數學分析十講習題冊、課后習題答案

習

題

1-1

1．計算下列極限

（1）,解：原式=

==

（2）；

解：原式

（3）

解：原式

（4），解：原式

（5）

解：原式

=

（6），為正整數；

解：原式

2．設在處二階可導，計算.解：原式

3．設，存在，計算.解：

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題

1-2

1.求下列極限

（1）;

解：原式，其中在與之間

（2）;

解：原式===，其中在與之間

（3）

解：原式，其中在與之間

（4）

解：原式，其中其中在與之間

2．設在處可導，計算.解：原式

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題

1-3

1．求下列極限

（1）,解：原式

（2）;

解：

（3）;

解：原式

（4）;

解：原式

2.求下列極限

（1）;

解：原式

（2）;

解：原式

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題

1-4

1．求下列極限

（1）；

解：原式

（2）求；

解：原式

（3）；

解：原式

（4）；

解：原式

此題已換3．設在處可導，.若在時是比高階的無窮小，試確定的值.解：因為，所以

從而

解得：

3．設在處二階可導，用泰勒公式求

解：原式

4.設在處可導，且求和.解

因為

所以,即

所以

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題

1-5

1.計算下列極限

(1)

;

;

解：原式

(2)

解：原式

2．設，求

(1)；

解：原式

(2)，解：由于，所以

3．設，求和.解：因為，所以

且

從而有stolz定理，且

所以，4．設，其中，并且，證明：.證明：因，所以，所以，用數學歸納法易證。

又，從而單調遞減，由單調有界原理，存在，記

在兩邊令，可得

所以

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題

1-6

1.設在內可導，且

存在.證明:

證明：

2.設在上可微，和存在.證明:.證明：記（有限），（有限），則

從而

所以

3.設在上可導，對任意的,，證明:.證明：因為，所以，由廣義羅必達法則得

4．設在上存在有界的導函數，證明:.證明：，有界，所以

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題

2-1

（此題已換）

1.若自然數不是完全平方數，證明是無理數.1.證明是無理數

證明：反證法.假若且互質，于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設矛盾

2.求下列數集的上、下確界.（1）

解：

（2）

解：

（3）

解：

（4）.解：

3．設，驗證.證明：由得是的一個下界.另一方面，設也是的下界，由有理數集在實數系中的稠密性，在區間中必有有理數，則且

不是的下界.按下確界定義，.4．用定義證明上（下）確界的唯一性.證明：設為數集的上確界，即.按定義，有.若也是的上確界且

.不妨設，則對

有即

矛盾.下確界的唯一性類似可證

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題

2-2

1．用區間套定理證明：有下界的數集必有下確界.證明：設是的一個下界，不是的下界，則.令，若是的下界，則取；

若不是的下界，則取.令，若是的下界，則取；

若不是的下界，則取；……，按此方式繼續作下去，得一區間套，且滿足：

是的下界，不是的下界.由區間套定理，且.下證：

都有，而，即是的下界.由于，從而當充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界

2.設在上無界.證明：存在,使得在的任意鄰域內無界.證明：由條件知，在上或上無界，記使在其上無界的區間為；再二等分，記使在其上無界的區間為，……，繼續作下去，得一區間套，滿足在上無界.根據區間套定理，且.因為對任意的，存在，當時，有，從而可知

在上無界

3.設,在上滿足，若

在上連續,在上單調遞增.證明：存在,使.證明：記且二等分.若，則記若則記.類似地,對已取得的二等分,若，則記；若，則記按此方式繼續下去，得一區間套，其中

根據區間套定理可知，且有

.因為在上連續，所以

注意到

可得，再由

可知，.習

題

2-3

1.證明下列數列發散.(1),證

因為，所以發散.(2),證明：因為

所以發散.2．證明:單調數列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列.證明：由收斂數列與子列的關系，結論顯然

不妨假設數列單調遞增，且存在收斂子列，由極限定義

對任意給定的，總存在正整數，當時，從而有；

由于，對任意，存在正整數，當時，取，則任意時，所以，即

3.設極限存在,證明：.證明：記由海茵定理，取，得

取，得

取，得，解得

（此題取消）4.數列收斂于的充要條件是：其偶數項子列和奇數項子列皆收斂于

（此題改為4）5.已知有界數列發散，證明:存在兩個子列和收斂

于不同的極限.證明：因為有界，由致密性定理，必有收斂的子列，設.又因為不收斂，所以存在，在以外，有的無窮多項，記這無窮多項所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列，設，顯然

.習

題

2-5

1.用柯西收斂準則判定下列數列的收斂性

(1)

解：

所以，對，即為柯西列

(2)

.解：

所以，對，即為柯西列

2.滿足下列條件的數列是不是柯西列?

(1)

對任意自然數,都有

解：不是柯西列，如，對任意的自然數，但數列不收斂。

(2),解：

所以，對，即為柯西列

(3).證明：記，則單調遞增有上界，從而必有極限，記

對

從而

故

是柯西列

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題

3-1

1.設定義在上的函數在內連續,且和存在(有限).問在上是否有界?

是否能取得最值?

解：在閉區間上構造輔助函數

則在上連續，從而在上有界.由于，故

在上也有界，即存在，使得

.令，則有

.條件同上，但在上卻不一定能取得極值.例如：

2.設在內連續,且.證明在內可取得最小值.證明：因為，所以，當時，有

因為，所以，當時，有

從而當時，有

又在連續，從而一定可以取到最小值，即，使當時，且；

故時，有

所以在處取到最小值

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題

3-2

（此題已換）1.設，,.證明:方程在和內恰好各有一個實根.1.證明開普勒(Kepler)方程有唯一實根

證明：令，則在連續且，由零點原理，使，即方程至少有一實根

又，所以在單調遞增，所以方程有唯一實根

（此題已換）2.設函數在（）內連續且有極值點.證明:

存在使得

2.設，討論方程實根的個數

解：step1.令，則，由零點原理，在至少有一實根，又，所以在單調遞增，從而方程在內有且僅有一實根。

step2.令，則，且，所以

當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，所以函數在點取得極小值。所以，當時，方程在無解；當時，在有一解；當時，在有兩解

綜上：當時，方程有一解；當時，有兩解；當時，有三解

3.設在上連續，.證明存在使.證法1

因為在上連續，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使.證法2

因為有界，所以存在收斂子列.而在上連續，故有

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題10-2

1.設在上連續，為自然數.證明：

（1）若，則存在使得

證明：令，則，且，從而

若，使，取即可

否則，使，由零點原理，或，使

綜上，使，即

（2）若則存在使得

解：取，方法同上

2.設在上連續，且

證明：存在使

證：由已知經計算得

1）若或，由積分中值定理，使，從而

2）否則，a）若，同1），由積分中值定理，使

b）與異號，由中值定理，使，且

所以，有零點原理，使

3.設,求證

(1)

對任意自然數,方程在內有唯一實根;

證明：時，在上有唯一實根

時，有，且，由零點存在原理，使，即在上有一實根

又，故嚴格單調遞減，所以方程在內有唯一實根

(2)

設是的根,則.證：對，從而，有因為嚴格單調遞減，故，即嚴格單調遞增。又有界，所以收斂。

設，由于，所以，在，令，有，所以，即

4.設在上連續，不恒為常數,且.證明存在，使

．

證：令，因為在上連續，不恒為常數,且，所以，使，于是，由零點原理：

證明存在，使，即．

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題4-1

1．證明函數沒有原函數.證：設存在原函數，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數

2．設在上可導，證明：

（1）若

則存在使

證明：若，則取或均可；否則，又達布定理，存在介于與之間，使綜上存在使

（2）若

則存在使

證明：若，則取或均可；否則，由達布定理，存在介于與之間，使；

綜上存在使

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題4-2

1．求下列函數的導函數，并討論導函數的連續性.（1）；

解：，則在連續，且

時，，從而

時，，從而

所以

從而在連續。

所以在連續

（2）；

解：顯然在連續，且

時，，從而；

時，，從而

所以

從而在連續。

所以在連續

2.設.當分別滿足什么條件時，（1）在處連續；

解：，即，所以

（2）

在處可導；

解：存在，即存在，所以

（3）在處連續？

解：，由，即，所以

3．分別用兩種方法證明符號函數不存在原函數.證明：法一

設存在原函數，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數

法二

由單側導數極限定理，導函數不存在第一類間斷點，而有第一類間斷點，從而

無原函數

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題5-1

.1.設函數在上可導.（1）若，.證明存在使；

證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以

(2)

若，證明存在使得；

證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以

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題5-2

1．設在上可導，且，其中為常數.證明：存在，使.證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

2．設在上可導，且證明：存在，使

證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

3．設在上可導，且.證明：存在使

證明：由積分中值定理，使

令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而

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題6-1

1.若在區間上是凸函數，證明對任意四點，有.其逆是否成立？

證明：因為在區間上是凸函數，由三弦不等式，且，所以成立。其逆成立

2.設均為區間上的凸函數，證明：也是上凸函數..證明：設，則對，有，且，從而，由凸函數的定義，也是上凸函數

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題6-2

1.驗證下列函數是（嚴格）凸函數.（1）

解：，（），所以是上的嚴格凸函數

（2）

解：，（），所以是上的嚴格凹函數

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題6-3

1．證明不等式

（1）

證：設，則（），所以是上的嚴格凸函數；從而，有，即

（2）

證：設，則（），所以是上的嚴格凸函數；從而，有，可得，即，又因為，所以

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題

9-1

1.求下列函數項級數的收斂域

(1)；

解：，從而當時，級數絕對收斂；當時，級數絕對收斂；當時，發散；當時，發散，所以，級數的收斂域為

(2)

.解：，所以

當時，級數發散；當時，級數發散；當時，級數絕對收斂；當時，級數絕對收斂；當時，級數發散；當時，級數發散；當時，級數收斂；

所以原級數的收斂域為

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題

9-2

1.證明函數項級數在上一致收斂.證明：，從而

所以對任意的，由，得對，取，當時，對任意的成立，因此，在上一致收斂到

2.設在區間上一致收斂于,且對任意有.試問是否存在,使當時,對任意有?

解：答案不正確；例

在內一致收斂到，且，有；但，和，使

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題

9-3

1.利用定理9.3.1＇證明下列函數項級數不一致收斂.(1)，證：，級數的部分和，從而，在不連續，故級數不一致收斂。

(2),.證：，級數的部分和，從而，在不連續，故級數不一致收斂。

2.設試問在上是否一致收斂?是否有

解：對，但對，都，使，所以在上不一致收斂

另外，所以

3.設試問在上是否一致收斂?是否有?

其中

解：對，有，從而

但對，都，使

所以在上不一致收斂

又，所以

4.求的收斂域，并討論和函數的連續性.解：設，則，有根值判別法，當時，級數絕對收斂；當時，級數發散；當時，級數發散；所以級數的收斂域為。

對，總，使，從而在上連續，且在一致收斂，從而在上連續，故在上連續，由得

在上連續

習

題

9-4

1.討論下列函數序列在指定區間上的一致收斂性.（1），；

解：對，又在處取得最大值，從而對，取，則對，有，所以在一致收斂

（2）；

（i），解：對，對，取，則對，有，所以在一致收斂

（ii）；

解：對，對，，使，所以在不一致收斂

2.討論下列函數項級數的一致收斂性.（1），；

解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數一致收斂。

（2），.解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數一致收斂。

3.設，.證明函數項級數在上一致收斂，并討論其和函數在上的連續性、可積性與可微性.解：由對任意的成立，從而

而收斂，由M判別法知在上一致收斂

（1），在上一致收斂，所以和函數在連續（定理1）

（2），在上一致收斂，所以和函數在可積（定理2）

（3）由，收斂，由M判別法知在上一致收斂，從而和函數在可微。（定理3）

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題10-1

1．一塊金屬板平底鍋在平面上占據的區域是,已知板上點處的溫度為.鍋底上點處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方,它的逃逸方向為（D).；

；；

.解：，而梯度方向是溫度降低最快的方向

2．一個高為的柱體儲油罐，底面是長軸為，短軸為的橢圓，現將儲油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質量。（長度單位為m，質量為kg，油的密度為常數）.解：儲油罐平放一般指長軸平行與地面，當油罐中油面高度為時，垂直地面的截面面積為（平方米）

所以

4．在一個形狀為旋轉拋物面的容器內，已經盛有的水，現又倒入的水，問水面比原來升高多少.解：旋轉拋物面容器的體積是深度的函數，從而，所以題中水面升高的高度為

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題10-3

1.設，證明：

（1）當時，；

證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數，從而對，由定理6.2.3，恒有，即

所以

（2）當或時，．

證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數，從而對，由定理6.2.3，恒有，即

2.設

證明:

證明：令，利用單調性可證（略）