第一篇：6-08.資料-用均值不等式中等號成立的條件證題

湖南省新寧縣第一中學李水平專用教案第六章—不等式

資料2：用均值不等式中等號成立的條件證題 我們知道，均值不等式a1?a2???an?a1a2?an(a1,a2,?,an?0)中n

等號成立的充要條件為a1?a2???an.下面舉例說明它在證明條件等式和不等式方面的應用.例1 設a,b?R,且a?b2?b?a2?1,求證:a2?b2?1.證明：由平均值不等式，得

a2?(?b2)2a2?1?b

2① a?b??222

b2?(?a2)2b2?1?a2

② b?a??222

a2?1?b2b2?1?a2

??1③ ①+②，得a?b?b?a?2222

由題設知③式中等號成立，其充要條件為

a??b2,且b??a2,?a2?b2?1.cos4?sin4??例2 已知α、β為銳角，且??1,求證????.2sin2?cos2?

cos4?cos4?2?sin??2?sin2??2cos2?① 證明：?22sin?sin?

sin4?sin4?2?cos??2?cos2??2sin2?② 22cos?cos?

cos4?sin4?①+②，得??1.③ 22sin?cos?

由題設知，③式中等號成立，其充要條件為4co?ssi4?n22?si?n且?co?s.22si?nco?s

湖南省新寧縣第一中學李水平專用教案第六章—不等式 ?cos2??sin2?且sin2??cos2?

??,?為銳角,?cos??sin?

????? ?

例3 已知a1,a2,?,an?R?,且a1?a2???an?1,求證

22ana12a21????? a1?a2a2?a3an?a12

證明：由a1?a2???an?1,引入參數t?R,有ta1?ta2???tan?t, 22ana12a2故 ????a1?a2a2?a3an?a1

22ana12a2?[?t(a1?a2)]?[?t(a2?a3)]???[?t(an?a1)]?2ta1?a2a2?a3an?a1?

?2(a1?a2???an)?2t?2(?t)當且僅當a1?t(a1?a2),a2?(a2?a3),?,an?(an?a1)時，等號成立.將上述n個不等式相加，得

a1?a2???an?2(a1?a2???an)t.??11,t?.24

22ana12a2111因此有?????2(t?t)?2(?)?,證畢.a1?a2a2?a3an?a1242