相似三角形與圓的綜合考題

1、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，過E作⊙O的切線ED，切點為C，AD⊥ED交ED于點D，交⊙O于點F，CG⊥AB交AB于點G．

求證：BG?AG=DF?DA．

2、已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

(1)求證：DE為⊙O的切線．

(2)求證：AB：AC=BF：DF．

3、(南通)已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足．

(1)求證：∠ADE=∠B；

(2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD?DA=FO?DE．

4、如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．

(1)直接寫出AE與BC的位置關系；

(2)求證：△BCG∽△ACE；

(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．

5、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？

(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

6、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？

(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

7、如是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC；

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)過點D作DF⊥AB于點F，連接BE交DF于點M，求證：DM=MF．

8、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，連結BD并延長，使CD=BD，連結AC。過點D作DE⊥

AC，垂足是點E．過點B作BE⊥AB，交ED延長線于點F，連結OF。

求證：(1)EF是⊙O的切線；

(2)△OBF∽△DEC。

9、如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O

切線，交OD的延長線于點E，連結BE．

(1)求證：BE與⊙O相切；

(2)連結AD并延長交BE于點F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的長．

10、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點?F。

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若，求的值；

(3)在(2)的條件下，若⊙O直徑為10，求△EFD的面積．

11、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點D，E是邊AC的中點，ED、AB的延長線相交于點F．

求證：

(1)DE為⊙O的切線．

(2)AB?DF=AC?BF．

12、如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)若AE=3，AB=4，求圖中陰影部分的面積．

13、知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G。

(1)求證：CE2=FG·FB；

(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直徑。

14.如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC平分∠BCD，BD交AC于點F，過點A作圓的切線AE交CB的延長線于E.求證：①AE∥BD；

②AD

=

DF·AE15、已知：□ABCD，過點D作直線交AC于E，交BC于F，交AB的延長線于G，經過B、G、F三點作⊙O，過E作⊙O的切線ET，T為切點.求證：ET

=

ED16、如圖，△ABC中，AB

=

AC，O是BC上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓與AC相切于點A，過點C作CD⊥BA，垂足為D.求證：（1）

∠DAC

=

2∠B；

（2）

CA

=

CD·CO

相似三角形與圓的綜合考題（教師版）

1、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，過E作⊙O的切線ED，切點為C，AD⊥ED交ED于點D，交⊙O于點F，CG⊥AB交AB于點G．

求證：BG?AG=DF?DA．

證明：連接BC，FC，CO，∵過E作⊙O的切線ED，∴∠DCF=∠CAD，∠D=∠D，∴△CDF∽△ADC，∴=，∴CD2=AD×DF，∵CG⊥AB，AB為直徑，∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，∴∠GBC=∠ACG，∴△BGC∽△CGA，∴=，∴CG2=BG×AG，∵過E作⊙O的切線ED，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAD，在△AGC和△ADC中，∴△AGC≌△ADC（AAS），∴CG=CD，∴BG×AG=AD×DF．

2、已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

(1)求證：DE為⊙O的切線．

(2)求證：AB：AC=BF：DF．

3、(南通)已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足．

(1)求證：∠ADE=∠B；

(2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD?DA=FO?DE．

解：（1）方法一：

證明：連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．

又∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．

∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．

∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．

∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．

∴∠ADE=∠B．

方法二：

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠ADB=∠DEA，∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．

∴△DAE∽△BAD．

∴∠ADE=∠B．

（2）證明：∵OF∥AD，∴∠F=∠ADE．

又∵∠DEA=∠FDO（已證），∴△FDO∽△DEA．

∴FD：DE=FO：DA，即FD?DA=FO?DE．

點評：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質；（2）題乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過相似三角形的性質得以證明．

4、如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．

(1)直接寫出AE與BC的位置關系；

(2)求證：△BCG∽△ACE；

(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．

解：（1）如圖1，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．

∴AE⊥BC．

（2）如圖1，∵BF與⊙O相切，∴∠ABF=90°．

∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．

∵∠BAF=2∠CBF．

∴∠BAF=2∠BAE．

∴∠BAE=∠CAE．

∴∠CBF=∠CAE．

∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．

∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE．

（3）連接BD，如圖2所示．

∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．

∴BD⊥AF．

∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．

∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=

∵CG=，∴CD=．

∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．

∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．

∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．

∴AB=AC．

設⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．

∵∠ADB=90°，∴AD=r．

∴DC=AC-AD=2r-r=（2-）r=．

∴r=2+3．

∴⊙O的半徑長為2+3．

解析：

（1）由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．

（2）易證∠CBF=∠BAE，再結合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．

（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據角平分線的性質可得DC=CG=；設圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出⊙O的半徑長．

5、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？

(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

分析：（1）連接OC，證明∠OCP=90°即可．

（2）乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．

（3）可以先根據勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．

解答：（1）證明：連接OC．

∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切線．

（2）解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：

連接AE．

∵點D在劣弧AC中點位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE?DF．

（3）解：連接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．

∵點D在劣弧AC中點位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的性質及全等三角形的性質．

6、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？

(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長．

（1）證明：連接OC．

∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切線．

（2）解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：

連接AE．

∵點D在劣弧AC中點位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE?DF．

（3）解：連接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．

∵點D在劣弧AC中點位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．

解析：

（1）連接OC，證明∠OCP=90°即可．

（2）乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．

（3）可以先根據勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長。

7、如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC；

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)過點D作DF⊥AB于點F，連接BE交DF于點M，求證：DM=MF．

證明：（1）連接OD，OE，∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，∴∠ODE=90°，CD=CE，∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，∴AE=DE，∵OD=OA，OE=OE，∴△ODE≌△OAE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；

（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，∴AE∥DF∥BC，∴△BMF∽△BEA，∴，∴，∴

∵△EDM∽△ECB，∴，∴，∴DM=MF．

解析：

（1）首先連接OD，OE，由CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可證得AE=DE，則可得△ODE≌△OAE，即可證得AE是⊙O的切線；

（2）首先易證得AE∥DF∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF．

8、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，連結BD并延長，使CD=BD，連結AC。過點D作DE⊥

AC，垂足是點E．過點B作BE⊥AB，交ED延長線于點F，連結OF。

求證：(1)EF是⊙O的切線；

(2)△OBF∽△DEC。

證明：（1）連結OD，∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OB，又∵CD=BD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，∵點D是⊙O上一點，∴EF是⊙O的切線。

（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線，∵EF是⊙O的切線，∴∠BFO=∠DFO，FB=FD，∴OF⊥BD，∵∠FDB=∠CDE，∴∠OFD=∠C，∴∠C=∠OFB，又∵∠CED=∠FBO=90°，∴△OBF∽△DEC。

9、如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O

切線，交OD的延長線于點E，連結BE．

(1)求證：BE與⊙O相切；

(2)連結AD并延長交BE于點F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的長．

解：（1）連結CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，∴△OCE≌△OBE（SAS）

∴∠OCE＝∠OBE，又CE是切線，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE與⊙O相切

（2）備用圖中，作DH⊥OB于H，H為垂足，∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4，同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝

又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，∴FB＝

考點：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質及判定。

點評：熟知以上定義性質，根據已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。

10、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點?F。

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若，求的值；

(3)在(2)的條件下，若⊙O直徑為10，求△EFD的面積．

試題分析：

（1）連接OD，根據角平分線定義和等腰三角形的性質可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據平行線性質和切線的判定推出即可；

（2）先由（1）得OD∥AE，再結合平行線分線段成比例定理即可得到答案；

（3）根據三角形的面積公式結合圓的基本性質求解即可.（1）連接OD

因為OA

=“

OD“

所以∠OAD

=

∠ODA

又已知∠OAD

=

∠DAE

可得∠ODA

=

∠DAE，所以OD‖AC，又已知DE⊥AC

可得DE⊥OD

所以DE是⊙O的切線；

（2）由（1）得OD∥AE，（3）

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.11、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點D，E是邊AC的中點，ED、AB的延長線相交于點F．

求證：

(1)DE為⊙O的切線．

(2)AB?DF=AC?BF．

證明：（1）如圖，連接OD、AD．

∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°，∴∠CDA=90°．

又

∵E是邊AC的中點，∴DE=AE=AC，∴∠1=∠4，∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．

又∵AB是⊙O的直徑，∴DE為⊙O的切線；

（2）如圖，∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴∠3=∠C（同角的余角相等）．

又∵∠ADB=∠CDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴

易證△FAD∽△FDB，∴，∴，∴AB?DF=AC?BF．

解析：

（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，點E為AC中點，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據切線的判定即可；

（2）證△ABD∽△CAD，推出，再證△FAD∽△FDB，推出，得，即可得出AB?DF=AC?BF．

12、如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)若AE=3，AB=4，求圖中陰影部分的面積．

解：（1）連接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠ODF=∠DEA=90°，∵OD是半徑，∴EF是⊙O的切線．

（2）∵AB為⊙O的直徑，DE⊥AC，∴∠BDA=∠DEA=90°，∵∠BAD=∠CAD，∴△BAD∽△DAE，∴，即，∴AD=2，∴cos∠BAD=，∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，∴BD=AB=2，∴S△BOD=S△ABD=××2×2=，∴S陰影=S扇形BOD-S△BOD=

解析：

（1）根據等腰三角形性質和角平分線性質得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據切線的判定推出即可；

（2）證△BAD∽△DAE，求出AD長，根據銳角三角函數的定義求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面積，相減即可．

13、知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G。

(1)求證：CE2=FG·FB；

(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直徑。

解：（1）證明：連結AC，∵AB為直徑，∠ACB=90°，∵，且AB是直徑，∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高，∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，∵CE是⊙O的切線，∴∠FCB=∠A，CF2=FG·FB，∴∠FCB=∠ECB，∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，∴△BCF≌△BCE，∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，∴CE2=FG·FB；

（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，∴∠ACE=∠CBF，∴tan∠CBF=tan∠ACE==，∵AE=3，∴CE=6，在Rt△ABC中，CE是高，∴CE2=AE·EB，即62=3EB，∴EB=12，∴⊙O的直徑為：12+3=15。

14.如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC平分∠BCD，BD交AC于點F，過點A作圓的切線AE交CB的延長線于E.求證：①AE∥BD；

②AD

=

DF·AE

證明：①∵AE為圓的切線，∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夾弧所對的圓周角），∵CA為∠BCD的平分線，∴∠ACE=∠ACD，∵∠ABD=∠ACD，∴∠EAB=∠ABD，∴AE∥BD；

②∵AE∥BD，∴∠AEC=∠DBC，∵∠DBC=∠DAC，∴∠AEC=∠DAC，∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夾弧所對的圓周角），∴△ABE∽△DFA，∴

∵∠ACE=∠ACD，∴

∴AD=AB，則AD?AB=AD2=AE?DF．

15、已知：□ABCD，過點D作直線交AC于E，交BC于F，交AB的延長線于G，經過B、G、F三點作⊙O，過E作⊙O的切線ET，T為切點.求證：ET

=

ED

證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

∴∠EAD=∠ECF

∠EDA=∠EFC

∴△AED∽△CEF(AA)

∴

∵AB平行DC

∴∠EAG=∠ECD

∠G=∠EDC

∴△AEG∽△CED（AA)

∴

∴

∵ET與⊙O相切于點T

∴

∴

∴

16、如圖，△ABC中，AB

=

AC，O是BC上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓與AC相切于點A，過點C作CD⊥BA，垂足為D.求證：

（1）

∠DAC

=

2∠B；

（2）

CA

=

CD·CO

證明：（1）如圖,由已知△ABC中,AB=AC

得?△ABC為等腰三角形,∠B=∠ACB

外角∠1=∠B+∠ACB=2∠B

又由已知O是BC上一點,以O為圓心,OB長為半徑的圓與AC相切于點A

得△OAB為等腰三角形,∠B=∠OAB,OA⊥AC

外角∠2=∠B+∠OAB=2∠B

∠OAC=90°即∠1=∠2，△OAC為直角三角形

由已知過C作CD⊥BA的延長線于D，得∠ADC=90°，△ADC為直角三角形

在直角三角形△OAC和△ADC中

∠1=∠2,∠OAC=∠ADC=90°

∴△OAC∽△ADC

則CA/CO=CD/CA，即∴CA2=CD·CO