第一篇：高中數學必修二 兩條直線的平行與垂直

2.1.3 兩條直線的平行與垂直

重難點：能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運用，把研究兩條直線的平行或垂直問題，轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題．

經典例題：已知三角形的兩個頂點是B(2,1)、C(-6, 3), 垂心是H(-3, 2), 求第三個頂A的坐標．

當堂練習：

1．下列命題中正確的是（）

A．平行的兩條直線的斜率一定相等B．平行的兩條直線的傾斜角相等

C．斜率相等的兩直線一定平行D．兩直線平行則它們在y軸上截距不相等

2．已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0,且在y軸上的截距為，則m,n的值分別為（）

A．4和3B．-4和3C．-4和-3D．4和-

33．直線:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,則在兩坐標軸上的截距的和（）

A．-1B．-2C．2D．6

4．兩條直線mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的條件是（）

A.m=1B．m=1C．D．或

5．如果直線ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同時平行于直線x-2y+3=0,則a、b的值為（）

A．a=, b=0B．a=2, b=0C．a=-, b=0D． a=-, b=

26．若直線ax+2y+6=0與直線x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，則a等于（）

A．-1或2B．-1C．2D．

7．已知兩點A（-2，0），B（0，4），則線段AB的垂直平分線方程是（）

A．2x+y=0B．2x-y+4=0C．x+2y-3=0D．x-2y+5=0

8．原點在直線上的射影是P（-2，1），則直線的方程為（）

A．x+2y=0B．x+2y-4=0C．2x-y+5=0D．2x+y+3=0

9．兩條直線x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置關系是（）

A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．與m,n的取值有關

10．方程x2-y2=1表示的圖形是（）

A．兩條相交而不垂直的直線B．一個點

C．兩條垂直的直線D．兩條平行直線

11．已知直線ax－y＋2a＝0與直線(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則a等于（）

A．1B．0C．1或0D．1或－

112．點（4，0）關于直線5x+4y+21=0對稱的點是（）

A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）

13．已知點P（a,b）和點Q(b-1,a+1)是關于直線對稱的兩點，則直線的方程為（）

A．x+y=0B．x-y=0C．x+y-1=0D．x-y+1=0

14．過點M（3，-4）且與A（-1，3）、B（2，2）兩點等距離的直線方程是__________________．

15．若兩直線ax＋by＋4＝0與(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于點(0, m)，則a＋b＋m的值是_____________________．

16．若直線 1：2x-5y+20=0和直線2：mx-2y-10=0與坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓，則實數m的值等于 ________．

17．已知點P是直線 上一點，若直線 繞點P沿逆時針方向旋轉角（00<<900）所得的直線方程是x-y-2=0, 若將它繼續旋轉900-，所得的直線方程是2x+y-1=0, 則直線 的方程是___________．

18．平行于直線2x+5y-1=0的直線與坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程．

19．若直線ax+y+1=0和直線4x+2y+b=0關于點（2，-1）對稱，求a、b的值．

20．已知三點A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求經過點A并且與直線BC垂直的直線的方程．

21．已知定點A（-1，3），B（4，2），在x軸上求點C，使AC

參考答案：

經典例題： BC．

解： ACBH，, 直線AB的方程為y=3x-5(1)ABCH，, 直線AC的方程為y=5x+33(2)

由（1）與（2）聯立解得A點的坐標為（-19，-62）.當堂練習：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B;10.C;11.D;12.D;13.D;14.x+3y+9=0 或13x+5y-19=0;15.2或－1;16.-5;17.x-2y-3=0;

18.解：依題意，可設的方程為2x+5y+m=0, 它與x,y軸的交點分別為（-

(0,-

10=0.19.解：由4x+2y+b=0，即

2x+y+=0, 兩直線關于點對稱，說明兩直線平行，a=2.),由已知條件得：,m2=100, ,0）, 直線的方程為2x+5y在2x+y+1=0上取點（0，-1），這點關于（2，-1）的對稱點為（4，-1），又（4，-1）滿足

2x+y+=0, 得b=-14, 所以a=2, b=-14.20.解:kBC==1,kl =-1, 所求的直線方程為y=-(x-1),即x+y-1=0.21.解：設C(x,0)為所求點，則kAC=, kBC=ACBC,kAC kBC=-1, 即

x=1或x=2,故所求點為C（1，0）或C（2，0）.

第二篇：兩直線平行與垂直的判定[推薦]

3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定

授課時間：第八周一、教學目標

1．知識與技能

理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.2．過程與方法

通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用正確知識解決新問題的能力，以及數形結合能力.3．情感、態度與價值觀

通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式，激發學生的學習興趣.二、教學重點、難點

重點：兩條直線平行和垂直的條件.難點：啟發學生，把研究兩條直線的平行或垂直問題，轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題.三、教學方法

嘗試指導與合作交流相結合，通過提出問題，觀察實例，引導學生理解掌握兩條直線平行與垂直的判定方法.教學設想

第三篇：兩條直線平行于垂直

班級_______姓名________小組____層次_____

學科_數學_主備人________第___課時使用時間_________

兩條直線平行于垂直

班級_______姓名________小組____層次_____

第四篇：《直線平行與垂直的判定》說課稿

作為一名無私奉獻的老師，常常需要準備說課稿，說課稿有助于提高教師的語言表達能力。優秀的說課稿都具備一些什么特點呢？以下是小編為大家整理的《直線平行與垂直的判定》說課稿，歡迎大家分享。

課題：§ 3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定

教材：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）必修（二）第三章第一節第二部分內容

課時：1課時

下面，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學媒體設計、教學過程設計及教學評價設計六個方面對本節課的思考進行說明。

一、背景分析：

1、學習任務分析：

直線與方程是平面解析幾何初步的第一章，主要內容是用坐標法研究平面上最基本、最簡單的幾何圖形——直線。學習本章，既能為進一步學習解析幾何的圓、圓錐曲線、線性規劃、以及導數、微分等做好知識上的必要準備，又能為今后靈活運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎。

本節課是在學生學習了直線的傾斜角、斜率概念和斜率公式等知識的基礎上，進一步探究如何用直線的斜率判定兩條直線平行與垂直的位置關系。核心內容是兩條直線平行與垂直的判定。它既是直線斜率概念的深化和簡單應用，也是后續內容學習的重要基礎。因此，我認為本節課的教學重點為：根據兩條直線斜率判定兩條直線平行與垂直。

用斜率判定兩條直線的位置關系，體現了用代數方法研究幾何問題的思想，這是貫穿于本節乃至本章內容始終的一種思想方法，它是解析幾何研究問題的基本思想，本質還是數形結合。因此體會數形結合的數學思想也是本節課的教學任務之一。

2、學情分析：

在初中數學中，學生已學習過兩條直線平行與垂直的判定。對兩條直線平行與垂直的幾何判斷方法并不陌生，并且具備了一些初步推理能力。但用兩條直線的斜率判定兩條直線平行與垂直，是用代數方法研究幾何問題，學生面對的是一種全新的思維方法，首次接觸會感到不習慣。按說要學好本節內容，學生還需具備三角函數的有關知識，但此前學生并沒有這方面的知識儲備。尤其是對誘導公式的認識是有一定困難的。因而要導出兩條直線垂直的斜率條件，學生會感到困難。因此，我以為本節課的教學難點為：探究兩條直線斜率與兩條直線垂直的關系。

二、教學目標設計：

《課程標準》指出本節課的學習目標是：能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。根據《課標》要求和本節教學內容，并考慮學生的接受能力，我把本節課的教學目標確定為：

1、能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。

2、體驗、經歷用斜率研究兩條直線的位置關系的過程與方法，通過兩條直線斜率之間的.關系解釋幾何含義即初步體會數形結合思想。

3、感受坐標法對溝通代數與幾何、數與形之間聯系的重要作用。

三、課堂結構設計：

本節課從總體上講是一節原理及簡單的應用教學，誘思探究教學理論認為高中的數學課堂應該是學生在自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式下，師生之間、學生之間進行愉快而有效的多邊互動。結合本節課知識的邏輯關系，我按照以下順序安排本節課的教學：

即先讓學生回顧上節課學習的內容創設問題情景，通過學生自主探究，歸納和抽象得出兩條直線平行與垂直的判定條件。然后通過例題和練習使學生鞏固判定條件，接著通過拓展提升，使學生進一步加深對判定條件的理解，最后通過課堂小結提高學生的認識，形成知識體系。

四、教學媒體設計：

根據本節課的教學任務以及學生學習的需要，教學媒體的設計如下：

1、多媒體輔助教學：

制作高效實用的多媒體課件。其一，在探索兩條直線垂直的判定條件時，利用幾何畫板展示探究的過程，讓學生直觀感知、操作確認自己的猜想是正確的,加深學生對判定條件的理解。其二，改變相關內容的呈現方式，節約課時，增加課堂容量。

2、設計科學合理的板書：為使學生對本節課所學習的內容有一個整體的認識，教學時將重要內容進行板書，如：

§3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

結論1： 結論2、例1、例2、變式訓練1： 變式訓練2：

五、教學過程設計：

下面我就課堂教學的各個環節的設計做簡單的說明。

（一）創設情景，引入新課：

活動一：

1、什么叫傾斜角？它的范圍是什么？

2、什么叫斜率？如何計算呢？

3、已知直線 經過A（1，3）、B（－1，－1），直線 經過C（2，2）、D（1，0）①計算直線 的斜率； ②在直角坐標系中畫出直線。

給學生約30秒的時間思考問題1、2，請學生口述答案，老師強調注意的條件。通過解決問題3，學生發現k1= k2，并觀察出 是平行的，學生很自然發現兩條直線的斜率與位置有著某種聯系，從而引出本節課的課題。

設計意圖：一方面通過回顧，鞏固上節課的教學內容，并為本節課做好知識方面的準備。另一方面也為引出本節課的課題。同時也是為了培養學生發現問題，提出問題的能力，激發學生運用舊知探求新知的欲望。也是為了體現由特殊到一般的認知規律。

（二）新知的探究與應用：

1、兩條直線平行的判定：

說明：為了降低難度，設定兩條直線不重合且有斜率存在。

（1）設置問題，歸納結論

設兩條直線 與 的斜率分別為 與。

活動二：

1、當 時，與 滿足怎樣的關系？

給學生約30秒的時間思考、整理，請學生表述推導過程，教師板演。

歸納：。

2、反之，當 時，兩條直線 與 有怎樣的位置關系？

學生通過思考，很快得出直線，但要明確其中的原理勢必受到三角函數基礎知識的限制，教師可給予適當的講解。

歸納：

結論：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

設計意圖：（1）培養學生運用已有知識解決新問題的能力；（2）培養學生自主探究問題的習慣；（3）讓學生體驗探究兩條直線斜率與直線的位置關系的過程，更好的理解兩直線平行的條件。

（2）應用舉例：

例1、已知A（2，3），B（－4，0）P（－3，2），Q（－1，3），試判斷直線AB與直線PQ的位置關系,并證明你的結論.給學生約1分鐘的時間思考，然后老師進行簡要的分析，最后由師生共同完成證明過程。

設計意圖：直接應用新知解決數學問題，同時也為學生規范表達數學過程做出示范。體會用代數方法解決幾何問題的思想方法。

變式訓練1：已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A（-7，0）、B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9），試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。

由學生獨立完成，其中一人上黑板板演，教師巡視并給予必要的指導.在做完此題時，細心的學生會發現它可能還是一個正方形，如何判斷呢？引出下一個探究的問題：斜率之間有何關系時兩條直線垂直？

設計意圖：（1）培養學生應用新知獨立解決數學問題的能力。（2）為了發現問題，提出問題。也為下一環節做好鋪墊。

2、兩條直線垂直的判定：

說明：為了降低難度，設定兩條直線的斜率是存在。

（1）設置問題，歸納結論

活動三：

1、當 時，它們的斜率k1與k2有何關系？

探究：(1)直線 且 的傾斜角為300，的傾斜角為1200，k1與k2的關系.(2)直線 且 的傾斜角為600，的傾斜角為1500，k1與k2的關系

由學生自主探究，得出。

猜想：任意兩條直線垂直時，此時老師利用幾何畫板直觀演示任意兩條相互垂直時直線斜率之積為-1.，驗證猜想的可靠性。

提出問題：我們能否證明上述結論呢？

該結論的證明過程涉及到三角函數的相關知識，學生無法完成。教師通過分析、講解，完成證明過程。

歸納：

2、反之，當 時，直線 與 有怎樣的位置關系？

學生思考后得出 與 是垂直的。由于結論的證明涉及三角函數的相關知識，完成證明很困難，老師利用幾何畫板直觀演示，驗證兩條直線的斜率之積為-1，它們是相互垂直的即可。

歸納：

結論：如果兩條直線有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即

設計意圖：（1）為了更容易突破本節課的教學難點，更好的理解兩直線垂直的條件。（2）為了使學生的認識符合從具體到抽象，從特殊到一般的認知規律。（3）充分滲透了數形結合的數學思想。

（2）應用舉例：

例2：已知A（－6，0）、B（3，6）、P（0，3）、Q（6，－6），試判斷直線AB與直線PQ的位置關系。

給學生約30秒的時間思考，然后老師進行簡要的分析，最后由師生共同完成證明過程。接著與學生一同解決變式訓練1提出的判斷平行四邊形ABCD是否是正方形，前后呼應，給學生留下一個完整的影響。

設計意圖：直接應用新知解決數學問題，同時也為學生規范表達數學過程做出示范。體會用代數方法解決幾何問題的思想方法。

變式訓練2： 判斷下面兩條直線的位置關系：

直線 經過兩點A（3，1），B（－2，0）,直線 經過點P（1，－4），且斜率為－5，則 __。（學生思考，口答即可）。

變式訓練3：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三點，試判斷△ABC的形狀。

由學生獨立完成，其中一人上黑板板演，教師巡視并給予必要的指導.設計意圖：（1）培養學生應用新知獨立解決數學問題的能力。(2)體會用代數方法解決幾何問題的思想方法。

（三）拓展提升：

1、若直線 的斜率不存在，則直線 的斜率為多少時？直線 和 ：

（1）平行；（2）垂直。

給學生約30秒的時間思考，請一位學生口述答案，教師在黑板上畫出相應結論的圖像。

歸納（一般情況）：

2.若直線 與 的斜率相等，則 與 一定平行嗎？

給學生約30秒的時間思考，請一位學生口述答案，教師出示結果。

（此結論是利用斜率證明三點共線的）

變式訓練3：

已知A（1，－1）、B（2，1）、C（0，－3），這三點是否在同一條直線上，為什么？

設計意圖：對特殊情況做出補充：即直線的斜率不存在時，兩條直線平行與垂直的判定方法。使得學生對平行與垂直的判定有更全面的認識。拓寬學生的知識面，使所學的知識系統化。

（四）課堂小結：

1、本節課我們學習了哪些新知識？新方法？

2、在應用這些新知識時應注意哪些問題？

3、在本節課的學習中運用了哪些數學思想？

學生發言,相互補充,教師點評,然后師生共同概括總結：

知識：

1.兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

2.如果兩條直線有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即

方法：代數方法研究幾何問題。

思想：數行結合思想。

設計意圖：通過對所學內容進行小結，使學生既學習了知識又培養了能力，并對所學內容有一個更全面的認識。

（五）、布置作業：

1、課本p89習題3.1 a組 6、72、思考題：

已知三個點A（2，2），B（－5，1），C（3，－5），試求第四個點d的坐標，使這四個點構成平行四邊形。

設計意圖：（1）作業1是直接應用，模仿練習。

（2）作業2是供學有余力的學生選做。旨在培養學生創造性的能力。

六、教學評價設計：

評價方式的轉變是課程改革的一大亮點。課標指出：相對于結果，過程更能反映每個學生的發展變化，體現出學生成長的歷程。因此，數學學習的評價既要重視結果，也要重視過程。結合“課標”對數學學習的評價建議，對本節課的教學我主要通過以下幾種方式進行：

1、通過學生的自主探究、合作交流、以及與學生的問答交流，發現其思維過程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進行定性的評價。

2、在學生討論、交流、合作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態度和表現做出評價，以此來調動學生參與活動的積極性。

3、通過應用來檢驗學生學習的效果，并在講評中，肯定優點，指出不足。

4、通過作業，反饋信息，再次對本節課做出評價，以便查漏補缺。

以上是我對本節課的一些說明，不妥之處，敬請各位老師批評指正。謝謝﹗

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第五篇：兩條直線平行與垂直的判定學案

高一數學教學設計方案

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定課時：

2學習目標：

1.探究兩條直線平行的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行。

2.探究兩條直線垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否垂直。

3.自主學習，合作探究。培養和提高聯系、對應、轉化等辯證思維能力。

重點：兩直線平行、垂直的充要條件，會判斷兩直線是否平行、垂直。

難點：斜率不存在時兩直線垂直情況討論。

學習過程

一、預習：1.閱讀教材P86----89.2.兩直線平行的判定

（1）對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，若l1∥l2，則_________；

反之，若k1=k2，則__________。

（2）如果直線l1、l2的斜率都不存在，那么它們的傾斜角都是__________，從而它們互相

__________。

3.兩直線垂直的判定

（1）若兩直線l1、l2都有斜率，分別為k1、k2，且它們互相垂直，則它們的斜率之積等于

_________；反之若它們的斜率之積等于—1，則它們___________，即___________。

（2）若兩條直線中一條斜率不存在，另一條的斜率為___________，則它們互相垂直。

4.思維拓展

（1）若兩條直線平行，斜率一定相等嗎？

（2）若兩條直線垂直，它們斜率之積一定為—1嗎？

5.知識應用

（一）判斷兩條直線的平行關系

例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），試判斷直線BA與PQ的位置關系，并證明你的結論.例2.已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.跟蹤練習1：已知平行四邊形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）求點D坐標

（二）判斷兩條直線的垂直關系

例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，試判斷直線AB與PQ的位置關系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，試判斷三角形ABC的形狀.二.課堂小結：

三..基礎自測

(1)判斷下列直線的位置關系，并說明理由。

① l1: y=3x+2,l2: y=3x+5② l1: x=5,l2: x=8

③ l1: 5x+3y=6,l2: 3x—5y=5④l1: y=5,l2: x=8

(2)已知過A(—2，m)和B(m，4)的直線與斜率為—2的直線平行，則m的值是（）

A、—8B、0C、2D、10

（3）判斷下列各對直線平行還是垂直：

①經過兩點（2,3），（-1,0）的直線l1，與經過點（1,0）且斜率為1的直線l2；

②經過兩點（3,1），（-2,0）的直線l3，與經過點（1,-4）且斜率為-5的直線l4；

（4）求m的值，使過點A(m，1)，B(—1，m)的直線與過點P(1，2)、Q(—5，0)的直線

①平行② 垂直

作業：課本P89習題3.1A組1-8