第一篇：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明

§2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

教學(xué)目的：掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明思路與方法，加深對實(shí)數(shù)完備性若干定理的理解。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)為其證明思路與方法。教學(xué)方法：講練結(jié)合。

在本節(jié)中，我們利用實(shí)數(shù)完備性的基本定理，來證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)．

有界性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有界．

證

[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由連續(xù)函數(shù)的局部有界性(定理4．2)，對每一點(diǎn)x???a,b?,都存在鄰域U(x?;?x?)及正數(shù)Mx?，使得f(x)?Mx?,x?U(x?;?x?)??a,b?.考慮開區(qū)間集

H?U(x?;?x?)x???a,b?, 顯然?是?a,b?的一個(gè)無限開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在?的一個(gè)有限子集

???*??U?xi;?i?xi??a,b?,i?1,2,?,k?

覆蓋了?a,b?，且存在正數(shù)M1,M2,?,Mk，使得對一切x?U?xi;?i???a,b?有f?x??Mi,i?1,2,?,k.令

M?maxMi，1?i?k則對任何x??a,b?，x必屬于某U?xi;?i??f?x??Mi?M．即證得f在?a,b?上有界．

[證法二](應(yīng)用致密性定理)倘若f在?a,b?上無上界，則對任何正整數(shù)n，存在xn??a,b?，使得f?xn??n．依次取n?1,2,?，則得到數(shù)列?xn???a,b?．由致密性定理，它含有收斂子列xnk，記limxnk??。由a?xnk?b及數(shù)列極限的保不等式性，???a,b?．利用f在點(diǎn)?連續(xù)，推得

k????limfxnk?f??????

k????另一方面，由xn的選取方法又有fxnk?nk?k????limfxnk???

k??????與(1)式矛盾．所以f在?a,b?有上界．類似可證f在?a,b?有下界，從而f在?a,b?上有界.最大、最小值定理 若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有最大值與最小值．

證

(應(yīng)用確界原理)已證f在?a,b?上有界，故由確界原理，f的值域f??a,b??有上確界，記為M．以下我們證明：存在???a,b?，使f????M．倘若不然，對一切x??a,b?都有f?x??M．令

第七章第二節(jié)第1頁

g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)易見g在?a,b?連續(xù),故g在?a,b?有上界.設(shè)G是g的一個(gè)上界,則

0?g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)1,x?[a,b] G從而推得f?x??M?但這與M為f??a,b??的上確界矛盾.故必存在???a,b?,使f????M,即f在?a,b?上有最大值,同理可證f在?a,b?上有最小值.介值性定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f?a??f?b?.若?為介于f?a?與f?b?之間的任何實(shí)數(shù),則存在x0??a,b?，使得f?x0???

證[證法一](應(yīng)用確界原理)不妨設(shè) f?a????f?b?．令 g?x?= f?x???，則g也是 ?a,b?上的連續(xù)函數(shù)，且g?a??0,g?b??0.于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在x0??a,b?，使得g?x0??0．這個(gè)簡化的情形稱為根的存在性定理．

記???g?x??0,x??a,b??．顯然?為非空有界數(shù)集(???a,b?且b??)，故由確界原理，?有下確界，記x0?inf?．因g?a??0,g?b??0，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在??0，使得在?a,a???內(nèi)g?x??0，在?b??,b?內(nèi)g?x??0，由此易見x0?a,x0?b，即x0??a,b?．

下證g?x0??0．倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則又由局部保號性，存在U?x0;?????a,b??，使在其內(nèi)g?x??0，特別有g(shù)?x0???????0?x0???．但這與x0?inf?正相矛盾，故必有2?2?g?x0??0．

[證法二](應(yīng)用區(qū)間套定理)同上述證法一，我們把問題轉(zhuǎn)化為證明根的存在性定理，即若函數(shù)g在?a,b?上連續(xù)，g?a??0,g?b??0，則存在x0??a,b?，使得g?x0??0．

將?a,b?等分為兩個(gè)子區(qū)間?a,c?與?b,c?．若g?c??0，則c即為所求；若g?c??0，則當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???a,c?，當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???c,b?。于是有g(shù)?a1??0,g?b1??0，且

第七章第二節(jié)第2頁

?a1,b1???a,b?,b1?a1?1?b?a?． 2再從區(qū)間?a1,b1?出發(fā)，重復(fù)上述過程，得到：或者在?a1,b1?的中點(diǎn)c1上有g(shù)?c1??0，或者有閉區(qū)間?a2,b2?，滿足g?a2??0,g?b2??0，且

?a2,b2???a1,b1?,b2?a2?1?b?a? 22

將上述過程不斷地進(jìn)行下去，可能出現(xiàn)兩種情形：

(1)在某一區(qū)間的中點(diǎn)ci上有g(shù)?ci??0，則ci即為所求；

(2)在任一區(qū)間的中點(diǎn)ci上均有g(shù)?ci??0，則得到閉區(qū)間列

??an,bn??,滿足g?an??0,g?bn??0，且

?an?1,bn?1???an,bn?,bn?an?1?b?a?,n?1,2,?.n2由區(qū)間套定理，存在點(diǎn)x0??an,bn?,n?1,2,?.下證．g?x0??0，倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則由局部保號性，存在U?x0;??,使在其內(nèi)有g(shù)?x??0．而由定理7.1的推論，當(dāng)n充分大時(shí)有?an,bn??U?x0;??，因而有g(shù)?an??0．但這與?an,bn?選取時(shí)應(yīng)滿足的g?an??0相矛盾，故必有g(shù)?x0??0

一致連續(xù)性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上一致連續(xù)．

證[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由f在?a,b?上的連續(xù)性，任給??0，對每一點(diǎn)x??a,b?，都存在?x?0，使得當(dāng)x??U?x;?x?時(shí)有

f?x???f?x??考慮開區(qū)間集合 ???U?x,?2.(2)???x???x??a,b??

??2??顯然H是?a,b?的一個(gè)開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在H的一個(gè)有限子集

???U?xi,*?????i???i?1,2,?,k? 2??覆蓋了?a,b?．記??min???i???0 1?i?k2??*對任何x?,x????a,b?,x??x????,x?必屬于?中某開區(qū)間,設(shè)x??U?xi;???i???即x??xi?i.22?第七章第二節(jié)第3頁

此時(shí)有x???xi?x???x??x??xi???故由(2)式同時(shí)有f?x???f?xi???i2??i2??i2??i

?2

和

f?x????f?xi???2

由此得f?x???f?x?????.所以f在?a,b?上一致連續(xù).[證法二](應(yīng)用致密性定理)用反證法.倘若f在?a,b?上不一致連續(xù),則存在某?0?0,對任何??0,都存在相應(yīng)的兩點(diǎn)x?,x????a,b?,盡管x??x????,但有

f?x???f?x?????0.令??11?,xn????a,b?，盡管x??x???,但有

(n為正整數(shù))，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為xnnn???f?xn?????0.(3)

f?xn??與?xn?????a,b?．由致密性定理，存在?xn??的收斂子列xn?k，當(dāng)n取遍所有正整數(shù)時(shí)，得數(shù)列?xn???k?x0??a,b??k???．同時(shí)由 設(shè)xn?k?xn??k?xn1??k?x0?xn??k?xn?k?xn?k?x0?0?xnnk?k???

??k?x0?k???。又得xn?k?fxn??k??0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k???，由 f的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得到

?????k?fxn??k??0，0?f?x0??f?x0??limfxnk??????這與?0?0相矛盾．所以f在?a,b?上一致連續(xù)．

第七章第二節(jié)第4頁

第二篇：高數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教案（模版）

第17、18課時(shí)：【教學(xué)目的】

1、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)；

2、熟練掌握零點(diǎn)定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

1、介值性定理及其應(yīng)用；

2、零點(diǎn)定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

介值性定理及其應(yīng)用

§1? 10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、有界性與最大值與最小值

最大值與最小值? 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)? 如果有x0?I? 使得對于任一x?I都有

f(x)?f(x0)(f(x)?f(x0))?

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）?

例如? 函數(shù)f(x)?1?sin x在區(qū)間[0? 2?]上有最大值2和最小值0? 又如? 函數(shù)f(x)?sgn x 在區(qū)間(??? ??)內(nèi)有最大值 1和最小值?1? 在開區(qū)間(0? ??)內(nèi)? sgn x的最大值和最小值都是1? 但函數(shù)f(x)?x在開區(qū)間(a? b)內(nèi)既無最大值又無最小值?

定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值?

定理1說明? 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 那么至少有一點(diǎn)?1?[a? b]? 使f(?1)是f(x)在[a? b]上的最大值? 又至少有一點(diǎn)? 2?[a? b]? 使f(? 2)是f(x)在[a? b]上的最小值?

注意? 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)? 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)? 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值?

例? 在開區(qū)間(a? b)考察函數(shù)y?x?

又如? 如圖所示的函數(shù)在閉區(qū)間[0? 2]上無最大值和最小值?

?x?1 0?x?1??y?f(x)??1 x?1?

???x?3 1?x?

2定理2（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界?

二、零點(diǎn)定理與介值定理

零點(diǎn)? 如果x0 使f(x0)?0? 則x0 稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)?

定理3（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且f(a)與f(b)異號? 那么在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)??使f(?)?0?

定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值

f(a)?A及f(b)?B? 那么? 對于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得

f(?)?C ?

定理4（?介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且f(a)?f(b)? 那么? 對于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得

f(?)?C ?

證? 設(shè)?(x)?f(x)?C? 則?(x)在閉區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 且?(a)?A?C與?(b)?B?C異號? 根據(jù)零點(diǎn)定理? 在開區(qū)間(a? b)內(nèi)至少有一點(diǎn)? 使得

?(?)?0(a

但?(?)?f(?)?C? 因此由上式即得

f(?)?C(a

定理4 的幾何意義? 連續(xù)曲線弧y?f(x)與水平直線y?C至少交于一點(diǎn)?

推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值?

例1? 證明方程x 3?4x 2?1?0在區(qū)間（0? 1）內(nèi)至少有一個(gè)根?

證?

函數(shù)f(x)? x 3?4x 2?1在閉區(qū)間[0? 1]上連續(xù)? 又f(0)?1>0?

f(1)??2<0?

根據(jù)零點(diǎn)定理? 在(0? 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)? ? 使得f(?)?0? 即

? 3?4? 2?1?0(0

這等式說明方程x 3?4x 2?1?0在區(qū)間（0? 1）內(nèi)至少有一個(gè)根是? ?

第三篇：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明題的解題方法

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閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明題的解題方法 作者：朱云鵬 張?zhí)?/p>

來源：《學(xué)園》2013年第34期

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，證明題是非常重要的一類題型，也是讓學(xué)生感到最棘手的一類題型。尤其是剛剛接觸高等數(shù)學(xué)的初學(xué)者，適應(yīng)和掌握高等數(shù)學(xué)的證明思路需要一定的積累過程。關(guān)于“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)”的證明題，本文給出了“直接證明法”與“輔助函數(shù)法”兩種方法，對其加以總結(jié)并給出了相應(yīng)例題，希望對初學(xué)者與考研復(fù)習(xí)的同學(xué)有所幫助。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 證明方法 輔助函數(shù) 零點(diǎn)定理 介值定理

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）34-0062-01

三 結(jié)束語

對于證明類的題型，在高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中需要反復(fù)總結(jié)方法，并形成一種證明邏輯，靈活運(yùn)用定理證明各種問題。當(dāng)然，讀者在看完以上證明方法之后，最好能夠總結(jié)提煉出自己的方法，能真正在應(yīng)試和學(xué)習(xí)的過程中找到適合自己的證明方法，真正掌握連續(xù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]陳文燈、黃先開.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2012

[3]盛祥耀、葛嚴(yán)麟、胡金德等.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003〔責(zé)任編輯：范可〕

第四篇：教學(xué)課題§3.二元函數(shù)的連續(xù)性,有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解讀

教學(xué)課題： § 3.二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)目的：掌握二元函數(shù)連續(xù)的定義及其性質(zhì)，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其證明方法。教材重點(diǎn)：本節(jié)重點(diǎn)是二元函數(shù)連續(xù)的定義及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)是二元函數(shù)連續(xù)性的討論。

教學(xué)過程：

一．二元函數(shù)連續(xù)的概念

1． 定義：設(shè)f在D?R上有定義，p0∈D（聚點(diǎn)或孤立點(diǎn)）。若???0,???0，當(dāng)p?U(p0,?)?D時(shí)，有 f(p)?f(p0)??，稱f關(guān)于D在p0連續(xù)。在不致誤解的情況下，也稱f在p0連續(xù)。

若f在D上每一點(diǎn)都f關(guān)于D連續(xù)，稱f為D上的連續(xù)函數(shù)。說明：（1）。若p0為D的孤立點(diǎn)，f關(guān)于D在p0連續(xù)。

（2）。若p0為D的聚點(diǎn)，f關(guān)于D在p0連續(xù)?p?p0(p?D)2limf(p)?f(p0)。

（3）。若p0為D的聚點(diǎn)，f在p0不連續(xù)，稱p0為f的間斷點(diǎn)。特別，當(dāng)f在p0 的極限存在但不等于在p0的函數(shù)值時(shí)，稱p0為f的可去間斷點(diǎn)。

?y222,x?y?0,?2例1． 設(shè) f(x,y)??(x?y2)p

?0,x2?y2?0.?其中p>0。p取何值時(shí)，f在（0，0）連續(xù)？

?y2ln(x2?y2),x2?y2?0,例2．設(shè) f(x,y)??

討論f在（0，0）的連續(xù)性。220,x?y?0?設(shè) p0(x0,y0),p(x,y)?D.記?x?x?x0，?y?y?y0，?z?f(x,y)?f(x0,y0)

=f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)，稱?z為f在p0的全增量。也可應(yīng)用全增量描述函數(shù)的連續(xù)性，即：f在p0連續(xù) ?(?x,?y)?(0,0)lim?z?0。

記 ?xz?f(x0??x,y0)?f(x0,y0),?yz?f(x0,y0??y)?f(x0,y0)，分別稱為f在p0關(guān)于x，y的偏增量。若lim?xz?0，則表示一元函數(shù)f(x,y0)在x0連續(xù)。同樣，?x?0?y?0lim?yz?0，則f(x0,y)在y0連續(xù)。若f(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù)，則f(x,y0)在x0連續(xù)且f(x0,y)在y0連續(xù)，反之不成立。

?1,xy?0,例3．f(x,y)?? 在（0，0）不連續(xù)，但f(0,y)= 0，f(x,0)= 0，分別0,xy?0?在 y= 0 及 x= 0 處連續(xù)。續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)：若f在p0連續(xù)，則

（1）。???0,f在U(p0,?)中有界；（2）。若f(p0)?0,則???0,在U(p0,?)中f與f(p0)同號；（3）。若g在p0也連續(xù)，則 f±g，fg,續(xù)。下面證明復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。

定理7。設(shè)u??(x,y),v??(x,y)在U(p0)中有定義，在p0連續(xù)。f(u,v)在uv平面上點(diǎn)Q0(u0,v0)的某鄰域內(nèi)有定義，在Q0連續(xù)，則f(?(x,y),?(x,y))在p0連續(xù)。其中，f(g(p0)?0)在p0也連gu0??(x0,y0),v0??(x0,y0)。

證明： f在Q0連續(xù), 由定義，???0,???0,當(dāng)u?u0??,v?v0?? 時(shí)，有

f(u,v)?f(u0,v0)??。又 u??(x,y),v??(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù)，對上述??0，???0,當(dāng)x?x0??,y?y0??時(shí),u?u0??(x,y)??(x0,y0)??，v?v0??(x,y)??(x0,y0)??,故 f(?(x,y),?(x,y))?f(?(x0,y0),?(x0,y0)

以x，y為變量的基本初等函數(shù)，經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)稱 為二元初等函數(shù)。與一元函數(shù)類似，二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。二．有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1． 有界性與最值定理

定理8。若f在有界閉域D?R上連續(xù)，則f在D上有界，且能取到最大與最小值。證：先證有界性。用反證法。設(shè)f在D上無界，則?n,?pn?D,使f(pn)?n，于是得有界點(diǎn)列{pn}?D，且{pn}為無限點(diǎn)列。由致密性定理，{pn}有收斂子列{pnk}，設(shè)

limpnk?p0，則p0為D的聚點(diǎn)。而D為閉域，故p0?D。又由f在p0連續(xù)可知，k??p?p0limf(p)?f(p0)，因此 limf(pnk)?f(p0),這與f(pnk)?nk?k矛盾，所以f在k??D上有界。設(shè)M?supf(p),m?inff(p)。下證M，m 分別為f在D上的最大值與最p?Dp?D小值。若?p?D,f(p)?M.則1在D上連續(xù)，從而有界。存在G > 0 , 使

M?f(p)1?G,M?f(p)f(p)?M?1 , 這與M的定義矛盾。因此必存在p1?D，使 Gf(p1)?M。同理存在p2?D,使f(p2)?m。

2．一致連續(xù)性定理

定理9。若f在有界閉域D?R上連續(xù)，則f在D上一致連續(xù)。即 ???0,???0，2?p1,p2?D,只要?(p1,p2)??,就有f(p1)?f(p2)??。

證：若f在D上不一致連續(xù)，則??0?0,???0,?p?,p???D,使?(p?,p??)??，f(p?)?f(p??)??0。

?，pn???D，使?(pn?,pn??)?1/n，但是 取??1/n,n?1,2,?,則?pn??p0，由 ?}有收斂子列{pnk?}，記 limpnk?)?f(pn??)??0。由致密性定理，{pnf(pnk???,pnk??)?1/nk?1/k,知limpnk???p0。又，f在p0連續(xù)，因此有 ?(pnkk???)?f(pnk??))?f(p0)?f(p0)?0，?)?f(pnk??)??0 矛盾，lim(f(pnk與 f(pnk于是f在k??D上一致連續(xù)。

3．介值定理

定理10。設(shè)f在有界閉域D?R上連續(xù)，p1,p2?D,且f(p1)?f(p2),則

2??：f(p1)???f(p2),則必存在p0?D,使f(p0)??。

則F(p1)?0,F(p2)?0。在D內(nèi)用有限條折線將p1,p2連接證。記F(p)?f(p)??，起來。（1），若有一個(gè)連接點(diǎn)?i，使F(?i)= 0，則取p0=?i即可。（2），若所有連接點(diǎn)?i，都有F(?i)≠ 0，則必有一直線段，F(xiàn)在它兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號。不妨設(shè)此線段為p1?1，?x?x1?t(x??x1)且 p1(x1,y1),?1(x?,y?)，線段p1?1的方程：?t?[0,1]，則

?y?y?t(y?y)11?F(x,y)?F(x1?t(x??x1),y1?t(y??y1))?G(t)為[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且G(0)?F(p1)?0，G(1)?F(?1)?0。因此必存在t0?(0,1)，使

G(t0)?F(x1?t0(x??x1),y1?t0(y??y1))?0,記x0?x1?t0(x??x1)，?，則 p0?D,且F(p0)?0,即f(p0)??。y0?y1?t（）0y?y1

第五篇：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

二次函數(shù)的最值的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

二次函數(shù)在高考中占有重要的地位，而二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用，主要考察我們分類討論和數(shù)形結(jié)合思想。這節(jié)課我們主要學(xué)會(huì)應(yīng)用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素：拋物線的開口方向、對稱軸和區(qū)間的位置。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

知識與技能

1、掌握運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想求二次函數(shù)的最值

2、會(huì)利用轉(zhuǎn)化化規(guī)思想求解含參數(shù)不等式中參數(shù)的范圍。

過程與方法

1、經(jīng)歷從軸定區(qū)間動(dòng)到軸動(dòng)區(qū)間定的類比推理，培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力。

2、結(jié)合圖像與函數(shù)的知識進(jìn)行分類討論，求解一元二次函數(shù)的最值問題，提高

學(xué)生的綜合能力

情態(tài)與價(jià)值

1、有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

2、了解圖像與函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想求二次函數(shù)的最值

難點(diǎn)：求解含參數(shù)的一元二次函數(shù)不等式中參數(shù)的范圍

四、教學(xué)方法：類比推理法，講授發(fā)現(xiàn)法

五、教學(xué)過程（典型例題分析）

（1）軸定，區(qū)間定

方法：可以對其二次函數(shù)配方處理或者是結(jié)合二次函數(shù)圖形求解，例1若實(shí)數(shù)x,y滿足2x2?6x?y2?0，則x2?y2?2x的最大值是 2?6x?2x?0?22解：由y?6x?2x得?2 2222??x?y?2x?x?6x?2x?2x?8x?x

問題轉(zhuǎn)化為求f(x)?8x?x2，當(dāng)x?[0,3]中的最大值，易的f(x)max?f(3)?15.1設(shè)計(jì)意圖：利用消元思想將問題簡化，但是其中必須注意的是消元之后的自變量的取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。

例2 設(shè)x1,x2是方程2x2?4mx?(5m2?9m?12)?0的兩實(shí)根，求x1?x2的最值.分析：二次方程有實(shí)根，則必須△?0,由此先解出m的范圍.2

2x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2，利用韋達(dá)定理將x12?x22表示成關(guān)于m的二次函數(shù).4m25m2?9m?12??m2?9m?12?f(m)解：由韋達(dá)定理知x?x2?()?2?222

由2x2?4mx?(5m2?9m?12)?0有兩實(shí)根可得它的??0

即??(?4m)2?4?2?(5m2?9m?12)??24m2?72m?96?0，解得?1?m?

4,時(shí)]的最值，易的問題轉(zhuǎn)化為求f(m)??m2?9m?12，當(dāng)m?[?1m

f(m)max?f(4)?32，f(m)min?f(?1)?2.設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化成為有關(guān)m的二次函數(shù)，但是其中的隱含條件：二次方程有實(shí)根，從而確定m的取值范圍。

（2）軸定，區(qū)間變

方法：結(jié)合二次函數(shù)的圖象，討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系：① 軸在區(qū)間右邊②軸在區(qū)間左邊③軸在區(qū)間內(nèi)

例3 已知f(x)?x2?2x?2在x?[t,t?1]上的最大、最小值分別為M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活動(dòng)：師生一起合作求解函數(shù)的最小值m(t)的表達(dá)式，并作小結(jié)，再讓學(xué)生板書求解函數(shù)的最大值M(t)的表達(dá)式，和下面例題4的最小值g(t)的表達(dá)式設(shè)計(jì)意圖:（1）通過講解讓學(xué)生體會(huì)解題過程中注意分哪幾類討論，做到不遺漏不重復(fù)，同時(shí)怎樣結(jié)合圖像求解函數(shù)的最值，并且引導(dǎo)學(xué)生注意解題的規(guī)范性

（2）學(xué)生求解例3函數(shù)中最大值的表達(dá)式中討論軸在區(qū)間內(nèi)的可能遇到阻礙，講解過程中啟發(fā)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)：如果我們倆個(gè)自變量的值到對稱軸的距離相等，則我們的函數(shù)值也相等，離對稱軸的距離越遠(yuǎn)，我們的函數(shù)值越大的性質(zhì)來求解函數(shù)的最大值的表達(dá)式

（3）根據(jù)物理中動(dòng)、靜（定）的相對原理，那么例題4的軸變區(qū)間定的題型可以類比成軸定區(qū)間動(dòng)的這種題型求解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和類比能力解：對稱軸為x?1，分4種情況討論（另解：最大值可以分2種情況，最小值可以分3種情況）：

22（1）t?1?1，即t?0時(shí)，M(t)?f(t)?t-2t?

2、m(t)?f(t?1)?t?

1（2）t?1時(shí)，M(t)?f(t?1)?t2?

1、m(t)?f(t)?t2-2t?

2，且1-t?t?1-1，即（3）0?t?11?t?1時(shí)，2

M(t)?f(t?1)?t2?

1、m(t)?f(1)?

1，且1-t?t?1-1，即1?t?（4）0?t?11時(shí)，2M(t)?f(t)?t2?2t?

2、m(t)?f(1)?1 1?2?t2?1(t?0)t?2t?2(t?)???2綜上，M(t)??，m(t)??1(0?t?1)1?t2?1(t?)?t2?2t?2(t?1)???

2（3）軸變，區(qū)間定

方法: 與情形2一樣.例4已知f(x)?x2?2tx?2在x?[0,1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式.解：對稱軸x?t，分三種情況討論

（1）t?0時(shí)，g(t)?f(0)?0

2（2）0?t?1時(shí)，g(t)?f(t)?2?t

（3）1?t時(shí)，g(t)?f(1)?3?2t

?2(t?0)?2綜上，g(t)??2?t(0?t?1)

?3?2t(t?1)?

例5 設(shè)f(x)?x2?ax?3，當(dāng)x?[?2,2]時(shí)恒有f(x)?a，求a的范圍.變式一：若將f(x)?a改為f(x)?a時(shí)，其它條件不變，求a的范圍

變式二：若將f(x)?a改為f(x)?a時(shí)，其它條件不變，求a的范圍

變式三：若將x?[?2,2]改為x?(?2,2)時(shí)，其它條件不變，求a的范圍

設(shè)計(jì)意圖：通過講解例題5和變式一，讓學(xué)生體會(huì)解不等式中的一種轉(zhuǎn)化思想并一起總結(jié)歸納：若f(x)?a?f(x)min?a;f(x)?a?f(x)max?a，通過變式二、三和原題的思考對比讓學(xué)生體會(huì)相似題型的解法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)

分析：f(x)?a恒成立?f(x)min?a

a解：對稱軸為x??，分三種情況討論

2?a?a?4????2?（1）?2??7?? a??3??fmax?f(?2)??2a?7?a?

a??2???2???4?a?4??4?a?4?2(2)?????4?a?2 ?2?22?f?f(?a)?a?a?3?a?a?4a?12?0??6?a?2

min??242

?a?a??4???2（3）?2????7?a??4 a??7???fmin?f(2)?2a?7?a

綜上，?7?a?2，即a的值域?yàn)閍?[?7,2]

（4）軸變，區(qū)間變

例6已知y2?4a(x?a)(a?0)，求u?(x?3)2?y2的最小值。

分析：將y2?4a(x?a)代入u中，得

u?(x?3)2?4a(x?a)?[x?(3?2a)]2?12a?8a2，x?[a，??)

分①3?2a?a、②3?2a?a討論

解：將y2?4a(x?a)代入u中，得

u?(x?3)2?4a(x?a)?[x?(3?2a)]2?12a?8a

2由y2?4a(x?a)?0得x?a

u?[x?(3?2a)]2?12a?8a2的對稱軸為x?3?2a，分兩種情況

①3?2a?a?0時(shí)，即0?a?1時(shí)，fmin?f(3?2a)??8a2?12a

②3?2a?a時(shí)，即a?1時(shí)，fmin?f(a)?a2?6a?9

綜上，f(x)min2?(0?a?1)?12a?8a?? 2?(a?1)?(a?3)

（5）二次函數(shù)的逆向最值問題

3例7已知二次函數(shù)f(x)?ax2?(2a?1)x?1在區(qū)間[?，2]上的最大值為3，求實(shí)2

數(shù)a的值。

分析：這是一個(gè)逆向最值問題，若從求最值入手，需分a?0與a?0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到f(x)的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過程簡明。

解：（1）令f(?2a?11)?3，得a?? 22a

32] 此時(shí)拋物線開口向下，對稱軸為x??2，且?2?[?，2

1故a??不合題意； 2

（2）令f(2)?3，得a?

稱軸遠(yuǎn)些，故a?1，此時(shí)拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對21符合題意； 2

32（3）若f(?)?3，得a??，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。32

綜上，a?21或a?? 32

評注：本題利用特殊值檢驗(yàn)法，先計(jì)算特殊點(diǎn)（閉區(qū)間的端點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)）的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，思路明了、過程簡潔，是解決逆向型閉區(qū)間二次函數(shù)最值問題的一種有效方法。

六、課后小結(jié)：本教學(xué)設(shè)計(jì)幾乎涵蓋了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值中出現(xiàn)的所有可能性，不論是正向型還是逆向型，設(shè)計(jì)中主要體現(xiàn)在它們總體解題思路是根據(jù)對稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系：（1）軸在區(qū)間右邊；（2）軸在區(qū)間左邊；（3）軸在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)這三種位置關(guān)系一一分類討論并且結(jié)合二次函數(shù)圖像及性質(zhì)求解。本教學(xué)設(shè)計(jì)最主要還是向同學(xué)灌輸了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化規(guī)三種重要的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到不斷延伸，提升他們的綜合能力。我感覺課堂給他們的時(shí)間可能比較少，課堂內(nèi)容比較大，需要課后不斷鞏固。