第一篇：天津市2013屆高三數(shù)學總復習之模塊專題：21 不等式證明(教師版)
不等式證明
證明不等式的基本方法有：求差（商）比較法，綜合法，分析法，有時用反證法，數(shù)學歸納法。均值定理、適度的放縮、恰當?shù)膿Q元是證明不等式的重要技巧。不等式的證明往往與其它知識（如函數(shù)的性質）綜合起來考查。例1：若0?x?1，證明loga(1?x)?loga(1?x)，（a?0且a?1）。
分析1：用作差法來證明。需分為a?1和0?a?1兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明。
解法1：當a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0。當0?a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0。綜上，loga(1?x)?loga(1?x)。
分析2：直接作差，然后用對數(shù)的性質來去絕對值符號。解法2：作差比較法。因為loga(1?x)?loga(1?x)?
1lga
lg(1?x)lga
?
lg(1?x)lga
2?
?lg(1?x)?lg(1?x)??
1lga
??lg(1?x)?lg(1?x)??
?1lga
lg(1?x)?0，所以loga(1?x)?loga(1?x)。
說明：解法1用分類相當于增設了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法2用對數(shù)性質（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快。
補充：（比較法）已知a?2，求證：log解法1：log
?a?1?a?log
?a?1?
a?log
a
?a?1?。
1??log
a
?a?1??a
1log
a
?a?1?
?log
?a?1??a
?a?1????loga?a?1??。
loga?a?1?
因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，?log
?loga?a?1????loga?a?1????
?
?
?a?1??loga?a?1??a
2a
?
?
?log?a
?
1??
?
?log
a
a
2?
?1
所以，log
?a?1?
a?log
a
?a?1??0，命題得證。
解法2：因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loglog
a
?a?1?a
?
?a?1?
?a?1?1，?
?loga?a?1????loga?a?1??loga?a?1?
log
a
由解法1可知：上式?1。故命題得證。例2：設a?b?0，求證：aabb?abba.分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難。考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關系，從而證明不等式。證明：
abab
ba
ba
abab
b
aba
?a
a?b
?b
b?a
aa?baa，∵a?b?0，∴?1,a?b?0.∴()a?b?1 ?()bbb
a
b
b
a
∴?1.又∵ab?0，∴ab?ab.。
b
a
說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。例3：對于任意實數(shù)a、b，求證
a?b
2?（a?b2)（當且僅當a?b時取等號）。
分析：這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有（a?b2)，展開后很復雜。若使用綜合法，從重要不等式：a?b?2ab出發(fā)，再恰當?shù)乩貌坏仁降挠嘘P性質及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵ a2?b2?2ab（當且僅當a2?b2時取等號）
兩邊同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，即：
a?b2
4?（a?b2
22)（1）
又：∵a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取等號），兩邊同加(a2?b2):2(a2?b2)?(a?b)2 ∴
a?b2
?（a?b2)，∴（a?b2
22)?（a?b2)（2）
由（1）和（2）可得
a?b2
?（a?b2
。)（當且僅當a?b時取等號）
說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。
例4：已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求證?
a1
1b?1a1c??9.1b?1c
分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式
變得較復雜而不易得到證明。由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如?
ab
ab，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。證明：∵a?b?c?1∴
?(1?
ba?ca)?（ab?1?
cb
1a
?
1b
a
c
?
?
1cb
c
?
a?b?c
a
?
a?b?c
bab)?（ca
??
a?b?c
cac)?（cb?
bc))?(?1)?3?（ba
?
∵∴
ba
?
1a
ab
?
?1b
1c
cacb
?2，同理：??2，??2。acbc
?3?2?2?2?9.?
說明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的。
例5：已知a?b?c，求證：
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?0。
分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。（分析法書寫過程）證明1：為了證明只需要證明
1a?b
?
1b?c
?
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?0
1a?c
1a?b?
?1c?a,1
?0
∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0∴∴
1a?b
?
1b?c
?
a?cb?c
?0
1a?c
成立∴
1a?b
?
1b?c
成立
（綜合法書寫過程）證明2：∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0 ∴
1a?b
?
1a?c，1b?c
?
0，∴
1a?b
?
1b?c
?
1a?c
成立，∴
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?
成立
說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)常混在一起應用，混合應用時，應用語言敘述清楚。例6：已知a?b?0，求證：
(a?b)8a
?
a?b2
?ab?
(a?b)8b。
分析：欲證不等式看起來較為“復雜”，宜將它化為較“簡單”的形式，因而用分析法證明較好。證明：欲證
(a?b)8a
?
a?b2
?ab?
(a?b)8b，只須證
a?b2a
a?ab
(a?b)4a
?a?b?2ab?
(a?b)4b。
?a?b即要證??
?2a????(a???a?bb)???
?2b
2????，即要證
?a?b?
a?b2b。
即要證
a?2aba
b
?1?
a?2bab
b，即要證
?2?
a?b
b。
即要證1?
?2??1，即
ba
?1?
ab，即要證
ba
?1?
ab
（*）
∵a?b?0，∴（*）顯然成立，故
(a?b)8a
?
a?b2
?ab?
(a?b)8b
說明：分析法證明不等式，實質上是尋求結論成立的一個充分條件。分析法通常
采用“欲證—只要證—即證—已知”的格式。例7：設n是正整數(shù)，求證
12?
1n?11n?1
?
1n?21n?2
??????
12n12n
?1。
分析：要求一個n項分式
?的范圍，它的和又求不出來，可
以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍。證明：由2n?n?k當k當k
?1時，?n(k?1,2,?,n)，得
??1n
12n12n
??
1n?k1n?2
??
1n1n
。......12n
?nn?1。
12n12n
??
n?11
；當k，∴
?2
時，n2n
?
?n
時，1n
n?n
?
1n?1
?
1n?2
???
說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應，否則會走入困境。例如證明
?
???
1n
?
。由
1k
?
1k?1
?
1k，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如
果從第2項放縮，可得小于2。當放縮方式不同，結果也在變化。
說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。例8：求證1?證明：∵
1n213
?
???
1n
?2。
?1n(n?2)
?
1n
?
1n
?
1n(n?1)
?
1n?1，∴1?
????
1n
1?1?11??11??1
?1???????????????2??2。
n?12??23??n?1n?
說明：此題證明過程并不復雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關鍵。例9：證明不等式：1?
12?13???
1n
?2n，?n?N?。
講解：此題為與自然數(shù)有關的命題，故可考慮用數(shù)學歸納法證明。解法1：①當n?1時命題成立。②假設n?k?k?N?時命題成立，即：1?
1213?13???
1k
?2k。
則當n?k?1時，不等式的左端?1?不等式的右端?2k?1。由于2k?1???2k?
??
?
???2k?1?1
????
1k
?
1k?1
?2k?
1k?1
k?1?k?
?
1k?1
?
2k?1?
k
?
1k?1
?
2k?1?
k?1
?
1k?1
?0。
所以，2k?
k?1
?2k?1，即n?k?1時命題也成立。
由①②可知：原不等式得證。
從上述證法可以看出：其中用到了k?
2k?1?
k
k?1這一事實，從而達到了
和
1k?1
之間的轉化，也即2?k?1?k?和
1k?1
之間的轉化，這就
提示我們，本題是否可以直接利用這一關系進行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡是不可能的，但如果利用則可以達到目的，由此得解2。解法2：因為對于任意自然數(shù)k，都有
12?
1n?2
1k
?
2k?
k?1
?2
?
k?
k?1進行放縮，?
1k
?
2k?
k?1
?2
?
k?
k?1，所以，?
1??2
????
2?
?
0?2
????
3?2???2
??
n?n?1
?，從而不等式得證。
?2n
第二篇：【天津市2013屆高三數(shù)學總復習之綜合專題：數(shù)列(文)(學生版)
數(shù)列（文）
考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎知識，考查分類討論的思想方法，考查運算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。
1、已知數(shù)列?xn?的首項x1?3，通項公式xn?2np?nq（n?N?,p,q為常數(shù)），且x1,x4,x5成等差數(shù)列，求：（1）p,q的值；
（2）數(shù)列?xn?的前n項的和Sn的公式。
2、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； 2n?1（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。
3、設數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當b?2時，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項公式
4、已知數(shù)列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；
?an?
?n?（2）數(shù)列??的前n項和Sn。
?an?
15、設數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3)。數(shù)列{bn}滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2，n?n???
6、數(shù)列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。
33??)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。
（1）求Sn；（2）設bn?
滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos27、數(shù)列{an}?滿足
n?n?)an?sin2,n?1,2,3,22.。S3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。n?4n（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；（2）設bn?
8、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構成一個a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當n?n6?時，6時，Sn?2?。.n新的數(shù)列{cn}。
（1）求c1,c2,c3,c4；
（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項公式。
9、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。,a2n,；
an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*
10、已知數(shù)列?an?中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1，n?2,q?0。
(n?N*)*，證明?bn?是等比數(shù)列； n?N（1）設bn?an?1?an，（2）求數(shù)列?an?的通項公式；
（3）若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n?N*，an是an?3與an?6的等差中項。
11、已知等差數(shù)列?an?的公差為d不為0，設Sn?a1?a2q??anqn?1，Tn?a1?a2q??(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*。
（1）若q?1,a1?1,S3?15，求數(shù)列?an?的通項公式；（2）若a1?d且S1,S2,S3成等比數(shù)列，求q的值；
2dq(1?q2n)（3）若q??1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，n?N*。21?q
12、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為2k。
（1）證明a4,a5,a6成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；
32232n2（3）記Tn???...?，證明?2n?Tn?2?n?2?。
2a2a3an
3?(?1)n13、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bn?1an?bnan?1???2??1，bn?，n?N*，2n且a1?2。
（1）求a2,a3的值；
（2）設cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；（3）設Sn為{an}的前n項和，證明
SSS1S21??...?2n?1?2n?n?，n?N*。a1a2a2n?1a2n3
第三篇：【天津市2013屆高三數(shù)學總復習之綜合專題：數(shù)列(理)(學生版)
數(shù)列（理）
考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎知識，考查分類討論的思想方法，考查運算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。
1、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； n?12（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。
2、設數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當b?2時，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項公式
3、已知數(shù)列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；
?an??n?（2）數(shù)列??的前n項和Sn。
?an?
4、已知數(shù)列?an?滿足：an??1，a1?22?cn?an?1?an，n?N。
1222，31?an?1?21?an，記數(shù)列bn?1?an，2????（1）證明數(shù)列?bn?是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{cn}的通項公式；
（3）是否存在數(shù)列{cn}的不同項ci,cj,ck，i?j?k，使之成為等差數(shù)列？若存在請求出這樣的不同項ci,cj,ck，i?j?k；若不存在，請說明理由。
5、已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：
a1bn?a2bn?1?a3bn?2??an?1b2?anb1?2n?1?n?2。
（1）若數(shù)列{an}是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求證：?i?1n13?。aibi2)。數(shù)列{bn}
16、設數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2,)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。
7、有n個首項都是1的等差數(shù)列，設第m個數(shù)列的第k項為amk，(m,k?1,2,3，n, n≥3)，公差為dm，并且a1n,a2n,a3n，ann成等差數(shù)列。
（1）證明dm?p1d1?p2d2，3?m?n，p1,p2是m的多項式，并求p1?p2的值；（2）當d1?1, d2?3時，將數(shù)列{dm}分組如下：(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),（每組數(shù)的個數(shù)構成等差數(shù)列），設前m組中所有數(shù)之和為(cm)4(cm?0)，求數(shù)列{2cmdm}的前n項和Sn。
（3）設N是不超過20的正整數(shù)，當n?N時，對于（2）中的Sn，求使得不等式1(Sn?6)?dn成立的所有N的值。50
n?n???
8、數(shù)列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。
33??（1）求Sn；
S3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。n?4nn?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)an?sin2,n?1,2,3,9、數(shù)列{an}?滿足
22（2）設bn?.。
（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；（2）設bn?a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當n?n6?時，6時，Sn?2?。.n10、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構成一個新的數(shù)列{cn}。（1）求c1,c2,c3,c4；
（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項公式。
11、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。,a2n,；
an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*
12、在數(shù)列?an?與?bn?中，a1?1,b1?4，數(shù)列?an?的前n項和Sn滿足nSn?1?(n?3)Sn?0，且2an?1為bn與bn?1的等比中項，n?N*。
（1）求a2，b2的值；
（2）求數(shù)列?an?與?bn?的通項公式；
*2n?N（3）設Tn?(?1)1b1?(?1)2b2?…?(?1)nbn，證明n≥?3。NT?2n，nn，aaa*
13、已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，等比數(shù)列?bn?的公比為q，且q?1。設Sn?a1b1?a2b2??anbn，Tn?a1b1?a2b2??(?1)n?1anbn，n?N*。
（1）若a1?b1?1，d?2,q?3求S3的值；
2dq(1?q2n)*n?N（2）若b1?1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，； 21?q（3）若正整數(shù)n滿足2?n?q，設k1,k2，kn和l1,l2,，2，,n ,ln是1的兩個不同的排列，c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn，c2?al1b1?al2b2?...?alnbn，證明c1?c2。
14、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為dk。
（1）若dk?2k，證明a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列；
（2）若對任意k?N*，a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列，其公比為qk。
?1?
①設q1?1，證明??是等差數(shù)列；
q?1?k?n3k2?2?n?2?。
②若a2?2，證明?2n??2k?2ak15、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bnan?an?1?bn?1an?2且a1?2,a2?4。（1）求a3,a4,a5的值；
3?(?1)n，n?N*，?0，bn?2（2）設cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；
Sk7?(n?N*)。（3）設Sk?a2?a4?????a2k，k?N，證明?6k?1ak*4n
第四篇：天津市2013屆高三數(shù)學總復習之綜合專題：數(shù)學歸納法及其應用舉例(教師版)
數(shù)學歸納法及其應用舉例
1、基本概念
學案P38
①
②
③
④
⑤
2、用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟 教材P933、應用舉例——用數(shù)學歸納法證明下列命題
1Sn??k?(n?1)(2n?1)。①（數(shù)學歸納法證明恒等式）6k?1n
2教材P9
412S?k?[(n?1)]②（數(shù)學歸納法證明恒等式）。?n2k?1n
3③（數(shù)學歸納法證明不等式）當n?N*,n?5時，恒有2n?n2。學案P39
④（數(shù)學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，*?3n?1??7n?1能被9整除。學案P40
⑤（數(shù)學歸納法證明幾何問題）平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點，求證：這n條直線互相分割成n2條線段或射線。學案P404、補充練習——用數(shù)學歸納法證明：
①（數(shù)學歸納法證明恒等式）???1?
i?1ni?1?2???1?i?1n?12n1??。33
學案P39
②（數(shù)學歸納法證明不等式）1?111?????2n，?n?N?； 學案P39
講解：此題為與自然數(shù)有關的命題，故可考慮用數(shù)學歸納法證明。
①當n?1時命題成立。
②假設n?k?k?N?時命題成立，即：1?111?????2。則當n?k?1時，不等式的左端?1?
不等式的右端?2k?1。由于2???2?11111?2?????? ?
?1211?2???? ??????
?121??0。所以，2k??2k?1，即n?k?1時命題也成立。?由①②可知：原不等式得證。
③（數(shù)學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，3*2n?2?8n?9能被64整除。學案P39 ④（數(shù)學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，11n?2?122n?1能被133整除。
全解P102
第五篇：高三數(shù)學(理科)二輪復習-不等式
2014屆高三數(shù)學第二輪復習
第3講 不等式
一、本章知識結構：
實數(shù)的性質
二、高考要求
（1）理解不等式的性質及其證明。
（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會簡單應用。
（3）分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
（4）掌握某些簡單不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、熱點分析
1.重視對基礎知識的考查，設問方式不斷創(chuàng)新.重點考查四種題型：解不等式，證明不等式，涉及不等式應用題，涉及不等式的綜合題，所占比例遠遠高于在課時和知識點中的比例.重視基礎知識的考查，常考常新，創(chuàng)意不斷，設問方式不斷創(chuàng)新，圖表信息題，多選型填空題等情景新穎的題型受到命題者的青瞇，值得引起我們的關注.2.突出重點，綜合考查，在知識與方法的交匯點處設計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結合點，又是數(shù)學知識與數(shù)學方法的交匯點，因而在歷年高考題中始終是重中之重.在全面考查函數(shù)與不等式基礎知識的同時，將不等式的重點知識以及其他知識有機結合，進行綜合考查，強調知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點.3.加大推理、論證能力的考查力度，充分體現(xiàn)由知識立意向能力立意轉變的命題方向.由于代數(shù)推理沒有幾何圖形作依托，因而更能檢測出學生抽象思維能力的層次.這類代數(shù)推理問題常以高中代數(shù)的主體內(nèi)容——函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其交叉綜合部分為知識背景，并與高等數(shù)學知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高，有利于高考選拔功能的充分發(fā)揮.對不等式的考查更能體現(xiàn)出高觀點、低設問、深入淺出的特點，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的熱點.4.突出不等式的知識在解決實際問題中的應用價值，借助不等式來考查學生的應用意識.不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個熱點,考查的重點是不等式的性質、證明、解法及最值方面的應用。高考試題中有以下幾個明顯的特點：
（1）不等式與函數(shù)、數(shù)列、幾何、導數(shù),實際應用等有關內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨考查不等式的試題題量很少。
第1頁（共6頁）
（2）選擇題,填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應用題和壓軸題幾乎都與不等式有關。
（3）不等式的證明考得比得頻繁,所涉及的方法主要是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視。
四、典型例題
不等式的解法
【例1】 解不等式：解：原不等式可化為：
a
?1?a x?
2(a?1)x?(2?a)
＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.x?2
當a＞1時，原不等式與(x－
a?2a?2a?2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若a?1a?1a?
1a?2)∪(2，+∞).a?1
＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，當a＜1時，若a＜0，解集為（a?2a?2，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)a?1a?1
綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，a?2a?2)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)； a?1a?1
a?2，2).a?1
當a=0時，解集為?；當a＜0時，解集為（【例2】 設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M?［1，4］，求實數(shù)a的取值
范圍.解：M?［1，4］有n種情況：其一是M=?，此時Δ＜0；其二是M≠?，此時Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍.設f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=
?［1，4］(2)當Δ=0時，a=－1或2.當a=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］.(3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，??a?3?0
?f(1)?0,且f(4)?0?18?18?7a?0
那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4??即?，解得：2＜a＜，7?1?a?4,且??0?a?0
??a??1或a?2
∴M?［1，4］時，a的取值范圍是(－1，18).7
不等式的證明
【例1】 已知a?2，求證：log?a?1?a?loga?a?1? 解1：log?a?1?a?loga?a?1??
1??loga?a?1????loga?a?1??1
． ?loga?a?1??
logaa?1logaa?1因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loga?a?1??loga?a?1??
?loga?a?1????loga?a?1??????2??
?
?log?a
a
?1
????loga?
a
?1
所以，log?a?1?a?loga?a?1??0，命題得證．
【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求證：(a+
2511)(b+)≥.ab
4證：(分析綜合法)：欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤
或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，從而得證.44
12?13???
1n
?2n(n∈N)
*
【例3】 證明不等式1?
證法一：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+
12?1???
1＜2k，則1?
?
3???
1k?1
?2k?
1k?1
?
2k(k?1)?1
k?1
?
k?(k?1)?1
k?1
12?1???
?2k?1,1∴當n=k+1時，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當n∈N*時，都有1+另從k到k+1時的證明還有下列證法：
＜2n.?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?又如:?2k?1?2k?
?2k?
1k?
1?2k?1.1k?1
?2k?1.?
1k?1,2k?1?k
?
2k?1?k?1
證法二：對任意k∈N*，都有：
?2(k?k?1),?kk?k?1
因此1??????2?2(2?1)?2(?2)???2(n?n?1)?2n.2nk1?
?
概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
不等式
一．不等式的性質：
1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?b,c?d，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若
a?b?0,c?d?0，則ac?bd（若a?b?0,0?c?d，則
ab
； ?）
cd
nn
3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a?b?0，則a?
b?
4．若ab?0，a?b，則
1?；若ab?0，a?b，則?。如 abab
（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：
①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則⑤若a?b?0,則
?； ab
ba
?；⑥若a?b?0,則a?b； ab
ab11
⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?
c?ac?bab
其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______（答：1?3x?y?7）；（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則
1?c?的取值范圍是______（答：??2,??）
2?a?
二．不等式大小比較的常用方法：
1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果； 2．作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調性； 7．尋找中間量或放縮法 ；
8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?
1的大小 logat和loga
21t?11t?1
（答：當a?1時，logat?loga（t?1時取等號）；當0?a?1時，logat?loga（t?1
2222
（1）設a?0且a?1,t?0，比較時取等號））；
1?a2?4a?2
（2）設a?2，p?a?，q?2，試比較p,q的大小（答：p?q）；
a?2
（3）比較1+logx3與2logx2(x?0且x?1)的大小
4（答：當0?x?1或x?時，1+logx3＞2logx2；當1?x?時，1+logx3＜2logx2；當x?
3時，1+logx3＝2logx2）
三．利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17
字方針。如
（1）下列命題中正確的21
A、y?x?的最小值是2B、y?的最小值是
2x4
4C、y?2?3x?(x?
0)的最大值是2?D、y?2?3x?(x?
0)的最小值是2?C）；
xx
xy
（2）若x?2y?1，則2?4的最小值是______
（答：；
1（3）正數(shù)x,y滿足x?2y?1，則?的最小值為______
（答：3?；
xy
4.常用不等式有：（1
（2）???(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用)；2?22
2a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當且僅當a?b?c時，取等號）；（3）若a?b?0,m?0，則
bb?m
（糖水的濃度問題）。如 ?
aa?m
如果正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是_________（答：?9,???）
五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。).1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?
1n????
22222
2如（1）已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；
222222
(2)已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；
xy11?
（3）已知a,b,x,y?R，且?,x?y，求證：； ?
x?ay?bab
a?bb?cc?a
(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg?lg?lg?lga?lgb?lgc；
22222222
2（5）已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；
常用的放縮技巧有：
*
(6)若n?
N(n?
1)?
n；
|a|?|b||a|?|b|
； ?
|a?b||a?b|
1（8）求證：1?2?2???2?2。
23n
(7)已知|a|?|b|，求證：
六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因
式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如
（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或x??2}）；
（2）
不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；
（3）設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)?0的解集為{x|1?x?2}，g(x)?0的解集為?，則不等式f(x)?g(x)?0的解集為______（答：(??,1)?[2,??)）；
（4）要使?jié)M足關于x的不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式
x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,8
1)）8
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如
（1）解不等式
5?x
； ??1（答：(?1,1)?(2,3)）
x2?2x?
3ax?b
?0的解集為x?
2（2）關于x的不等式ax?b?0的解集為(1,??)，則關于x的不等式____________（答：(??,?1)?(2,??)）.八．絕對值不等式的解法：
1．分段討論法（最后結果應取各段的并集）：如解不等式|2?
； x|?2?|x?|（答：x?R）
（2）利用絕對值的定義；
（3）數(shù)形結合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）（4）兩邊平方：如
若不等式|3x?2|?|2x?a|對x?R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______。（答：}）
九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.如
； ?1，則a的取值范圍是__________（答：a?1或0?a?）
33ax21
（2）解不等式?x(a?R)（答：a?0時，{x|x?0}；a?0時，{x|x?或x?0}；a?0
ax?1a
時，{x|?x?0}或x?0}）
a
（1）若loga
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關于x的不等式ax?b?0 的解集為(??,1)，則不等式
x?2
（－1,2））?0的解集為__________（答：
ax?b
十一．含絕對值不等式的性質：
a、b同號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b異號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.如設f(x)?x?x?13，實數(shù)a滿足|x?a|?1，求證：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思
想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數(shù)形結合法）1).恒成立問題
若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?B
如（1）設實數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當x?y?c?0時，c的取值范圍是____
（答：1,??）；
（2）不等式x?4?x?3?a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍_____（答：a?1）；
2（3）若不等式2x?1?m(x?1)對滿足m?2的所有m都成立，則x的取值范圍（答：（?
7?13?1,））； 22
(?1)n?13n
（4）若不等式(?1)a?2?對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_（答：[?2,)）；
n2
（5）若不等式x?2mx?2m?1?0對0?x?1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.（答：m??）
2).能成立問題
若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f?x??A成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?A； 若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f?x??B成立,則等價于在區(qū)間D上的f?x?min?B.如
已知不等式x?4?x?3?a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍____（答：a?1）3).恰成立問題
若不等式f?x??A在區(qū)間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??A的解集為D； 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??B的解集為D.
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