第一篇：12二維隨機變量的數字特征切比雪夫不等式與大數定律

概率論與數理統計習題解答第二章隨機變量及其分布

12二維隨機變量的數字特征·切比雪夫不等式與大數定律

一、設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為

f?x,y??

A

?y?

1求：（1）系數A；（2）數學期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，協方差cov(X,Y)．

解:(1)由

x

22.??

????

????

f(x,y)dxdy?1.有

??x

????

????

A

?y?1

dxdy?A?d??

2???

r

r

?1

dr??A?1

解得, A?

?

.(2)E(X)?

??

????

????

xf(x,y)dxdy?

????

??

dy?

??

??

x

x

?y?1

dx?0.由對稱性, 知 E(Y)?0.D(X)?E[(X?EX)]?EX??

?

????

????

?

xf(x,y)dxdy?

??

??

??

dy?

??

??

x

x2

?y?1

dx

?1r2?1

同理, 有 D(Y)???.cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY)

?

?

2?

d??

??

r

3r

dr?2?

??

r(1?r2)?r

dr?[ln(1?r2)?

1??

]??? 20

1?r

?

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????

????

xyf(x,y)dxdy

??

????

????

?

xyf(x,y)dxdy?

????

??

ydy?

??

??

x

x

?y?1

dx?0.二、設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為

?1,y?x,0?x?1;

f(x,y)??

?0,其它．

求(1)cov(X,Y)；(2)X與Y是否獨立，是否相關，為什么？ 解:(1)因為EX?

??

????

????

xf(x,y)dxdy??xdx?dy??2x2dx?

?x

1x

3EY??

所以有

?E(XY)???

????

????

????

yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0

1x

????

xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0

?x

?x1

x

????

2cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???xyf(x,y)dxdy

????3

??xdx?ydy?0．

?x

1x

概率論與數理統計習題解答第二章隨機變量及其分布

(2)當x?(0,1)時,有 fX(x)?

即 ?????f(x,y)dy??dy?2x;當x?(0,1)時, 有fX(x)?0.?xx

?2xx?(0,1)fX(x)???0x?(0,1)

?1dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)??同理有fY(y)??y ??11?yx?(0,1)dxx?(0,1)????y?

因為 fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X與Y不是獨立的．又因為cov(X,Y)?0, 所以X與Y是不相關的．

三、利用切比雪夫不等式估計隨機變量X與其數學期望E(X)的差的絕對值大于三倍標準差

?(X)的概率． 解：P(?E??3D?)?D?1． ?29(3D)

四、為了確定事件A的概率，進行10000次重復獨立試驗．利用切比雪夫不等式估計：用事件A

在10000次試驗中發生的頻率作為事件A的概率的近似值時，誤差小于0.01的概率． 解：設ξ表示“在10000次試驗中事件A的次數”，則?~B(10000,0.5)且有

E??np?10000?0.5?5000D??npq?1000?00.5?(1?0.5)?250 0

于是有

mnpqpq ?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1??1?n(0.01p)2(0.01)2n

?1?pq?1?0.25?0.75 P（五、樣檢查產品質量時，如果發現次品多于10個，則認為這批產品不能接受．應該檢查多少

個產品，可使次品率為10%的一批產品不被接受的概率達到0.9？

解：設ξ表示“發現的次品件數”，則ξ~B(n,0.1)，現要求n.Eξ?0.1nDξ?0.09n

要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，因為P(10?ξ?n)?0.9，所以 10?Eξξ?Eξn?Eξ10?0.1nξ?0.1nn?0.1nP(??)?P(??)DξDξDξ0.3n0.3n0.3n

10?0.1nξ?0.1n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()0.3n0.3n0.3n

0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1（德莫威爾—Laplace定理）0.3n

0.1n?10Φ()?0.9． 因為n?10，所以3n?5，從而有Φ，故(n)?10,10,10.3n

0.1n?10?1.28，解得n?146.查表有Φ，故有(1.28)?0.89970,10.3n

答：應該檢查約146個產品，方可使次品率為10%的一批產品不被接受的概率達到0.9．

第二篇：切比雪夫不等式的證明(離散型隨機變量)

設隨機變量X有數學期望?及方差?，則對任何正數?，下列不等式成立 2

?2

P?X?E(X)????2 ?

證明：設X是離散型隨機變量，則事件X?E(X)??表示隨機變量X取得一切滿足不等式xi?E(X)??的可能值xi。設pi表示事件X?xi的概率，按概率加法定理得

P?X?E(X)????

xi?E(X)???pi

這里和式是對一切滿足不等式xi?E(X)??的xi求和。由于xi?E(X)??，即?xi?E(X)?2??2xi?E(X)??，所以有2?2?1。

2?xi?E(X)?又因為上面和式中的每一項都是正數，如果分別乘以?2，則和式的值將增大。

于是得到

P?X?E(X)????

xi?E(X)???pi?xi?E(X)????xi?E(X)??22pi?1

?2xi?E(X)????xi?E(X)?2pi

因為和式中的每一項都是非負數，所以如果擴大求和范圍至隨機變量X的一切可能值xi求和，則只能增大和式的值。因此

P?X?E(X)????1

?2??x?E(X)?i

i2pi

上式和式是對X的一切可能值xi求和，也就是方差的表達式。所以，?2

P?X?E(X)????2 ?

第三篇：切比雪夫不等式教學

★★★1．設

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長，s是半周長。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

．不妨令

由切比雪夫不等式

當且僅當

．設a≥b≥

c,則a+b≥a+c≥b+c,（）

第四篇：切比雪夫不等式及其應用(摘要)

天津理工大學2011屆本科畢業論文

切比雪夫不等式及其應用

摘要

切比雪夫不等式是概率論中重要的不等式之一。尤其在分布未知時，估計某些事件的概率的上下界時，常用到切比雪夫不等式。另外，大數定律是概率論極限理論的基礎，而切比雪夫不等式又是證明大數定律的重要途徑。如今，在切比雪夫不等式的基礎上發展起來的一系列不等式都是研究中心極限定理的有力工具。作為一個理論工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介紹了切比雪夫不等式的一些基本理論，引出其概率形式，用現代概率方法證明了切比雪夫不等式并給出了其等號成立的充要條件。其次，從三大方面闡述了其在概率論中的應用，并且給出了切比雪夫大數定律和伯努利大數定律的證明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的應用，并且用切比雪夫不等式評價了IRR的概率風險分析。

關鍵詞:切比雪夫不等式大數定律IRR

The Chebyster’s Inequality and Its Applications

ABSTRACT

In probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities.In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability.In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability.The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it.Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem.As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability.Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.天津理工大學2011屆本科畢業論文

Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers.After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s InequalityLaw Of Large NumbersIRR

第五篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、試利用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續拋1000次，其出現正面的次數在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此

1000次試驗中出現正面H的次數服從二項分布.解:設X表示1000次試驗中出現正面H的次數,則X是一個隨機變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

211000=×==npEX,250)

2答題完畢，祝你開心!

11（2

1000)1(=××==pnpDX,而所求的概率為

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=EXXp

}100{<=EXXp

975.0

=≥

DX

.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式

對于任一隨機變量X,若EX與DX均存在,則對任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式說明，DX越小，則p{|X-EX|>=ε}

越小，p{|X-EX|<ε}越大，也就是說，隨機變量X取值基本上集中在EX附近，這進一步說明了方差的意義。

同時當EX和DX已知時，切比雪夫不等式給出了概率p{|X-EX|>=ε}的一個上界，該上界并不涉及隨機變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當廣泛的應用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數據集中，與平均數超過K倍標準差的數據占的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機變數的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標準差的值，數目不多于1/4

與平均相差3個標準差的值，數目不多于1/9

與平均相差4個標準差的值，數目不多于1/16

……

與平均相差k個標準差的值，數目不多于1/K^2

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少于50分(與平均相差3個標準差以上)的人，數目不多于4個(=36*1/9)。

設(X,Σ,μ)為一測度空間，f為定義在X上的廣義實值可測函數。對於任意實數t>0，一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法

設X為隨機變數，期望值為μ，方差為σ2。對于任何實數k>0，改進

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：

這個分布的標準差σ=1/k，μ=0。

當只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：

證明

定義，設為集的指標函數，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變數Y和正數a有pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a。取Y=(X?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開始證明。