第一篇：【金版學案】2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第六章 第一節不等關系與不等式 理
第六章不等式、推理與證明
本章內容主要包括兩個內容：不等式、推理與證明．
不等式主要包括：不等式的基本性質、一元二次不等式的解法、基本不等式的應用、簡單的線性規劃問題、不等式的證明與應用．
推理與證明主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數學歸納法等內容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數學的方方面面的知識，代表研究性命題的發展
1趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及，該部分命題的方向主要會在函數、三角、數列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較?。?/p>
廣東高考在這一章的命題上呈現以下特點：
1．考查題型以選擇題、填空為主，偶以解答題形式出現，但多數是解答題中的一部分，如與數列、函數、解析幾何等結合考查，分值約占10%左右，既有中、低檔題也會有高檔題出現．
2．重點考查不等式解法、不等式應用、線性規劃以及不等式與其他知識的結合，另在推理與證明中將會重點考查．
3．對合情推理與演繹推理及證明方法的考查，主要放在解答題中，偶爾會對數學歸納法進行考查，注重知識交匯處的命題．
預計高考中對本章內容的考查仍將以不等式的解法、基本不等式應用、線性規劃為重點，將推理與證明和其他知識相融合，更加注重應用與能力的考查．
本章內容理論性強，知識覆蓋面廣，因此在復習過程中應注意：
1．復習不等式的性質時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數的運算法則為依據．
2．不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構造法、幾何法，這些方法可作適當了解，但要控制量和度．
3．解(證)某些不等式時，要把函數的定義域、值域和單調性結合起來． 4．注意重要不等式和常用思想方法在解題、證題中的作用．
在復習不等式的解法時，加強等價轉化思想的訓練與復習．解不等式的過程是一個等價轉化的過程，通過等價轉化可簡化不等式(組)，以快速、準確求解．
加強分類討論思想的復習．在解不等式或證不等式的過程中，如含參數等問題，一般要對參數進行分類討論．復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理地分類，做到不重不漏．
加強函數與方程思想在不等式中的應用訓練．不等式、函數、方程三者密不可分，相互聯系、互相轉化．如求參數的取值范圍問題，函數與方程思想是解決這類問題的重要方法．
在不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證不等式的過程是一個已知條件向要證結論轉化的過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學生代數推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視．
5．強化不等式的應用．
高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數、數列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵．因此，在復習時應加強這方面的訓練，提高應用意識，總結不等式的應用規律，才能提高解決問題的能力．
如在實際問題應用中，主要有構造不等式求解或構造函數求函數的最值等方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤．
6．利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：“一正、二定、三相等”．
7．要強化不等式的應用意識，同時要注意到不等式與函數、方程的區別與聯系． 對于類比型問題可以說是創新要求的體現，最常見的是二維問題與三維問題的類比，同結構問題的類比(比如圓錐曲線內的類比問題、數列內的類比問題等)，較少對照不同結構的類比問題．關于歸納、猜想、證明是考得比較多、比較成熟的題型了，在復習備考中要把握考試的特點，注重落實．
歸納、演繹和類比推理在數學思維中所占的分量非常重，事實上，在高考中歸納、猜想、證明以及類比、證明這一類題目是?？汲Ｐ碌模?/p>
推理與證明問題綜合了函數、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要采用多種數學方法才能解決問題，如：函數與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學生的知識與能力要求較高，是對學生思維品質和邏輯推理能力、表述能力的全面考查，可
以彌補選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區分度、增強選拔功能的重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為一個熱點題型，并且經常作為壓軸題出現．
第六章 不等式、推理與證明 第一節 不等關系與不等式
了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式組的實際背景.知識梳理
一、不等式的概念
在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”連接兩個數式或代數式以表示它們之間的不等的關系的式子，叫做不等式．
二、實數運算性質與大小順序關系
1．a>b?a－b>0；2.a＝b?a－b＝0；3.a 三、不等式的基本性質 雙向性： 1．定理1(對稱性)：a>b?b 2．定理2(傳遞性)：a>b，b>c?a>c.3．定理3(同加性)：a>b，c為整式或實數?a＋c>b＋c.4.定理3推論(疊加性)： a>bc>d}?a＋c>b＋d.5．定理4(可乘性)： a>bc>0}?ac>bc； a>bc<0}?ac nn* 7．定理4推論2(可乘方性)：a>b>0?a>b(n∈N且n>1)． 8．定理5(可開方性)：a>b>0? 四、不等式性質成立的條件 n n ＞b(n∈N*且n>1)． 1例如，重要結論：a＞b，ab＞0?，不能弱化條件得a＞b?.abab 五、正確處理帶等號的情況 如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，當且僅當a＝b且b＝c時，才會有a＝c.注意：不等式的性質從形式上可分兩類：一類是“?”型；另一類是“?”型．要注意二者的區別． 基礎自測 1．已知a＜0，b＜－1，則下列不等式成立的是() aaaabbbbaaaaC.2＞aD.＞a＞2 bbbb A．a＞B.＞a 解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，驗證知2a成立．也可用作差比較法． 答案：C 2．若0 C．log2a＋log2b＋ 1322 3D．log2(a＋ab＋ab＋b) 2解析：特殊值法．取a＝，b＝，則log2b＝log2 ＝1－log23>1－log24＝－1；log2b 333 －(log2a＋log2b＋1)＝－1－log21＋log23>0； 3223 計算可知，b>a＋ab＋ab＋b，3223 ∴log2b>log2(a＋ab＋ab＋b)．故選B.答案：B 3．已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是____________． a?1a?1b 22 ①＞1 ②a＞b ③lg(a－b)＞0 ④?＜?b?2??2? aa bb 解析：令a＝2，b＝－1，則a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－2，則a abab ?1?x222 ＝1，b＝4，故a＞b不成立；當a－b在區間(0,1)內時，lg(a－b)＜0；f(x)＝??在R ?2? ?1?a?1b 上是減函數，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即??＜?.故④正確． ?2??2? 答案：④ bab＋ma＋n 4．a>b>0，m>0，n>0，則，由大到小的順序是____________． aba＋mb＋n b1ab＋m2a＋n3 解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，則＝2，a2ba＋m3b＋n2 aa＋nb＋mb∴>bb＋na＋ma aa＋nb＋mb答案：>> bb＋na＋ma 1．設a，b為實數，則“0 a A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當0 aa 是“b<”的既不充分也不必要條件．故選D.a 答案：D 2．已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則() A．x 111111 解析：x＝ln π>ln e＝1，y＝log52 22e42e 可得，y＜z＜x.故選 D.答案：D22 1．(2013·江門一模)若x＞0、y＞0，則x＋y＞1是x＋y＞1的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件 解析：先看充分性，222 可取x＝y＝，使x＋y＞1成立，而x＋y＞1不能成立，故充分性不能成立； 若x＋y＞1，因為x＞0，y＞0，22222 所以(x＋y)＝x＋y＋2xy＞x＋y＞1，∴x＋y＞1成立，故必要性成立． 綜上所述，x＋y＞1是x＋y＞1的必要不充分條件． 答案：B 2．(2013·北京西城期末)已知a>b>0，給出下列四個不等式： 22ab－1332 ①a>b ②2>2 ③a－b>a－b ④a＋b>2ab.其中一定成立的不等式為________． 解析：由a>b>0可得a>b，①成立； xab－1 由a>b>0可得a>b－1，而函數f(x)＝2在R上是增函數；∴f(a)>f(b－1)，即2>2，②成立； ∵a>b>0，∴a>b，22 ∴(a－b)－(a－b)＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立； 332332 若a＝3，b＝2，則a＋b＝35,2ab＝36，a＋b<2ab，④不成立． 答案：①②③ 第九節 數學歸納法 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.知識梳理 數學歸納法：對于某些與正整數n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確 *性．先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n＝k(k∈N，k≥n0)時命題成立，證 明當n＝k＋1時命題也成立．這種證明方法就叫做數學歸納法． 用數學歸納法證明一個與正整數(或自然數)有關的命題的步驟： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(例如n0＝1，n0＝2等)時結論正確； *(2)(歸納遞推)假設當n＝k(k∈N，且k≥n0)時結論正確，證明當n＝k＋1時結論也正 確． 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確． 用數學歸納法來證明與正整數有關的命題時，要注意： 遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉． 基礎自測 n21．(2013·深圳月考)用數學歸納法證明“2>n＋1對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取() A．2B．3C．5D．6 n2n2解析：當n≤4時，2>n＋1不成立，n≥5時，2>n＋1成立，所以取n0＝5.答案：C *2．下列代數式中(其中k∈N)，能被9整除的是() kk－1A．6＋6×7B．2＋7 kk＋1C．3(2＋7)D．2(2＋7) k解析：(1)當k＝1時，顯然只有3(2＋7)能被9整除． *nn＋1n(2)假設當k＝n(n∈N)命題成立，即3(2＋7)能被9整除，那么3(2＋7)＝21(2＋7) －36，這就說明，當k＝n＋1時命題也成立．故選C.答案：C 1111113113．(2013·廈門質檢)觀察下列不等式：1>，1＋＋＋?＋1＋223237223 11115*＋?＋>2,1＋＋?＋n個不等式為________(n∈N)． 1523312 111n234解析：3＝2－1,7＝2－1,15＝2－1，可猜測：1＋＋?＋n>.232－12 1 111n 答案：1＋＋?＋> 232－12 4．在數列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式 是________． 1111111 解析：a1＝，a2＝＝a3＝＝，猜想an＝.31×3153×5355×7n－n＋ 答案：an＝ n－n ＋ 111．已知f(x)＝x－.x?2? (1)若x≥1時，證明：f(x)≥ln x； 111n (2)證明：1＋>ln(n＋1)＋n≥1)． 23nn＋ x1111x－2x＋1 證明：(1)設g(x)＝f(x)－ln x＝－－ln x(x≥1)，則g′(x)＝2－＝2 22x2xx22x x－2 ＝≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，即當x≥1時，g(x)≥g(1)＝0，2x 即f(x)≥ln x.1?11?1(2)(法一)由(1)有f(x)＝?x－≥ln x(x≥1)，且當x＞1時，?x－＞ln x.2?x?2?x? 1?k＋1k＋11k＋1k1?1? 令x＝ln －?1＋－?1－?，kk2kk＋12?k??k＋1? 1?1?1 即ln(k＋1)－ln k＜??，k＝1,2,3，?，n.2?kk＋1? 將上述n個不等式依次相加，得 11111 ln(n＋1)＜＋?＋223nn＋111n 整理得1＋＞ln(n＋1)＋.23nn＋ (法二)用數學歸納法證明． (1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝ln 2＋＜1，不等式成立． * (2)假設n＝k(k≥1，k∈N)時，不等式成立，即 111k1＋＋ln(k＋1)＋23kk＋ 1111k1 那么n＝k＋1時，1＋＞ln(k＋1)＋＋ln(k＋1)＋ 23kk＋1k＋k＋1 k＋2 k＋ 11由(1)有f(x)＝x－≥ln x(x≥1)． x?2? k＋21k＋2k＋1k＋2 －，得≥ln＝ k＋12?k＋1k＋2?k＋1 ln(k＋2)－ln(k＋1)． k＋2k＋1 ∴ln(k＋1)＋k＋2)＋k＋k＋ 1111k＋1∴1＋＋?＋ln(k＋2)＋.23kk＋1k＋這就是說，當n＝k＋1時，不等式也成立． * 根據(1)，(2)，可知不等式對任何n∈N都成立． 令x＝ 2．(2012·大綱全國卷)函數f(x)＝x－2x－3.定義數列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過兩點P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標． (1)證明：2≤xn (1)證明：因為f(4)＝4－8－3＝5，故點P(4,5)在函數f(x)的圖象上，故由所給出的兩點P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直線PQn斜率一定存在.故有直線PQn的直線方程為y－5fxn－5x2－54xn＋3n－2xn－8＝x－4)．令y＝0，可求得－5＝x－4)?＝x－4?x＝.xn－4xn－4xn＋2xn＋2 4xn＋3 所以xn＋1＝.xn＋2 下面用數學歸納法證明2≤xn<3.①當n＝1時，x1＝2，滿足2≤x1<3.4xk＋35 ②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，2≤xk<3成立，則當n＝k＋1時，xk＋1＝＝4－，xk＋2xk＋2 55115 由2≤xk<3?xk＋2<5?1<2<≤4－即2≤xk＋1<3也成立． xk＋244xk＋2 綜上可知，2≤xn<3對任意正整數恒成立． 下面證明xn 4xn＋34xn＋3－xn－2xn－xn－＋4 由xn＋1－xn＝xn＝＝ xn＋2xn＋2xn＋2 由2≤xn<3?0<－(xn－1)＋4≤3，故有xn＋1－xn>0，即xn 3＋4xn (2)解析：由(1)及題意得xn＋1＝2＋xn 1511?11設bn＝xn－3，則＋1，5?＋，bn＋1bnbn＋14?bn4??11?3 所以數列?＋是首項為－，公比為5的等比數列． 4?bn4? 1134n－1 因此＋·5，即bn＝－，－1 bn443·5＋1 4* 所以數列{xn}的通項公式為xn＝3－n∈N)． n－1 3·5＋1 1．觀察下表：2 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 設第n行的各數之和為Sn，則Sn＝______________.解析：第一行，1＝1，第二行，2＋3＋4＝9＝3，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝5，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7，歸納：第n行的各數之和Sn＝(2n－1).答案：(2n－1) 2．(2013·揭陽一模改編)已知函數f(x)＝ ax ax>0，a為常數)，數列{an}滿足：a1 1＋x 1*＝an＋1＝f(an)，n∈N.2 (1)當a＝1時，求數列{an}的通項公式； * (2)在(1)的條件下，證明對?n∈N有： nn＋ a1a2a3＋a2a3a4＋?＋anan＋1an＋2n＋n＋ ?1? (1)解析：當a＝1時，an＋1＝f(an)＝，兩邊取倒數，得＝1，故數列?是 1＋anan＋1an?an? an 111* 以2為首項，1為公差的等差數列，所以＝n＋1，an＝n∈N.a1ann＋1 (2)證明：(法一)由(1)知an＝，故對k＝1,2,3，?，n＋11 akak＋1ak＋2＝ k＋k＋k＋111?? ?k＋k＋k＋?2?k＋? 所以a1a2a3＋a2a3a4＋?＋anan＋1an＋2 1?11?1??1＝??＋??＋?＋ 2??2×33×4??3×44×5? 11?? ?n＋?n＋n＋n＋??? 11?1nn＋＝＝?n＋n＋?2?2×3n＋n＋ (法二)①當n＝1時，等式左邊＝＝ 2×3×424 ＋1 等式右邊＝，左邊＝右邊，等式成立； ＋＋24 ②假設當n＝k(k≥1)時等式成立，kk＋即a1a2a3＋a2a3a4＋?＋akak＋1ak＋2＝ k＋k＋ 則當n＝k＋1時，a1a2a3＋a2a3a4＋?＋akak＋1ak＋2＋ak＋1ak＋2ak＋3 ＝kk＋k＋k＋＋1 k＋k＋k ＋＝kk＋k＋＋12k3＋9k2＋20k＋12k＋k＋k＋＝ k＋2k＋k＋＝k2 k＋＋k＋k＋k＋k＋k＋ ＝k＋k＋k ＋k＋k＋k＋ ＝k＋k＋＋5] k＋＋k＋＋3] 這就是說當n＝k＋1時，等式成立，綜①②知對于?n∈N* 有： ann＋5 1a2a3＋a2a3a4＋?＋anan＋1an＋2＝12n＋2n＋ lg 3＋lg 52(3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 5 ?2? n＋n＋ n＋<； (4)利用常用結論： 1①＋1<； ＋1＋k211111111②2－2－程度大)； kkk－k－1kkkk＋kk＋1111111③2 2?(程度小)． kk－1k－k＋2?k－1k＋1? 六、換元法 換元法是指結構較為復雜、量與量之間關系不很明了的命題，通過恰當引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結構，使其轉化為便于研究的形式．換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡．常用的換元有三角換元和代數換元．如： 已知x2＋y2＝a2，可設x＝acos θ，y＝asin θ； 已知x2＋y2≤1，可設x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)； x2y 22＋21，可設x＝acos θ，y＝bsin θ.ab 七、構造法 通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式． 證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、結論的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點． 八、判別式法 含有兩個字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關于某字母的二次式時，可考慮判別式法． 九、數學歸納法 可用于證明與正整數n有關的不等式．(見下一節) 基礎自測 1．lg 9×lg 11與1的大小關系是()A．lg 9×lg 11＝1B．lg 9×lg 11<1 C．lg 9×lg 11>1D．lg 9×lg 11≥1 ?lg 9＋lg 11?2＝?lg 99?2 ?2??2??2? 答案：B 2．設a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，則()A．a>bB．a 解析：因為(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝(2m－n)≥0，所以a≥b.故選D.答案：D x3x2 3．已知實數x，y滿足1≤2≤3，則xy的取值范圍是__________． yy x31y21 解析：由已知得1≤2≤ y3x2 兩式相乘得≤xy≤2.3?1?答案：2 ?3? 2222 4．已知實數a，b，x，y滿足a＋b＝1，x＋y＝3，則ax＋by的最大值為________． 解析：設a＝sin α，b＝ cos α，x＝3sin β，y＝3cos β，則ax＋by＝3sin αsin β＋3cos αcos β＝3(sin αsin β＋cos αcos β)3cos(α－β)≤3，故其最大值是3.答案：3 1．(2013·江蘇卷)已知a≥b>0，求證：2a－b≥2ab－a2b.33222222 證明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b) ＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·重慶卷)設數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求證：{an}是首項為1的等比數列； (2)若a2>－1，求證：Sn≤a1＋an)，并給出等號成立的充要條件． 證明：(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a1a2＋a1，即a2＝a2a1.n a2a1 又由題設條件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1,兩式相減得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1.an＋2 由a2≠0，知an＋1＝a2.an＋1 an＋1 ＝a2對所有n∈N*成立，從而{an}是首項為1，公比為a2的等比數列.an n (2)當n＝1或2時，顯然Sn＝a1＋an)，等號成立.因a2≠0，故a1＝1＝a2.n－1 設n≥3，a2>－1且a2≠0.由(1)知，a1＝1，an＝a2，所以要證的不等式化為：1＋a2＋ nn－1－1 a2≤(1＋an)(n≥3)，2＋?＋a22 n 即證1＋a2＋a22＋?＋a2≤ n＋1 當a2＝1時，上面不等式的等號成立.＋an2)(n≥2)． n－r 當－1 －r 當a2>1時，ar2－1與an－1(r＝1,2，3，?，n－1)同為正． 2 n－r 因此當a2>－1且a2≠1時，總有(ar－1)>0，2－1)·(a2 rn－rn 即a2＋a2<1＋a2(r＝1,2,3，?，n－1).n－r 上面不等式對r從1到n－1求和得2(a2＋a2)<(n－1)(1＋an2)，2＋?＋a2 2nn＋1n 由此得1＋a2＋a2＋?＋a2<＋a2)． 綜上所述，當a2>－1且a2≠0時，有Sn≤a1＋an)，當且僅當n＝1,2或a2＝1時等號 成立.112 1．設0 2m1－2m 解析：由題可知k＋.m1－2m 1222?1－2m2m?又＋?[2m＋(1－2m)]＝4＋2?≥8，m1－2m?2m1－2m??2m1－2m? 當且僅當2m＝1－2m，即m＝.故k的最大值為8.答案：8 2．(2013·廣州調研)若函數f(x)對任意的實數x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2 －x1|，則稱函數f(x)是區間D上的“平緩函數”． (1)判斷g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由； (2)若數列{xn}對所有的正整數n都有|xn＋1－xnyn＝sin xn，求證： n＋2 |yn＋1－y1|<4 (1)解析：g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”，但h(x)＝x2－x不是區間R的“平緩函數”；設φ(x)＝x－sin x，則φ′(x)＝1－cos x≥0，則φ(x)＝x－sin x是實數集R上的增函數，不妨設x1 又y＝x＋sin x也是R上的增函數，則x1＋sin x1 由①，②得－(x2－x1) 取x1＝3，x2＝2，則|h(x1)－h(x2)|＝4>|x1－x2|，n 因此，h(x)＝x2－x不是區間R上的“平緩函數”． (2)證明：由(1)得：g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”，則|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，所以|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.而|xn＋1－xn|≤，n＋2 111?11? 所以|yn＋1－yn|≤－.2<2 n＋4n＋4n4?nn＋1? 因為|yn＋1－y1|＝|(yn＋1－yn)＋(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋?＋(y2－y1)|，所以|yn＋1－y1|≤|yn＋1－yn|＋|yn－yn－1|＋?＋|y2－y1|.所以|yn＋1－y1|≤ 1?11?11?1??－＋－＋?＋1－ 4??nn＋1??n－1n??2??1?1?1＝1－<4?n＋1?4 難點2.2 導數與不等式相結合問題 導數是高中數學選修板塊中重要的部分，應用廣泛，教材中重點介紹了利用導數求切線、判斷單調性、求極值、最值等基礎知識，但是高考數學是以能力立意，所以往往以數列、方程、不等式為背景，綜合考察學生轉化和化歸、分類討論、數形結合等數學思想的應用能力，面對這種類型的題目，考生會有茫然，無所適從的感覺，究其原因是沒有認真分析總結這種題目的特點和解題思路，本文介紹利用導數解決不等式問題的思路，以饗讀者.1.利用導數證明不等式 在初等數學中，我們學習過好多種證明不等式的方法，比如綜合法、分析法、比較法、反證法、數學歸納法等，有些不等式，用初等方法是很難證明的，但是如果用導數卻相對容易些，利用導數證明不等式，主要是構造函數，通過研究函數的性質達到證明的目的.1.1 利用單調性證明不等式 構造函數，利用函數的單調性證明不等式 2例1.【2018廣西賀州桂梧高中聯考】已知函數f?x??x?2xlnx???32x?4x.2（1）若f?x?在?a,a?1?上遞增，求a的取值范圍；（2）證明： f'?x??2?4x.思路分析：（1）要使f?x?在?a,a?1?上遞增，只需f??x??0，且不恒等于0，所以先求得函數的增區間，?a,a?1?是增區間的子區間.（2）當x?11時，2?4x?0，f'?x??2?4x顯然成立.當0?x?時，22即證明f'?x???2?4x???2x?2??lnx?1??2?4x ?0，令g?x???2x?2??lnx?1??2?4x（0?x?1），即求g?x?min?0，由導數可證.2 1?1??1?g'???2ln?4?4??2ln2?0，∴g'?x??0，從而g?x?在?0,?上遞減，∴2?2??2??1?g?x?min?g???1?ln2?0，∴g?x??0，即f'?x??2?4x.綜上，f'?x??2?4x.?2?點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、求函數最值以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，命題主要是和導數、絕對值不等式及柯西不等式相結合，導數部分一旦出該類型題往往難度較大，要準確解答首先觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數證明.1.2 通過求函數的最值證明不等式 在對不等式的證明過程中，可以依此不等式的特點構造函數，進而求函數的最值，當該函數的最大值或最小值對不等式成立時，則不等式是永遠是成立的，從而可將不等式的證明轉化到求函數的最值上來.例2.【甘肅省張掖市2018屆第一次質量檢測】已知函數f?x??2?x?1?e.x（1）若函數f?x?在區間?a,???上單調遞增，求f?a?的取值范圍； x（2）設函數g?x??e?x?p，若存在x0?1,e，使不等式g?x0??f?x0??x0成立，求p的取值范圍.??思路分析：（1）由f??x??2xe?0，得x?0，所以f?x?在?0,???上單調遞增，可得a?0，從而得xx（2）存在x0??1,e?，使不等式g?x0??2?x0?1?e0?x0成立，等價于f?a??f?0???2；p??2x0?3?ex0，令h?x???2x?e?ex，利用導數研究函數h?x?的單調性，求出h?x?min，只需p?h?x?min即可得結果.點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性及極值和最值，考查了函數的思想和考生的發散思維能 力，屬于中檔題.利用導數研究函數的單調性，首先求出函數的定義域，忽略定義域是最常見的錯誤；證明不等式通過構造新函數，研究新函數的單調性，求得其最值是最常用的思想方法，本題解答的難點是（3）中通過構造新函數并求得其極值點，從而判斷p的范圍是解題的關鍵.1.3多元不等式的證明 含有多元的不等式，可以通過對不等式的等價變形，通過換元法，轉化為一個未知數的不等式，或可選取主元，把其中的一個未知數作為變量，其他未知數作為參數，再證明之.例3．已知函數f?x??lnx?mx?m,m?R.（1)已知函數f(x)在點（l，f（1））處與x軸相切，求實數m的值；（2）求函數f(x)的單調區間； (3)在(1)的結論下，對于任意的0 b?aa1?m?x?0?，由于函數在點?1,f?1??處與x軸相切，又直線x軸的x斜率為0，根據導數的幾何意義，所以有f??1??1?m?0，從而可求出實數m的值；（2）因為f??x??11?m?x?0?，所以有必要對m的取值范圍進行分類討論.當m?0時，有f??x???m?0，此xx1???m?x???1??x?fx0,??fx?0時函數??在??上單調遞增；當m?0時，有f?x??m?，由??得?0,?，???m?x由f??x??0，得x???1??1??1?,???，此時函數f?x?在?0,?上單調遞增，在?,???上單調遞減.（3）由?m??m??m?f?a??f?b?1??1可化為 b?aa（1）知m?1，得f?x??lnx?x?1，對于任意的0?a?b，b?lnb?b???lna?a??1?1?a?1?lntt?1?lnt?t?1?0，即f?t??0?t?1?，由（2）??bb?aat?1?1aln知，函數f?x?在?1,???上單調遞減，且f?1??0，于是上式成立.故對于任意的0?a?b，f(b)?f(a)1??1成立.b?aa 3 (3)由(1)知m?1,得 f(x)?lnx?x?1,對于任意的0?a?b，f(b)?f(a)1??1可化為 b?aab(lnb?b)?(lna?a)1??1,其中0?a?b?a?1,其中 bb?aa?1alnt?1,t?1?lnt?t?1?0,t?1,即f(t)?0,t?1，由(2)知, 函數f(x)在(1,??)遞減,0?a?b?t?1f(b)?f(a)1??1成立.且f(1)?0,于是上式成立，故對于任意的0?a?b，b?aaln點評：在第二問中要注意分類討論標準的確定，當m?0時，可借助一次函數的圖像來判斷導函數符號，ba?1，要利用換元法，將不等式轉化為同時要將零點和定義域比較；第二問中將不等式等價變形為?b?1aln關于t的不等式． 2.利用導數求解與不等式有關的恒成立問題或者有解、無解問題 不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯系函數、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據不等式的特點，等價變形，構造函數，借助圖象觀察，或參變分離，轉化為求函數的最值問題來處理． ?恒成立?f(x)min?a?f(x)?a：?有解?f(x)max?a ?無解?f(x)?amax?例4．【2018安徽阜陽一中二模】已知曲線（1）求實數（2）若 的值； 對任意 恒成立，求實數 的最大值.和，即可求出的值；（2）分離參數，構造新 在點 處的切線是 .思路分析：（1）利用導數的幾何意義求解，計算函數，求函數的最值，利用導數求出函數的單調性，即可求出最值.3.利用導數解不等式 通過構造函數，利用函數的單調性得到不等式的解集.例5.已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(1)?2，且f(x)的導函數f(x)在R上恒有f(x)?1，則不等式 f(x)?x?1的解集為()A．(??,?1)B．(1,??)C．(?1,1)D．(??,?1)??(1,??) 思路分析：因為f(x)的解析式不確定，由f(x)?1，結合所求不等式的形式，想到構造函數 ?F(x)?f(x)?x?1，則F'(x)?0，故F(x)單調遞減，由F(1)?0，則不等式解集為(1,??) 解析：不等式 f(x)?x?1可化為f(x)?x?1?0，令g(x)?f(x)?x?1，則g'(x)?f'(x)?1，因為f?(x)?1，所以g'(x)?0，則函數g(x)在R上單調遞減，又g(1)?f(1)?1?1?2?2?0，則g(x)?0即g(x)?g(1)的解集即為x?1.點評：該題考察了利用導數判斷函數的單調性，聯系所求的不等式，構造合適的函數，通過判斷單調性，得出不等式的解集，是解題的關鍵.5 綜合上述五種題型，無論不等式的證明、解不等式，還是不等式的恒成立問題、有解問題、無解問題，構造函數，運用函數的思想，利用導數研究函數的性質（單調性和最值），達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.6 第八章 第三節 三、四、五 本欄目內容，在學生用書中以活頁形式分冊裝訂！ 一、選擇題 1．2011·海淀模擬關于生物同化量的敘述正確的是 A．該營養級貯存的總能量 B．食物消化后糞便中的總能量 C．從上一營養級攝入的能量 D．經吸收后合成的有機物中的能量 答案： D 2．下列有關生態系統中能量流動的敘述不正確的是 A．生態系統的能量流動是從太陽輻射能開始的 B．生態系統的能量流動是從生產者固定太陽能開始的 C．生態系統中流動的能量幾乎全部來源于太陽能 D．生態系統的維持離不開源源不斷的太陽能供應 答案： A 3.如右圖所示的是一個食物網能量傳遞效率按10%計算，下列敘述中正確的是 A．該食物網中初級消費者是昆蟲，次級消費者是鳥 B．該食物網中植物屬于第一營養級，昆蟲屬于第二營養級，鳥屬于第三營養級 C．若綠色植物固定的太陽能總量為M，昆蟲獲得的總能量為M1，鳥獲得的總能量為M2，則M>M1＋M2 D．在鳥類的食物構成中，若動物性食物占1/3，植物性食物占2/3，則鳥類增加能量A時，生產者需提供能量為55A 答案： C 4.2011·北京東城二模關敘述正確的是 A．圖中乙、丙、丁構成了該生態系統的生物群落 B．圖中②③④過程均可表示不同生物的呼吸作用 C．缺少類群甲則生態系統的物質循環不能正常進行 D．由于呼吸作用的消耗，丁對食物的同化量遠小于攝入量 解析： 由圖示生態系統中不同成分在碳循環中的關系可知：甲、乙、丙、丁分別表示分解者、生產者、消費者、消費者，故甲乙丙丁共同組成了該生態系統的生物群落。分解者 用心 愛心 專心 右圖為生態系統中碳循環示意圖，箭頭表示循環方向。下列相 ①第三營養級流向第四營養級的能量傳遞效率為[c＋d/b]×100% ②圖中d包含了次級消費者糞便中的能量 ③在人工飼養的高密度魚塘中生產者固定的能量肯定大于初級消費者固定的能量 ④在食物鏈中各營養級獲得能量的方式及能量的用途完全相同 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 解析： ①項第三營養級流向第四營養級的能量傳遞效率為c/b×100%；②項次級消費者糞便中的能量不能算作次級消費者固定的能量，因此不可能存在于d中；③項在人工飼養的高密度魚塘這一特殊生態系統中，由于不斷地投入食物，因此生產者固定的能量不一定大于初級消費者固定的能量；④項食物鏈中各營養級獲得能量的方式及能量的用途是不完全相同的。 答案： A 9．2010·蘇錫常鎮調查圖甲、乙分別表示人體體液中物質交換、生態系統碳循環的模型圖，以下說法正確的是 A．甲圖中O2濃度最高的是B B．乙圖中的D是生態系統的主要成分 C．人體發生過敏反應時，甲圖中的A增加導致組織水腫 D．因捕食關系而建立的食物鏈中，能量最少的是乙圖中的B所處的營養級 解析： 圖乙中的A代表生產者，B代表分解者，C代表消費者，D代表大氣中CO2庫，生態系統的主要成分是生產者，A和C因捕食關系可建立食物鏈。圖甲中A代表組織液，B代表淋巴，C代表血漿，D代表組織細胞，圖甲中O2濃度最高的是血漿。 答案： C 10．2011·濰坊下列對生態系統穩定性的理解，不正確的是 A．生態系統的穩定性包括抵抗力穩定性和恢復力穩定性 B．抵抗力穩定性是指生態系統抵抗外界干擾并使自身的結構功能保持原狀的能力 C．恢復力穩定性是由生態系統在遭到外界干擾因素的破壞以后恢復到原狀的能力 D．對于一個生態系統來說，抵抗力穩定性越強則恢復力穩定性也會越強 解析： 一般來說，生態系統抵抗力穩定性越強，則恢復力穩定性越弱。答案： D 11.2010·山東濰坊期末下列說法正確的是 右圖是生態系統中碳循環示意圖，“→”表示碳的流動方向，用心 愛心 專心 A．圖中A是生產者，B、D、E是消費者，C是分解者 B．該生態系統的結構包括A、B、C、D、非生物的物質和能量 C．該生態系統中食物網可表示為：A―→D―→E―→B D．E每增加1 kg的體重，至少需要25 kg的A 解析： 圖中A是生產者，B是分解者，C是無機環境，D、E分別是初級消費者與次級消費者；生態系統的結構包括A、B、C、D、E與食物鏈和食物網；該生態系統僅含一條食物鏈：A→D→E，B不參與構成食物鏈；E每增加1 kg體重，至少需要25 kg的A。 答案： D 12．分析以下生態系統的能量流動和物質循環的關系簡圖，不能得到的結論是 A．物質作為能量的載體，使能量沿著食物鏈網流動 B．能量作為動力，使物質能夠不斷地在生物群落和無機環境之間循環往返 C．能量①②③④的總和便是生產者所固定的太陽能總量 D．碳在生物群落和無機環境之間循環主要以CO2的形式進行的 答案： C 13.A．B是生態系統的主要成分 B．③⑤⑧均屬于細胞呼吸 C．A和B屬于捕食關系 D．溫室效應主要是由⑦過程造成的 答案： C 二、非選擇題 214．下面是一水域生態系統在一年之內的能量流動情況資料[能量單位：kJ/m·a]。據圖回答下列問題： 2011·武漢質檢右圖表示生物圈中碳元素的循環過程，下列有關敘述不正確的是 用心 愛心 專心 1流經該生態系統的總能量為________kJ/m·a。 2該系統的能量傳遞效率在________之間，能量傳遞效率如此低，是因為大部分能量____________________________，另有一部分能量流向________。 3按圖中的能量傳遞效率，若食肉動物增重1 kg有機物干重，則需消耗生產者約________kg有機物干重。 4人類對生態系統的能量流動進行調查研究，其意義是________________________________________________________。 解析： 生產者固定的太陽能是流經生態系統的總能量，能量的傳遞效率是相鄰營養級同化量的百分比，但由于各營養級的呼吸消耗和分解者的分解作用，使能量傳遞效率一般在10%～20%之間，但也可能低于10%。食肉動物增重1 kg，則需消耗的生產者≈54.1kg。人類研究能量流動的目的是更有效地利用能量。 答案： 120 810 25.5%～16.2% 被各營養級自身呼吸作用消耗掉 分解者 354.1 4合理調整能量流動關系，使能量流向對人類最有益的部分 15．2011·哈爾濱模擬下圖為生態系統碳循環示意圖，其中甲、乙、丙表示生態系統中的三種成分。 2請據圖回答： 1生態系統的碳循環是指碳元素在________________之間不斷循環的過程。 2X與甲中圖示生物類群的能量來源不同，X代表的生物為__________________；Y的細胞結構與丙中圖示生物不同，Y的細胞結構最主要的特點是________________________________________________________________________。 3大氣中的CO2在甲中圖示的________處在a～d中選擇合成有機物；含碳有機物在甲中圖示的__________處在a～d中選擇可以分解為CO2。 4化石燃料除燃燒外，還可以通過__________途徑產生CO2。 答案： 1生物群落與無機環境 2化能自養細菌或硝化細菌等 有核膜包圍的細胞核 3c a和b 4微生物的分解 用心 愛心 專心第二篇：【金版學案】2015屆高考數學總復習基礎知識名師講義 第六章 第九節數學歸納法 理
第三篇：2015屆高考數學總復習基礎知識名師講義 第六章 第八節不等式的證明 理
第四篇：2018高考數學二輪復習難點2.2導數與不等式相結合問題教學案文
第五篇：《金版新學案》2012高考生物總復習8-3-3、4、5 生物與環境作業大綱人教版
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