神緊張和情緒激動或亢奮時出現此波，當人從睡夢中驚醒時，原來的慢波節律可立即被該節律所替代。

在人心情愉悅或靜思冥想時，一直興奮的β波、δ波或θ波此刻弱了下來，α波相 對來說得到了強化。因為這種波形最接近右腦的腦電生物節律，于是人的靈感狀態就出現了。

2.人腦的構造

人腦的構造主要包括腦干、小腦與前腦三部分。

腦干（brainstem）上承大腦半球，下連脊髓，呈不規則的柱狀形。經由脊髓傳至腦的神經沖動，呈交叉方式進入：來自脊髓右邊的沖動，先傳至腦干的左邊，然后再送入大腦；來自脊髓左邊者，先送入腦干的右邊，再傳到大腦。腦干的功能主要是維持個體生命，包括心跳、呼吸、消化、體溫、睡眠等重要生理功能，均與腦干的功能有關。腦干部位又包括以下四個重要構造：

1．延髓（medulla）延髓居于腦的最下部，與脊髓相連；其主要功能為控制呼吸、心跳、消化等。

2．腦橋（pons）腦橋位于中腦與延腦之間。腦橋的白質神經纖維，通到小腦皮質，可將神經沖動自小腦一半球傳至另一半球，使之發揮協調身體兩側肌肉活動的功能。

3．中腦（midbrain）中腦位于腦橋之上，恰好是整個腦的中點。中腦是視覺與聽覺的反射中樞，凡是瞳孔、眼球、肌肉等活動，均受中腦的控制。

4．網狀系統（reticular system）網狀系統居于腦干的中央，是由許多錯綜復雜的神經元集合而成的網狀結構。網狀系統的主要功能是控制覺醒、注意、睡眠等不同層次的意識狀態。

小腦（cerebellum）位于大腦及枕葉的下方，恰在腦干的后面，是腦的第二大部分。小腦由左右兩個半球所構成，且灰質在外部，白質在內部。在功能方面，小腦和大腦皮層運動去共同控制肌肉的運動，籍以調節姿勢與身體的平衡。

前腦（forebrain）屬于腦的最高層部分，是人腦中最復雜、最重要的神經中樞。前腦又分為視丘、下視丘、邊緣系統、大腦皮質四部分。

1．視丘（thalamus）視丘呈卵圓形，由白質神經纖維構成，左右各一，位于駢胝體的下方。從脊髓、腦干、小腦傳導來的神經沖動，都先終止于視丘，經視丘在傳送至大腦皮質的相關區域。所以說視丘是感覺神經的重要傳遞站。此外，視丘還具有控制情緒的功能。

2．下視丘（hypothalamus）下視丘位于視丘之下，是自主神經系統的主要管制中樞，它直接與大腦中各區相連接，又與腦垂體及延髓相連。下視丘的主要功能是管制內分泌系統、維持新陳代謝正常、調節體溫，并與生理活動中饑餓、渴、性等生理性動機有密切的關系。

3．邊緣系統（limbic system）邊緣系統一般認為包括視丘、下視丘以及中腦等在內的部分。邊緣系統的主要功能為嗅覺、內臟、自主神經、內分泌、性、攝食、學習、記憶等。邊緣系統有兩個神經組織，即杏仁核與海馬，前者關系情緒的表現，后者與記憶有關。

4．大腦皮質（cerebral cortex）是大腦的表層，由灰質構成，其厚度約為1到4mm，其下方大部分則由白質構成。大腦中間有一裂溝（大腦縱裂，longitudinal fissure），由前至后將大腦分為左右兩個半球，稱為大腦半球（cerebral hemisphere）。兩個半球之間，由胼胝體（corpus collosum）連接在一起，使兩半球的神經傳導得以互通。

大腦皮質為中樞神經系統的最高級中樞，各皮質的功能復雜，不僅與軀體的各種感覺和運動有關，也與語言、文字等密切相關。根據大腦皮質的細胞成分、排列、構筑等特點，將皮質分為若干區。皮質運動區：位于中央前回（4區），是支配對側軀體隨意運動的中樞。它主要接受來自對側骨骼肌、肌腱和關節的本體感覺沖動，以感受身體的位置、姿勢和運動感覺，并發出纖維，即錐體束控制對側骨骼肌的隨意運動。返回

皮質運動前區：位于中央前回之前（6區），為錐體外系皮質區。它發出纖維至丘腦、基底神經節、紅核、黑質等。與聯合運動和姿勢動作協調有關，也具有植物神經皮質中樞的部分功能。

皮質眼球運動區：位于額葉的8區和枕葉19區，為眼球運動同向凝視中樞，管理兩眼球同時向對側注視。

皮質一般感覺區：位于中央后回（1、2、3區），接受身體對側的痛、溫、觸和本體感覺沖動，并形成相應的感覺。頂上小葉（5、7）為精細觸覺和實體覺的皮質區。

額葉聯合區：為額葉前部的9、10、11區，與智力和精神活動有密切關系。

視覺皮質區：在枕葉的距狀裂上、下唇與楔葉、舌回的相鄰區（17區）。每一側的上述區域皮質都接受來自兩眼對側視野的視覺沖動，并形成視覺。返回

聽覺皮區：位于顳橫回中部（41、42區），又稱Heschl氏回。每側皮質均按來自雙耳的聽覺沖動產生聽覺。

嗅覺皮質區：位于嗅區、鉤回和海馬回的前部（25、28、34）和35區的大部分）。每側皮質均接受雙側嗅神經傳入的沖動。

內臟皮質區：該區定位不太集中，主要分布在扣帶回前部、顳葉前部、眶回后部、島葉、海馬及海馬鉤回等區域。

語言運用中樞：人類的語言及使用工具等特殊活動在一側皮層上也有較集中的代表區（優勢半球），也稱為語言運用中樞。它們分別是：①運動語言中樞：位于額下回后部（44、45區，又稱Broca區）。②聽覺語言中樞：位于顳上回42、22區皮質，該區具有能夠聽到聲音并將聲音理解成語言的一系列過程的功能。③視覺語言中樞：位于頂下小葉的角回，即39區。該區具有理解看到的符號和文字意義的功能。④運用中樞：位于頂下小葉的緣上回，即40區。此區主管精細的協調功能。⑤書寫中樞：位于額中回后部8、6區，即中央前回手區的前方。

3.腦的節律

地球是一個富有節律的環境，氣溫和白晝都隨著季節的變化而變化，每天晝夜交替，潮漲潮落。為了生存，動物的行為必須和環境的節律協調。在進化過程中，腦內形成了各種各樣的節律控制系統。睡眠和覺醒是最明顯的節律行為。由腦控制的節律周期有些比較長，比如冬眠動物的一些節律活動；而另一些較短，如呼吸節律，行走步伐和大腦皮層的電節律等。

大腦皮層存在著大量的電節律。它們通常是大群神經元組同步產生的。比如，當你試圖抓住一個籃球時，同時對形狀、顏色、運動、距離甚至籃球的含義反應的不同神經元群組趨于同步的震蕩。通過分散的細胞群組震蕩的高度同步化，在某種程度上把它們 連成一個有意義的大組，以區別于附近的神經元，從而把“籃球問題”這個雜亂的神經碎片統一起來。

迄今為止，大腦皮層節律的功能在很大程度上還是一個謎。

第四篇：2006全國大學生數學建模競賽題目(A題)

2006全國大學生數學建模競賽題目

-------A題:出版社的資源配置

出版社的資源主要包括人力資源、生產資源、資金和管理資源等，它們都捆綁在書號上，經過各個部門的運作，形成成本（策劃成本、編輯成本、生產成本、庫存成本、銷售成本、財務與管理成本等）和利潤。

某個以教材類出版物為主的出版社，總社領導每年需要針對分社提交的生產計劃申請書、人力資源情況以及市場信息分析，將總量一定的書號數合理地分配給 各個分社，使出版的教材產生最好的經濟效益。事實上，由于各個分社提交的需求書號總量遠大于總社的書號總量，因此總社一般以增加強勢產品支持力度的原則優 化資源配置。資源配置完成后，各個分社（分社以學科劃分）根據分配到的書號數量，再重新對學科所屬每個課程作出出版計劃，付諸實施。

資源配置是總社每年進行的重要決策，直接關系到出版社的當年經濟效益和長遠發展戰略。由于市場信息（主要是需求與競爭力）通常是不完全的，企業自身的數據收集和積累也不足，這種情況下的決策問題在我國企業中是普遍存在的。本題附錄中給出了該出版社所掌握的一些數據資料，請你們根據這些數據資料，利用數學建模的方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎的資源（書號）配置方法，給出一個明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。

第五篇：2013全國大學生數學建模競賽A題參考答案

2013高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點

[說明]本要點僅供參考，各賽區評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。本題的難點在于通過視頻資料獲得車流數據，并以此為基礎建立數學模型，分析部分車道被占用后，道路擁塞程度與上游來車量的關系。評閱時請關注如下方面：建模的準備工作（視頻中車流數據的提取，包括視頻缺失及錯誤的處理），模型的建立、求解和分析方法，結果的表述，模型的合理性分析及其模型的拓廣。

問題1.1.1．道路被占用后，實際的通行能力需要通過視頻中的車流數據得到，不能僅由交通道路設計標準估計；

1.2．應該根據視頻信息給出不同時段、不同情況下車流量的變化，需要給出通行能力的計算方法、理由的陳述或分析；

1.3.在被占用道路沒有車輛排隊時，通行能力等同于單車道情形，但當被占用道路有車輛排隊時，由于被占用道路車輛的變道搶行，會使道路的通行能力下降，好的結果應該明確指出這一點。

問題2.2.1.對于視頻2 的分析同視頻1，需要通過視頻2與視頻1的數據對比給出通行能力的差異及原因分析；

2.2．由于事故橫斷面下游交通流方向需求不同，會導致上游每條車道分配到的車輛數不同，使兩種情況事故所處道路橫斷面形成多車道排隊的機率不同，從而影響實際通行能力。如果在模型中注意到這一點則更好。

問題3.3.1．建立數學模型，給出交通事故所引起的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的關系；

3.2.模型的形式可以多樣，但需要包含上述各種因素。關鍵考察模型假設的合理性、參數確定的原則、及模型的可計算性。

問題 4.4.1．本問題是問題1 及問題 3 的擴展，可利用問題1 得到的通行能力及 問題3 的模型計算結果；

4.2．和問題1、3不同，當事故橫斷面離紅綠燈路口較近時，司機無充分時間調整車道，會增大多車道占用情形，影響通行能力，模型計算中應考慮這一點；

4.3.附件中給出了上游路口信號燈的控制方案，會影響上游來車的流量分布，如果學生能夠利用附件給出上游路口信號燈配時方案和交通組織方案則更好。