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第一篇：高考數學試卷（理科）（新課標ⅰ）（含解析版）,14版

2014年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）一、選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）設函數f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數 B．|f（x）|?g（x）是奇函數 C．f（x）?|g（x）|是奇函數 D．|f（x）?g（x）|是奇函數 4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（）A． B．3 C．m D．3m 5．（5分）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）A． B． C． D． 6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 7．（5分）執行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A． B． C． D． 8．（5分）設α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 9．（5分）不等式組的解集記為D，有下列四個命題：

p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 10．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若=4，則|QF|=（）A． B．3 C． D．2 11．（5分）已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則實數a的取值范圍是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6 B．6 C．4 D．4 　二、填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數為　　．（用數字填寫答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們三人去過同一城市；

由此可判斷乙去過的城市為　　． 15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點，若=（+），則與的夾角為　　． 16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為　　．　三、解答題 17．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由． 18．（12分）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2（同一組中數據用該組區間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2．（i）利用該正態分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；

（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間（187.8，212.2）的產品件數，利用（i）的結果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 20．（12分）已知點A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程． 21．（12分）設函數f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；

（Ⅱ）證明：f（x）＞1．　選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；

（Ⅱ）設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．　選修4-4：坐標系與參數方程 23．已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數）（Ⅰ）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．　選修4-5：不等式選講 24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．　 2014年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）參考答案與試題解析　一、選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 【考點】1E：交集及其運算．菁優網版權所有【專題】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．　 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考點】A5：復數的運算．菁優網版權所有【專題】5N：數系的擴充和復數．【分析】由條件利用兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，計算求得結果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故選：D．【點評】本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．　 3．（5分）設函數f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數 B．|f（x）|?g（x）是奇函數 C．f（x）?|g（x）|是奇函數 D．|f（x）?g（x）|是奇函數【考點】3K：函數奇偶性的性質與判斷．菁優網版權所有【專題】51：函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性的性質即可得到結論．【解答】解：∵f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函數是奇函數，故A錯誤，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）為偶函數，故B錯誤，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函數，故C正確． |f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|為偶函數，故D錯誤，故選：C．【點評】本題主要考查函數奇偶性的判斷，根據函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．　 4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（）A． B．3 C．m D．3m 【考點】KC：雙曲線的性質．菁優網版權所有【專題】11：計算題；

5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】雙曲線方程化為標準方程，求出焦點坐標，一條漸近線方程，利用點到直線的距離公式，可得結論．【解答】解：雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化為，∴一個焦點為（，0），一條漸近線方程為=0，∴點F到C的一條漸近線的距離為=．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題．　 5．（5分）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）A． B． C． D．【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁優網版權所有【專題】11：計算題；

5I：概率與統計．【分析】求得4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動、周六、周日都有同學參加公益活動的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有24=16種情況，周六、周日都有同學參加公益活動，共有24﹣2=16﹣2=14種情況，∴所求概率為=．故選：D．【點評】本題考查古典概型，是一個古典概型與排列組合結合的問題，解題時先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數．　 6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B． C． D．【考點】3P：抽象函數及其應用．菁優網版權所有【專題】57：三角函數的圖像與性質．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意長度、距離為正，再根據直角三角形的銳角三角函數的定義即可得到f（x）的表達式，然后化簡，分析周期和最值，結合圖象正確選擇．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，∴點M到直線OP的距離表示為x的函數f（x）=OM|sinx| =|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期為T=，最大值為，最小值為0，故選：C．【點評】本題主要考查三角函數的圖象與性質，正確表示函數的表達式是解題的關鍵，同時考查二倍角公式的運用．　 7．（5分）執行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A． B． C． D．【考點】EF：程序框圖．菁優網版權所有【專題】5I：概率與統計．【分析】根據框圖的流程模擬運行程序，直到不滿足條件，計算輸出M的值．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環M=1+=，a=2，b=，n=2；

第二次循環M=2+=，a=，b=，n=3；

第三次循環M=+=，a=，b=，n=4．不滿足條件n≤3，跳出循環體，輸出M=．故選：D．【點評】本題考查了當型循環結構的程序框圖，根據框圖的流程模擬運行程序是解答此類問題的常用方法．　 8．（5分）設α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考點】GF：三角函數的恒等變換及化簡求值．菁優網版權所有【專題】56：三角函數的求值．【分析】化切為弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由該等式左右兩邊角的關系可排除選項A，B，然后驗證C滿足等式sin（α﹣β）=cosα，則答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴當時，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故選：C．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，訓練了利用排除法及驗證法求解選擇題，是基礎題．　 9．（5分）不等式組的解集記為D，有下列四個命題：

p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考點】2K：命題的真假判斷與應用；

5L：簡易邏輯．【分析】作出不等式組的表示的區域D，對四個選項逐一分析即可．【解答】解：作出圖形如下：

由圖知，區域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區域，p1：區域D在x+2y≥﹣2 區域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；

p2：在直線x+2y=2的右上方和區域D重疊的區域內，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確；

p3：由圖知，區域D有部分在直線x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯誤；

p4：x+2y≤﹣1的區域（左下方的虛線區域）恒在區域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯誤；

綜上所述，p1、p2正確；

5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求得直線PF的方程，與y2=8x聯立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：設Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨設直線PF的斜率為﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直線PF的方程為y=﹣2（x﹣2），與y2=8x聯立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，屬于基礎題．　 11．（5分）已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則實數a的取值范圍是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考點】53：函數的零點與方程根的關系．菁優網版權所有【專題】11：計算題；

51：函數的性質及應用；

53：導數的綜合應用．【分析】由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

分類討論確定函數的零點的個數及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

①當a=0時，f（x）=﹣3x2+1有兩個零點，不成立；

②當a＞0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點，故不成立；

③當a＜0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個零點；

故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點；

而當x=時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=﹣3?+1＞0；

故a＜﹣2；

綜上所述，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；

故選：D．【點評】本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，同時考查了函數的零點的判定的應用，屬于基礎題．　 12．（5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6 B．6 C．4 D．4 【考點】L!：由三視圖求面積、體積．菁優網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離．【分析】畫出圖形，結合三視圖的數據求出棱長，推出結果即可．【解答】解：幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點的距離為：4，∴．AC==6，AD=4，顯然AC最長．長為6．故選：B．【點評】本題考查三視圖求解幾何體的棱長，考查計算能力．　二、填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數為　﹣20　．（用數字填寫答案）【考點】DA：二項式定理．菁優網版權所有【專題】11：計算題；

5P：二項式定理．【分析】由題意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，項的系數，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展開式中，含xy7的系數是：8．含x2y6的系數是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數為：8﹣28=﹣20．故答案為：﹣20 【點評】本題考查二項式定理系數的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．　 14．（5分）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們三人去過同一城市；

由此可判斷乙去過的城市為　A　．【考點】F4：進行簡單的合情推理．菁優網版權所有【專題】5M：推理和證明．【分析】可先由乙推出，可能去過A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一個，再由丙即可推出結論．【解答】解：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A，B中的任一個，再由丙說：我們三人去過同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A．故答案為：A．【點評】本題主要考查簡單的合情推理，要抓住關鍵，逐步推斷，是一道基礎題．　 15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點，若=（+），則與的夾角為　90°　．【考點】9S：數量積表示兩個向量的夾角．菁優網版權所有【專題】5A：平面向量及應用．【分析】根據向量之間的關系，利用圓直徑的性質，即可得到結論．【解答】解：在圓中若=（+），即2=+，即+的和向量是過A，O的直徑，則以AB，AC為鄰邊的四邊形是矩形，則⊥，即與的夾角為90°，故答案為：90° 【點評】本題主要考查平面向量的夾角的計算，利用圓直徑的性質是解決本題的關鍵，比較基礎．　 16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．【考點】HP：正弦定理；

35：轉化思想；

48：分析法；

58：解三角形．【分析】由正弦定理化簡已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，結合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：因為：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因為：a=2，所以：，△ABC面積，而b2+c2﹣a2=bc ?b2+c2﹣bc=a2 ?b2+c2﹣bc=4 ?bc≤4 所以：，即△ABC面積的最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．　三、解答題 17．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由．【考點】83：等差數列的性質；

（Ⅱ）假設存在λ，使得{an}為等差數列，設公差為d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根據{an}為等差數列的充要條件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假設存在λ，使得{an}為等差數列，設公差為d．則λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴． ∴，∴λSn=1+=，根據{an}為等差數列的充要條件是，解得λ=4．此時可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}為等差數列．【點評】本題考查了遞推式的意義、等差數列的通項公式及其前n項和公式、等差數列的充要條件等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．　 18．（12分）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2（同一組中數據用該組區間的中點值作代表）；

（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間（187.8，212.2）的產品件數，利用（i）的結果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；

5I：概率與統計．【分析】（Ⅰ）運用離散型隨機變量的期望和方差公式，即可求出；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運用所給數據；

（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取產品的質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2分別為：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；

（ii）由（i）知一件產品的質量指標值位于區間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，以及正態分布的特點及概率求解，考查運算能力．　 19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考點】M7：空間向量的夾角與距離求解公式；

（2）以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）連結BC1，交B1C于點O，連結AO，∵側面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，||為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）∴=（0，），==（1，0，），==（﹣1，0），設向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一個法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為【點評】本題考查空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．　 20．（12分）已知點A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．【考點】K4：橢圓的性質；

（Ⅱ）設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設F（c，0），由條件知，得=又，所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當△=16（4k2﹣3）＞0，即時，從而=+ 又點O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設，則t＞0，當且僅當t=2，k=±等號成立，且滿足△＞0，所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．　 21．（12分）設函數f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；

（Ⅱ）證明：f（x）＞1．【考點】6E：利用導數研究函數的最值；

53：導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出定義域，導數f′（x），根據題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設函數g（x）=xlnx，函數h（x）=，只需證明g（x）min＞h（x）max，利用導數可分別求得g（x）min，h（x）max；

【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設函數g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當x∈（0，）時，g′（x）＜0；

當x∈（，+∞）時，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設函數h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）． ∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；

當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【點評】本題考查導數的幾何意義、利用導數求函數的最值、證明不等式等，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．　選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；

（Ⅱ）設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．【考點】NB：弦切角；

5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）利用四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可證明：∠D=∠E；

（Ⅱ）設BC的中點為N，連接MN，證明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，進而可得∠A=∠E，即可證明△ADE為等邊三角形．【解答】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（Ⅱ）設BC的中點為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直線MN上，∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE為等邊三角形．【點評】本題考查圓的內接四邊形性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．　選修4-4：坐標系與參數方程 23．已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數）（Ⅰ）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合；

（Ⅱ）設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以 sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數的范圍求得|PA|的最大值與最小值．【解答】解：（Ⅰ）對于曲線C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲線C的參數方程為，（θ為參數）．對于直線l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（Ⅱ）設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）． P到直線l的距離為．則，其中α為銳角．當sin（θ+α）=﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為．當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為．【點評】本題考查普通方程與參數方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．　選修4-5：不等式選講 24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．【考點】RI：平均值不等式．菁優網版權所有【專題】59：不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）由條件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根據 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，當且僅當a=b=時取等號． ∵a3+b3 ≥2≥2=4，當且僅當a=b=時取等號，∴a3+b3的最小值為4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，當且僅當2a=3b時，取等號．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【點評】本題主要考查基本不等式在最值中的應用，要注意檢驗等號成立條件是否具備，屬于基礎題．

第二篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)答案與解析

2008年四川省高考數學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考點】交、并、補集的混合運算．

【分析】根據交集的含義求A∩B、再根據補集的含義求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}?A∩B={3}；

所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故選D 【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單．

2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考點】復數代數形式的混合運算．

2【分析】先算（1+i），再算乘2i，化簡即可．

22【解答】解：∵2i（1+i）=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i=﹣4 故選A；

2【點評】此題考查復數的運算，乘法公式，以及注意i=﹣1；是基礎題．

23．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考點】同角三角函數基本關系的運用．

【分析】此題重點考查各三角函數的關系，切化弦，約分整理，湊出同一角的正弦和余弦的平方和，再約分化簡．【解答】解：

2∵

=故選D；

【點評】將不同的角化為同角；將不同名的函數化為同名函數，以減少函數的種類；當式中有正切、余切、正割、余割時，通常把式子化成含有正弦與余弦的式子，即所謂“切割化弦”．

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

【考點】兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．

【分析】先利用兩直線垂直寫出第一次方程，再由平移寫出第二次方程．【解答】解：∵直線y=3x繞原點逆時針旋轉90° ∴兩直線互相垂直則該直線為那么將，向右平移1個單位得，即

故選A．

【點評】本題主要考查互相垂直的直線關系，同時考查直線平移問題．

5．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

【考點】正切函數的單調性；三角函數線．【專題】計算題．

【分析】通過對sinα＞cosα等價變形，利用輔助角公式化為正弦，利用正弦函數的性質即可得到答案．

【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣∴0＜α﹣∴＜α＜）＞0，＜π，．

故選C．

【點評】本題考查輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，將sinα＞cosα等價變形是難點，也是易錯點，屬于中檔題．

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種【考點】組合及組合數公式．【專題】計算題．

【分析】根據題意，分析可得，甲、乙中至少有1人參加的情況數目等于從10個同學中挑選4名參加公益活動挑選方法數減去從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加公益活動的挑選方法數，分別求出其情況數目，計算可得答案．

4【解答】解：∵從10個同學中挑選4名參加某項公益活動有C10種不同挑選方法；

4從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加某項公益活動有C8種不同挑選方法；

44∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有C10﹣C8=210﹣70=140種不同挑選方法，故選C．

【點評】此題重點考查組合的意義和組合數公式，本題中，要注意找準切入點，從反面下手，方法較簡單．

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點】等比數列的前n項和．

【分析】首先由等比數列的通項入手表示出S3（即q的代數式），然后根據q的正負性進行分類，最后利用均值不等式求出S3的范圍．【解答】解：∵等比數列{an}中，a2=1 ∴∴當公比q＞0時，當公比q＜0時，；

．

∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故選D．

【點評】本題考查等比數列前n項和的意義、等比數列的通項公式及均值不等式的應用．

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考點】球面距離及相關計算．【專題】計算題．

【分析】先求截面圓的半徑，然后求出三個圓的面積的比．

【解答】解：設分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓的半徑為r1，r2，r3，球半徑為R，則：

∴r1：r2：r3=5：8：9∴這三個圓的面積之比為：5，8，9 故選D 【點評】此題重點考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關系；考查空間想象能力，利用勾股定理的計算能力．

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．

【分析】利用圓錐的母線與底面所成的交角不變畫圖，即可得到結果．

0【解答】解：如圖，和α成30角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當∠ABC=∠ACB=30°，直線AC，AB都滿足條件故選B． 222 3

【點評】此題重點考查線線角，線面角的關系，以及空間想象能力，圖形的對稱性；數形結合，重視空間想象能力和圖形的對稱性；

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題．

【分析】當f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數時，f（0）一定是函數的最值，從而得到x=0必是f（x）的極值點，即f′（0）=0，因而得到答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數

∴由函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象特征可知x=0必是f（x）的極值點，∴f′（0）=0 故選D 【點評】此題重點考查正弦型函數的圖象特征，函數的奇偶性，函數的極值點與函數導數的關系．

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）

A．13 B．2 C．

D．

【考點】函數的值．【專題】壓軸題．

【分析】根據f（1）=2，f（x）?f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）觀察規律可求出f（x）的解析式，最終得到答案．

【解答】解：∵f（x）?f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，∴，∴

故選C．【點評】此題重點考查遞推關系下的函數求值；此類題的解決方法一般是求出函數解析式后代值，或者得到函數的周期性求解．

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32 【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；壓軸題．

2【分析】根據拋物線的方程可知焦點坐標和準線方程，進而可求得K的坐標，設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0），根據及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，進而可求得A點坐標，進而求得△AFK的面積．

2【解答】解：∵拋物線C：y=8x的焦點為F（2，0），準線為x=﹣2 ∴K（﹣2，0）

設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 222222∴由BK=AK﹣AB得y0=（x0+2），即8x0=（x0+2），解得A（2，±4）∴△AFK的面積為故選B．

【點評】本題拋物線的性質，由題意準確畫出圖象，利用離心率轉化位置，在△ABK中集中條件求出x0是關鍵；

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

34213．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為 ﹣6 ．【考點】二項式定理．【專題】計算題．

【分析】利用乘法原理找展開式中的含x項的系數，注意兩個展開式的結合分析，即分別

2為第一個展開式的常數項和第二個展開式的x的乘積、第一個展開式的含x項和第二個展

2開式的x項的乘積、第一個展開式的x的項和第二個展開式的常數項的乘積之和從而求出答案．

342【解答】解：∵（1+2x）（1﹣x）展開式中x項為 ***040C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）

02112204∴所求系數為C3?C4+C3?2?C4（﹣1）+C3?2?C41=6﹣24+12=﹣6．故答案為：﹣6．【點評】此題重點考查二項展開式中指定項的系數，以及組合思想，重在找尋這些項的來源．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為．

【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式．【專題】數形結合．

222 5 【分析】如圖過點C作出CD與直線l垂直，垂足為D，與圓C交于點A，則AD為所求；求AD的方法是：由圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，利用d減去圓的半徑r即為圓上的點到直線l的距離的最小值．【解答】解：如圖可知：過圓心作直線l：x﹣y+4=0的垂線，則AD長即為所求；

22∵圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2的圓心為C（1，1），半徑為，點C到直線l：x﹣y+4=0的距離為∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各點到l的距離的最小值為故答案為：，．

【點評】此題重點考查圓的標準方程和點到直線的距離．本題的突破點是數形結合，使用點C到直線l的距離距離公式．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 2 ．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；作圖題；壓軸題．

【分析】由題意畫出圖形，求出高，底面邊長，然后求出該正四棱柱的體積．【解答】解：：如圖可知：∵

∴∴正四棱柱的體積等于

=2 故答案為：2 【點評】此題重點考查線面角，解直角三角形，以及求正四面題的體積；考查數形結合，重視在立體幾何中解直角三角形，熟記有關公式．

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為 4 ．

【考點】等差數列的前n項和；等差數列．【專題】壓軸題．

【分析】利用等差數列的前n項和公式變形為不等式，再利用消元思想確定d或a1的范圍，a4用d或a1表示，再用不等式的性質求得其范圍．

【解答】解：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即

∴

∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值為4，故答案為：4．

【點評】此題重點考查等差數列的通項公式，前n項和公式，以及不等式的變形求范圍；

三、解答題（共6小題，滿分74分）

2417．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值．【考點】三角函數的最值．【專題】計算題．【分析】利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡y的解析式后，再利用配方法把y變為完全平方式即y=（1﹣sin2x）+6，可設z═（u﹣1）+6，u=sin2x，因為sin2x的范圍為[﹣1，1]，根據u屬于[﹣1，1]時，二次函數為遞減函數，利用二次函數求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

2422【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx=7﹣2sin2x+4cosx（1﹣cosx）=7﹣22222sin2x+4cosxsinx=7﹣2sin2x+sin2x=（1﹣sin2x）+6 22由于函數z=（u﹣1）+6在[﹣1，1]中的最大值為zmax=（﹣1﹣1）+6=10 2最小值為zmin=（1﹣1）+6=6 故當sin2x=﹣1時y取得最大值10，當sin2x=1時y取得最小值6 【點評】此題重點考查三角函數基本公式的變形，配方法，符合函數的值域及最值；本題的突破點是利用倍角公式降冪，利用配方變為復合函數，重視復合函數中間變量的范圍是關鍵．

18．（12分）（2008?四川）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望． 7 【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．

【專題】計算題．【分析】（1）進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，包括兩種情況：即進入商場的1位顧客購買甲種商品不購買乙種商品，進入商場的1位顧客購買乙種商品不購買甲種商品，分析后代入相互獨立事件的概率乘法公式即可得到結論．

（2）進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的對立事件為，該顧客即不習甲商品也不購買乙商品，我們可以利用對立事件概率減法公式求解．（3）由（1）、（2）的結論，我們列出ξ的分布列，計算后代入期望公式即可得到數學期望．【解答】解：記A表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，記B表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記C表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記D表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（Ⅰ）

===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4 =0.2

∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），3故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2=0.008 12P（ξ=1）=C3×0.8×0.2=0.096 22P（ξ=2）=C3×0.8×0.2=0.384 3P（ξ=3）=0.8=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【點評】此題重點考查相互獨立事件的概率計算，以及求隨機變量的概率分布列和數學期望；突破口：分清相互獨立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用； 19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；棱錐的結構特征．【專題】計算題；證明題．【分析】（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，延長FE交AB的延長線于G′，根據比例關系可證得G與G′重合，準確推理，得到直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．

（Ⅱ）取AE中點M，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN，由三垂線定理知BN⊥ED，根據二面角平面角的定義可知∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

【解答】解：（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，由BC延長FE交AB的延長線于G′ 同理可得

得

故，即G與G′重合

因此直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．（Ⅱ）設AB=1，則BC=BE=1，AD=2 取AE中點M，則BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM與平面ADE內兩相交直線AD、AE都垂直．所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN 由三垂線定理知BN⊥ED，∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角．故

所以二面角A﹣ED﹣B的大小 9

【點評】此題重點考查立體幾何中四點共面問題和求二面角的問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力；突破：熟悉幾何公理化體系，準確推理，注意書寫格式是順利進行求解的關鍵．

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式．【考點】數列的應用．【專題】計算題；證明題．

n【分析】（Ⅰ）當b=2時，由題設條件知an+1=2an+2an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）nn﹣1n﹣1?2=2（an﹣n?2），所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由題設條件知an=（n+1）2；當b≠2時，由題意得

=的通項公式．

【解答】解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，n且ban﹣2=（b﹣1）Sn

n+1ban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1

n兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1

n即an+1=ban+2①

n當b=2時，由①知an+1=2an+2

nnnn﹣1于是an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）?2=2（an﹣n?2）

0n﹣1又a1﹣1?2=1≠0，所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2=2，n﹣1即an=（n+1）2 當b≠2時，由①得=因此即所以

． =

=，由此能夠導出{an}

n．由此可知nn 10 【點評】此題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的通項公式，同時考查分類討論思想；推移腳標兩式相減是解決含有Sn的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含Sn的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞推公式求通項公式是重視首項是否可以吸收是易錯點，同時重視分類討論，做到條理清晰是關鍵．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，【考點】橢圓的應用．【專題】計算題；壓軸題．

【分析】（Ⅰ）設，根據題意由得，由，得，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a．當且僅當或共線．

【解答】解：由a﹣b=c與l的方程為設則

222

時，|MN|取最小值，由能夠推導出與，得a=2b，22，11 由（Ⅰ）由得，得

①

②由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a=4 故2

③

2（Ⅱ）證明：|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a 當且僅當此時，故與共線．

或

時，|MN|取最小值

【點評】此題重點考查橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考查向量的綜合應用；熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用．

22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．【考點】函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的單調性．【專題】計算題；壓軸題；數形結合法．

2【分析】（Ⅰ）先求導﹣10x的一個極值點即

2，再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x求解．

2（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因為所以因此a=16

12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）當x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0 當x∈（1，3）時，f′（x）＜0 所以f（x）的單調增區間是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的單調減區間是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0 所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2﹣9，極小值為f（3）=32ln2﹣21

因此f（16）＞16﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三個單調區間（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【點評】此題重點考查利用求導研究函數的單調性，最值問題，函數根的問題；，熟悉函數的求導公式，理解求導在函數最值中的研究方法是解題的關鍵，數形結合理解函數的取值范圍． 2﹣2 13

第三篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)

2008年四川省高考數學試卷（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5}

2D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i

3．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

25．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）A．13

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

13．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為

．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為

．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為

．

三、解答題（共6小題，滿分74分）

17．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望．

19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

2B．2 C． D．，則該正四棱柱的體積等于

．

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離

n心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．3

第四篇：2013年高考理科數學試卷及答案---全國卷(新課標版)word版A3版

2013年全國卷新課標數學（理）

一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A?{1,2,3,4,5}，B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y?A}，則B中所含元素的個數為

A.3B.6C.8D.10

2.將2名教師，4名學生分成兩個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由一名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有A.12種B.10種C.9種D.8種 3.下面是關于復數z?

是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 A.6 B.9 C.12 D.18

8.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2?16x的準線交于A，B，兩點，|AB|?4，則的實軸長為

A.2B.22

C.4D.8

2的四個命題： ?1?i

9.已知??0，函數f(x)?sin(?x?

?)在(,?)單調遞減，則?的取值范圍是 42

C.(0,]

P1:|z|?2

P2:z2?2i P4:z的虛部為?

1A.[,]

524

B.[,]

132412

D.(0,2]

P3:z的共軛復數為1?i

其中的真命題為

10.已知函數f(x)?

B.P1，P2

C.P2，P4

D.P4 3，P，則y?f(x)的圖像大致為

ln(x?1)?x

A.P2，P

3x2y23a4.設F1,F2是橢圓E: 2?2?1(a?b?0)的左右焦點，P為直線x?上的一點，△F2PF1是底角為30?的等

2ab

腰三角形，則E的離心率為

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知{an}為等比數列，a4?a7?2，a5a6??8，則a1?a10?

A.7

B.5

C.?5

D.?7

6.如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數N(N?2)和

A.A?B為a1,a2,?,aN的和 B.實數a1,a2,?,aN，輸出A，B，則

11.已知三棱錐S?ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC?2，則此棱錐的體積為

A.26

B.6C.23

D.2

12.設點P在曲線y?

e上，點Q在曲線y?ln(2x)上，則|PQ|的最小值為 2

B.A?B

為a1,a2,?,aN的算術平均數 2

A.1?ln22(1?ln2)C.1?ln2

D.2(1?ln2)

C.A和B分別是a1,a2,?,aN中最大的數和最小的數 D.A和B分別是a1,a2,?,aN中最小的數和最大的數

二、填空題.本大題共4小題，每小題5分.13.已知向量a，b夾角為45?，且|a|?1，|2a?b|?，則|b|?

7.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的? ?x?y??1 14.設x,y滿足約束條件?

?x?y?30則Z?x?2y的取值范圍為.?x?? ?y?0

15.某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設

三個電子元件的使用壽命（單位：小時）服從正態分布

N(1000,502)，且各元件能否正常工作互相獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為.16.數列{a n}滿足an?1?(?1)nan?2n?1，則{an}的前60項和為.三、解答題：解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，acosC?asinC?b?c?0.(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a?2，△ABC的面積為3，求b，c.18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.(Ⅰ)若花店某天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n?N）的函數解

析式；（以

（ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列、數學期望及方差；

（ⅱ）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC?A

11B1

中，AC?BC?

2AA1，D是棱AA1的中點，DC1?BD(Ⅰ)證明：DC1?BC

(Ⅱ)求二面角A1?BD?C1的大小.19.20.（本小題滿分12分）

設拋物線C:x2?2py(p?0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于

B、D兩點

(Ⅰ)若?BFD?90?，△ABD面積為42，求p的值及圓F的方程；

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分，作答時請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點.若CF//AB，證明：(Ⅰ)CD?BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.(Ⅱ)若A、B、F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n的距離的比值.21.（本小題滿分12分）已知函數f(x)?f?(1)e

1?f(0)x?

2x.(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調區間；(Ⅱ)若f(x)?

?ax?b，求(a?1)b的最大值

23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程

已知曲線C?x?2cos?

1的參數方程是?

?3sin?

（?為參數），以坐標原點為極點，?yx軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線

C2的極坐標方程是??2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2,?).(Ⅰ)點A，B，C，D的直角坐標；

(Ⅱ)設P為C2

1上任意一點，求|PA|?|PB|2

?|PC|2

?|PD|2的取值范圍.24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知函數f(x)?|x?a|?|x?2|.(Ⅰ)當a??3時，求不等式f(x)?3的解集；(Ⅱ)f(x)?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍.參考答案

1-12：DACCDCBCABAB 13、14、??3,3?.15、又

DC1?BD，DC1DC?D，?DC1?平面BDC.16、1830.8

BC?平面BDC,?DC1?BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)

知，DC1，BC1，又已知DC1?BD，?BD?.17、解：(Ⅰ)

由acosCsinC?b?c?0及正弦定理可得

sinAcosCAsinC?sinB?sinC?

0,在Rt△ABD中，BD,AD?a,?DAB?90，?AB?

2?AC?BC?AB，?AC?BC..sinAcosCAsinC?sin?A?C??sinC?

0, AsinC?cosAsinC?sinC?0,sinC?

0,A?cosA?1?0,取A1B1的中點E，則易證

C1E?平面BDA

1，連結DE，則C1E?BD，已知DC1?BD，?BD?平面DC1E，?BD?DE，????1??

?2sin?A???1?0,sin?A???,6?6?2??

0?A??，???A??

666，?A?

(Ⅱ)

??C1DE是二面角A1?BD?C1平面角.?1，??

CDE?30.??

在Rt△C1DE中，sin?C

1DE?

?A?

C1E

?C1D

即二面角A1?BD?C1的大小為30.20、解:（Ⅰ)由對稱性可知,△BFD

為等腰直角三角形,斜邊上的高為p,斜邊長BD?2p.1??bc?4，S△

ABC?bcsinA?

3解得b?c?2.a?2,A?

?，?a?b?c?2bccosA?b?c?bc?4，?b?c?8.2222

2點A到準線l的距離d?FB?FD?由S△ABD?,.18、解：(Ⅰ)y??

??10n?80,?n?15?（n?N）； ??80,?n?16?

1?BD?d??2p?2

2?p?2.圓F的方程為x??y?1??

8.(Ⅱ)（ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，X的分布列為

X的數學期望E?X?=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差D?X?=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.（ⅱ）若花店計劃一天購進17

X(Ⅱ)由對稱性,不妨設點A?xA,yA?在第一象限,由已知得線段AB是圓F的在直徑,?ADB?90o,?BD?2p,?yA?

直線m的斜率為

kAF?

p,代入拋物線C:x2?2py得xA.2

X的數學期望E?X?=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因為76.4?76，所以應購進17枝玫瑰花.19、(Ⅰ)證明：設AC?BC?

.直線m的方程為x?

0.?

2由x?2py 得y?,y??.p2p

AA1?a，2

直三棱柱ABC?A1B1C1，?DC1?DC?，CC1?2a，由y??

?DC12?DC2

?CC12，?DC

1?DC.p?x?p.故直線n與拋物線C的切點坐標為, x?, ??3p3?6?

直線n的方程為x?0.所以坐標原點到m，n

?3.21、解:(Ⅰ)f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x,令x?1得,f(0)?1,再由f(x)?f?(1)ex?

1?f(0)x?12

2x,令x?0得f??1??e.所以f(x)的解析式為f(x)?ex

?x?122

x.f?(x)?ex?1?x,易知f?(x)?ex?1?x是R上的增函數,且f?(0)?0.所以f?(x)?0?x?0,f?(x)?0?x?0,所以函數f(x)的增區間為?0,???,減區間為???,0?.(Ⅱ)若f(x)?

x?ax?b恒成立, 即h?x??f(x)?12

x2?ax?b?ex

??a?1?x?b?0恒成立，h??x??ex??a?1?,(1)當a?1?0時,h??x??0恒成立, h?x?為R上的增函數,且當x???時, h?x????,不合題意;(2)當a?1?0時,h?x??0恒成立, 則b?0,(a?1)b?0;

(3)當a?1?0時, h??x??ex

??a?1?為增函數,由h??x??0得x?ln?a?1?,故f?(x)?0?x?ln?a?1?,f?(x)?0?x?ln?a?1?,當x?ln?a?1?時, h?x?取最小值h?ln?a?1??

?a?1??a?1?ln?a?1??b.依題意有h?ln?a?1???a?1??a?1?ln?a?1??b?0, 即b?a?1??a?1?ln?a?1?,a?1?0,??a?1?b??a?1?2??a?1?2

ln?a?1?,令u?x??x2

?x2

lnx?x?0?,則u??x??2x?2xlnx?x?x?1?

2lnx?,u?(x)?0?0?xu?(x)?0?x,所以當x?, u?x

?取最大值u

.故當a?1?b?e2

時, ?a?1?b取最大值2.綜上, 若f(x)?

12x2

?ax?b，則(a?1)b的最大值為e2

.22、證明：(Ⅰ)∵D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，∴DE//BC.CF//AB,DF//BC,?CF

BD且 CF=BD，又∵D為AB的中點，?CF

AD且 CF=AD，?CD?AF.CF//AB，?BC?AF.?CD?BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC

GF，?GB?CF?BD，?BGD??BDG??DBC??BDC

?△BCD∽△GBD.23、解：(Ⅰ)依題意，點A，B，C，D的極坐標分別為.所以點A，B，C，D的直角坐標分別為、(、(?1,、?1)；(Ⅱ)設P?2cos?,3sin??，則 |PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|

2??

1?2cos??2

3sin?

2cos??

??1?3sin??2

?1?2cos??2

3sin?

?2cos?

???1?3sin??2

?16cos2??36sin2??16?32?20sin2???32,52?.所以|PA|2

?|PB|2

?|PC|2

?|PD|2的取值范圍為?32,52?.24、解：(Ⅰ)當a??3時，不等式f(x)?3? |x?3|?|x?2|?3

? ???

x?2??2?x?3??x?????x?3???x?2??3或?????x?3???x?2??3或?3

?x?3???x?2??3 ?或x?4.所以當a??3時，不等式f(x)?3的解集為?

xx?1或x?4?.(Ⅱ)f(x)?|x?4|的解集包含[1,2]，即|x?a|?|x?2|?|x?4|對x??1,2?恒成立，即|x?a|?2對x??1,2?恒成立，即?2?a?x?2?a對x??1,2?恒成立，所以???2?a?1

2?a?2，即?3?a?0.?所以a的取值范圍為??3,0?.

第五篇：四川省綿陽市2018屆高三上學期一診數學試卷(理科) 含解析

2017-2018學年四川省綿陽市高三（上）一診數學試卷

（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1.設集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，則A∩B=（）A.（2，4）B.{2，4} C.{3} D.{2，3} 【答案】D 【解析】由題意，得；故選D.2.若x＞y，且x+y=2，則下列不等式成立的是（）A.x＜y B.【答案】C 【解析】因為，且，所以，即，則

；故選C.2

2，則 C.x＞1 D.y＜1

223.已知向量 =（x﹣1，2），=（x，1），且∥，則A.B.2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因為故選D.，所以，解得，則

=（），；點睛：利用平面向量的坐標形式判定向量共線或垂直是常見題型：已知4.若，則，則tan2α=（）

D.，.A.﹣3 B.3 C.【答案】D 【解析】因為，所以，則；故選D.5.某單位為鼓勵職工節約用水，作出如下規定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5元收費．某職工某月繳水費55元，則該職工這個月實際用水為（）立方米． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】設該職工的月實際用水為x立方米，所繳水費為y元，由題意得

，即。

根據題意得該職工這個月的實際用水量超過10立方米，所以解得。選C。

x06.已知命題p：?x0∈R，使得e≤0：命題q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，則a﹣b=﹣1，下列命題為真命題的是（）A.p B.?q C.p∨q D.p∧q 【答案】B 【解析】因為函數的值域為，所以命題為假命題，為真命題；故選B.7.在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A 【解析】當時，時，“，所以成立，此時，成立；當，所以不成立；綜上知“

時，如取”是”的”的充分不必要條件，選A.cos?x（?＞0）圖象的最高點與相鄰最低點的距離是

，若將8.已知函數f（x）=sin?x+y=f（x）的圖象向右平移個單位得到y=g（x）的圖象，則函數y=g（x）圖象的一條對稱軸方程是（）A.x=0 B.【答案】C 【解析】因為

圖象的最高點

與相鄰最低點的距離 C.D.為，所以，即，解得，則將的，即圖象向右平移個單位，得到是函數的對稱軸方程，經驗證，得

到的圖象，令

是其中一條對稱軸方程；故選C.的變換是易錯點，要注意，而不是

.點睛：在處理三角函數的圖象變換時，由平移的單位僅對于自變量（）而言，若本題中的圖象向右平移個單位，應是9.已知0＜a＜b＜1，給出以下結論： ① ；② ③

④

則其中正確的結論個數是（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B 【解析】易知，正確，錯誤；故選B.210.已知x1是函數f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零點，x2是函數g（x）=x﹣2ax+4a+4的零點，且滿足|x1﹣x2|≤1，則實數a的最小值是（）A.2﹣2 B.1﹣2 C.﹣2 D.﹣1 【答案】D 【解析】因為單調遞增，即為，顯然在，所以當，即函數有零點，（1）若，即，②若

時，單調遞減，當，因為，即

或，此時，若

時，所以的零點在[﹣

存在唯一零點，即符合題意；（2）若2，0]上只有一個零點，則，解得

在[﹣2，0]上有兩個零點，則

；故選D.，即的最小值為點睛：本題考查兩個函數的零點問題，難點是根據二次函數的零點分布情況求參數；利用二次函數的零點分布求參數，往往是看二次函數的開口方向、判別式的符號、對稱軸與所給區間的關系、區間端點函數值的符號進行判定.11.已知a，b，c∈R，且滿足b2+c2=1，如果存在兩條互相垂直的直線與函數f（x）=ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則a+A.[﹣2，2] B.C.的取值范圍是（）D.【答案】B 【解析】∵函數∴則則存在則故；故選B．，其中，的圖象都相切，得，，若存在兩條互相垂直的直線與函數，使，由，其中點睛：求有關三角函數的最值或值域問題，主要有以下題型： ①化為形成②形如“行求解.12.若存在實數x，使得關于x的不等式成立，則實數a的取值集合為（）

A.{} B.[，+∞）C.{} D.[，+∞）【答案】C 【解析】不等式表示點

，即為距離的平方不超過，即最大值為．由相切的直線的切點為，在直線

上，解得，+x2﹣2ax+a2≤（其中e為自然對數的底數）

型：一般是利用二倍角公式、兩角和差公式、配角公式進行恒等變，再利用三角函數的單調性進行求解；

”，一般是利用換元思想（令），再利用二次函數的性質進設與直線平行且與切點為，可得切線的斜率為，由切點到直線的距離為直線上的點與曲線，解得，則的取值集合為的距離的最小值，可得

；故選C．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13.已知變量x，y滿足約束條件【答案】3 【解析】將直線化為，作出可行域和目標函數基準直線

（如圖所示）．當

，則z=2x+y的最小值是_____．

向左上方平移時，直線在軸上的截距增大，由圖象可知當直線經過點時，z取得最小值，最小值為．

14.已知偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，則x的取值范圍是_____．【答案】

【解析】∵函數f（x）為偶函數，且在[0，+∞）上單調遞增，∴f（x）為偶函數，且在(-∞,0）上單調遞減。

由題意得不等式f（2x+1）＜1等價于f（2x+1）＜f（2），∴解得或。

。答案：

。，所以原不等式的解集為15.在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，過點A作AM⊥BC，垂足為M，若點N滿足則 =_____．

【答案】

【解析】以為原點，以直角坐標系，在由余弦定理可得∴，∴，中，所在的直線為軸，以

所在的直線為軸，建立如圖所示的平面

，由正弦定理可得，得，∵∴，在中，∵點滿足∴∴∴∴，，.16.如果{an}的首項a1=2017，其前n項和Sn滿足Sn+Sn﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），則a101=_____．【答案】1917 【解析】∵∴即∴故∴數列則

三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17.在△ABC中，D是邊BC上一點，且，BD=2．，的所有奇數項構成以

.為首項，以

為公差的等差數列，，，∴，（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面積．

【答案】（1）（2）【解析】試題分析：

（1）利用正弦定理，根據角的范圍寫出角，利用內角和即可求出；（2）利用余弦定理求出邊長CD，再根據面積公式即可求出.試題解析：

（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理得∴ ．，∴，(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：即，整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，∴ S△ABC=

．

點睛：解決三角形中的角邊問題時，要根據條件選擇正余弦定理，將問題轉化統一為邊的問題或角的問題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.18.設公差大于0的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比數列，記數列（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若對于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求實數t的取值范圍．【答案】（1）（2）

的前n項和為Tn．

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用等差數列前項和公式、通項公式結合等比數列性質列出方程組，求出首項和公差，再利用裂項求和法進行求和；（Ⅱ）分離未知數，利用基本不等式進行求解.試題解析：（Ⅰ）設{an}的公差為d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化簡得a1+d=5，①…

又∵a1，a4，a13成等比數列，∴a4=a1a13，即（a1+3d）=a1（a1+12d），化簡得3d=2a1，②… 聯立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴∴（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴∴t＜162．

點睛：裂項抵消法是一種常見的求和方法，其主要適用于以下題型； ①③；②

.的部分圖象如圖所示．

； ≥6，當且僅當n=3時，等號成立，≥162，…，…，． 2219.若函數f（x）=Asin（?x+φ）（A＞0，（I）設x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值為，求實數λ的值．

【答案】（1）（2），進而求出值，可得函數【解析】試題分析：（Ⅰ）由函數的圖象求出最值和周期，可得的解析式，再利用和差公式進行求解；；（Ⅱ）分類討論滿足條件的實數的值，綜合討論結果，可得答案.試題解析：（Ⅰ）由圖得，A=2． …，解得T=π，于是由T=∵∴∴由已知因為∴∴==

． …，…，于是0≤≤1．…

=0時，g（x）取得最大值1，與已知不符． ≤，=，即． …，即，所以

．，，得ω=2．…，即，k∈Z，又，故，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===∵x∈∴0≤①當λ＜0時，當且僅當②當0≤λ≤1時，當且僅當由已知得2λ+1=，解得λ=． ③當λ＞1時，當且僅當

2=λ時，g（x）取得最大值2λ+1，2=1時，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．綜上所述，λ=．…

點睛：由三角函數的圖象求函數低點的縱坐標列出關于的方程組求得值的解析式的一般思路：先利用最高點和最，利用相鄰零點間的距離、相鄰對稱軸間的距離、零點和對稱軸間的距離求出值，再代入最高點或最低點的坐標求出值.20.已知函數f（x）=kex﹣x3+2（k∈R）恰有三個極值點xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．（I）求k的取值范圍：（II）求f（x2）的取值范圍．【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，整理得進行求解；（Ⅱ）求出函數的導數，求出可.試題解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2．由題知方程ke﹣3x=0恰有三個實數根，整理得．… x2，令，根據函數的單調性的范圍即的解析式，根據函數的單調性求出令，則，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上單調遞增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上單調遞減．… 于是當x=0時，g（x）取得極小值g（0）=0，當x=2時，g（x）取得極大值

． …

且當x→﹣∞時，g（x）→+∞；當x→+∞時，g（x）→0，∴．…

2（Ⅱ）由題意，f'（x）=ke﹣3x=0的三個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…

∴令μ（x）=﹣x+3x+2（0＜x＜2），則μ'（x）=﹣3x+6x=﹣3x（x﹣2），當0＜x＜2時，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）單調遞增，… ∴f（x2）∈（2，6）． …

21.已知函數f（x）=axlnx﹣x+l（a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；

（II）求證：當，n∈N*時，【答案】（1）1（2）見解析

232，…

試題解析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，與已知矛盾．…

若a=0，則f（x）=﹣x+1，顯然不滿足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．… 若a＞0，對f（x）求導可得f'（x）=alnx+a﹣1．由f'（x）＞0解得∴f（x）在（0，∴f（x）min=，由f'（x）＜0解得0＜）上單調遞減，在（=1﹣a

． …

≥0成立，即

≤恒成立．，+∞）上單調遞增，∴要使f（x）≥0恒成立，則須使1﹣a兩邊取對數得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即須此式成立．令g（a）=lna+﹣1，則，顯然當0＜a＜1時，g'（a）＜0，當a＞1時，g'（a）＞0，于是函數g（a）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，∴g（a）min=g（1）=0，即當且僅當a=1時，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1滿足條件．綜上，a=1．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1時，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞

恒成立．

令（n∈N*），即＞，即同理，…，…，，…

將上式左右相加得：

==ln4．=2ln2…

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）設

（α為參數），以坐標原點O，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點的A，B兩點，求△AOB的面積．

【答案】（1）ρ=6cosθ+8sinθ．（2）........................試題解析：（1）∵曲線C的參數方程是

（α為參數），2∴將C的參數方程化為普通方程為（x﹣3）+（y﹣4）=25，即x+y﹣6x﹣8y=0． …

∴C的極坐標方程為ρ=6cosθ+8sinθ． …（2）把∴把∴∴S△AOB=代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

． …，2223.已知函數f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；

（2）記f（x）的最小值是m，正實數a，b滿足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）的【解析】試題分析：（Ⅰ）利用零點分段討論法進行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函數最值，再利用基本不等式進行求解.試題解析：（1）當x≤

時，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，綜合得x≤﹣2，… 當時，f（x）=4，顯然f（x）≥6不成立，…

當x≥時，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，綜合得x≥1，…

所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4． … ∵a?2b≤，…，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥∴a+2b的最小值為

，．…

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高考數學試卷（理科）（新課標ⅰ）（含解析版）,14版（5篇）

第一篇：高考數學試卷（理科）（新課標ⅰ）（含解析版）,14版

第二篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)答案與解析

第三篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)

第四篇：2013年高考理科數學試卷及答案---全國卷(新課標版)word版A3版

第五篇：四川省綿陽市2018屆高三上學期一診數學試卷(理科) 含解析

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