第一篇：求解不可壓縮流動的分步有限元格式

求解不可壓縮流動的分步有限元格式.txt丶︶￣喜歡的歌，靜靜的聽，喜歡的人，遠遠的看我笑了當初你不挺傲的嗎現在您這是又玩哪出呢？ISSN 1000-0054

CN 11-2223/N 清華大學學報(自然科學版)J Tsinghua Univ(Sci &Tech),2002年第42卷第2期2002, Vol.42, No.236/37278-280

求解不可壓縮流動的分步有限元格式

江春波, 徐照明, 李秀麗

(清華大學水利水電工程系,北京100084)

收稿日期: 2000-10-23

基金項目:國家自然科學基金資助項目(59979013);四川大學高速

水力學國家重點實驗室訪問學者資助項目

作者簡介:江春波(1960-),男(漢),吉林,副教授。

摘 要:提出求解不可壓縮Navier-Stokes方程的分步有限

元格式,該格式沒有高階微分項產生、程序編制簡單,適用于

非線性的多維復雜流動。應用該方法實際模擬了二維圓柱繞

流的旋渦形成與脫落過程,得出了不同Re情況下圓柱繞流的流速分布。計算得到的不同Re下的旋渦脫落頻率

(Strouhal數)與前人已有的經典解答符合良好。

關鍵詞:分步有限元法;不可壓縮流動;圓柱繞流

中圖分類號:TV 131.41

文章編號:1000-0054(2002)02-0278-03文獻標識碼:A

Fractional step finite element formulation

for solving incompressible flows

JIANG Chunbo,XU Zhaoming,LI Xiuli

(Department of Hydraulic and Hydropower Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

Abstract: A fractional step finite element scheme is proposed for

unsteady incompressible flows.Since no higher order terms are

introduced in the presented computation, this method is suitable for

nonlinear multi-dimensional problems.The unsteady flow around a

two dimensional circular cylinder was analyzed to predict the flow

patterns for different Reynolds numbers.The predicted Strouhal

number for vortex shedding is in good agreement with previous

result.Key words: fractional step finite element method;incompressible

flow;flow around cylinders

求解高Reynold數流動的關鍵問題之一就是解

決由于對流較強而引起的數值波動問題。為了獲得

穩定的數值解,已經設計出了很多迎風格式。目前公

認的精度較高的迎風格式有流線迎風法

(Streamline Upwind/Petrov-Galerkin)[1], Taylor-

Galerkin法[2]和Lax-Wendroff有限元法[3]等,這

些方法都已經應用于求解不可壓縮流動和對流擴散

問題[4]。

對于不可壓縮流動,由于壓力項不在連續方程

中出現,使得數值求解比較困難[5]。本文將壓力和流

速分開求解,對壓力和流速采用同階的形函數進行

空間離散,壓力通過導出的泊桑方程進行求解,流

速通過顯式格式進行求解。

不可壓縮粘性流體繞圓柱的流動,是流體力學的經典問題之一,較多的研究者在理論與實驗兩個

方面進行了大量的工作[6～8]。模擬圓柱繞流流動需

要數值精度高且穩定性好的數值格式,由于本文提

出的基于Taylor展開的分步有限元法數值穩定性

好,并且沒有人工調節參數,適用于高Re不可壓縮

流動的數值求解。用該方法能夠模擬出圓柱繞流尾

流區的非恒定交錯排列的Karman渦街,不同Re下

計算得到的渦街脫落頻率與前人的經典結果[7,8]符

合良好。由于本文的分步有限元方法具有較大的數

值穩定區域,計算效率較高[2,4]。控制方程和定解條件

不可壓縮流動由Navier-Stokes(N-S)方程和連

續方程控制

ui

t+ujui,j=-p,iρ+ν(ui,j+uj,i),j+fi,i= 1,2,3,(1)

ui,i= 0.(2)

式中:ui為流速,p為壓力,ρ為流體的密度,ν為

流體的運動粘性系數,fi為外力。設邊界由S1,S2

組成,邊界條件可表示為

ui=u∧i,在S1上,σij=-pδijρ+ν(ui,j+uj,i)=σ∧ij,在S2上.(3)

這里,σij是應力,u∧i,σ∧ij為已知流速和應力。由于圓柱附近流場比較復雜,含有流動分離和旋渦脫落等

現象,需布置較密的網格;而在遠離圓柱的區域,則

可布置較疏的網格,以節省計算工作量。有限元離散格式

流速分量按如下的分步格式求解

un+1/3i=uni+Δt3unit,un+1/2i=uni+Δt2un+1/3it,un+1i=uni+Δtun+1/2it.(4)

從式(4)中可以看出,流速在時間方向上的離散逼近

Taylor展開的三階精度項。由式(1)和式(4),得到

關于N-S方程的時間離散格式如下

un+1/3i-uni

Δt/3=-unjuni,j-

pn,iρ+ν(uni,j+unj,i),j+fni,un+1/2i-uni

Δt/2=-un+1/3jun+1/3i,j-

pn,iρ+ν(un+1/3i,j+un+1/3j,i),j+fn+1/3i,un+1i-uni

Δt=-un+1/2jun+1/2i,j-

pn+1,jρ+ν(un+1/2i,j+un+1/2j,i),j+fn+1/2i.(5)

采用標準的Galerkin法對式(5)進行空間離散。注

意關于時間導數項的系數矩陣并不是集中質量矩

陣,因此本有限元格式的空間離散精度較高[4]。關于

流速的求解,可以不必形成總體系數矩陣,在單元系

數矩陣的基礎上就可以直接求解。根據質量系數矩

陣具有對稱及對角占優之特點,用簡單雅可比迭代

法進行2至3次迭代就可以獲得收斂解。在計算流

速un+1i之前,必須先解出壓力pn+1。在方程(5)的最

后一式兩邊取散度,并引入不可壓條件,可以導出壓

力泊松方程

pn+1,ii

ρ=uni,iΔt-(un+1/2jun+1/2i,j),i+

ν(un+1/2i,j+un+1/2j,i),ji+fn+1/2i,i.(6)

應用Galerkin有限元法可對式(6)進行空間離散。

本文將流速和壓力分開求解,并對流速與壓力采用

相同的形函數,具有計算簡便的特點。在求解流速

時,由于格式的穩定性好[4],可以使計算空間步長比

普通的有限元格式要長,因此計算效率較高。同時每時間步內顯式求解三次流速值,用隱式法求解一次

壓力,在求解壓力時可以用較大的時間步長,因此本

有限元法比較節省計算時間。計算結果與討論

3.1 計算區域與計算網格

為了使兩側邊界不影響圓柱附近的流動,計算

區域在橫向(垂直來流方向)取為10d, d為圓柱的直徑;在縱向取為27d。由于圓柱附近流場比較復

雜,含有流動分離和旋渦脫落等現象,須布置較密的網格;而在遠離圓柱的區域,則可布置較疏的網格,以節省整個計算的工作量,又考慮到圓與矩形的銜

接,故這里采用三角形網格,圖1為圓柱繞流網格劃

分示意圖,總結點數為2 815,劃分單元數為5 424。

圖1 計算區域與網格劃分

3.2 不同Re下流動情況的比較

定義Strouhal數為Sr=fd/u0,其中f為旋渦的生成脫落頻率, d為圓柱的直徑, u0為均勻來流

流速。圖2給出了不同Re下計算得到的流線圖。在Re較小(Re=10, t=200s)時,流動在圓柱背后形

成對稱的旋渦。隨著Re的增高,圓柱后面的旋渦逐

漸趨于非對稱,在圓柱后面形成交錯排列的Karman渦街。用本文的有限元格式計算,不必給人

工擾動就可以模擬出非恒定的Karman渦街。圖2

中分別給出了Re=10(t=200s), 100(t=180s),Re=1 000(t=80s)的流線分布情況。從計算結果中

可見,旋渦的生成脫落半周期約為6s,相應的Sr為

0.166,與Williamson[7]的結果符合良好;在Re=1

000的情況下,對流作用強,流態變化復雜,用本文的分步有限元格式可以得到穩定的數值解。計算過

程沒有人工粘性系數的導入,也沒有引入需要調整的人工參數。

3.3 固定Re不同時刻流線圖

為了形象地考察圓柱后面的旋渦生成與脫落過

程,計算了Re=200的流動,圖3給出了時間t=

154～159s每秒時的流線圖。注意t=154s時在圓

柱的右下方有一個小旋渦生成,隨著時間的增長這

個小旋渦在不斷的擴大并向圓柱的右上方移動,在t=159s時這個旋渦破裂,同時一個新的小旋渦在279江春波,等: 求解不可壓縮流動的分步有限元格式圖2 不同Re下圓柱附近流線 圓柱的右上方生成。這一過程記為旋渦生成脫落的半周期,時間間隔約為5.5s,相應的Sr為0.188,與前人的經典結果(圖4)[7]符合良好,也符合半周期與Re的關系曲線。

圖3 不同時刻圓柱附近流線分布(Re=200)

圖4 文[7]的流線圖(Re=200)結 論

基于Taylor展開的分步有限元格式由于沒有

新的高階項,故此法適用于有復雜邊界形狀的非線

性多維問題。本方法具有算法簡單,計算效率高的優

點。本文將該有限元法應用于求解不可壓縮流動,得

到了圓柱繞流交錯排列的Karman渦街。算例表明

此法計算效率較高,計算結果與已有文獻結果符合良好。

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