第一篇：2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

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2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容,在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。下面凱程考研就分享一下數(shù)列極限方法，大家注意學(xué)習(xí)。

極限無外乎出這三個題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡單總結(jié)下：

極限的計算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。

四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會遇到一些較為復(fù)雜的極限計算，此時運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。

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第二篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·數(shù)學(xué)歸納法·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．

2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點與難點

重點：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）引入

師：從今天開始，我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識什么是歸納法開始．

（板書課題：數(shù)學(xué)歸納法）

（二）什么是歸納法（板書）

師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點．

問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？（可準(zhǔn)備一袋白球、問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好）生：把它倒出來看一看就可以了．

師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做？ 生：一個一個拿，拿一個看一個． 師：對．問題的結(jié)果是什么呢？（演示操作過程）

第一個白球，第二個白球，第三個白球，??，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．

特點嗎？

生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點是由特殊→一般（板書）．

師：很好！其實在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項，求它的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會看到歸納法的運(yùn)用．

在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法．

還應(yīng)該指出，問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了，由此而得到了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然數(shù)有無數(shù)個，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法．

（三）歸納法的認(rèn)識（板書）

歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）． 師：用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3．

資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀）

費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)． 但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4作了驗證后得到的．

18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測．

師：有的同學(xué)說，費(fèi)馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上！再請看數(shù)學(xué)史上的另一個資料（仍由學(xué)生閱讀）：

師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯的原因，并研究出對策來． 師：歸納法為什么會出錯呢？ 生：完全歸納法不會出錯．

師：對！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢？ 生：由于用不完全歸納法時，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢？ 生：應(yīng)該予以證明．

師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明．

（四）歸納與證明（板書）

師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考．

生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了．

師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想．

師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？

（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來）

師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明． 結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球． 然后再構(gòu)造一個命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”．

這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、??拿出的都是白球．

師：對．它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明． 生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？ 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲．（有條件可放一段此種游戲的錄相）

師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：

（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．

用這種思想設(shè)計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法．

（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書）

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？ 生：先證n=1時，公式成立（第一步）；

再證明：若對某個自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）． 師：這兩步的證明自己會進(jìn)行嗎？請先證明第一步．

師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求． 師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說，教師板書）：（1）n=1時，命題成立；

（2）設(shè)n=k時命題成立，則當(dāng)n=k+1時，命題也成立．

師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命

（若有時間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時間可布置學(xué)生課下思考）

（六）小結(jié)

師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：

（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法．

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．（3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行．（4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí)．

（七）課外作業(yè)

（1）閱讀課本P112～P115的內(nèi)容．（2）書面作業(yè)P115練習(xí)：1，3． 課堂教學(xué)設(shè)計說明

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識開始，到對不完全歸納法的認(rèn)識，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束． 把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計也想在這方面作些研究．

3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件．

第三篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法專題

數(shù)

列

專

題

復(fù)

習(xí)

選題人：董越

【考點梳理】

一、考試內(nèi)容

1.數(shù)列，等差數(shù)列及其通項公式，等差數(shù)列前n項和公式。2.等比數(shù)列及其通項公式，等比數(shù)列前n項和公式。3.數(shù)列的極限及其四則運(yùn)算。4.數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用。

二、考試要求

1.理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項和。

2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠應(yīng)用這些知識解決一些問題。

3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能夠運(yùn)用這些知識解決一些問題。

4.了解數(shù)列極限的定義，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會求公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限。

5.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的問題。

三、考點簡析

1.數(shù)列及相關(guān)知識關(guān)系表

2.作用地位

（1）數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，是定義在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函數(shù)。對于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學(xué)過數(shù)列后，一方面對函數(shù)概念加深了了解，拓寬了知識范圍；另一方面也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)級數(shù)的知識和解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題打下了基礎(chǔ)。

（2）數(shù)列的極限這部分知識的學(xué)習(xí)，教給了學(xué)生“求極限”這一數(shù)學(xué)思路，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作好準(zhǔn)備。

（3）數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)論證方法，學(xué)習(xí)了這部分知識后，又掌握了一種新的數(shù)學(xué)論證方法，開拓了知識領(lǐng)域，學(xué)會了新的技能；同時通過這部分知識的學(xué)習(xí)又學(xué)到一種數(shù)學(xué)思想，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜

合、抽象、概括等思維能力，都有很好的效果。

（4）數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法這部分知識，在高考中占有相當(dāng)?shù)谋戎亍＿@部分知識是必考的內(nèi)容，而且?guī)缀趺磕暧幸坏谰C合題。

3.等差數(shù)列

（1）定義：an+1－an=d(常數(shù)d為公差)

（2）通項公式：an=a1+(n－1)d（3）前n項和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)=na1+d（4）通項公式推廣：an=am+(n－m)d

224.等差數(shù)列{an}的一些性質(zhì)

（1）對于任意正整數(shù)n，都有an+1－an=a2－a1（2）{an}的通項公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)（3）對于任意正整數(shù)p,q,r,s,如果p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as（4）對于任意正整數(shù)p,q,r,如果p+r=2q,則有ap+ar=2aq（5）對于任意正整數(shù)n>1，有2an=an－1+an+1

（6）對于任意非零實數(shù)b，若數(shù)列{ban}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}也是等差數(shù)列（7）已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則{an±bn}也是等差數(shù)列（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差數(shù)列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，則Sm+n=0（11）若Sp=q,Sq=p，則Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立 5.等比數(shù)列（1）定義：an?1－=q(常數(shù)q為公比)

（2）通項公式：an=a1qn1 anq?1q?

1特別注意q=1時，Sn=na1這一特殊情況。

－m（3）前n項和公式

?na1?Sn=?a1(1?qn)?1?q?（4）通項公式推廣：an=am·qn6.等比數(shù)列{an}的一些性質(zhì)（1）對于任意正整數(shù)n，均有

an?1a2= ana1（2）對于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則ap·aq=ar·as（3）對于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則ap·ar=aq2（4）對任意正整數(shù)n>1，有an2=an－1·an+1（5）對于任意非零實數(shù)b,{ban}也是等比數(shù)列

（6）已知{an}、{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列（7）如果an>0，則{logaan}是等差數(shù)列

（8）數(shù)列{logaan}成等差數(shù)列，則an成等比數(shù)列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比數(shù)列 7.數(shù)列極限

（1）極限的定義“ε—N”

（2）極限的四則運(yùn)算

若liman=A，lim bn=B，則

n??n?? 2

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B

lim（an·bn）=liman·limbn=A·B n??n??n??n??n??n??lim（an/bn）=liman/limbn=n??n??n??A(B≠0)B（3）兩個重要極限

c?0|r|?1?0?01??①limc=?c?0

②limrn=?1

r?1 n??nn???不存在?不存在c?0|r|?1或r??1??中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)列求極限最終都化成這兩類的極限問題。由①我們可以得到多項式除多項式的極限。

?a0?b p?q0a0np?a1np?1???ap??lim=?0 p?q

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。n??bnq?bnq?1???a01q?不存在 p?q???（4）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式

S=limSn=

n??a1（|q|<1）1?q應(yīng)用：化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。8.遞歸數(shù)列

數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列{2?1}即為遞歸數(shù)列。

遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。

（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代換，三角代換。

（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。9.數(shù)列求通項與和 n?sn?sn?1n?2（1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an=?

sn?1?1（2）求通項常用方法

①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列。

②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和 ①重要公式

1+2+…+n=13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=

11n(n+1)

12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)261

2n(n+1)2 4 3

②等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ③等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ④裂項求和

將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：

1111=－

n·n！=(n+1)!－n!

=cotα－cot2α

sin2αn(n?1)nn?1Cn－1r1=Cnr－Cn－1r

－

1n1=－等。n!(n?1)!(n?1)!⑤錯項相消法

對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。⑥并項求和

把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。

數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。10.數(shù)學(xué)歸納法

（1）數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°p(n0)成立（奠基）；

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（歸納），則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立。

（2）數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法適用于有關(guān)自然數(shù)n的命題。具體來講，數(shù)學(xué)歸納法常用來證明恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾可中計數(shù)問題，數(shù)列的通項與和等。

四、思想方法

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分類討論思想。如等比數(shù)列的求和分公比等于1和不等于1兩種情形；已知數(shù)列前n項和求通項分n=1和n≥2兩種情形；求極限時對兩個參數(shù)進(jìn)行大小比較的討論等。

2.函數(shù)思想。將數(shù)列視為定義域為自然數(shù)或其子集的函數(shù)。

3.數(shù)形結(jié)合思想。如等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式分別視為直線、二次曲線的方程。

4.轉(zhuǎn)化思想。如將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列。5.基本量思想。如把首項及公差、公比視為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量。6.構(gòu)造思想。如由舊數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列。

7.特殊化思想。為研究一般問題可先退化到特殊問題的研究。在這部分內(nèi)容中，處處充滿了由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證法，這就要求我們在思考問題時要用辯證的觀點，由具體認(rèn)識抽象，由特殊窺見一般，由有限逼近無限。其中，我們常用的“歸納——猜想——證明”法就體現(xiàn)了這一點。

8.一般化思想。為研究一個特殊問題，我們先研究一般的情形。我們采用的數(shù)學(xué)歸納法，就主要體現(xiàn)一般化思想，先證命題對一般值成立，然后再證對每一個特殊的n值也成立。

第四篇：求數(shù)列極限的方法總結(jié)

求數(shù)列極限

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

11級電子 張玉龍 陳進(jìn)進(jìn)指導(dǎo)教師 魯大勇

摘 要 數(shù)列極限的求法一直是數(shù)列中一個比較重要的問題，本文通過歸納和總結(jié)，從不同 的方面羅列了它的幾種求法。

關(guān)鍵詞 數(shù)列極限、定義、泰勒公式、無窮小量 極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多 樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法 還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運(yùn)用兩個重要極限，其中，可以利用等量代 換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的 四則運(yùn)算法則計算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時候要 重點注意運(yùn)用。泰勒公式、洛必達(dá)法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了

1.定義法 利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)｛Xn｝是一個數(shù)列,a 是實數(shù),如果對 任意給定的 ε 〉0,總存在一個正整數(shù) N，當(dāng) n〉N 時,都有 Xn ? a < ε ,我們就稱 a 是數(shù)列{Xn}的極限.記為 lim Xn = a.n→∞ 例 1: 按定義證明 lim 1 = 0.n → ∞ n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,則讓 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],當(dāng) n>N 時,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0.n → ∞ n!

2.利用極限四則運(yùn)算法則 對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限,自然會想到極限四則運(yùn)算法則.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1.n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均為無窮多項的和,應(yīng)分別求和,再用四則運(yùn)算法則求極限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim

3.利用夾逼性定理求極限若 存 在 正 整 數(shù) N, 當(dāng) n>N 時 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 則 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a.n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的極限.n2 對任意正整數(shù) n,顯然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夾逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0.n →∞ n

4．換元法 通過換元將復(fù)雜的極限化為簡單.an ?1 例 4.求極限lim n，此時 n →∞ a + 2 有，令 解：若 5.單調(diào)有界原理

4.例 5.證明數(shù)列 證： 令 我們用歸納法證明 若 ≤２ 則 則 有極限，并求其極限。，易知｛ ｝遞增，且 ≤2.顯然。中兩 故由單調(diào)有界原理｛ ｝收斂，設(shè) →，則在 邊取極限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明顯不合要求，舍去，從而

5.6.6.先用數(shù)學(xué)歸納法,再求極限.1 ? 3 ? 5 ? L ?(2n ? 1)例 6:求極限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 設(shè) S * = ? ?L? 則有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7.7.利用兩個重要極限 lim = 1 , lim(1 +)x = e.x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim(1 +)x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim(1 +)2 ?(1 +)2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8.8.利用等價無窮小來求極限 將數(shù)列化成自己熟悉的等價無窮小的形式然后求極限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:當(dāng) x → 0 的時候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此時, e x ? 1 ~ x 2 ,所以 x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9.9.用洛必達(dá)法則求極限.適用于 和 型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是 待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10.10.積分的定義及性質(zhì) 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim(p > 0)n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim(p > 0)= lim ∑()p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 設(shè) f(x)= x ,則 f(x)在[0,1]內(nèi)連續(xù), 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f(ξ i)=()p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11.11.級數(shù)收斂的必要條件.2 x sin x.2 設(shè) ∑ u n 等于所求極限的表達(dá)式 , 再證∑ u n 是收斂的, 據(jù)必要條件知所求表達(dá)式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 極限為 0.例 11:求 lim n → +∞ n!nn ∞ u 1 1 n!= <1 ,則 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n(1 +)n n n!所以該級數(shù)收斂,所以 lim n =0 n → +∞ n

12.12.對表達(dá)式進(jìn)行展開、合并、約分和因式分解以及分子分母有理化，三角函數(shù) 的恒等變形。sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13.13.奇數(shù)列和偶數(shù)列的極限相同，則數(shù)列的極限就是這個極限。(?1)x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇數(shù)列為 lim x =0 x→∞ 2 1 偶數(shù)列為 lim x =0 x→∞ 2(?1)x 所以 lim x =0 x→∞ 2

14.14．利于泰勒展開式求極限。解:設(shè) ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4)1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 +)5 ?(1 ?)5 ?(令 t=)x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t)? ?1 ? t + o(t)? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t)5 ?(1 ? t)5 ? = t → +0 t t 5 ? ?

15.15.利于無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限。利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量，無窮小量與無窮大量互為倒數(shù) 的關(guān)系，以及有限個無窮小的和仍是無窮小等等。1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是無窮小量，而 lim sin x 是有界變量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 還是無窮小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x

16.16.利用數(shù)列的幾何、算術(shù)平均值求極限。數(shù)列{ an }有極限，則它的幾何平均值和算術(shù)平均值的極限與與原極限相同。解：因為 lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 設(shè) bn = an，因為知 lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的極限就等于{ bn }的極限 即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞

17.17.絕對值中的極限 若 a n → a(n → ∞),則 a n → a(n → ∞)例 17：求 lim 1 的值 x →∞ x 3 1 1 解： lim 3 = lim 3 =0 x →∞ x x →∞ x

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)：16種極限求解的方法總結(jié)

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)：16種極限求解的方法總

結(jié)

學(xué)好高數(shù)，極限基礎(chǔ)必須要打好，極限求解也是必要解決的問題，下面總結(jié)了16種可用的方法，大家學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)，可靈活應(yīng)用。

1、等價無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。

2、洛必達(dá)法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無疑于找死！)必須是0比0無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成