第一篇：應用均值不等式定理求最值常見錯誤剖析及解決策略

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應用均值不等式定理求最值常見錯誤剖析及解決策略

作者：梁清芳

來源：《中學生導報·教學研究》2013年第03期

摘要：均值不等式定理：若a，b∈R*，則a+b2≥ab（當且僅當a=b時取“=”）是《不等式》一章重要內容之一，是求函數最值的一個重要工具，要求能熟練地運用均值不等式求解一些函數的最值問題，也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。由于學生沒能正確理解均值不等式定理而導致錯誤，筆者認為有必要加以總結，并給出解決的策略。

關鍵詞：均值不等式定理 常見錯誤 解決策略

事實上，上述的解法是錯誤的。但錯在哪里？許多學生不能說出錯誤的原因。究其原因，是由于學生沒能正確理解均值不等式定理而導致錯誤。均值不等式定理運用中的常見錯誤及其解決策略有以下四個方面：

一、忽略定理使用的前提條件導致錯誤，解決策略為“把負變量轉化為正數”。

二、變量是正數，積不是定值而導致錯誤。解題策略為用湊項法，使其積為常數。綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：

一要“正”：各項或各因式必須為正數；

二需“定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；

三能“等”：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。（作者單位：廣西南寧市橫縣中學）

第二篇：均值不等式的應用策略

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均值不等式的應用策略

作者：黃秀娟

來源：《數理化學習·高三版》2013年第09期

高中階段常用的不等式主要有以下兩種形式：

（1）如果a，b∈R那么a2+b2≥2ab（當且僅 當a=b時取等號）.（2）如果a，b都是正數，那么

21/a+1/b

≤ab≤a+b2

≤a2+b22，當且僅當a=b時等號成立.我們在用的時候要緊緊抓住等號成立的條件：一正二定三相等，缺一不可.下面舉例說明.

第三篇：不等式的應用——最值問題·教案

不等式的應用（2）——最值問題·教案

北京市五中 李欣

教學目標

1．深刻理解不等式中，兩個或三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這一定理，即平均值定理．

2．熟練應用平均值定理，求某些問題的最值．

3．培養學生嚴謹的思維品質，以及對數學思想方法的理解和運用，提高學生靈活運用所學知識解決問題的能力．

教學重點與難點

平均值定理適用的條件，及其變形使用． 教學過程設計

（一）不等式平均值定理的功能

師：不等式平均值定理的內容是：若干個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．即：

如果a1，a2，a3，?，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中階段，我們只要求同學掌握兩個或三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．請同學用數學表達式表示上述定理．

（教師板書）

師：由兩個不等式的結構來看，它們的功能是：從左往右可以把和的形式縮小為積的形式；從右往左可以把積的形式擴大為和的形式．為了使用方便，通常把不等式變形為

由于平均值定理在特殊形式下，可以進行放縮變換，因而它在數學中，可以作為用綜合法證明不等式的依據，還可以作為求最值問題的工具．

今天，我們主要研究應用平均值定理求最值的問題．

（二）應用平均值定理求函數的最值

例1 當0＜x＜2時，求函數y=x（2-x）的最大值．

師：函數y=x（2-x）是積的形式，求最大值實質是要做什么樣的轉化？ 生：可以使用平均值定理把積的形式轉化成和的形式． 師：平均值定理是對正數而言的，由于x，2-x都是正數，所以

在什么條件下“≤”取“=”號？

生：當且僅當x=2-x，即x=1時，取等號．此時，y的最大值為1． 師：把積的形式化為和的形式，這個和應該為定值才行．

從而求出最小值．（教師板書）

解：由x＞1，知x-1＞0．則

中等號成立．

所以當x=2時，y的最小值為6． 師：運用平均值定理求函數的最值時，必須要有和的定值或積的定值出現．即

①，當且僅當a=b時．取“=”號．

（定值）②，當且僅當a=b=c時，取“=”號． 不等式①②可以在求函數的最大值時使用．

③，當且僅當a=b時，取“=”號．

值）④，當且僅當a=b=c時，取“=”號． 不等式③，④可以在求函數的最小值時使用．

例2 中對函數式的運算結構稍做變化，就可以使用定理了． 例3 填空題：

師：請同學來分析（1）． 生甲：由于x＞0，則

生乙：我的做法與甲同學不一樣． 由于x＞0，則

師：甲、乙兩位同學對函數式的變形采取了不同的方法，但都得到了定積，誰是誰非呢？

師：分析的很好！在拆、湊函數式的時候，除了要考慮能否得到“定積”或“定和”以外，還要顧及使用平均值定理后，能否取“=”號．這一條件如果思維不嚴密，就會出現錯誤．

由學生自己解（2）．（板書如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果學生的板書有漏洞或錯誤，教師可以邊糾正，邊總結應用平均值定理求函數最值的步驟．

如果學生板書沒有問題，教師可以請學生總結步驟．并進行適當的引導或補充．

應用平均值定理求函數的最值，要注意的問題有：（1）函數式中諸元素是否為正數；（2）諸元素的和或積是否為定值；（3）判斷“=”是否成立．

（三）靈活運用平均值定理求最值

師：此題為三角函數求最值的問題，應從何處入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，應從配、湊和為定值入手．

師：函數式中涉及到正、余弦兩種三角函數，可以利用同角的平方關系進行轉化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）為定值；即可求出y2的最大值．

師：對函數式的變形是靈活多樣的，但宗旨都是使和或積為定值． 例5 若正數x，y滿足6x+5y=36，求xy的最大值． 教師可以先讓學生進行討論，然后再請一位同學發言． 生：已知是兩正數和的等式．要求兩數積的最大值，可以由

（板書如下）

解：由于x，y為正數，則6x，5y也是正數，所以

當且僅當6x=5y時，取“=”號．

師：函數式中含有根式，不容易看出定積是否存在，用什么方法解決這個問題？

生：可以先用換元法把根式去掉，再把函數式進行轉化．

師：換元法是常用的數學思想方法，能幫助我們把復雜問題簡單化．

（四）不等式在應用問題中的應用

例7 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．

師：經過審題可以看出，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數關系式．

生：設長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數式進行變形． 生：我受例4的啟發，發現可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解法如下：

解：設長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值

師：對應用問題的處理，關鍵是把實際問題轉化成數學問題，列好函數關系式是求最值的基本保證。

（五）布置作業： 1．選擇題：

（1）設a，b為實數，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）設a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b滿足 [ ]。

A．當 a=50，b=20時，取最大值 5 B．當a=50，b=20時，取最大值3 C．當a=50，b=20時，取最小值 5 D．當 a=50，b=20時，取最小值 3（3）x，y是滿足2x+y-1=0的正實數，那么xy [ ]。

22．填空題：

3．當0＜x＜1時，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一塊正方形的白鐵片，在它的四個角各剪去一個相等的小正方形，制成一個無蓋的盒子，問當小正方形的邊長為多大時，制成的盒子才有最大的體積？并求出這個體積。

材料每平方米 3元，用作側面的材料每平方米2元，問怎樣設計容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不計拼接時用料和其它損耗）。

作業答案或提示：

1．選擇題：（1）B；（2）B；（3）B。

5．設大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為x，盒子的體積是

課堂教學設計說明

本課以平均值定理的應用為主線，例1，例2從抓典型思路入手，引導學生積極參與，使學生掌握求最值的一般方法，例3，例4則是通過對典型錯誤的辨析和糾正，加深了學生對定理條件的理解，進一步激發了學生的學習興趣，提高了思維的嚴謹性，在此基礎上，例5，例6則突出了化歸轉化和換元法在解題中的作用，使學生認識到數學思想方法就是運用數學知識分析問題和解決問題的觀點，方法、解題中的很多錯誤，都是因為對思想方法的認識膚淺造成的，只有領悟思想方法的實質，才能不斷提高解題能力和糾錯、防錯能力． 例7是為了提高學生解決實際問題的意識而設計的．但如果時間不夠，可以專門設計一節課，利用平均值定理解應用問題．