第一篇：6 湖北 呂輝 例談局部固定法在競賽不等式中的應用(發表于高中數理化高二 2010.9)

例談局部固定法在競賽不等式中的應用

呂輝(湖北省十堰市東風高級中學 442001 lvhui19841208@163.com)所謂“局部固定法”就是在多變量問題中,將其中一個變量視為“定值”，分析其它變量是何關系時達到最值.然后再＂松動＂固定的變量,視為新的變量,從而轉化為我們熟知的一元函數問題.此文就此法在競賽不等式中的應用進行解析,希望能為廣大競賽愛好者提供幫助.例1:(2010年湖北高中數學聯賽)若x,y,z均為正實數，且x2?y2?z2?1，則S?(z?1)2xyz2的最小值為 解:現”固定”z, 則x2?y2?1?z2(定值)2xy?x2?y2?1?z2(x?y時取等號)S?(z?1)2xyz2?1?zz?1?z?(2x2?z2?1時取等?z??0,1?)現”松動”z將其視為變量,令:t?1?z,t??1,2?

原式?1?zz?1?z??t?t?3t?22?12????t???3t???3?22 ,t??1,2?

t?122時取得最小值Smin?3?22

122例2:(伊朗國家選拔考試題)若a,b,c?0且滿足a?b?c?3

2?a?b2?c?b2?c?a4證明:不妨設a?b?c,即c?1,現“固定”c,則a?b?3?c

111?? 下證：當且僅當a?b時,取最大值 2222222?a?b2?c?b2?c?a求證:

2??122?3.①由a,b?0 ②12?c?b??22a?b2?a?b22222?當a?b時，212?a?b222222最大

?12?c?a222?（22?c）?(a?b)(2?c)?(2?c)(a?b)?ab222222222（22?c）?(a?b)?2ab(2?c)?(2?c)[(a?b)?2ab]?ab（22?c）?(3?c)?2ab(2?c)?(2?c)[(3?c)?2ab]?ab222222222，22令：m?2?c,n?3?c,t?2m?n?2ab則

2?n2?n22ab?2a(n?a)??0,?t?[2m?,2m?n)，??22??原式?4tt?2nt?n?4mn22242?t?4n?4mnt242,t?[2m??2n2n22,2m?n)

2注意到3n?4m??(c?1)(c?19)?0則

(n?4mn)?(2m?422n22)?23n?8mn?16m442?(3n?4m)(n?4m)422?0，即:2m?則t?n?4mntn242n22n?2n?4mn42，12?c?b222在t?[2m?22,2m?n)上單調遞增,?n212?c?a22在t?2m?2時取值最大,此時t?2m?n?2ab?2m?12?a?b222n2得a?b?1?

1由①②得：無論“固定”c(c?1)為多少,a?b時最大.則

1?2?c?b222?c?a22均在2?a?b22?12?c?b222?12?c?a822?2?2(13?c2)2?222?c?(3?c2)2

?c?6c?132?5c?6c?172,1?c?3，現“松動”c,將c視為變量,只需證明

2c?6c?132222?85c?6c?172?234

2?8(5c?6c?17)?32(c?6c?13)?3(5c?6c?17)(c?6c?13)

?(c?1)(5c?26c?37)?0，2當1?c?3時有5c2?26c?37?0，得證。

例3:(美國數學月刊征解題)設x,y,z??0,???且x2?y2?z2?1,求函數的值域.f?x?y?z?xyz解：現“固定“z，則x2?y2?1?z2 令x?f?1?z2cos?,y?2???21?zsin?(???0,?）

?2?21?z?sin??cos???z?1?z??sin?cos???z

t?122 令cos??sin??t?1,2，則sin?cos??f?zz?1??，2] ?2?t22?1?zt?z?1z1?z22z22?z2?1,t?(1,?2

? f的對稱軸:t0??1z?(1?z)22?fmax?f(2),fmin?f(1),現“松動”z將其視為變量 fmin?f(1)?1?z2?z(z??0,1?), 令:z?sin?(0????2)

fmin?f(1)?cos??sin??2sin(??????)，???0,? 4?2??fmin?f(1)min?1，fmax?f(2)?z2?z2?1??21?z2?z,(z??0,1?), 令:z?sin?(0????2)fmax?f(2)??12sin?cos??22cos??sin?

?fmax?f(2)max，令:m?sin???0,1?，f(2)?g(m)?12m?312m?221?m22，22g?(m)?32m?212?22m1?m2?(3m?1)1?m?22m21?m2222g?(m)?0?(3m?1)1?m?22m?8m?(3m?1)(1?m)?0

?3?24?(3m?1)(3m?1)?0?m??,1?

?3????3?24 g?(m)?0?(3m?1)(3m?1)?0?m??0,???3??fmax?f(2)max?g(33)?839?83??f值域為?1,? ?9??