第一篇：畢業生乘車區間證明

證明

為廣西大學化學化工學院專業 2013屆畢業生，學生證、圖書證等相關學生證件已被學校回收。該生家庭地址為省（區）市（縣），乘車區間為：南寧 站至站。

望憑此證明給予辦理購買火車票優惠等相關事宜。

廣西大學化學化工學院

學工組：

2013年6月日

第二篇：學生乘車證明

證明

為我校專業2013屆畢業生，身份證號碼

為，學生證、圖書證等相關學生證件已被學校回收。

該生家庭地址為省（區）市（縣），乘車區間站至站。

望憑此證明給予辦理購買火車票優惠等相關事宜。

xxxx學院

2013年6月18日

第三篇：火車乘車證明

證明

我院2009級高分子材料與工程專業學生李濤（學號：5701109015），二○○九年九月至二○一三年六月在本校材料科學與工程學院學習，已修滿學分，通過畢業論文答辯，獲準畢業，學生證等在校證件已上繳學校，其家庭所在地為陜西西安。

特此證明。

南昌大學

材料科學與工程學院

2013-6-8

第四篇：閉區間上連續函數性質證明

§2 閉區間上連續函數性質的證明

教學目的：掌握閉區間上連續函數性質證明思路與方法，加深對實數完備性若干定理的理解。重點難點：重點與難點為其證明思路與方法。教學方法：講練結合。

在本節中，我們利用實數完備性的基本定理，來證明閉區間上連續函數的基本性質．

有界性定理

若函數f在閉區間?a,b?上連續，則f在?a,b?上有界．

證

[證法一](應用有限覆蓋定理)由連續函數的局部有界性(定理4．2)，對每一點x???a,b?,都存在鄰域U(x?;?x?)及正數Mx?，使得f(x)?Mx?,x?U(x?;?x?)??a,b?.考慮開區間集

H?U(x?;?x?)x???a,b?, 顯然?是?a,b?的一個無限開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在?的一個有限子集

???*??U?xi;?i?xi??a,b?,i?1,2,?,k?

覆蓋了?a,b?，且存在正數M1,M2,?,Mk，使得對一切x?U?xi;?i???a,b?有f?x??Mi,i?1,2,?,k.令

M?maxMi，1?i?k則對任何x??a,b?，x必屬于某U?xi;?i??f?x??Mi?M．即證得f在?a,b?上有界．

[證法二](應用致密性定理)倘若f在?a,b?上無上界，則對任何正整數n，存在xn??a,b?，使得f?xn??n．依次取n?1,2,?，則得到數列?xn???a,b?．由致密性定理，它含有收斂子列xnk，記limxnk??。由a?xnk?b及數列極限的保不等式性，???a,b?．利用f在點?連續，推得

k????limfxnk?f??????

k????另一方面，由xn的選取方法又有fxnk?nk?k????limfxnk???

k??????與(1)式矛盾．所以f在?a,b?有上界．類似可證f在?a,b?有下界，從而f在?a,b?上有界.最大、最小值定理 若函數f在閉區間?a,b?上連續，則f在?a,b?上有最大值與最小值．

證

(應用確界原理)已證f在?a,b?上有界，故由確界原理，f的值域f??a,b??有上確界，記為M．以下我們證明：存在???a,b?，使f????M．倘若不然，對一切x??a,b?都有f?x??M．令

第七章第二節第1頁

g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)易見g在?a,b?連續,故g在?a,b?有上界.設G是g的一個上界,則

0?g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)1,x?[a,b] G從而推得f?x??M?但這與M為f??a,b??的上確界矛盾.故必存在???a,b?,使f????M,即f在?a,b?上有最大值,同理可證f在?a,b?上有最小值.介值性定理 設函數f在閉區間?a,b?上連續，且f?a??f?b?.若?為介于f?a?與f?b?之間的任何實數,則存在x0??a,b?，使得f?x0???

證[證法一](應用確界原理)不妨設 f?a????f?b?．令 g?x?= f?x???，則g也是 ?a,b?上的連續函數，且g?a??0,g?b??0.于是定理的結論轉化為：存在x0??a,b?，使得g?x0??0．這個簡化的情形稱為根的存在性定理．

記???g?x??0,x??a,b??．顯然?為非空有界數集(???a,b?且b??)，故由確界原理，?有下確界，記x0?inf?．因g?a??0,g?b??0，由連續函數的局部保號性，存在??0，使得在?a,a???內g?x??0，在?b??,b?內g?x??0，由此易見x0?a,x0?b，即x0??a,b?．

下證g?x0??0．倘若g?x0??0，不妨設g?x0??0，則又由局部保號性，存在U?x0;?????a,b??，使在其內g?x??0，特別有g?x0???????0?x0???．但這與x0?inf?正相矛盾，故必有2?2?g?x0??0．

[證法二](應用區間套定理)同上述證法一，我們把問題轉化為證明根的存在性定理，即若函數g在?a,b?上連續，g?a??0,g?b??0，則存在x0??a,b?，使得g?x0??0．

將?a,b?等分為兩個子區間?a,c?與?b,c?．若g?c??0，則c即為所求；若g?c??0，則當g?c??0時記?a1,b1???a,c?，當g?c??0時記?a1,b1???c,b?。于是有g?a1??0,g?b1??0，且

第七章第二節第2頁

?a1,b1???a,b?,b1?a1?1?b?a?． 2再從區間?a1,b1?出發，重復上述過程，得到：或者在?a1,b1?的中點c1上有g?c1??0，或者有閉區間?a2,b2?，滿足g?a2??0,g?b2??0，且

?a2,b2???a1,b1?,b2?a2?1?b?a? 22

將上述過程不斷地進行下去，可能出現兩種情形：

(1)在某一區間的中點ci上有g?ci??0，則ci即為所求；

(2)在任一區間的中點ci上均有g?ci??0，則得到閉區間列

??an,bn??,滿足g?an??0,g?bn??0，且

?an?1,bn?1???an,bn?,bn?an?1?b?a?,n?1,2,?.n2由區間套定理，存在點x0??an,bn?,n?1,2,?.下證．g?x0??0，倘若g?x0??0，不妨設g?x0??0，則由局部保號性，存在U?x0;??,使在其內有g?x??0．而由定理7.1的推論，當n充分大時有?an,bn??U?x0;??，因而有g?an??0．但這與?an,bn?選取時應滿足的g?an??0相矛盾，故必有g?x0??0

一致連續性定理

若函數f在閉區間?a,b?上連續，則f在?a,b?上一致連續．

證[證法一](應用有限覆蓋定理)由f在?a,b?上的連續性，任給??0，對每一點x??a,b?，都存在?x?0，使得當x??U?x;?x?時有

f?x???f?x??考慮開區間集合 ???U?x,?2.(2)???x???x??a,b??

??2??顯然H是?a,b?的一個開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在H的一個有限子集

???U?xi,*?????i???i?1,2,?,k? 2??覆蓋了?a,b?．記??min???i???0 1?i?k2??*對任何x?,x????a,b?,x??x????,x?必屬于?中某開區間,設x??U?xi;???i???即x??xi?i.22?第七章第二節第3頁

此時有x???xi?x???x??x??xi???故由(2)式同時有f?x???f?xi???i2??i2??i2??i

?2

和

f?x????f?xi???2

由此得f?x???f?x?????.所以f在?a,b?上一致連續.[證法二](應用致密性定理)用反證法.倘若f在?a,b?上不一致連續,則存在某?0?0,對任何??0,都存在相應的兩點x?,x????a,b?,盡管x??x????,但有

f?x???f?x?????0.令??11?,xn????a,b?，盡管x??x???,但有

(n為正整數)，與它相應的兩點記為xnnn???f?xn?????0.(3)

f?xn??與?xn?????a,b?．由致密性定理，存在?xn??的收斂子列xn?k，當n取遍所有正整數時，得數列?xn???k?x0??a,b??k???．同時由 設xn?k?xn??k?xn1??k?x0?xn??k?xn?k?xn?k?x0?0?xnnk?k???

??k?x0?k???。又得xn?k?fxn??k??0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k???，由 f的連續性及數列極限的保不等式性，得到

?????k?fxn??k??0，0?f?x0??f?x0??limfxnk??????這與?0?0相矛盾．所以f在?a,b?上一致連續．

第七章第二節第4頁

第五篇：畢業生證明

證明

姓名： xx，性別：xx，學號：身份證號：xxxxxxxxxxxxxxxxxx，系我校 xx 系xx級/專）科學生，該生于xxx年xx月畢業，符合各項條件將按時頒發相應畢業證、學位證。

特此證明！

xx學院xx系

xx年x月x日

xx學院教務處

xx年x月x日