小學數學趣題巧算百題百講百練--幾何部分

本篇為幾何部分。

小學生學習幾何初步知識，不僅要掌握一些基本的平面圖形和立體圖形的性質、特征，還要會求這些平面圖形的周長、面積及這些立體圖形的表面積、體積，而且還要會綜合地、巧妙地運用這些知識來進行計算。特別是計算一些組合圖形的面積時，常常用到割補、剪拼、平移、翻轉等辦法，使得計算巧妙、簡便。要學會這些方法，應用這些方法。通過解幾何題的訓練，更好地培養空間想象力，這對學好小學幾何初步知識是極有利的，同時也為將來到中學進一步學習幾何知識，打下良好而堅實的基礎。

例21

下圖中圓O的面積和長方形OABC的面積相等。已知圓O的周長是9.42厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米？

分析與解

題中告訴我們，圓O的面積和長方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于π·r·r，而圖中圓O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是π·r，即圓O的周長的一半。而長方形的周長等于2個長與2個寬的和，也就是圓O的周長與直徑的和。

長方形OABC的周長是：

9.42+9.42÷3.14

=9.42+3

=12.42（厘米）

答：長方形OABC的周長是12.42厘米。

例22

桌面上有一條長80厘米的線段，另外有直徑為1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圓形紙片若干張，現在用這些紙片將桌上線段蓋住，并且使所用紙片圓周長總和最短，問這個周長總和是多少厘米？

分析與解

要想蓋住桌上線段，并且使所用紙片圓周長總和最短，那么蓋住線段的圓形紙片應該是互不重疊，一個挨一個地排開，這時若干個圓形紙片直徑的總和正好是80厘米。這些圓形紙片周長的總和與直徑為80厘米的圓的周長相等，因此蓋住桌子上線段的若干個圓形紙片的周長總和是：

3.14×80=251.2（厘米）

答：這個周長總和是251.2厘米。

例23

圖2為三個同心圓形的跑道，跑道寬1米。某人沿每條圓形跑道的中間（虛線所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？

分析與解

根據題意，要求某人一共跑了多少米，就是求半徑分別為1.5米、2.5米和3.5米的三個圓的周長之和。列式為

3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）

＝3.14×3+3.14×5+3.14×7

=3.14×（3+5+7）

=3.14×15

=47.1（米）

還可以這樣思考：

如果這個人拿著一個1米寬的拖把，邊跑邊拖地，他跑了1個圓圈，就把這一圈的跑道全拖干凈。那么他跑了3個圓圈，就把這三條圓形跑道全拖干凈了。他共拖了3個環形面積的地。這3個環形面積的總和是

3.14×（42-32）+3.14×（32-22）+3.14×（22-12）

=3.14×（42-32+32-22+22-12）

=3.14×（42-12）

=3.14-[（4+1）×（4-1）]

=3.14×15

=47.1（平方米）

當然，也可以直接列式：3.14×（42-12）=47.1（平方米）

因為跑道寬1米，這個人拖完47.1平方米，那么他就前進了47.1米。

答：一共跑了47.1米。

這里列舉的只是某人跑了3個圓形跑道。如果將題改為跑100個這樣的圓形跑道，那么用后面介紹的解法計算他跑步的總長度，就簡捷多了。

解法如下：

3.14×（1012-12）

=3.14×（101+1）×（101-1）

=3.14×102×100

=32028（平方米）

因為跑道寬1米，所以共跑了32028米。

例24

在面積是40平方厘米的正方形中，有一個最大的圓（如圖3）。這個圓的面積是多少平方厘米？

分析與解

要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。對小學生來講，從正方形的面積求正方形的邊長，還不會直接計算。

可以這樣思考：

把正方形平均分成4份（如圖4）。每個小正方形的面積是40÷4=10平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是10平方厘米。這樣就可以求出圓的面積是3.14×10=31.4平方厘米了。

答：圖中圓面積是31.4平方厘米。

例25

圖5由正方形ABCD和長方形EFDG部分重疊而成。正方形的邊長是247.8厘米；長方形的長是292.404厘米、寬是210厘米，正方形和長方形哪個面積大？

分析與解

要比較正方形ABCD和長方形EFDG面積的大小，方法是分別算出它們的面積再進行比較。從題中給出的數據看，確實給計算帶來麻煩。

只要在AF兩點間連一條線段（如圖6），就會發現，三角形

AFD的面積是正方形

ABCD面積的一半，同時也是長方形EFDG面積的一半，所以正方形ABCD和長方形EFDG的面積一樣大。這樣，也就不用計算這兩個圖形的面積了。

例26

圖7由半圓和等腰直角三角形重疊而成。已知等腰直角三角形的直角邊長為4厘米，求圖中陰影面積。

分析與解

如果分別算出兩個陰影部分的面積，再把它們加起來，以便求出圖中陰影部分的總面積，那就太復雜了。

根據題中的條件，我們可以把圖中弓形陰影剪下來拼（或旋轉）成圖8。

從圖8不難看出，題中要求的陰影部分的面積就是三角形

ABC面積的一半。

圖中的陰影面積是：

（4×4÷2）÷2=4（平方厘米）

答：圖中陰影面積是4平方厘米。

例27

有5個正方形（如圖9），邊長分別是1米、2米、3米、4米、5米。問圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是幾比幾？

分析與解

觀察已知圖形，顯然，先計算出白色面積比較簡單。

白色部分面積是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）

陰影部分面積是：52-10=15（平方米）

因此，白色部分面積與陰影部分面積之比是：10∶15，即2∶3。

還可以這樣想：作正方形的對角線AD和BC，兩條對角線相交于O，于是兩條對角線把正方形平均分成四部分（如圖10）。

要計算整個圖形中白色部分面積與陰影部分面積的比，只需計算三角形AOB中白色部分面積與陰影部分面積的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和陰影的兩部分圖形都看作是一些梯形，其中把最上端的小陰影三角形看作是上底為O的梯形。這些梯形的高都相等，所以這些梯形面積之比就是這些梯形上、下底的和之比。

從小到大，5個梯形面積比是：

1∶（1+2）∶（2+3）

∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9

因此，圖中白色部分面積與陰影部分面積的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3

答：圖中白色部分面積與陰影部分面積比是2∶3。

例28

有一個直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面積比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，那么ED長多少厘米？

分析與解

連接DB（圖12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面積大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面積也大17.4平方厘米。

三角形BDE的面積是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形

BDE的面積等于ED×BC×1/2

即ED×6×1/2=6.6

所以ED長是2.2厘米。

答：ED的長是2.2厘米。

例29

圖13由4個正六邊形拼成，每個正六邊形的面積都是6，那么三角形ABC的面積是多少？

分析與解

首先連接每個正六邊形的對角線，將每個六邊形平均分成六個小的正三角形（如圖14），那么每一個小三角形的面積都是1。

由圖14不難看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA組成的，其中三角形DEF的面積是4，而其它的三個三角形面積都相等。

先看三角形ABE。它正好是平行四邊形AGBE的一半，而平行四邊形AGBE的面積是6，因此，三角形ABE的面積是3。當然，三角形BDC和三角形CFA的面積也是3。

由此得出三角形ABC的面積是

4+3×3=13

答：三角形ABC的面積是13。

例30

已知圖15中正方形ABCD的面積是256平方厘米，那么正方形EFGH的面積是多少平方厘米？

分析與解

將圖15中正方形A0′B′C′D′旋轉成圖16。由圖中不難看出：正方形

A′

B′C′D′的面積是正方形ABCD面積的1/2；正方形EFGH的面積是正方形A′B′C′D′的面積的1/2。因此，正方形

已知正方形ABCD的面積是256平方厘米，所以正方形EFGH的面積是

答：正方形EFGH的面積是64平方厘米。

例31

圖17是一個正方形地板磚示意圖，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中間小正方形

EFGH的面積是16平方厘米，四塊藍色的三角形的面積總和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面積是多少平方厘米？

分析與解

連AC和BD兩條大正方形的對角線，它們相交于O，然后將三角形AOB放在DPC處（如圖18和圖19）。

已知小正方形EFGH的面積是16平方厘米，所以小正方形EFGH的邊長是4厘米。

又知道四個藍色的三角形的面積總和是72平方厘米，所以兩個藍色三角形的面積是72÷2=36平方厘米，即圖19的正方形OCPD中的小正方形的面積是36平方厘米，那么這個正方形的邊長就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的邊長是4+6=10厘米，當然正方形OCPD的面積就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面積恰好是正方形ABCD的面積的一半，因此正方形ABCD的面積是200平方厘米。

答：正方形ABCD的面積是200平方厘米。

例32

一個任意凸六邊形ABCDEF，P、Q、M、N分別為AB、BC、DE和EF邊上的中點。已知陰影部分的面積是100平方厘米，那么六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？

分析與解

連接BF、BE、BD，在三角形ABF中，P是AB的中點，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面積相等。

同理，由于N為EF中點，所以三角形FNB和三角形

ENB的面積相等；由于M為DE中點，所以三角形DMB和三角形EMB的面積相等；由于Q為BC中點，所以三角形BQD和三角形CQD的面積相等。

由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。

而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=陰影面積=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面積=100平方厘米。

因此，六邊形

ABCDEF的面積為100×2=200平方厘米。

答：六邊形ABCDEF的面積是200平方厘米。

例33

圖21是一個圓形鐘面，圓周被平均分成了12等份。已知圓形的半徑是6厘米，那么圖中陰影的面積是多少平方厘米？

分析與解

題中告訴我們：圓周被平均分成了12等份，因此連接OE，由圖中不難看出：三角形AOB與三角形EOB是等底同高的三角形，這兩的面積相等。

于是圖中陰影的面積是：

答：陰影的面積是18.84平方厘米。例34圖

23中四邊形ABCD是一個正方形。E、F分別為CD和BC邊上的中點。已知正方形ABCD的邊長是30厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

分析與解

已知四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD邊與BC邊上的中點，因此，三角形BCE和三角形DCF面積相等。這兩個三角形的面積各自減去四邊形GFCE的面積，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面積還是相等的。

連接GC（如圖24），三角形GBF面積和三角形GCF的面積是相等的，因為這兩個三角形等底同高。同理，三角形GCE面積和三角形GDE的面積也是相等的。而三角形GBF的面積和三角形GDE的面積相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面積的四個三角形。

因為三角形BCE的面積等于正方形ABCD面積的1/4，所以圖中空白部分的面積，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面積之和為正方形ABCD面積的從而得出圖中陰影部分的面積為正方形ABCD面積的那么陰影部分的面積是：

答：圖中陰影部分的面積是600平方厘米。

例35

為了美化校園，東升小學用鮮花圍成了兩個圓形花壇。小圓形花壇的面積是3.14平方米，大圓形花壇的半徑是小圓形花壇半徑的2倍。大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大多少平方米？

分析與解

我們知道圓的面積與半徑的平方成正比。題中告訴我們，大圓的半徑是小圓半徑的2倍，那么大圓面積是小圓面積的22倍。

大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大

3.14×（22-1）

=3.14×3

=9.42（平方米）

答：大圓形花壇的面積比小圓形花壇的面積大9.42平方米。

例36

有兩個長方形，甲長方形的長是98769厘米，寬是98765厘米；乙長方形的長是98768厘米，寬是98766厘米。這兩個長方形的面積哪個大？

分析與解

利用長方形面積公式，直接計算出面積的大小，再進行比較，這是可行的，但是計算太復雜了。

可以利用乘法分配律，將算式變形，再去比較兩個長方形的面積大小，這就簡便多了。

甲長方形的面積是：

98769×98765

=98768×98765+98765

乙長方形的面積是

98768×98766

=98768×98765+98768

比較98768×98765+98765與98768×98765+98768的大小，一眼便能看出：甲長方形的面積小，乙長方形的面積大。

還有如下一種思考解答方法。

請先看看下面的事實。

周長相等的兩個長方形，長與寬的差越大，則面積就越小；反之，長與寬之差越小，則面積就越大。當然，當長方形長與寬之差為0時，也就是為正方形時，面積則最大。

假設有兩個長方形的周長是20厘米，那么周長的一半，也就是長與寬的和，是10厘米，列舉出一部分長、寬的大小與面積的關系，就會得出上面所講的事實是存在的，并且是正確的。

我們再回到原題。甲、乙兩個長方形的長與寬的和是相等的（當然它們的周長也相等），即

98769+98765=98768+98766

而甲長方形長與寬的差是：

98769-98765=4（厘米）

乙長方形長與寬的差是：

98768-98766=2（厘米）

因為4厘米＞2厘米，所以甲長方形的面積小，乙長方形的面積大。

答：乙長方形的面積大。

例37

一個紅色的正方形ABCD，它的邊長是1993厘米；另一個紅色的正方形A′B′C′D′，它的邊長是

1994厘米。一個綠色正方形EFGH，它的邊長是1992厘米，另一個綠色正方形E′F′G′H′，它的邊長是1995厘米。問兩個紅色的正方形的面積大，還是兩個綠色的正方形面積大？

分析與解

要比較兩個紅色的正方形面積大，還是兩個綠色的正方形面積大，可以先分別算出它們的面積，然后再進行比較。不過這樣計算起來就太復雜了。

可以這樣比較它們的大小：

先將紅色正方形ABCD與綠色正方形EFGH重疊在一起（如圖26）。

從圖26不難看出，紅色正方形ABCD的面積比綠色正方形EFGH的面積大的平方厘米數是：

1×1992+1×1+1×1992=2×1992+1

再將紅色正方形A′B′C′D′與綠色正方形E′F′G′H′重疊在一起（如圖27）。

從圖27不難看出，紅色正方形A′B′C′D′的面積比綠色正方形E′F′G′H′的面積小的平方厘米數是：

1×1994+1×1+1×1994

=2×1994+1

而2×1994+1＞2×1992+1，也就是說綠色正方形E′F′G′H′比紅色正方形A′B′C′D′大的面積數超過紅色正方形ABCD比綠色正方形EFGH大的面積數。因此兩個綠色正方形的面積大。

答：兩個綠色正方形的面積大。

例38

在長方形ABCD中，AE的長度與ED的長度的比是8∶5；BF的長度與FC的長度的比是11∶7。那么涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍色的兩塊圖形的面積相比較，哪個大？

分析與解

要比較涂紅色的兩塊圖形的面積大，還是涂藍色的兩塊圖形的面積大，只要比較三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因為這兩個三角形各自減去重疊的那塊四邊形，剩下的就是兩個涂紅色的圖形和兩個涂藍色的圖形了。

因為ABCD是長方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是長方形ABCD的寬，所以比較三角形AEC和三角形BDF的大小時，只要比較AE和BF的大小就可以了。

根據已知，AE的長度與ED的長度的比是8∶5，那么AE的長度就占

即AE＞BF，從而得出三角形AEC的面積大于三角形BDF的面積。

因此，涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍色的兩塊圖形的面積。

答：涂紅色的兩塊圖形的面積大于涂藍色的兩塊圖形的面積。

例39

一塊長方形小麥田，被互相垂直的兩條直線分成A、B、C、D四部分。A的地積是45公畝，B的地積是20公畝，C的地積是36公畝。那么，D有多少公畝？

分析與解

觀察圖29不難發現，B與C的長是相等的，因此，B與C地積的比就是它們寬的比。A與D的長也是相等的，因此，A與D地積的比也是它們寬的比。而A與B，C與D的寬分別相等，于是

A∶D=B∶C

即

45∶D=20∶36

D=81

答：D有81公畝。

例40

有50個表面涂有紅漆的正方體，它們的棱長分別是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米，將這些正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，得到的小正方體中，至少有一個面是紅色的小正方體共有多少個？

分析與解

棱長為1厘米涂有紅漆的小正方體，不用鋸，就是棱長1厘米的小正方體，它當然是至少有一個面是紅色的小正方體了。

將棱長為3厘米的涂有紅漆的小正方體，鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得到33個，其中沒有涂紅漆的共（3-2）3個。

將棱長為5厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得53個，其中沒有涂紅漆的共（5-2）3個。

將棱長為7厘米的涂有紅漆的小正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體，共得73個，其中沒有涂紅漆的共（7-2）3個。

由以上分析、計算發現，將校長為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四個正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體后，得到至少有一個面為紅色的小正方體共有

13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3

=13+33-13+53-33+73-53

=13+33+53+73-13-33-53=73=343（個）

按照這樣的規律可得，將棱長為1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米這50個正方體鋸成棱長為1厘米的小正方體后，得到至少有一個面為紅色的小正方體共有：

13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（個）

答：至少有一個面是紅色的小正方體共有970299個。

例41

有棱長為1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方體102個，把它們的表面都涂上紅漆，晾干后把這102個正方體都分別截成1立方厘米的小正方體，在這些小正方體中，只有2個面有紅漆的共有多少個？

分析與解

根據題意，首先應該想到只有2個面有紅漆的小正方體，都在原來大正方體的棱上。原來棱長是1厘米、2厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得不到只有2個面有紅漆的小正方體。棱長是3厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，大正方體的每條棱上都有1個小正方體只有2個面有紅漆。每個正方體有12條棱，因此可得到

12個只有

2個面有紅漆的小正方體，即共有（3-2）×12個。

棱長為4厘米的正方體，將它截成1立方厘米的小正方體后，得到只有

2個面有紅漆的小正方體共（4-2）×12個。

依此類推，可得出，將這102個正方體截成1立方厘米小正方體后，共得到只有2個面有紅漆的小正方體的個數是：

[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]×12

=[1+2+3+……+100]×12

=60600

答：只有2個面有紅漆的小正方體共有60600個。

例42

有一個長方體木塊，長125厘米，寬40厘米，高25厘米。把它鋸成若干個體積相等的小正方體，然后再把這些小正方體拼成一個大正方體。這個大正體的表面積是多少平方厘米？

分析與解

一般說來，要求正方體的表面積，一定要知道正方體的棱長。題中已知長方體的長、寬、高，同正方體的棱長又沒有直接聯系，這樣就給解答帶來了困難。我們應該從整體出發去思考這個問題。

按題意，這個長方體木塊鋸成若干個體積相等的小正方體后，又拼成一個大正方體。這個大正方體的體積和原來長方體的體積是相等的。已知長方體的長、寬、高，就可以求出長方體的體積，這就是拼成的大正方體的體積。進而可以求出正方體的棱長，從而可以求出正方體的表面積了。

長方體的體積是

125×40×25=125000（立方厘米）

將

125000分解質因數：

125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5

=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）

可見大正方體的棱長是

2×5×5=50（厘米）

大正方體的表面積是

50×50×6=15000（平方厘米）

答：這個大正方體的表面積是15000平方厘米。

例43

一個正方體形狀的木塊，棱長2分米。沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊（如圖30）。這60塊長方體表面積的和是多少平方分米？

分析與解

解答這道題的最直接的想法是將這大大小小的60個長方體形狀的小木塊的表面積分別計算出來，然后再求出總和，這樣做是可以的，但計算極為復雜。因此解答這題時，應從整體出發，這樣，問題就簡單多了。

這個正方體形木塊在未鋸成60個長方體形狀的小木塊前，共有6個面，每個面的面積是2×2=4平方分米，6個面共24平方分米。不管后來鋸成多少塊小長方體，這6個面的24平方分米的面積總是后來的小長方體的表面積的一部分。

現在我們來考慮將木塊每鋸一刀的情況。顯然，每鋸一刀就會增加2個4平方分米的表面積，根據題意，現在一共鋸了2+3+4=9刀，共增加了18個4平方分米的表面積。

因此，這60塊大大小小的長方體的表面積總和是

24+4×18=96（平方分米）

或列式為

2×2×[6+（2+3+4）×2]

=4×[6+18]

=4×24

=96（平方分米）

答：60塊長方體表面積的和是96平方分米。

例44

一個圓柱體，底面半徑是5厘米，這個圓柱體的側面積是100平方厘米。它的體積是多少立方厘米？

分析與解

一般的解法是先求出圓柱體的高和底面積，再求圓柱體的體積。

圓柱體的高：

圓柱體的底面積：

3.14×52=78.5（平方厘米）

圓柱體的體積：

我們已知學過，用切拼的方法，可以把一個圓柱體切拼成一個與它等體積的近似的長方體（如圖31）

觀察圖31不難發現，圓柱體的體

積等于側面積的一半與底面半徑的乘積，即

用這個式子計算題中圓柱體的體積，就比用一般的方法計算要簡便多了。

答：圓柱體的體積是250立方厘米。