第一篇：垂直于弦的直徑教案

垂直于弦的直徑（1）

學習目標

1.了解圓的軸對稱性； 2.理解垂徑定理；（重點）

3.運用垂徑定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題． 重點：運用垂徑定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題． 難點：運用垂徑定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題．

一、課前預習【教材自學】：請學生自主學習教材第二十四章P80至P81，完成如下問題：

1.圓的對稱性：圓是________圖形，對稱軸是________所在的直線。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑_____________，并且________________弦所對的兩條弧。

二、課堂探究

【探究一】：圓的對稱性：

1、請學生說說圓的對稱性及對對稱軸的認識（利用手中的圓進行探究）

2、圓的對稱性（小組交流識記）

【探究二】：垂徑定理：

問題1：如圖（1），⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB于E。把圓沿著直徑CD所在的直線對折，你發現哪些點、線段、圓弧重合？

問題2：你能證明圖中AE=BE嗎？（口頭證明）

問題3：當上述的弦AB為直徑時，結論成立嗎？ 【小結歸納】

1、垂徑定理（小組交流識記）

2、對照上圖將垂徑定理寫成推理形式

在⊙O中，∵_________________、_________________；

∴_________________、__________________、__________________。【針對訓練】判斷下列命題是否正確：

（1）直徑是圓的對稱軸。（）

（2）垂直于弦的直徑平分這條弦。（）（3）過圓心垂直于弦的直線平分弦所對的弧。（）探究三】：垂徑定理的運用

問題1：利用垂徑定理求圓中線段的長

已知：如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為6，OC⊥AB交AB于E，（1）若弦心距OE長為4，則半徑OA長為多少？

（2）若弓形高CE長為1，則半徑OA長為多少？（獨做、交流、展示）

【小結歸納】

圓中常見的輔助線：構造由_______、________、_______組成的直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題．

【針對訓練】

1、如圖，已知⊙O中，AB為弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=12，0A=10，則OE=______，EC=______；（2）若OA=10，OE=8，則AB=______；

（3）若AB=12，EC=2，則OA=？（列式解答）問題2：利用垂徑定理證明圓中的線段相等

已知，如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于 C，D兩點，求證：AC＝BD。（獨立完成、小組交流、個別展示）

【針對訓練】在圓O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC與E.求證：四邊形ADOE是正方形

變式提升.已知：如圖，AB、CD是半徑為5cm的圓O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm,CD=6cm,求弦AB與CD的距離.【課堂總結】

（1）圓的軸對稱性；（2）垂徑定理；

（3）圓中常見的輔助線是：構造由_______、________、_______組成的直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題．

【當堂評價】（25分，5分鐘）

1、如圖，已知⊙O中，AB為弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=6，0A=5，則OE=______，EC=______；（2）若OA=5，OE=4，則AB=______.2、如圖是排水管的截面，水面寬AB=16cm，排水管里的水深（弓形高）為4cm。求排水管的半徑。

【作業布置】教材P88第1題、P89第8、9題；選做P90第13題； 【學習反思】

第二篇：24.1.2 垂直于弦的直徑(教案)

24.1.2垂直于弦的直徑

教學目標

【知識與技能】

1.通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性.2.掌握垂徑定理及其推論.理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題.【過程與方法】

通過探索垂徑定理及其推論的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.【情感態度】

1.結合本課特點，向學生進行愛國主義教育和美育滲透.2.激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望.【教學重點】

垂徑定理及其推論，會運用垂徑定理等結論解決一些有關證明，計算和作圖問題.【教學難點】 垂徑定理及其推論.教學過程

一、情境導入，初步認識

你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中心點到弦的距離）為7.2m.你能求出主橋拱的半徑嗎？（圖：課本第82頁圖24.1-7）

【教學說明】趙州橋問題充分體現了數學與應用數學的關系，了解我國古代人民的勤勞與智慧，要解決此問題需要用到這節課的知識，這樣較好地調動了學生的積極性，開啟了學生的思維，成功地引入新課.二、思考探究，獲取新知 1.圓的軸對稱性 問題1用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？

【教學說明】學生通過自己動手操作，歸納出圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.2.垂徑定理及其推論

問題2 請同學們完成下列問題：

如右圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD.使CD⊥AB，垂足為E.（1）右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么呢？（2）你能發現圖中有哪些等量關系？說說理由.【教學說明】問題（1）是對圓的軸對稱性這一結論的復習與應用，也是為問題（2）作下鋪墊，垂徑定理是根據圓的軸對稱性得出來的.問題（2）可由問題（1）得到，問題（2）由學生合作交流完成，培養他們合作交流和主動參與的意識.【歸納結論】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧（優弧、劣弧）.數學語言：如上圖，在⊙O中，AB是弦，直徑CD垂直于弦AB.?.??。∴AE=BE.?AC?BCAD?BD問（1）一條直線滿足：①過圓心.②垂直于弦，則可得到什么結論？ 【教學說明】本問題是幫助學生進一步分析定理的題設和結論，這樣可以加深學生對定理的理解.問（2）已知直徑AB，弦CD且CE=DE（點E在CD上），那么可得到結論有哪些？（可要學生自己畫圖）

提示：分E點為“圓心”和“不是圓心”來討論.即：CD是直徑或CD是除直徑外的弦來討論.結論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.問（3）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧，為什么不是直徑的弦？

【教學說明】問題（2）是為了推出垂徑定理的推論而設立的，通過學生動手畫圖，觀察思考，得出結論.問題（3）是對推論進行強調，使學生抓住實質，注意條件，加深印象.3.利用垂徑定理及推論解決實際問題

問題3 如圖，用?AB表示主橋拱，設?AB所在圓的圓心為O，半徑為R，經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與?根據垂徑定理，AB相交于點C，D是AB的中點，C是?AB的中點，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，則

AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9(m)∴趙州橋主橋拱半徑約為27.9m.【教學說明】教師引導學生分析題意，先把實際問題轉化為數學問題，然后畫出圖形進行解答.并且在解答過程中，讓學生意識到勾股定理在這節課中的充分運用，以及圓的半徑、弦、圓心到弦的距離和拱形高之間存在一定的聯系.三、運用新知，深化理解

1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，根據圓的軸對稱性可得：?=______；?CE=______，BCAC=______.2.如圖，在⊙O中，MN為直徑，若MN⊥AB，則______，______，______，若AC=BC，AB不是直徑，則______，______，______.3.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（圖中?，點O是這段弧的圓心，AB）C是?AB上一點，OC⊥AB，垂足為D.AB=300m，CD=50m，則這段彎路的半徑是____m.【教學說明】讓學生當堂完成，第1、2題是對垂徑定理及其推論的鞏固.第3題是對垂徑定理的應用，需要將實際問題轉化為數學問題.?

?【答案】1.DE

BDAD

?

??

??

MN⊥AB

?? 2.AC=BC

?AB=BMAM=BMAN=BNAN=BN3.250

四、師生互動，課堂小結

通過這節課的學習，你有哪些收獲和體會？

【教學說明】教師應讓學生交流總結，然后補充說明，強調定理及其推論的應用.課后作業

1.布置作業：從教材“習題24.1”中選取.2.完成練習冊中本課時練習的“課后作業”部分.課后反思

第三篇：24.1.2 垂直于弦的直徑 教案

24.1.2 垂直于弦的直徑

教學設計

教學目標：

1.使學生理解圓的軸對稱性；

2.掌握垂徑定理； 3.學會運用垂徑定理解決有關的證明、計算問題。過程與方法：

1.通過觀察、動手操作培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力； 2.鍛煉學生的邏輯思維能力,體驗數學來源于生活又用于生活。

情感、態度與價值觀：通過聯系、發展、對立與統一的思考方法對學生進行辯證唯物主義觀點及美育教育。教學重點：垂徑定理及應用 教學難點：垂徑定理的理解及其應用 教學用具：圓形紙片，多媒體 教學過程：

一、創設情景：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，趙洲橋主橋拱的半徑是多少？怎樣求?學完本節課后就可以解決這個問題了

二、引入新課---揭示課題：

1、運用教具與學具（學生自制的圓形紙片）演示，讓每個學生都動手實驗，把圓形紙片沿直徑對折，觀察兩部分是否重合，通過實驗，引導學生得出結論：

(1)圓是軸對稱圖形

(2)經過圓心的每一條直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸

(3)圓的對稱軸有無數條

(4)圓也是中心對稱圖形.（出示教具演示）。

2、再請同學們在自己作的圓中作圖：(1)任意作一條弦 AB；(2)作直徑CD垂直弦AB垂足為E。（出示教具演示）引導學生分析直徑CD與弦AB此時的關系，說明直徑CD垂直于弦AB的，并設問：垂直于弦的直徑它除了上述性質外，是否還有其他性質呢？

三、講解新課---探求新知

（1）實驗--觀察--猜想： 讓學生將上述作好的圓沿直徑CD對折，觀察重合部分后，發現有哪些線段相等、弧相等，并得出猜想：在圓O中，CD是直徑，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）結合圖形用幾何語言表述

（3）垂徑定理的變式

四、定理的應用：

例題

1、如圖，已知在圓O中，弦AB的長為8㎝，圓心O到AB的距離為3 ㎝，求圓O的半徑。

2、一千三百年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形.已知橋拱的跨度（弧所對的弦的長）為37米，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23米，求橋拱所在圓的半徑長（精確到0.1米）.五、小結升華

回顧本節課的學習歷程，你有哪些收獲？

六、作業布置

教科書83頁練習第1題

90頁第11題

第四篇：垂直于弦的直徑說課稿

《垂直于弦的直徑》的說課稿

商丘市夏邑縣太平三中

劉 社

一、教材分析：

1、教材所處的地位：

本節教材是在學生學習了圓的有關性質和過三點的圓等內容之后對垂直于弦的直徑和這弦的關系的進一步學習`，研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關系。垂徑定理的推證是以軸對稱圖形的性質和圓是軸對稱圖形的性質為依據的。本節內容是本章基礎，是圓的有關計算和圓的有關證明一個重要工具。本節課的學習也為下節課奠定基礎。

2、教學內容：

本節課是人教版九年義務教育九年級數學第二十四章第一節。《垂直于弦的直徑》的第一課時的內容——垂徑定理的證明和基本應用。第二課時將學習研究垂徑定理的推論和基本應用。第三課時將學習研究垂徑定理及其推論的綜合應用。

3、教學目的要求：

使學生記住垂徑定理的題設和結論。

使學生掌握垂徑定理的證明。

使學生掌握能垂徑定理進行計算或簡單的證明。

使學生懂得研究問題的常用方法：從特殊到一般，由猜測到論證。

4、教學重點和難點：（1）重點：掌握應用垂徑定理進行計算或簡單的證明。

難點：

（1）區分垂徑定理的題設和結論。

（2）應用垂徑定理進行計算或簡單的證明。

（3）研究問題的常用方法：從特殊到一般，由猜想到論證。

5.知識要點：

軸對稱圖形：一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分，能夠完全重合。那么這個圖形叫軸對稱圖形。

等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。

弦：圓上兩點間的線段。

直徑：過圓心的弦。

二．教法、學法分析

1、教法研究

本節課的設計是以教學大綱和教材為依據，遵循因材施教的原則，堅持以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性。教學過程中，注重學生探究能力的培養。還課堂給學生，讓學生去親身體驗知識的產生過程，拓展學生的創造性思維。同時，注意加強對學生的啟發和引導，鼓勵培養學生們大膽猜想，小心求證的科學研究的思想。

本節課如果采用多媒體輔助教學，會呈現更直觀的形象，也就會很大提高學生的積極性和主動性，并提高課堂效率。

2、學法研究

教師應創造一種環境，引導學生從已知的、熟悉的知識入手，讓學生自己在某一種環境下不知不覺中運用舊知識的鑰匙去打開新知識的大門，進入新知識的領域，從不同角度去分析、解決新問題，通過基礎練習、提高練習和拓展練習發掘不同層次學生的不同能力，從而達到發展學生思維能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神。

三．說教學過程

1、引入 ：（教師出示一個擦去圓心的圓心紙片）問：大家能不能用折疊的方法把這個圓的圓心找到？課的引入從創設問題情境入手，設計了與本課密切相關的實際問題，既有直觀的動畫 演示，又有把實際問題抽象成數學問題的過程，以引起學生的學習興趣。引導學 生通過對折發現圓的對稱性，又運用對稱性通過對折找到了圓心。）

（1）軸對稱圖形的的有關性質，讓學生回憶有關性質，然后教師評述。

（2）圓的軸對稱性，通過對折圓形紙片來分析圓的軸對稱性

（3）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且一部分弦所對的兩條弧。（學生的敘述可能是粗糙的，不準確的，課堂討論可以引導學生注意語言的準確和精煉。）

2、基礎練習；第78頁第2題。

3、拓展練習；（讓學生自己做，教師評議）

（1）如圖，已知AB是⊙O的直徑，MN是弦，AB MN于P，則

MOPNABMP=_______，=_______，=__________。

O到（2）如圖，⊙O的半徑為50mm，弦AB=50

3mm，則點AB的距離為________，∠AOB=__________度。

4、小結（盡可能由學生自己歸納）

1、圓的兩條重要性質；（1）圓是軸對稱圖形；

AB

（2）垂徑定理（在復述內容基礎上突出二個條件，三個結論，及三種語言的相互轉換）

2、垂徑定理的應用：

（1）解決有關弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖）；（2）解決某些實際問題（如引例、拱橋等）； ——強化應用意識。

3、常用的輔助線：

（1）作半徑；（2）過圓心作弦的垂線段。

垂徑定理與勾股定理相結合，得出６、作業布置

第84頁，11、12題（2）

四、板書設計

ar2=d2+（2）2

第五篇：《24.1.2垂直于弦的直徑》

《24.1.2垂直于弦的直徑》

教學設計

莊河市第九初級中學

數學教師

李麗

***

課題

《24.1.2垂直于弦的直徑》

教學

目標

知識技能1.探索圓的對稱性，進而得到垂直于弦的直徑所具有的性質；

2.能夠利用垂直于弦的直徑的性質解決相關實際問題．

數學思考

在探索問題的過程中培養學生的動手操作能力，使學生感受圓的對稱性，體會圓的一些性質，經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程。

解決問題

進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養學生獨立探索，相互合作交流的精神。

情感態度

使學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養學生實事求是的科學態度和積極參與的主動精神．

教學重點

垂直于弦的直徑所具有的性質以及證明

教學難點

利用垂直于弦的直徑的性質解決實際問題

教學資源

多媒體課件

教學過程

教學　環節

教師活動

學生活動

設計意圖

一、情境引入

【探究】

用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？

（板書課題）教師在學生歸納的過程注意學生動手操作。

觀察操作結果學生語言的準確性和簡潔性。

可以發現沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以得到：，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

創設問題情境，激發學生興趣，探索圓的對稱性，引出本節內容。

二、探索新知

【思考】

按下面的步驟做一做：

第一步，在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合；

第二步，得到一條折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點M是兩條折痕的交點，即垂足；

第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，在上述的操作過程中，你發現了哪些相等的線段和相等的弧?為什么？

學生動手操作，觀察操作結果，教師在學生操作、分析、歸納的基礎上，引導學生歸納垂直于弦的直徑的性質：

（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

探究垂直于弦的直徑的性質，培養學生的探究精神

【應用】

例1：如圖，弦AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若CD=4

m，弦AB=16

m，求此圓的半徑．

例2：如圖，已知弧AB，請你利用尺規作圖的方法作出弧AB的中點，說出你的作法．

解：1．連接AB；

2．作AB的中垂線，交弧AB于點C，點C就是所求的點．

學生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質分析圖形條件，發現若OC⊥AB，則有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構造方程。

教師在學生解決問題的基礎上引導學生進行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來。

學生作圖，教師巡視、指導

應用垂徑定理解題

通過尋找一段弧的中點,進一步理解垂徑定理

三、反饋練習

課本P89

練習1，2

補充練習：

某居民區一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖所示，污水水面寬度為60

cm，水面至管道頂部距離為10

cm，問修理人員應準備內徑多大的管道?

學生獨立思考、獨立解題．

教師巡視、指導，并選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）

檢查學生對所學知識的掌握情況.四、課堂檢測

五、小結作業

1．問題：本節課你學到了什么知識？從中得到了什么啟發？

本節課應掌握：

垂直于弦的直徑的性質，圓對稱性。

2．作業：教材P94

習題24.1第7、8、9、12題

教師引導學生歸納小結，學生反思學習和解決問題的過程．

學生獨立完成作業，教師批改、總結．

通過歸納總結，課外作業，使學生優化概念，內化知識