第一篇：12二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征切比雪夫不等式與大數(shù)定律

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答第二章隨機(jī)變量及其分布

12二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征·切比雪夫不等式與大數(shù)定律

一、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

f?x,y??

A

?y?

1求：（1）系數(shù)A；（2）數(shù)學(xué)期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，協(xié)方差cov(X,Y)．

解:(1)由

x

22.??

????

????

f(x,y)dxdy?1.有

??x

????

????

A

?y?1

dxdy?A?d??

2???

r

r

?1

dr??A?1

解得, A?

?

.(2)E(X)?

??

????

????

xf(x,y)dxdy?

????

??

dy?

??

??

x

x

?y?1

dx?0.由對(duì)稱性, 知 E(Y)?0.D(X)?E[(X?EX)]?EX??

?

????

????

?

xf(x,y)dxdy?

??

??

??

dy?

??

??

x

x2

?y?1

dx

?1r2?1

同理, 有 D(Y)???.cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY)

?

?

2?

d??

??

r

3r

dr?2?

??

r(1?r2)?r

dr?[ln(1?r2)?

1??

]??? 20

1?r

?

??

????

????

xyf(x,y)dxdy

??

????

????

?

xyf(x,y)dxdy?

????

??

ydy?

??

??

x

x

?y?1

dx?0.二、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?1,y?x,0?x?1;

f(x,y)??

?0,其它．

求(1)cov(X,Y)；(2)X與Y是否獨(dú)立，是否相關(guān)，為什么？ 解:(1)因?yàn)镋X?

??

????

????

xf(x,y)dxdy??xdx?dy??2x2dx?

?x

1x

3EY??

所以有

?E(XY)???

????

????

????

yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0

1x

????

xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0

?x

?x1

x

????

2cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???xyf(x,y)dxdy

????3

??xdx?ydy?0．

?x

1x

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答第二章隨機(jī)變量及其分布

(2)當(dāng)x?(0,1)時(shí),有 fX(x)?

即 ?????f(x,y)dy??dy?2x;當(dāng)x?(0,1)時(shí), 有fX(x)?0.?xx

?2xx?(0,1)fX(x)???0x?(0,1)

?1dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)??同理有fY(y)??y ??11?yx?(0,1)dxx?(0,1)????y?

因?yàn)?fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X與Y不是獨(dú)立的．又因?yàn)閏ov(X,Y)?0, 所以X與Y是不相關(guān)的．

三、利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)的差的絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差

?(X)的概率． 解：P(?E??3D?)?D?1． ?29(3D)

四、為了確定事件A的概率，進(jìn)行10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)．利用切比雪夫不等式估計(jì)：用事件A

在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值時(shí)，誤差小于0.01的概率． 解：設(shè)ξ表示“在10000次試驗(yàn)中事件A的次數(shù)”，則?~B(10000,0.5)且有

E??np?10000?0.5?5000D??npq?1000?00.5?(1?0.5)?250 0

于是有

mnpqpq ?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1??1?n(0.01p)2(0.01)2n

?1?pq?1?0.25?0.75 P（五、樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受．應(yīng)該檢查多少

個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9？

解：設(shè)ξ表示“發(fā)現(xiàn)的次品件數(shù)”，則ξ~B(n,0.1)，現(xiàn)要求n.Eξ?0.1nDξ?0.09n

要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，因?yàn)镻(10?ξ?n)?0.9，所以 10?Eξξ?Eξn?Eξ10?0.1nξ?0.1nn?0.1nP(??)?P(??)DξDξDξ0.3n0.3n0.3n

10?0.1nξ?0.1n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()0.3n0.3n0.3n

0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1（德莫威爾—Laplace定理）0.3n

0.1n?10Φ()?0.9． 因?yàn)閚?10，所以3n?5，從而有Φ，故(n)?10,10,10.3n

0.1n?10?1.28，解得n?146.查表有Φ，故有(1.28)?0.89970,10.3n

答：應(yīng)該檢查約146個(gè)產(chǎn)品，方可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9．

第二篇：切比雪夫不等式的證明(離散型隨機(jī)變量)

設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望?及方差?，則對(duì)任何正數(shù)?，下列不等式成立 2

?2

P?X?E(X)????2 ?

證明：設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，則事件X?E(X)??表示隨機(jī)變量X取得一切滿足不等式xi?E(X)??的可能值xi。設(shè)pi表示事件X?xi的概率，按概率加法定理得

P?X?E(X)????

xi?E(X)???pi

這里和式是對(duì)一切滿足不等式xi?E(X)??的xi求和。由于xi?E(X)??，即?xi?E(X)?2??2xi?E(X)??，所以有2?2?1。

2?xi?E(X)?又因?yàn)樯厦婧褪街械拿恳豁?xiàng)都是正數(shù)，如果分別乘以?2，則和式的值將增大。

于是得到

P?X?E(X)????

xi?E(X)???pi?xi?E(X)????xi?E(X)??22pi?1

?2xi?E(X)????xi?E(X)?2pi

因?yàn)楹褪街械拿恳豁?xiàng)都是非負(fù)數(shù)，所以如果擴(kuò)大求和范圍至隨機(jī)變量X的一切可能值xi求和，則只能增大和式的值。因此

P?X?E(X)????1

?2??x?E(X)?i

i2pi

上式和式是對(duì)X的一切可能值xi求和，也就是方差的表達(dá)式。所以，?2

P?X?E(X)????2 ?

第三篇：切比雪夫不等式教學(xué)

★★★1．設(shè)

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長(zhǎng)，s是半周長(zhǎng)。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

．不妨令

由切比雪夫不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

．設(shè)a≥b≥

c,則a+b≥a+c≥b+c,（）

第四篇：切比雪夫不等式及其應(yīng)用(摘要)

天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

切比雪夫不等式及其應(yīng)用

摘要

切比雪夫不等式是概率論中重要的不等式之一。尤其在分布未知時(shí)，估計(jì)某些事件的概率的上下界時(shí)，常用到切比雪夫不等式。另外，大數(shù)定律是概率論極限理論的基礎(chǔ)，而切比雪夫不等式又是證明大數(shù)定律的重要途徑。如今，在切比雪夫不等式的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一系列不等式都是研究中心極限定理的有力工具。作為一個(gè)理論工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介紹了切比雪夫不等式的一些基本理論，引出其概率形式，用現(xiàn)代概率方法證明了切比雪夫不等式并給出了其等號(hào)成立的充要條件。其次，從三大方面闡述了其在概率論中的應(yīng)用，并且給出了切比雪夫大數(shù)定律和伯努利大數(shù)定律的證明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的應(yīng)用，并且用切比雪夫不等式評(píng)價(jià)了IRR的概率風(fēng)險(xiǎn)分析。

關(guān)鍵詞:切比雪夫不等式大數(shù)定律IRR

The Chebyster’s Inequality and Its Applications

ABSTRACT

In probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities.In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability.In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability.The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it.Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem.As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability.Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers.After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s InequalityLaw Of Large NumbersIRR

第五篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗(yàn),因此

1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.解:設(shè)X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

211000=×==npEX,250)

2答題完畢，祝你開(kāi)心!

11（2

1000)1(=××==pnpDX,而所求的概率為

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=EXXp

}100{<=EXXp

975.0

=≥

DX

.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式

對(duì)于任一隨機(jī)變量X,若EX與DX均存在,則對(duì)任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式說(shuō)明，DX越小，則p{|X-EX|>=ε}

越小，p{|X-EX|<ε}越大，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說(shuō)明了方差的意義。

同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率p{|X-EX|>=ε}的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問(wèn)題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過(guò)K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均。這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來(lái)描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4

與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9

與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16

……

與平均相差k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/K^2

舉例說(shuō)，若一班有36個(gè)學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(gè)(=36*1/9)。

設(shè)(X,Σ,μ)為一測(cè)度空間，f為定義在X上的廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)。對(duì)於任意實(shí)數(shù)t>0，一般而言，若g是非負(fù)廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過(guò)以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說(shuō)法

設(shè)X為隨機(jī)變數(shù)，期望值為μ，方差為σ2。對(duì)于任何實(shí)數(shù)k>0，改進(jìn)

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無(wú)法改進(jìn)。考慮下面例子：

這個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1/k，μ=0。

當(dāng)只求其中一邊的值的時(shí)候，有Cantelli不等式：

證明

定義，設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù)，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說(shuō)明對(duì)任意隨機(jī)變數(shù)Y和正數(shù)a有pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a。取Y=(X?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開(kāi)始證明。