第一篇：固體物理電子教案.

固體物理

第一章 晶體的結構

1．1晶體的共性與密堆積

1.1.1晶體的共性：

長程有序，平移操作，周期性 自限性 晶面角守衡定律

各向異性：結構各向異性、性質各向異性

1.1.2密堆積：

晶體是由實心的基石堆砌而成的設想雖然膚淺，但形象的直觀的描述了晶體內部的規則排列這一特點，即為密堆積。

一個粒子的周圍最近鄰的粒子數，可以被用來描寫晶體小粒子排列的緊密程度，這個數稱為配位數．粒子排列愈緊密，配位數應該愈大．現在來考慮晶體中最大的配位數和可能的配位數。

二維原子球的正方堆積

六角密積及立方密積

在六角和立方兩種密積電每個球在同一層內和6個球相鄰，又和上下層的3個球相切，所以每個球最近鄰的球數是12即配位數是12，這就是晶體結構中最大的配位數．

如果球的大小不等，例如晶體由兩種原子組成，則不可能組成密積結構，因而配位數必須小于12，但由于周期性和對稱性的特點，晶體也不可能具有配位數11、10和9，所以次一配位數是8，為氯化鉛型結構．晶體的配位數不可能是7，再次一個配位數是6，相應于氯化鈉型結構．晶體的配位數也不可能是5，下一個配位數是4，為四面體．配位數是3的為層狀結，構配位數是2的為鏈狀結構．

配位數是4，為四面體．配位數是3的為層狀結，構配位數是2的為鏈狀結構．

作為例子，現在來看由于球的半徑不等組成氯化銀型或氮化鈉型結構時．兩種球半徑的比．

一 氯化銫型

設大球的半徑是R,則立方體的邊長為a＝2R，空間對角線為 小球恰與大球相切，則小球的直徑應等于

-2R，即小球的半徑為

．若

這時排列最緊密，結構最穩定．

如果小球的半徑r小于0.73R，則不能和大球相切，結構不穩定，以致不能存在，于是結構將取配位數較低的排列，即取配位數是6的排列．所以，當1＞(r／R)≥0.73時，兩種球的排列為氯化銫型

二 氯化鈉型

當，結構為氯化鈉型

1．2布喇菲空間點陣 原胞 晶胞

1.2.1布喇菲空間點陣

晶體內部結構可以看成是由一些相同的點子在空間作規則的周期性無限分布，這些點子的總體稱為布喇菲點陣。

二維晶體結構，基元及其點陣：

沿三個不同方向通過點陣中的結點作平行的直線族，把結點包括無遺，點陣便構成一個三維網格．這種三維格子稱為晶格，又稱為布喇菲格子，結點又稱格點．

1.2.2 原胞

以一結點為頂點，以三個不同方向的周期為邊長的平行六面體可作為晶格的一個重復單元．體積最小的重復單元，稱為原胞或固體物理學原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的選取不是惟一的，但它們的體積都相等．

下圖示出了原胞與基矢．

原胞與基矢

原胞選取的任意性

1.2.3 晶胞

為了同時反映晶體對稱的特征，結晶學上所取的重復單元，體積不一定最小，結點不僅在頂角上，還可以是體心或面心．這種重復單元稱作晶胞、慣用晶胞或布喇菲原胞．

我們稱重復單元的邊長矢量為基矢．若以a1、a2和a3表示原胞的基矢。簡立方

原胞基矢與晶胞基矢的關系：

簡立方晶胞

體心立方 原胞基矢

體積：

面心立方

原胞基矢

體積：

立方晶系中幾種實際晶體結構： 氯化銫：

氯化鈉：

金剛石：

鈣鈦礦：

1．3晶列 晶面指數

1.3.1 晶列指數

通過任意兩格點作一直線，這一直線稱為晶列．晶列最突出的特點是晶列上的格點具有一定的周期．如果一平行直線族把格點包括無遺，且每一直線上都有格點，則稱這些直線為同一族晶列．這些直線上的格點的周期都相同．因此，一族晶列的特征有二：一是取向；二是晶列格點的周期．在一個平面內，相鄰晶列之間的距離必定相等．

如圖中，設矢量

其中a b c 為晶胞基矢，基矢中的系數為互質的整數，即

則這一束直線的方向就可以l, m, n 表示記[l m n ].1.3.2 晶面指數

原子所在的平面稱為晶面，晶面方位用米勒指數標記。設某一原子面在基矢a、b、c方向的截距為ra、sb、tc，將系數r、s、t的倒數簡約成互質的整數h、k、l，并用圓括號包括成(h k l)，就是這一晶面的米勒指數。下圖標記出立方晶體中幾個最為常見而重要的晶面族的米勒指數。

對于六角晶體，由于其六角面上的特殊對稱性，通常采用四個晶胞基矢a1、a2、a3與c，如下圖所示。

立方晶格的等效晶面

1.4 倒格空間

用正格基矢來構造倒格基矢

將正格基矢在空間平移可構成正格子，相應地我們把倒格基矢平移形成的格子叫倒格子．由a1、a2、a3構成的平行六面體稱為正格原胞，相應地我們稱由bl、b2、b3構成的平行六面體為倒格原胞．

下邊介紹倒格子與正格子的一些重要關系．（1）正格原胞體積與倒格原胞體積之積等于

（2）正格子與倒格子互為對方的倒格子

晶胞坐標系中

倒格點P的選取與倒格子基矢 1．5晶體的對稱性及晶格結構的分類

晶體具有自限性，外形上的晶面呈現出對稱分布．晶體外形這對稱性，是晶體內在結構規律性的體現．

人們定義：一個晶體在某變換后，晶格在空間的分布保持不變，這一變換稱為對稱操作．

在研究晶體結構時，人們視晶體為剛體，在對稱操作變換中，晶體兩點間的距離保持不變．在數學上稱這種變換為正交變換．在 研究晶體的對稱性中有以下三種正交變換． 1.5.1 晶體許可的旋轉對稱軸

周期性要求彼此有相同的格點間距離，換言之，應有

其中m為整數。由圖可知

即

在上式中將m分別代以一1、0、1、2、3可得α分別為

如繞軸旋轉 角度及其整數倍為對稱操作則稱其為n度旋轉軸。上面的討論表明晶體周期性只允許2度、3度、4度和6度這四種族轉對稱軸存在．可分別用數字2、3、4及6或符號、▲、■及

代表．而不允許有5度或其他的旋轉對稱軸。立方體有6個2度軸、4個3度軸與3個4度軸，均通過立方體的中心，如下圖所示。

1.5.2 中心反演： 變換矩陣為：

這一操作稱為中心反演，用符號?表示。1.5.3 晶體的旋轉反演軸

?與n的結合也可以是晶體的對稱操作，稱為n度旋轉反演對稱。由于周期性制約，同樣也只能有2度、3度、4度或6度旋轉反演軸，分別用數字記號、、、，而

也就是i。操作的示意圖如下。

一個晶體所有的宏觀對稱操作必滿足如下的共同性質。一是必具有不變操作；二是如果具有兩個對稱操作A與B，則這兩個操作相繼連續操作的組合操作仍為一對稱操作；三是如果A為對稱操作，其逆操作也是對稱操作。

.5.4 滑移面和螺旋軸

1.5.5 七大晶系 十四種布喇菲晶胞

考慮到晶格的對稱性，結晶學上選取的重復單元一晶胞不一定是最小的重復單元，晶胞的基矢方向，便是晶體的晶軸方向。晶軸上的周期就是基矢的模，稱為晶格常數．按晶胞基失的特征，晶體可分為七大晶系．按晶胞上格點的分布特點，晶格結構分成14種布喇菲格子

四種布喇菲格子：

(1)簡單三斜；(2)簡單單斜；(3)底心單斜，(4)簡單正交；(5)底心正交；(6)體心正交；(7)面心正交；(8)六角；(9)菱面三角；(10)簡單四方；(11)體心四方；(12)簡單立方；(13)體心立方；(14)面心立方．三角六角．有時也稱三方六方．

1.6 晶體的X光衍射

1.6.1 布拉格反射

原胞基矢坐標系中的布拉格反射公式，角或衍射角．但實驗中常采用晶胞坐標系中的表達式

Θ稱為掠射

1.6.2晶體X光衍射的實驗方法： 勞厄法： 旋轉單晶法： 粉末法：

1．7原子散射因子 幾何結構因子

定義：原子內所有電子在某一方向上引起的散射波的振幅的幾何和，與某一電子在該方向引起的散射波的振幅之比稱為該原子的散射因子．

原子的散射因子：

總的衍射強度取決于兩個因素：(1)各衍射極大的相位差；②各衍射極大的強度．各衍射極大的相位差取決于各晶格的相對距離，而各衍射極大的強度取決于不同原了的散射因子．一句話，復式晶格總的衍射強度取決于不同原子的相對距離和不同原子的散射因子．

幾何結構因子的定義是：原胞內所有原子在某一方向上引起的散射波的總振幅與某一電子在該方向上所引起的散射波的振幅之比

幾何結構因子

（hkl）晶面族引起的衍射光的總強度：

下面舉幾個簡單的例子來說明其應用

體心立方；

可選坐標為（0 0 0）和（1/2 1/2 1/2）得到

n(h+k+l)為奇數是衍射消光 面心立方：

可選坐標： 得到

衍射面指數部分為偶數時，衍射消光。

金剛石型結構的晶胞 可選坐標

可知如衍射強度 數且面指數和之半也是偶數。

氯化鈉型結構的晶胞 如氯離子位于

衍射面指數要末全是奇數；要末全為偶

則鈉離子位于

可知當衍射面指數不全為奇數或不全為偶數時衍射波干涉相消．觀察不到衍射斑。當衍射面指數全為偶數時衍射強度最大。而當衍射面指數全為奇數時衍射強度與

比例。由于氯離子與鈉離子具有不同的散射本領，使衍射面指數全為奇數的衍射束具有雖不為零但較低的強度。

第二章 晶體的結合 2．1 原子的電負性

2.1.1 原子的電子分布

原干的電子組態，通常用宇

s、p、d、…來表征角量子數l＝o、1、2、…，字母的左邊的數字是軌道主量子數，右上標表示該軌道的

電子數目．如氧的電子組態為

．

核外電子分布遵從泡利不相容原理、能量最低原理和洪待規則．

2.1.2 電離能

使原子失去一個電子所需要的能量稱為原子的電離能．表2.1列出了兩個周期原子的第一電離能的實驗值．

2.1.3 電子親和能

一個中性原子獲得一個電子成為負離子所釋放小的能量叫電子親和能．親和過程不能看成是電離過程的逆過程．

2.1.4 電負性

2.1.5 內聚能

在r＝r0處．晶體內能具有最小值Uc，其值為負。這就是說，與分離成各個孤立原子的情況相比，各個原子聚合起來形成晶體后，系統的能量將下降|Uc|，常把Uc的絕對值稱之為晶體的內聚能。

2.1.6 體積彈性模量

根據熱力學，晶體體積彈性模量的定義為

采用內能表示式，可化為

2．2 晶體的結合類型

2.2.1 共價結合

電負性較大的原子合成晶體時，各出一個電子，形成電子共享的形式，形成電自旋相反的配對電子．電子配對的方式稱為共價鍵．這類晶體稱共價晶體。共價晶體的硬度高(比如金剛石是最硬的固體)，熔點高，熱膨脹系數小，導電性差．

共價鍵的共同特點是飽和性和方向性。金剛石結構：

二 離子結合

電負性小的元素與電負性大元素結合在一起，一個失去電子變成正離子，一個得到電子變成負離子，形成離子晶體．最典型的離子晶體是堿金屬正素與鹵族元素結合成的晶體，如NaCl，CsCl等．

離子晶體是一種結構很穩固的晶體．離子晶體的硬度高，熔點高，熱膨脹小，導電性差．

典型離子晶體結構有兩種：（1）是NaCl型面心立方結構

（2）是CsCl型簡立方結構，配位數為8

三 金屬結合

金屬晶體中，價電子不再屬于個別原子，而是為所有原子所共有，在晶體中作共有化運動．所以金屬的性質主要由價電子決定．金屬具有良好的導電性、導熱性，不同金屬存在接觸電勢差等，都是共有化電子的性質決定的．

原子實與電子云之間的作用，不存在明確的方向性，原子實與原子實相對滑動并不破壞密堆積結構，不會使系統內能增加．金屬原子容易相對滑動的特點，是金屬具有延展性的微觀根源．

四 分子結合

固體表面有吸附現象，氣體能凝結成液體，液體能凝結成固體，都說明分子間有結合力作在．分子間的結合力稱為范德瓦耳斯力，范德瓦耳斯力一般可分為三種類型：

(1)極性分廣間的結合

(2)極性分子與非極性分子的結合(3)非極性分子間的結合 五 氫鍵結合

由于氫原子的特殊情況，有些氫的化臺物晶體中呈現獨特的結構，即氫原子可以同時和兩個負電性很大而原子半徑較小的原子(O、F、N等)相結合．這種特殊結合稱為氫鏈．

2．3 結合力及結合能

2.3.1 結合力共性

當兩原子相距很遠時，相互作用力為零；當兩原子逐漸靠近，原子間出現吸引力；當r＝rm時吸引力達到最大；當距離再縮小，排斥力起主導作用；當r＝ro時，排斥力與吸引力相等，互作用力為零；當r＜ro時，排斥力迅速增大，相互作用主要由排斥作用決定．

當r＞rm時兩原子間的吸引作用隨距離的增大而逐漸減小，所以可認為rm是兩原子分子開始解體的臨界距離．

原子間的相互作用

2.3.2 結合能

單位壓強引起的體積的相對變化，即 積彈性模量等于壓縮系數的倒數，可推得：

而體

2．4 分子力結合

范德瓦耳斯力涉及三方面作用機理。即彌散力、取向力及感應力。下面依次作簡單介紹。

范德瓦耳斯力的作用機理

2.4.1 極性分子結合

極性分子的相互作用

極性分子的相互作用對于全同的極性分子，有

在溫度很高時，由于熱運動，極性分子的平均相互吸引勢與r6 成反比，與溫度T成反比．

2.4.2 極性分子與非極性分子的結合

極性分子與非極性分子的相互作用

其間吸引勢：

極性分子與非極性分子間的吸引勢與r6成反比． 三 非極性分子的結合

相鄰氦原子的瞬時偶極矩

兩惰性氣體分子間的互作用勢能為：，化成

稱為雷納德-瓊斯勢，其勢能曲線為

如果晶體內合有N個原子，總的勢能就是

可化成

其中

2．5離子結合

2.5.1 離子對的形成

離子對的形成

對于Na+Cl-，如果取r0＝0.25nm，可以計算得|U吸引(r0)|＝5.7eV，U排斥(r0)＝0.2eV。因此，Na+Cl-離子對的解離能U解離＝(5.7-0.1-1.4)ev＝4.06ev。所以Na+Cl-離子對的形成是穩定的，大量的離子對能夠形成離子晶體。

2.5.2 離子晶體的幾何結構

正、負離子形成離子晶體時應遵循下面的原則；

一、要求每個離子的最近鄰是異號離子。

二、在滿足最近鄰是異號離子的前提下，要求配位數愈大愈好。離子晶體結構有下面三種：氯化銫結構、氯化鈉結構及閃鋅礦結構(見N．3)。氯化銫結構的配位數為8。氯化鈉結構的配位數為6。閃鋅礦結構的配位數為4。但是離子究競聚合成哪一種結構主要決定于正、負離子半徑r+和r-的相對大小。

2.5.3 離子的互作用勢

對于典型的Nacl型離子晶體，兩離子的互作用勢可表示為

令

得，μ為馬德隆常數

馬德隆常數，發現此級數收斂很慢．為此，埃夫琴提出了計算馬德隆常數的方法，此方法可使級數迅速收斂．該方法的基本思想是．把晶體看成是由埃夫琴晶胞來構成，埃夫琴晶胞內所有離子的電荷代數和為零，把這些中性晶胞對參考離子的庫侖能量的貢獻份額加起來就得馬德隆常數．

NaCl的埃夫琴晶胞

2.5.4 結合能 體積彈性模量

離子晶體在平衡時的結合能

體積彈性模量

2.6 共價結合

海特勒和倫敦從理論上論證了，只有當電子的自旋相反時兩個氫原子才結合成穩定的分子，這是晶體共價結合的理論基礎。

2.6.1 氫分子中的共價鍵

2.6.2 共價鍵的飽和性和方向性

2.6.3 共價鍵的結構

共價鍵的飽和性及方向性．造就了原子形成的共價晶體具特定的結構。共價鍵的飽和性，決定了共價晶體的配位數，它只能等于原子的共價鍵數，或者說等于原子的價電子數N(當N＜4)或8一N(當N≥4)。而具體的晶體結構又決定于共價鍵的方向性。

2.6.4 極性鍵及非極性鍵

當同種元素原子間形成共價鍵時，由于兩個原子的電負性相同，它們對電子的吸引力相同，因此形成共價鍵后的配對電子密度主要出現在兩原子的中間，電子在各個原子處的出現概率都是對稱的。因此兩個原子間不會有偶極短產生，常稱之為非極性鍵。當兩種不同元素的原子間形成共價鍵時，由于兩種原子的電負性不同，它們對電子具有不同的吸引力，因此形成共價鍵后的配對電子密度常偏向于電負性比較大的原子一萬，或者說配對電子傾向子在電負性比較大的原

子附近有比較大的出現概率。可見這種共價錠常伴隨有電偶極矩的存在，故常稱之為極性鍵。兩個原子也因此分別成為部分帶電的正負離子，所以這種極性鍵實際上是共價結合(共價鍵)與離子結合(離子鍵)的混合體。而離子錠是極性最強的極性鍵。由極性鍵結合起來的晶體稱為極性晶體。

2.6.5 共價晶體的內聚能

對離子晶體及分子晶體所使用的計算晶體內聚能的半經典公式不再適合于共價晶體。對于共價晶體必須采用量子力學的方法進行計算。下表列出了采用能帶理論方法計算得到的典型共價晶體的內聚能、晶格常數及體積彈性模量，表中也列出了它們的實驗值。

2.7 金屬結合

2.7.1 金屬結合

在金屬晶體中，所有原子都把各自的價電子全部貢獻出來。歸所有原子所共有，成為共有化電子。這些價電子可以在整個晶體中自由運動，成為“自由電子氣”。去掉價電子后的正離子就浸沉在這些自由電子的電子云之中。通過帶負電的電子云與正離子間酌庫侖引力把各個正離子結合在一起成為金屬晶體。

2.7.2 金屬的晶體結構

因為金屬結合主要依靠帶負電的電子云與帶正電荷的正離子間的庫侖引力，而這種引力是沒有方向性的。所以對晶體結構沒有什

么限制，只要求這些正離子排列得越密越好。排列得越緊，電子云與正離子之間的庫侖吸引能的值就越大。故金屬晶體常形成排列員緊密的面心立方結構及六角密積結構，配位數均為12。某些金屬形成配位數稍低酌體心立方結構(配位數為8)。

2.7.3 金屬的內聚能

與共價晶體一樣，金屬晶體的內聚能必須用量子力學方法進行計算。采用能帶理論已能計算得到與實驗值很好符合的內聚能及其他物理參數。下表列出了某些典型金屬的內聚能、晶格常數及體積彈性模量。

第二篇：固體物理07--08

1、固體物理學是研究及

與運動規律以及闡明其性能與用途的學科。

2、晶體結合類型有、范德瓦耳斯鍵結合晶體四種。

3、典型的晶體結構類型、體心立方晶格、4、對于含有N個原胞的某晶體，每個晶體中含n個原子則其格波數，光學波支數（3n—3）N，聲學支數3N。

1、基元：能夠周期性排列出某種晶體的最小原子集團稱為基元。

2、聲子：諧振子的能量量子稱為聲子（格波的量子）其能量為h?。

3、布洛赫定理：

在周期性勢場中運動的電子，波函數有如下形式

且 ?ikRn?(r)?e?u(r)??u(r)?u(r?Rn)

4、費米面：K空間中，占有電子和未占有電子區域的分界面。

5、德哈斯—范阿爾芬效應：

磁化率隨磁場倒數做周期性振蕩現象稱為德哈斯—范阿爾芬效應。

1、按照晶體點群的對稱性，所有的晶體從結構上可以歸為幾個晶系？寫出其名稱。按照晶體點群的對成性，所有的晶體從結構上可以歸為7個晶系，即三斜晶系、單斜晶系、三方晶系、四方晶系、六方晶系、正交晶系、立方晶系。

2、對比離子結合和金屬結合中原子提供電子的情況？

離子結合中相互結合的兩個原子都提供電子結合成離子鍵，而金屬晶體結合時，所有的原子都提供電子，形成共有化電子，負電子云和正離子實之間相互作用形成金屬鍵。

3、請分析滿帶電子不導電的原因？

滿帶情況下電子在有外場和無外場下狀態分布是均勻的，在k和-k狀態下，速度

（《固體物理學》 課程）

相反，導致所產生的電路為零，所以不導電。

4、寫出波恩—卡門條件，并描述波恩卡門模型。

eiqL?1

包含N個原胞的環狀鏈看作一個有限鏈的模型，此模型中，每個原子周圍的情況完全相同，類似于一維無限模型。

1、固體物理學是研究及

與運動規律以及闡明其性能與用途的學科。

2、晶體從結構上可以歸為七大晶系晶系、六方晶系、正交晶系、立方晶系。

3、對稱素有1、2、3、4、6和、、八種。

4、對于一維單原子鏈N個原胞的某晶體，則其格波數，波矢數。

1、結點：代表結構相同的位置，是基元中某一原子位置或基元重心。

2、格波：晶格振動模式具有波的形式，稱為格波。

3、布洛赫定理：

在周期性勢場中運動的電子，波函數有如下形式

4、費米球：稱N個電子所占據的球為費米球。

5、德哈斯—范阿爾芬效應：

磁化率隨磁場倒數做周期性振蕩現象稱為德哈斯—范阿爾芬效應。

1、能帶理論的三種近似分別是？

?

ikRn

?(r)?e

?u(r)

絕熱近似、單電子近似和周期場近似

絕熱近似：由于原子核質量比電子的質量大得多，電子的運動速度遠大于原子核的運動速度，即原子核的運動跟不上電子的運動。所以在考慮電子的運動時，認為原子實不動。

單電子近似：一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動。又稱hartree-Fock自洽場近似

周期場近似：原子實和電子所形成的勢場是周期性的2、對比離子結合和范德瓦耳斯鍵結合中原子提供電子的情況？

離子結合中相互結合的兩個原子都提供電子結合成離子鍵，而范德瓦耳斯鍵結合中原子不提供電子，依靠瞬時偶極距互作用吸引形成晶體。

3、請分析未滿帶電子為什么在有外場時會導電的原因？

未慢帶電子在有外場時，電子分布狀態不均勻一部分電子產生的電流不能被抵

消所以有電流產生能導電。

4、分析固體物理學原胞和結晶學原胞的區別。

固體物理學原胞是晶體中最小重復單元，只反映晶體的周期性，而結晶學原胞除反映周期性外，還反映對稱性，不是最小重復單元。

1、寫出體心立方晶格的基矢，并證明體心立方晶格的倒格子是面心立方。

（10分）解：

由倒格子定義

?????????a2?a3f(r)a3?a1a1?a2

b1?2?b2?2?b3?2?

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3

………………………………………………………………….3分

體心立方格子原胞基矢

?a????a????a???a1?(?i?j?k),a2?(i?j?k),a3?(i?j?k)

222

???a2?a32?a???a???

倒格子基矢b1?2???(i?j?k)?(i?j?k)

a1?a2?a3v022

???2???2?a2???

?(j?k)??(i?j?k)?(i?j?k)av0

4???2????a3?a12???

(i?j)同理b2?2??(i?k)b3?aa1?a2?a3a

???

可見由b1,b2,b3為基矢構成的格子為面心立方格子

2、若一晶體的相互作用能可以表示為u(r)??求 1）平衡間距r0

2）結合能W（單個原子的）（10分）解1）晶體內能U(r)?

?

r

m

?

?

r

n

N??

(?m?n)2rr

n?n?m?n?)m?0?m?1?n?1?0r0?(m?r0r0

dU

平衡條件

dr

r?r0

2)單個原子的結合能W??

u(r0)2

?mn?m

1mn?

u(r0)?(?m?n)W??(1?

2nm?rrr?r0

??)

???ik?Rlat3、根據緊束縛近似的結果，S態電子能量為E(k)?Es?J0?J1?e、應用最

?

Rl

近鄰近似，導出1）晶格常數為a的一維s態電子能量表達式；2）并求電子的平均

速度；3）帶頂和帶底的有效質量；4）能帶寬度（20分）

???ik?Rlat

解：1）E(k)?Es?J0?J1?e考慮最近臨格點，其坐標分別為（-a、0）和

?

Rl

?at

（a、0）代為公式可得其結果為：E(k)?Es?J0?2J1coska

2Ja

2）v?1dE?1sinka

?dk?

3）m*??2dE??2(2J1a2coska)?1

dk

2帶底k=0，有效質量m*??2dE??2(2J1a2)?1

dk2

帶頂k???則有效質量m*??2dE???2(2J1a2)?1

adk2

4）4J12、證明兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數為 ??2ln2。（10分）證：設想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參

考離子（這樣馬德隆常數中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

?

r

???

j

(?1)1111

]?2????...rijr2r3r4r

前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離ri的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數為 111

??2[1????...]2342

xx3x4

??n(1?x)?x????...x34

當X=1時，有1?

???...??n2???2?n2234

???ik?Rlat3、根據緊束縛近似的結果，S態電子能量為E(k)?Es?J0?J1?e、應用最

?

Rl

近鄰近似，導出晶格常數為a的一維s態電子能量表達式。（5分）

???ik?Rlat

解：E(k)?Es?J0?J1?e考慮最近臨格點，其坐標分別為（-a、0）和

?

Rl

?at

（a、0）代為公式可得其結果為：E(k)?Es?J0?2J1coska

??271

(?cokas?co2ska)

4、設有一維晶體的電子能帶可以寫成E(k)?

8ma28

其中a是晶格常數，試求：1）能帶寬度；

1）電子在波矢k狀態的速度；

2）能帶底部和頂部的有效質量。（15分）

?271

(?coska?cos2ka)解：1)能帶的寬度的計算E(k)?2

ma88

能帶底部k?0E(0)?0

2?2

能帶頂部k?E()?

aama2

??

2?2

能帶寬度?E?E()?E(0)? 2

ama

?

2）電子在波矢k的狀態時的速度

?271

E(k)?(?coska?cos2ka)

ma288

1dE(k)

?dk

?1

(sinka?sin2ka)v(k)?ma4

電子的速度v(k)?

?271

(?coska?cos2ka)3）能帶底部和能帶頂部電子的有效質量E(k)?

ma288

?2Em

?電子的有效質量m??/ ?k2coska?(1/2)cos2ka

*

*

能帶底部k?0有效質量m?2m

能帶頂部k?

?

a

有效質量m??

*

2m 3

第三篇：固體物理答案

第一章 晶體結構

1.1、（1）對于簡立方結構：（見教材P2圖1-1）

43?r，Vc=a3，n=1 34343?r?r?33∴x????0.52 336a8ra=2r，V=（2）對于體心立方：晶胞的體對角線BG=3a?4r?a?n=2, Vc=a3

43x 32?∴x?434?r2??r3333????0.68 38a433(r)3（3）對于面心立方：晶胞面對角線BC=2a?4r,?a?22r n=4，Vc=a3

444??r34??r3233x?????0.74 336a(22r)（4）對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6?S?ABO?6?晶胞的體積：V=S?C?a?asin60332a =223328a?a?32a3?242r3 23n=1212?11?2??3=6個 6246??r323x????0.74 36242r（5）對于金剛石結構，晶胞的體對角線BG=3a?4?2r?a?8rn=8, Vc=a3 448??r38??r33?33x????0.34 336a8r333

a?a??12(j?k)?a?1.3證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：?a2?(i?k)

2?a?a??32(i?j)?由倒格子基矢的定義：b1?2?(a2?a3)?0,??a1?(a2?a3)?a,2a,2a,20,a,2ai,2aa3a?，a2?a3?,242a0,2j,0,a,2kaa2?(?i?j?k)2404a22??b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j?k)

a4a2?(i?j?k)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。

2?b3?(i?j?k)ab2?所以，面心立方的倒格子是體心立方。

a?a??12(?i?j?k)?a?（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：?a2?(i?j?k)

2?a?a??32(i?j?k)?由倒格子基矢的定義：b1?2?(a2?a3)?aaa?，i,j,k222aaaa3aaaa2??a1?(a2?a3)?,?,?，a2?a3?,?,?(j?k)

22222222aaaaaa，?，?2222222a22??b1?2??3?(j?k)?(j?k)

a2a2?(i?k)a同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。

2?b3?(i?j)ab2?所以，體心立方的倒格子是面心立方。

1.4、1.5、證明倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。11?h2b2?h3b3垂直于密勒指數為(h

證明：因為CA?

a1a3aa?,CB?2?3，G?hb11?h2b2?h3b3 h1h3h2h3利用ai?bj?2??ij，容易證明

Gh1h2h3?CA?0Gh1h2h3?CB?0

所以，倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。11?h2b2?h3b3垂直于密勒指數為(h1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數為(h,k,l)的晶面系，面間距d滿足：d2?a2(h2?k2?l2)，其中a為立方邊長；并說明面指數簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak 由倒格子基矢的定義：b1?2?倒格子基矢：b1?a2?a3a3?a1a1?a2，b2?2?，b3?2?

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a32?2?2?i,b2?j,b3?k aaa2?2?2?i?kj?lk 倒格子矢量：G?hb1?kb2?lb3，G?haaa晶面族(hkl)的面間距：d?2??G1

h2k2l2()?()?()aaaa2 d?222(h?k?l)2面指數越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。

第二章 固體結合

2.1、兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數（??2ln2）和庫侖相互作用能，設離子的總數為2N。

＜解＞ 設想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

?r???j(?1)1111 ]?2[????...rijr2r3r4r前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離ri的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數為 111 ??2[1????...]2342xx3x4???...n(1?x)?x?x34111???...?234n當X=1時，有1?

2???2n22.3、若一晶體的相互作用能可以表示為

u(r)??試求：（1）平衡間距r0；

（2）結合能W（單個原子的）；

（3）體彈性模量；

?rm??rn

（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV，計算?及?的值。解：（1）求平衡間距r0 由du(r)?0，有：

drr?r01m?n?m??m?n?????0?r?0??m?1n?1r0r0.?n???n??????m??1n?m

結合能：設想把分散的原子（離子或分子）結合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結合能（用w表示）（2）求結合能w（單個原子的）

題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復雜的基元。

顯然結合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin

即：W??U(r0)??（3）體彈性模量

?rm0??rn0（可代入r0值，也可不代入）

r02由體彈性模量公式：k?9V0???2U????r2?? ??r0（4）m = 2，n = 10，r0?3A，w = 4eV，求α、β

?10?? r0????2??

U(r0)??18?5??8???

① ????1?r20?r.10??4?5r02???(r08?5??代入)

?W??U(r0)??4??4eV

② 25r0?19將r0?3A，1eV?1.602?10J代入①②

??7.209?10?38N?m2 ???9.459?10?115N?m2詳解：（1）平衡間距r0的計算 晶體內能U(r)?N??(?m?n)2rr1n?n?m?n?)m ?0，?m?1?n?1?0，r0?(m?r0r0dU平衡條件drr?r0（2）單個原子的結合能

11n?n???W??u(r0)，u(r0)?(?m?n))m，r0?(2m?rrr?r01mn?n??mW??(1?)()m

2nm??2U)?V0（3）體彈性模量K?(2V0?V晶體的體積V?NAr，A為常數，N為原胞數目 晶體內能U(r)?3N??(?m?n)2rr?U?U?rNm?n?1??(m?1?n?1)2?V?r?V2rr3NAr?2UN?r?m?n?1?[(?)] 2m?1n?12?V2?V?rrr3NAr?2U?V2N1m2?n2?m?n??[?m?n?m?n] 29V02r0r0r0r0V?V0由平衡條件?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n(m?1?n?1)?0m2r0r02r0r03NAr0?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n)2r0r0?V?V0mnmn(?U)

體彈性模量 K?U009V029V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV

1n?n?1mn?n??mmr0?()，W??(1?)()m

m?2nm???W10?r0，??r02[10?2W] 2r0??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2

第三章 固格振動與晶體的熱學性質

3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當M= m時與一維單原子鏈的結果一一對應。

解：質量為M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……；質量為m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。

牛頓運動方程

m?2n???(2?2n??2n?1??2n?1)M?2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)

N個原胞，有2N個獨立的方程

設方程的解?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到

2??(2??m?)A?(2?cosaq)B?0 ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，則

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)兩種不同的格波的色散關系

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM2{1?[1?sinaq]}2mM(m?M)12

一個q對應有兩支格波：一支聲學波和一支光學波.總的格波數目為2N.???當M?m時4?aqcosm24?aqsinm2，???兩種色散關系如圖所示： 長波極限情況下q?0，sin(qaqa)?，22???(2?m)q與一維單原子晶格格波的色散關系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數交錯地為?和10?，令兩種原子質量相等，且最近鄰原子間距為a2。試求在q?0,q??a處的?(q)，并粗略畫出色散關系曲線。此問題模擬如H2這樣的雙原子分子晶體。

答：（1）

淺色標記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……；深色標記原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。

第2n個原子和第2n＋1個原子的運動方程：

m?2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2n體系N個原胞，有2N個獨立的方程

1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2

方程的解：?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，將解代入上述方程得：

?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222

2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系數行列式滿足：

(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0

1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0)?0

因為?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0

2c10c22,?2??10?0得到 mm22兩種色散關系：???0(11?20cosqa?101)

22當q?0時，???0(11?121)，???22?0???0

當q??a時，???(11?81)，220???20?0???2?0

（2）色散關系圖：

第四篇：固體物理大題整理

雙原子鏈，?，10?，質量均為m，最近鄰a2,求q?0,?2處的??q?,畫出色散關系。??d2mU2n?10?(U?2n?1?U2n)??(U2n??U)?解：??dt212n????md2U?2n?1dt2??(U?2n?2?U2n?1)?10?(U2n?U2n?1)????i(qna??t)??U2n??e???Ui(qna??t)?2n?1??e??????m?2??10?(???)??(?e?iqa??)?????m?2???(?eiqa??)?10?(???)??????(11??m?2)??(?10?e?iqa?10?)??0????(?eiqa?10?)??(?11??m?2)??0?????m?2)2?(?eiqa?10?)(?e?iqa?10?)?01?2 ????m?11?(101?10eiqa?10e?iqa)?2???? =??1m?11?(101?20(cosqa)2??????

220q?0時，???2 +=11??m?????? +=???,q?時，?m???2 ??0?2??????2 ??2???m??一維單原子鏈，晶格常數a，質量M,最近鄰力常數?1，次近鄰?2。<1>試求一維原子鏈的色散關系；<2>長波極限下聲波的速度和一維原子鏈的彈性模量。解：<1>Md2Undt2??1(Un?1+Un-1?2Un)??2(Un?2?Un?2?2Un)

得 ：Un??ei(qa??t)M?2U2iqan??1(eiqa?e?iqa?2)Un?2(e?e?2iqa?2)UnM?2=2?1(1?cosqa)?2?2(1?cos2qa)112 ?=2???1?sinqa2?2???2?2sinqa?M???M???2???2?f?2?T?2???V?V=??2?2(?1)2sin2?a?11222?a????M??2(M)sin???????2(?11當??0時，V=1)22???2???sina?222?a?M?2(M)?sin????112 =???1??a??2?2?2?M??a?M??V=YM?,Y?V2?=a2M??1?2?2?2a=a??1?2?2?2 二維立方點陣，m,a,最近鄰?，每個原子垂直點陣平面作橫振動，證明：m?2?2??2?cosqxa?cosqya?.證明：設U?,m,則：f?,m???U??1,m?U?,m????U??1,m?U?,m?+??U?,m?1?U?,m?+??U?,m-1?U?,m?2mdU?,md2t???U??1,m?4U?,m?U?,m?1?U?,m?1?設UAei(qx?a?qyma??t)?,m???m?2???eiqxa?e?iqxa?eiqya?e?iqya?4? =??2cosqxa?cosqya?4? =2?(cosqxa?cosqya?4)=2?(cosqx?cosqya?4)?m?2?2?(2?cosqxa?cosqya)(11??3.6.一維無限長簡單晶格，若考慮原子間的長程作用力，第n個與第n?m個原子間的恢復力系數為?m，試求格波的色散關系。解：設原子的質量為M,第n個原子對平衡位置的位移為un,第n?m個原子對平衡位置的位移是Un?m(m?1,2,3?),則第n?m個原子對第n個原子的作用力為fn,m??m(Un?m?Un)??m(Un?m?Un)=?m(Un?m?Un?m?2Un)，第n個原子受力的總合為Fn???fm?1n,m?????U2Um?1m(Un?mn?m?n),因此第n個原子的運動方程為：??Md2U2nd2t??m?1m(Un?m?Un?m?2Un)將格波的試解Un?Aei(qna??t)代入運動方程，得：?M?2?????em?1m(eiqma?iqma?2)=??2?m(cosqma?1)m?1 =-4???qmam?1msin2(2)由此得格波的色散關系為：?2???4?2qmam?1msin2.2.8.一維離子鏈，其上等間距載有?2N個離子，設離子間的泡利排斥勢只出現在最近鄰離子之間，并設離子電荷為q,試證平衡間距下U(R?2Nq2ln2?1?0)?R?1?n?；0??令晶體被壓縮，使R0?R0(1??),試證明在晶體被壓縮單位長度的過程中外力做功的主2項為c?,其中c??n?1?qln22R2；0求原子鏈被壓縮了2NR0?e(?e?1)時的外力.解答：(1)因為離子間是等間距的，且都等于R，所以認定離子與第j個離子的距離rj總可表示成為rj?ajR,aj是一整數，于是離子間總的互作用勢能U(R)=2N?2??'?q?q2'2r?b?n???N?(??12b?jjrj????R?ja)??Rn?j??其中+、-號分別對應相異離子和相同離子的作用.一維離子的晶格的馬德隆常數為?'(?1a)=2ln2.jj利用平衡條件dUdRR0?0n?得到b=Nq2ln2Rn?110n,U(R)??2Nq2ln2(1R?R0nRn).在平衡間距下U(R2Nq2ln210)?-R(1?).0nU(R)?U(RdU1d2將相互作用勢能在平衡間距附近展成級數U0)?(dR)R(R?R0)?2(dR2)R(R?R0)2+?，00由外力作的功等于晶體內能的增量，可得外力作之功的主項為)?1d2W=U(R)-U(RU02(dR2)R(R?R0)2,0其中利用了平衡條件.將R=R0(1??)代入上式，得到W=1?22??n?1?qln2??(2NR??R20?)?.0??晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項W1??n?1?q2ln2NR??2???R2??0?20??令c??n?1?q2ln2R2(CGS)0得到在晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項為c?2.設?=?e時外力為Fe，由此在彈性范圍內，外力與晶體的形變成正比，所以F??(2NR0?),Fe??(2NR0?e),其中?為比例系數.離子鍵被壓縮2NR0?e過程中外力作的功W??2NR0?ee0Fdx???e???(2NR0?)??2NR0d???(2NR0)212?2e?1022NR0?eFe.由于Wc?eq2ln2?n?1??ee?2?2NR0?e?,所以離子鍵被壓縮了2NR0?e時的外力為Fe?c?e=R2.0(2)

(1)(2)(3)(3)2.10.兩個原子間互作用勢為U?r?????r2?r8,當原子構成一穩定分子時，?核間距為3?，解離能為4eV,求?和?.解答：當兩原子構成一穩定分子即平衡時，其相互作用勢能取極小值，于是有du?r?2?8?dr?3?0r?rr0r9?001??4??60???,??1?而平衡時的勢能為u?r?0???r2??8??3?4r2,?2?0r00根據定義，解離能為物體全部離解成單個原子時所需要的能量，其值等于u?r.已知解離能為4eV,因此得3?0?42?4eV.?3?0?再將reV?1.602?10?120?3?,1erg代入(1),(3)兩式，得?=7.69?10-27erg?cm2,?=1.40?10-72erg?cm8.3.5.設有一長度為L的一價正負離子構成的一維晶格，正負離子間距為a，正負離子的質量分別為mme2b+和?,近鄰兩離子的互相作用勢為u(r)=-r?rn，式中e為電子電荷，b和n為參量常數，求參數b與e,n及a的關系；恢復力系數?；解答：(1)若只計算近鄰離子的互作用，平衡時，近鄰兩離子的互作用勢能

2n?1取極小值，即要求du(r)dr?0，由此得到b=ea.r?an恢復力系數?=d2u(r)e2(dr2?n?1)3.r?aa5.1.將布洛赫函數中的調制因子uk(r)展成傅里葉級數，對于近自由電子，當電子波矢遠離和在布里淵區邊界上兩種情況下，此級數有何特點？在緊束縛模型下，此級數有有何特點？解答：由布洛赫定理可知，晶體中電子的波函數?k(r)?eik?ruk(r),對比《固體物理教程》(5.1)和(5.39)式可得u1k(r)?N?(K?am)eiKm?r.m對于近自由電子，當電子波矢遠離布里淵區邊界時，它的行為與自由電子類似，uk(r)近似一常數.因此，uk(r)得展開式中，除了a(0)外，其他項可忽略.當電子波矢落在倒格矢Kn正交的布里淵區邊界時，與布里淵區邊界平行的晶面族對布洛赫波產生了強烈的反射，uk(r)展開式中除了a(0)和a(Kn)兩項外，其他項可忽略.在緊束縛模型下，電子在格點R2n附近的幾率?k(r)大，偏離格點Rn的幾率?k(r)2小.對于這樣的波函數，其傅里葉級數的展式包含若干項.也就是說，緊束縛模型下的布洛赫波函數要由若干個平面波來構造.5.2.布洛赫函數滿足?(r+Rn)?eik?Rn?(r),何以見得上式中k具

有波矢的意義？解答：人們總可以把布洛赫函數?(r)展成傅里葉級數?(r)=?a(k'?Ki(k'?Kh)?rh)e,h其中k'是電子的波矢.將?(r)代入?(r+Rnn)=eik?R?(r)，得到eik'?Rn?eik?Rn.其中利用了K'h?Rn=2p?(p是整數),由上式可知，k=k，即k具有波矢的意義.5.3.波矢空間遇倒格空間有何關系？為什么說波矢空間內的狀態點是準確連續的？解答：波矢空間與倒格空間處于統一空間，倒格空間的基矢分別為b1,b2,b3,而波矢空間的基矢分別為b1N,b2bN1,N2,N3分別是沿正格子基矢a1,a2,a3方向晶體1N,32N;3的原胞數目.由此得平衡時兩原子間的距離為r(1)(2)(2)倒格空間中一個倒格點對應的體積為b*1?(b2?b3)??,波矢空間中一個波矢點對應的體積為b1N???b2?b3????*N,即波矢空間中一個波矢點對應的體積，是倒格空間中一個1?N2N3?倒格點對應的體積的1N.由于N是晶體的原胞數目，數目巨大，所以一個波矢點對應的積與一個倒格點對應的體積相比是極其微小的.也就說，波矢點在倒格空間看是極其稠密 的.因此，在波矢空間內的狀態點看成是準連續的.5.4.與布里淵區邊界平行的晶面族對什么狀態的電子具有強烈的散射作用？解答：當電子的波矢k滿足關系式Kn?(k+Kn2)=0時，與布里淵區邊界平行且垂直于Kn的電子具有強烈的散射作用.此時電子的波矢很大，波矢的末端落在了布里淵區邊界上，k垂直與布里淵區邊界的分量的模等于Kn2.1.10.求晶格常數為a的面心立方和體心立方晶體晶面族(h1h2h3)的面間距.解答：面心立方正格子的原胞基矢為aa1=2(j+k),aa2=2(k?i),aa3=2(i?j).由b2???a2?a3??1??,b?2???a3?a1???,b3?2???a1?a2??2?,可得其倒格基矢為b=2?a(-i+j+k),b2?aj+k),b2?12=(i-3=a(i+j-k).倒格矢Kh?h1b1+h2b2+h3b3.根據《固體物理教程》(1.16)式d2?h1h2h3?K,h的面心立方晶體晶面族(h1h2h3)的面間距d2?h1h2h3?Kh?a.??(?h1?h222?h3)?(h1?h2?h3)?(h1?h2?h3)2?1?2體心立方正格子原胞基矢可取為a1=a2(-i+j+k),aa2=2(i-j+k),a3=a2(i+j-k).其倒格子基矢為b2?2?1=a(j+k),b2=2?a(k+i),b3=a(i+j).則晶面族(h1h2h3)的面間距為d2?h1h2h3?K?a1.h??(h222?h3)?(h3?h1)?(h1?h2)2??2??1100?1.18.利用轉動對稱操作，證明六角晶系介電常數矩陣為????0???220?.?00??33?解答：由《固體物理教程(1.21)式可知，若A是一旋轉對稱操作，則晶體的介電常數ε滿足ε?AεAt.對六角晶系，繞x(即a)軸旋180?和繞z(即c)軸旋轉120?都是對稱操作，??13??00???220??坐標變換矩陣分別為A??1x?0?10?Az???3??.?00?1???2?1?20???.?00?1????????11?12?13?假設六角晶系的介電常數為??????21?22??23?.???31?32??33??????13???13?則有ε?At?1112?????11??12xεAx得???21?2223?????21???23?.???31?32???2233??????31?32??33??可見?12=0，?13=0，?21=0，?33=0.??1100???1100?即????0??22?23??.將上式代入ε?At得?zεAz?0??0???22??23?32??33????0?32??33????1?11+3?22-3?444?11+34?-3?222?23???????-34?311+34?224?11+14?22-12?23???。?-31??????232-2?3233??由上式可得?23=0，?32=0，?11=?22.??1100?于是得到六角晶系的介電常數????0??220?.??00??33?

第五篇：固體物理選擇題

選擇題

1.（）布拉伐格子為體心立方的晶體是 A.鈉 B.金 C.氯化鈉 D.金剛石 2.（）布拉伐格子為面心立方的晶體是 A.鎂 B.銅 C.石墨 D.氯化銫 3.（）布拉伐格子為簡立方的晶體是 A.鎂 B.銅 C.石墨 D.氯化銫

4.（）銀晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方

5.（）金屬鉀晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 6.（）金剛石的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 7.（）硅晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方

8.（）氯化鈉晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 9.（）氯化銫晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 10.（）ZnS晶體的布拉伐格子是 A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 11.（）下列晶體的晶格為簡單晶格的是 A.硅 B.冰 C.銀 D.金剛石 12.（）下列晶體的晶格為復式晶格的是 A.鈉 B.金 C.銅 D.磷化鎵 3 3313.（）晶格常數為a的簡立方晶格，原胞體積Ω等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 14.（）晶格常數為a的體心立方晶格，原胞體積Ω等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 15.（）晶格常數為a的面心立方晶格，原胞體積Ω等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 16.（）晶格常數為a的CsCl晶體的原胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3317.（）晶格常數為a的NaCl晶體的原胞體積等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 18.（）晶格常數為a的Cu晶體的原胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 19.（）晶格常數為a的Na晶體的原胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3320.（）晶格常數為a的Au晶體的原胞體積等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 21.（）晶格常數為a的金剛石晶體的原胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 3 3322.（）晶格常數為a的Cu晶體的單胞體積等于 A.2aB.a C.a/2 D.a/4 23.（）晶格常數為a的Li晶體的單胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 24.（）晶格常數為a的Ge晶體的單胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 25.（）晶格常數為a的GaP晶體的單胞體積等于 A.2a2 B.a3 C.a3/2 D.a3/4 26.（）晶體銅的配位數是 A.12 B.8 C.6 D.4 27.（）金屬鈉晶體的配位數是 A.12 B.8 C.6 D.4 28.（）金剛石的配位數是 A.12 B.8 C.6 D.4 29.（）面心立方密集的致密度是 A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 30.（）體心立方密集的致密度是 A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 31.（）晶體的布拉伐格子共有幾種？ A.12 B.13 C.14 D.15 32.（）立方晶系的布拉伐格子共有幾種？ A.1 B.2 C.3 D.4 33.（）表征晶格周期性的概念是

A.原胞或布拉伐格子 B.原胞或單胞 C.單胞或布拉伐格子 D.原胞和基元 34.（）晶體共有幾個晶系？ A.4 B.5 C.6 D.7 35.（）晶體點群有 A.230種 B.320種 C.48種 D.32種 36.（）晶格常數為a的一維單原子鏈，倒格子基矢的大小為 A.a B.2a C.π/a D.2π/a 37.（）晶格常數為a的一維雙原子鏈，倒格子基矢的大小為 A.a B.2a C.π/a D.2π/a 38.（）晶格常數為a的簡立方晶格的(010)面間距為A.a B.239.（）晶格常數為a的簡立方晶格的(110)面間距為A.a22a C.3a33a4a D.1/2 a D.a5 B.C.40.（）晶格常數為a的簡立方晶格的(111)面間距為A.a2 B.a3 C.a4 D.a5

41.（）晶格常數為a的簡立方晶格的(210)面間距為A.a2 B.a3 C.a2a4 D.a3a5

42.（）晶格常數為a的體心立方晶格的(100)面間距為A.a B.a/2 C.D.43.（）晶格常數為a的體心立方晶格的(110)面間距為A.a B.a/2 C.a2a3a2D.a4a3

a644.（）晶格常數為a的體心立方晶格的(111)面間距為A.B.C.a2 D.a3

45.（）晶格常數為a的面心立方晶格的(100)面間距為A.a B.a/2 C.a2a3D.a4

a646.（）晶格常數為a的面心立方晶格的(110)面間距為A.B.C.D.47.（）晶格常數為a的面心立方晶格的(111)面間距為A.a2 B.a3 C.a4 D.a6

48.（）一個二維簡單正交晶格的倒格子原胞的形狀是 A.長方形 B.正六邊形 C.圓 D.圓球

49.（）體心立方的倒格子是A.二維正方形 B.面心立方 C.體心立方 D.簡立方 50.（）面心立方的倒格子是A.二維正方形 B.面心立方 C.體心立方 D.簡立方

51.一個二維簡單正交晶格的第一布里淵區形狀是A.長方形 B.正六邊形 C.圓 D.圓球 52一個簡立方晶格的第一布里淵區形狀是A.正六邊形 B.面心立方 C.體心立方 D.簡立方 53.（）體心立方晶格的第一布里淵區形狀是

A.平行六面體 B.正八面體 C.菱形十二面體 D.截角八面體 54.（）面心立方晶格的第一布里淵區形狀是

A.平行六面體 B.正八面體 C.菱形十二面體 D.截角八面體 55.（）三維晶格的原胞體積

與倒格子的原胞體積

之積等于

A.（2π）3 B.（2π）2 C.（2π）1 D.（2π）0

56.（）若簡立方晶格的晶格常數由a增大為2a，則簡約布里淵區的體積變為 A.1/2倍 B.1/8倍 C.2倍 D.8倍

57.（）由N個原子組成的一維單原子鏈，簡約布里淵區中的分立波矢取值有

2A.N個 B.2N個 C.N/2個 D.N個

58.（）有N個初基原胞的二維簡單正方形晶格，簡約布里淵區中的分立波矢狀態有 A.N種 B.2N種 C.N/2種 D.N2種

59.（）N個基元構成的鈉晶體，其相鄰兩原子之間的相互作用能為u，只計最近鄰相互作用，則鈉晶體總的相互作用能U為

A.Nu B.2 Nu C.6Nu D.8Nu

60.（）對于一維單原子鏈晶格振動的頻帶寬度，若最近鄰原子之間的力常數β增大為4β，則晶格振動的頻帶寬度變為原來的 A.2倍 B.4倍 C.16倍 D.不變

61.（）一維雙原子鏈晶格振動光頻支與聲頻支之間的頻隙寬度，與最近鄰原子之間力常數的關系是 A.無關 B.單調增加 C.單調減少 D.其它

62.（）對于一維雙原子鏈晶格振動光頻支與聲頻支之間的頻隙寬度，若最近鄰原子之間的力常數β增大為4β，則頻隙寬度變為原來的 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.不變 63.（）晶格振動的能量量子稱為 A.極化子 B.激子 C.聲子 D.光子

64.（）含有N個原胞的銅晶體，晶格振動的聲學波支數為 A.0 B.1 C.2 D.3 65.（）含有N個原胞的銅晶體，晶格振動的光學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 66.（）含有N個原胞的銅晶體，晶格振動的總格波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 67.（）含有N個原胞的銅晶體，不同的波矢總數為A.3N B.2N C.N D.N/2 68.（）含有N個原胞的金剛石晶體，晶格振動的聲學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 69.（）含有N個原胞的金剛石晶體，晶格振動的光學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 70.（）含有N個原胞的二維蜂巢晶格，晶格振動的聲學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 71.（）有N個原胞的二維簡單正方形晶格，晶體中的聲子有多少種可能的量子態 A.N B.2N C.N/2 D.N2

72.（）對于體積為V的NaCl晶體，設原胞體積為Ω，則該晶體包含的晶格振動總模式數為 A.V/Ω B.2V/Ω C.4V/Ω D.6V/Ω

73.（）低溫下一維晶格振動的德拜態密度與晶格振動頻率ω的關系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 74.（）低溫下二維晶格振動的德拜態密度與晶格振動頻率ω的關系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 75.（）低溫下三維晶格振動的德拜態密度與晶格振動頻率ω的關系是正比于 A.ω0 B.ω1 C.ω2 D.ω3 76.（）低溫下d維晶格振動的德拜態密度與晶格振動頻率ω的關系是正比于 A.ω2 B.ωd-1C.ωd D.ωd+1 77.（）低溫下一維晶格熱容與溫度T的關系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 78.（）低溫下二維晶格熱容與溫度T的關系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 79.（）低溫下三維晶格熱容與溫度T的關系是正比于A.T0 B.T1 C.T2 D.T3 83.（）緊束縛近似下晶格常數為a的簡立方晶體的s電子能帶函數E(k)為

?kyakyakxakakakacos?coscosz?coszcosx)A.E(k)?E0?J0?4J1(cos222222?kyakakacosz B.E(k)?E0?J0?8J1cosxcos222?C.E(k)?E0?J0?2J1(coskxa?coskya?coskza)

?D.E(k)?E0?J0?6J1coska

84.（）緊束縛近似下晶格常數為a的面心立方晶體的s電子能帶函數?kyakyakxakakakacos?coscosz?coszcosx)A.E(k)?E0?J0?4J1(cos222222為

?kyakakaB.E(k)?E0?J0?8J1cosxcoscosz

222?C.E(k)?E0?J0?2J1(coskxa?coskya?coskza)

D.E(k)?E0?J0?6J1coska

85.（）緊束縛近似下晶格常數為a的二維正方形晶格的s電子能帶函數為

?kyakaA.E(k)?E0?J0?4J1cosxcos

22??B.E(k)?E0?J0?4J1coskxacoskya ?C.E(k)?E0?J0?2J1(coskxa?coskya)

?D.E(k)?E0?J0?2J1coska

86.（）二維自由電子的能態密度，與能量E的關系是正比于 A.E?121 B.E0 C.E2 D.E 187.（）三維自由電子的能態密度，與能量E的關系是正比于 A.E?12 B.E0 C.E2 D.E

?態電子速度v(k)88.（）緊束縛近似下，一維單原子鏈中s電子的kA.v(?4a)?v(0)B.v(滿足

?a)89.（）緊束縛近?4a)?v(?2a)C.v(?4a)?v(3?4a)D.v(?4a)?v(似下晶格常數為a的一維單原子鏈中s電子的k態電子速度滿足

A.與 coska 成正比 B.與sinka成正比 C.與k成正比 D.與k無關

90.（）緊束縛近似下晶格常數為a的一維單原子鏈中s電子的k態電子有效質量滿足 A.與coska成反比 B.與sinka成反比 C.與k成正比 D.與k成反比

91.（）由N個原胞組成的簡單晶體，不考慮能帶交疊，則每個S能帶可容納的電子數為 A.N/2 B.N C.2N D.4N ?92.（）N原子組成晶格常數為a的簡立方晶體，單位k空間可容納的電子數為

A.N B.2N C.Na3/(2π)3 D.2Na3/(2π)3 93.（）半導體中電子有效質量的實驗研究方法是

A.X射線衍射 B.中子非彈性散射 C.回旋共振 D.霍耳效應