高考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)題舉例解析

高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時(shí)，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文通過幾個(gè)例子，剖析致錯(cuò)原因，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。

●

忽視等價(jià)性變形，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

?，但

與

不等價(jià)。

【例1】已知f(x)

=

ax

+，若求的范圍。

錯(cuò)誤解法

由條件得

②×2－①

①×2－②得

+得

錯(cuò)誤分析

采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（小）值時(shí)，不一定取最大（小）值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法

由題意有,解得：

把和的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。

●忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

【例2】

(1)

設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是

思路分析

本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：

有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根，∴

T

當(dāng)時(shí)，的最小值是8；

當(dāng)時(shí)，的最小值是18。

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

(2)

已知(x+2)2+

=1,求x2+y2的取值范圍。

錯(cuò)解

由已知得

y2=－4x2－16x－12，因此

x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴當(dāng)x=－時(shí)，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞,]。

分析

沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。

事實(shí)上，由于(x+2)2+

=1

T

(x+2)2=1－

≤1

T

－3≤x≤－1，從而當(dāng)x=－1時(shí)x2+y2有最小值1。∴

x2+y2的取值范圍是[1,]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)－1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。

●忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯(cuò)解

(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析

上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

事實(shí)上，原式=

a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4

=

(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=

得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號成立)，∴(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是。

●不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤

【例4】(1)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求

錯(cuò)誤解法

錯(cuò)誤分析

顯然，當(dāng)時(shí)。

錯(cuò)誤原因：沒有注意公式成立的條件是。

因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：。

(2)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法

將圓與拋物線

聯(lián)立，消去，得

①

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得，解之得

錯(cuò)誤分析

（如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

x

y

O

圖2－2－2

x

y

O

圖2－2－1

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得

因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，(1)

有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；(4)沒有公共點(diǎn)。

●以偏概全，導(dǎo)致錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

【例5】(1)設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法。

錯(cuò)誤分析

在錯(cuò)解中，由，時(shí)，應(yīng)有。

在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。

正確解法

若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意

T

T,即因?yàn)椋运越獾?/p>

說明

此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

(2)求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法

設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得整理得

直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為

錯(cuò)誤分析

此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法

①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。

②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y

=

1平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

③一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為,則，令解得k

=,∴

所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

《章節(jié)易錯(cuò)訓(xùn)練題》

1、已知集合M

=

{直線}，N

=

{圓}，則M∩N中元素個(gè)數(shù)是

A(集合元素的確定性)

(A)

0

(B)

0或1

(C)

0或2

(D)

0或1或22、已知A

=，若A∩R*

=

F，則實(shí)數(shù)t集合T

=

___。(空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是C(等號)

(A)

－1≤k≤0

(B)

－1≤k<0

(C)

－1

(D)

－1

（A）

（B）

（C）

（D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號)

(A)

[,1)

(B)

(1,+

￥)

(C)

(,1)

(D)

(,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na

+對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號)

(A)

[－2，)

(B)

(－2，)

(C)

[－3，)

(D)

(－3，)

7、已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：；當(dāng)時(shí)，；對于任意的實(shí)數(shù)、都有。證明：為奇函數(shù)。(特殊與一般關(guān)系)

8、已知函數(shù)f(x)

=，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是_____。遞減區(qū)間(－￥，－1)和(－1，+￥)

（單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間）

9、函數(shù)y

=的單調(diào)遞增區(qū)間是________。[－，－1）（定義域）

10、已知函數(shù)f

(x)=，f

(x)的反函數(shù)f

－1(x)=。

（漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域）

11、函數(shù)

f

(x)

=

log

(x

+

a

x

+

2)

值域?yàn)?/p>

R，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是D(正確使用△≥0和△<0)

(A)

(－2,2)

(B)

[－2,2]

(C)

(－￥,－2)∪(2,+￥)

(D)

(－￥,－2]∪[2,+￥)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值為B(隱含條件)

（A）2

（B）

（C）

（D）013、函數(shù)y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)

（定義域）

14、函數(shù)y

=

sin

x

(1

+

tan

x

tan)的最小正周期是C

（定義域）

(A)

(B)

p

(C)

2p

(D)

315、已知

f

(x)

是周期為

2的奇函數(shù)，當(dāng)

x

?

[0,1)

時(shí)，f

(x)

=

x，則

f

(log

23)

=

D(對數(shù)運(yùn)算)

(A)

(B)

(C)

－

(D)

－

16、已知函數(shù)在處取得極值。

（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

（2）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。(2004天津)

（求極值或最值推理判斷不充分(建議列表)；求過點(diǎn)切線方程，不判斷點(diǎn)是否在曲線上。）

17、已知tan

(a－)=

－

則tan

a

=

；=

。、（化齊次式）

18、若

sin

2a

+

sin

2b

－2

sin

a

=

0，則cos

2a

+

cos

2b的最小值是

__

。(隱含條件)

19、已知sinq

+

cosq

=，q

?

(0，p)，則cotq

=

_______。－(隱含條件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a

=2、、，則∠B

=

B(隱含條件)

（A）

（B）

（C）

（D）

21、已知a>0,b>0,a+b=1，則(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x

≠

kp

(k

?

Z)，函數(shù)y

=

sin2x

+的最小值是______。5（三相等）

23、求的最小值。

錯(cuò)解1

錯(cuò)解2

錯(cuò)誤分析

在解法1中，的充要條件是

即這是自相矛盾的。

在解法2中，的充要條件是

這是不可能的。

正確解法1

其中，當(dāng)

正

確

解

法2

取正常數(shù)，易得

其中“”取“＝”的充要條件是

因此，當(dāng)

24、已知a1

=

1，an

=

an－1

+

2n－1(n≥2)，則an

=

________。2n－1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù))

25、已知

－9、a1、a2、－1

四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－9、b1、b2、b3、－1

五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則

b2

(a2－a1)

=

A(符號)

(A)

－8

(B)

(C)

－

(D)

26、已知

{an}

是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，判斷Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？

當(dāng)q

=

－1，k為偶數(shù)時(shí)，Sk

=

0，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比數(shù)列；

當(dāng)q≠－1或q

=

－1且k為奇數(shù)時(shí)，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列。

（忽視公比q

=

－1）

27、已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，f(an)－f(an－1)

=

k(an－an－1)(n

=

2,3,┄)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求。(2004天津)

（等比數(shù)列中的0和1，正確分類討論）

28、不等式m2－(m2－3m)i<

(m2－4m

+

3)i

+

10成立的實(shí)數(shù)m的取值集合是________。{3}(隱含條件)

29、i是虛數(shù)單位，的虛部為（）C(概念不清)

(A)

－1

(B)

－i

(C)

－3

(D)

－3

i30、實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法

方程至少有一個(gè)實(shí)根，T

或

錯(cuò)誤分析

實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法

設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則

由于都是實(shí)數(shù)，,解得

31、和a

=

(3,－4)平行的單位向量是_________；和a

=

(3,－4)垂直的單位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)

32、將函數(shù)y=

4x－8的圖象L按向量a平移到L/，L/的函數(shù)表達(dá)式為y=

4x，則向量a=______。

a

=

(h，4h+8)

(其中h

?

R)(漏解)

33、已知

||＝1，||＝，若//，求·。

①若，共向，則

·＝||?||＝，②若，異向，則·＝－||?||＝－。(漏解)

34、在正三棱錐A－BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC

=

a，則正三棱錐A－BCD的體積為____________。a3

(隱含條件)

35、在直二面角

a－AB－b的棱

AB

上取一點(diǎn)

P，過

P

分別在a、b

兩個(gè)平面內(nèi)作與棱成45°的斜線

PC、PD，那么∠CPD的大小為D(漏解)

(A)

45°

(B)

60°

(C)

120°

(D)

60°

或

120°

36、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。

（1）證明PA//平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(條件不充分(漏PA

?

平面EDB，平面PDC，DE∩EF

=

E等)；運(yùn)算錯(cuò)誤，銳角鈍角不分。)

37、若方程

+

y

=

1表示橢圓，則m的范圍是_______。(0，1)∪(1，+

￥)(漏解)

38、已知橢圓

+

y

=

1的離心率為，則

m的值為

____

。4

或

(漏解)

39、橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)

B

與兩焦點(diǎn)

F1、F2

組成的三角形的周長為

+

2且∠F1BF2

=，則橢圓的方程是

。+

y

=

1或x

+

=

1(漏解)

40、橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明。(2004天津)

(設(shè)方程時(shí)漏條件a>，誤認(rèn)短軸是b

=

2；要分析直線PQ斜率是否存在(有時(shí)也可以設(shè)為x

=

ky

+

b)先；對一元二次方程要先看二次項(xiàng)系數(shù)為0否，再考慮△>0，后韋達(dá)定理。)

41、求與軸相切于右側(cè)，并與⊙也相切的圓的圓心的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法

如圖3－2－1所示，已知⊙C的方程為

設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即，化簡得

錯(cuò)誤分析

本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是y2

=

12x(x>0)和。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

O

·

圖3－2－242、（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法

依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

因?yàn)槎娼堑扔冢宜?/p>

設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而

所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是

錯(cuò)誤分析

上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影(曲線)的焦點(diǎn)，其次，沒有證明默認(rèn)C/在a

內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

O

·

圖3－2－3

M

N

H

正確解法

在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖3－2－3）過點(diǎn)作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以

即所求射影的方程為

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

二、選擇題：

1．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）

A

向右平移

B

向右平移

C

向左平移

D向左平移

錯(cuò)誤分析:審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯(cuò)是此題最容易犯的錯(cuò)誤.答案:

B

2．函數(shù)的最小正周期為

（）

A

B

C

D

錯(cuò)誤分析:將函數(shù)解析式化為后得到周期,而忽視了定義域的限制,導(dǎo)致出錯(cuò).答案:

B

3．曲線y=2sin(x+cos(x-)和直線y=在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3……，則|P2P4|等于

（）

A．p

B．2p

C．3p

D．4p

正確答案：A

錯(cuò)因：學(xué)生對該解析式不能變形，化簡為Asin(x+)的形式，從而借助函數(shù)圖象和函數(shù)的周期性求出|P2P|。

4．下列四個(gè)函數(shù)y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以點(diǎn)(,0)為中心對稱的三角函數(shù)有（）個(gè)

A．1

B．2

C．3

D．4

正確答案：D

錯(cuò)因：學(xué)生對三角函數(shù)圖象的對稱性和平移變換未能熟練掌握。

5．函數(shù)y=Asin(wx+j)(w>0,A10)的圖象與函數(shù)y=Acos(wx+j)(w>0,A10)的圖象在區(qū)間(x0,x0+)上（）

A．至少有兩個(gè)交點(diǎn)

B．至多有兩個(gè)交點(diǎn)

C．至多有一個(gè)交點(diǎn)

D．至少有一個(gè)交點(diǎn)

正確答案：C

錯(cuò)因：學(xué)生不能采用取特殊值和數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題。

6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，則DC的大小應(yīng)為（）

A．

B．

C．或

D．或

正確答案：A

錯(cuò)因：學(xué)生求DC有兩解后不代入檢驗(yàn)。

7．已知tana

tanb是方程x2+3x+4=0的兩根，若a，b?(-)，則a+b=（）

A．

B．或-

C．-或

D．-

正確答案：D

錯(cuò)因：學(xué)生不能準(zhǔn)確限制角的范圍。

8．若，則對任意實(shí)數(shù)的取值為（）

A.1

B.區(qū)間（0，1）

C.D.不能確定

解一：設(shè)點(diǎn)，則此點(diǎn)滿足

解得或

即

選A

解二：用賦值法，令

同樣有

選A

說明：此題極易認(rèn)為答案A最不可能，怎么能會(huì)與無關(guān)呢？其實(shí)這是我們忽略了一個(gè)隱含條件，導(dǎo)致了錯(cuò)選為C或D。

9．在中，則的大小為（）

A.B.C.D.解：由平方相加得

若

則

又

選A

說明：此題極易錯(cuò)選為，條件比較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn)。這里提示我們要注意對題目條件的挖掘。

10．中,、、C對應(yīng)邊分別為、、.若，,且此三角形有兩解,則的取值范圍為

（）

A.B.C.D.正確答案：A

錯(cuò)因：不知利用數(shù)形結(jié)合尋找突破口。

11．已知函數(shù)

y=sin(x+)與直線y＝的交點(diǎn)中距離最近的兩點(diǎn)距離為，那么此函數(shù)的周期是（）

A

B

C

D

正確答案：B

錯(cuò)因：不會(huì)利用范圍快速解題。

12．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是…………………………

（）

A.B.C.D.正確答案：C

錯(cuò)因：不注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。

13．已知且，這下列各式中成立的是（）

A.B.C.D.正確答案(D)

錯(cuò)因:難以抓住三角函數(shù)的單調(diào)性。

14．函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程是（）

正確答案A

錯(cuò)因：沒能觀察表達(dá)式的整體構(gòu)造，盲目化簡導(dǎo)致表達(dá)式變繁而無法繼續(xù)化簡。

15．ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么（）

A．

B．

C．

D．

正確答案A

錯(cuò)因：大部分學(xué)生無法從正面解決，即使解對也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)內(nèi)，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范圍是

（）

A、()

B、()

C、（）

D、()

正確答案：C

17．設(shè)，若在上關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則為

A、或

B、C、D、不確定

正確答案：A

18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，則cosC的值為（）

A、B、C、或

D、答案：A

點(diǎn)評：易誤選C。忽略對題中隱含條件的挖掘。

19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）

A、B、C、或

D、或

答案：A

點(diǎn)評：易誤選C，忽略A+B的范圍。

20．設(shè)cos1000=k，則tan800是（）

A、B、C、D、答案：B

點(diǎn)評：誤選C，忽略三角函數(shù)符號的選擇。

21．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（）。

A、B、C、D、正解：D，而

所以，角的終邊在第四象限，所以選D，誤解：,選B

22．將函數(shù)的圖像向右移個(gè)單位后，再作關(guān)于軸的對稱變換得到的函數(shù)的圖像，則可以是（）。

A、B、C、D、正解：B,作關(guān)于x軸的對稱變換得,然后向左平移個(gè)單位得函數(shù)

可得

誤解：未想到逆推，或在某一步驟時(shí)未逆推，最終導(dǎo)致錯(cuò)解。

23．A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ABC是（）

A、鈍角三角形

B、銳角三角形

C、等腰三角形

D、等邊三角形

正解：A

由韋達(dá)定理得：

在中，是鈍角，是鈍角三角形。

24．曲線為參數(shù)）上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（）。

A、B、C、1

D、正解：D。

由于所表示的曲線是圓，又由其對稱性，可考慮的情況，即

則∴

誤解：計(jì)算錯(cuò)誤所致。

25．在銳角⊿ABC中，若，則的取值范圍為（）

A、B、C、D、錯(cuò)解:

B.錯(cuò)因:只注意到而未注意也必須為正.正解:

A.26．已知，（），則

（C）

A、B、C、D、錯(cuò)解：A

錯(cuò)因：忽略，而不解出

正解：C

27．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為

（）

A．y=sin(－2x+)

B．

y=sin(－2x－)

C．y=sin(－2x+)

D．

y=sin(－2x－)

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度時(shí)，寫成了

正解：D

28．如果，那么的取值范圍是（）

A．，B．，C．，D．，錯(cuò)解:

D．

錯(cuò)因:只注意到定義域,而忽視解集中包含.正解:

B．

29．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）

A、（）

B、C、D、答案：D

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：沒有考慮根號里的表達(dá)式非負(fù)。

30．已知的取值范圍是（）

A、B、C、D、答案：A設(shè)，可得sin2x

sin2y=2t,由。

錯(cuò)解：B、C

錯(cuò)因：將由

選B，相減時(shí)選C，沒有考慮上述兩種情況均須滿足。

31．在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（）

A、（0，2）

B、C、D、答案：C

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：沒有精確角B的范圍

32．函數(shù)

（）

A、3

B、5

C、7

D、9

正確答案：B

錯(cuò)誤原因：在畫圖時(shí)，0＜＜時(shí)，＞意識性較差。

33．在△ABC中，則∠C的大小為

（）

A、30°

B、150°

C、30°或150°

D、60°或150°

正確答案：A

錯(cuò)誤原因：易選C，無討論意識，事實(shí)上如果C=150°則A=30°∴，∴＜＜6和題設(shè)矛盾

34．（）

A、B、C、D、正確答案：C

錯(cuò)誤原因：利用周期函數(shù)的定義求周期，這往往是容易忽視的，本題直接檢驗(yàn)得

35．（）

A、B、C、D、正確答案：B

錯(cuò)誤原因：忽視三角函數(shù)定義域?qū)χ芷诘挠绊憽?/p>

36．已知奇函數(shù)等調(diào)減函數(shù)，又α，β為銳角三角形內(nèi)角，則（）

A、f(cosα)＞

f(cosβ)

B、f(sinα)＞

f(sinβ)

C、f(sinα)＜f(cosβ)

D、f(sinα)＞

f(cosβ)

正確答案：（C）

錯(cuò)誤原因：綜合運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力不強(qiáng)。

37．設(shè)那么ω的取值范圍為（）

A、B、C、D、正確答案：(B)

錯(cuò)誤原因：對三角函數(shù)的周期和單調(diào)性之間的關(guān)系搞不清楚。

二填空題：

1．已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，且、，則的值是_________________.錯(cuò)誤分析：忽略了隱含限制是方程的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法：，是方程的兩個(gè)負(fù)根

又

即

由===可得

答案:

.2．已知,則的取值范圍是_______________.錯(cuò)誤分析:由得代入中,化為關(guān)于的二次函數(shù)在上的范圍,而忽視了的隱含限制,導(dǎo)致錯(cuò)誤.答案:

.略解:

由得

將（1）代入得=.3．若,且,則_______________.錯(cuò)誤分析:直接由,及求的值代入求得兩解,忽略隱含限制出錯(cuò).答案:

.4．函數(shù)的最大值為3，最小值為2，則______，_______。

解：若

則

若

則

說明：此題容易誤認(rèn)為，而漏掉一種情況。這里提醒我們考慮問題要周全。

5．若Sin

cos，則α角的終邊在第_____象限。

正確答案：四

錯(cuò)誤原因：注意角的范圍，從而限制α的范圍。

6．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_________.正確答案：

錯(cuò)因：看不出是兩角和的正切公式的變形。

7．函數(shù)的值域是

．

正確答案：

8．若函數(shù)的最大值是1，最小值是，則函數(shù)的最大值是　　　　　　　　　．正確答案：5

9．定義運(yùn)算為:例如，,則函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?/p>

．正確答案：

10．若，α是第二象限角，則=__________

答案：5

點(diǎn)評：易忽略的范圍，由得=5或。

11．設(shè)ω>0，函數(shù)f(x)=2sinωx在上為增函數(shù)，那么ω的取值范圍是_____

答案：0<ω≤

點(diǎn)評：

12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，則cosC=__________

答案：

點(diǎn)評：未能有效地運(yùn)用條件構(gòu)造三角形運(yùn)用方程思想實(shí)施轉(zhuǎn)化。

13．在中，已知，b，c是角A、B、C的對應(yīng)邊，則①若，則在R上是增函數(shù)；②若，則ABC是；③的最小值為；④若，則A=B；⑤若，則，其中錯(cuò)誤命題的序號是_____。

正解：錯(cuò)誤命題③⑤。

①

②。

③

顯然。

④

(舍)。

⑤

錯(cuò)誤命題是③⑤。

誤解：③④⑤中未考慮，④中未檢驗(yàn)。

14．已知，且為銳角，則的值為_____。

正解：，令得代入已知，可得

誤解：通過計(jì)算求得計(jì)算錯(cuò)誤.15．給出四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②存在實(shí)數(shù)，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；⑤若是第一象限角，且，則。其中所有的正確命題的序號是_____。

正解：③④

①

不成立。

②

不成立。

③

是偶函數(shù)，成立。

④

將代入得,是對稱軸，成立。

⑤

若，但，不成立。

誤解：①②沒有對題目所給形式進(jìn)行化簡，直接計(jì)算，不易找出錯(cuò)誤。

⑤沒有注意到第一象限角的特點(diǎn)，可能會(huì)認(rèn)為是的角，從而根據(jù)做出了錯(cuò)誤的判斷。

16．函數(shù)的最小正周期是

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：與函數(shù)的最小正周期的混淆。

正解：

17．設(shè)=tan成立，則的取值范圍是_______________

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：由tan不考慮tan不存在的情況。

正解：

18．①函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)。

②若是第一象限角，且。

③函數(shù)一定是奇函數(shù)。

④函數(shù)的最小正周期為。

上述四個(gè)命題中，正確的命題是

④

錯(cuò)解：①②

錯(cuò)因：忽視函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)

正解：④

19函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開_____________。

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：令后忽視,從而

正解：

20．若2sin2α的取值范圍是

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：由其中，得錯(cuò)誤結(jié)果；由

得或結(jié)合（1）式得正確結(jié)果。

正解：[0,]

21.關(guān)于函數(shù)有下列命題，y=f(x)圖象關(guān)于直線對稱

y=f(x)的表達(dá)式可改寫為

y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

由必是的整數(shù)倍。其中正確命題的序號是。

答案：

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：忽視f(x)的周期是，相鄰兩零點(diǎn)的距離為。

22．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

答案：

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：忽視這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

23．。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：兩角和的正切公式使用比較呆板。

24．是。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：如何求三角函數(shù)的值域，方向性不明確

三、解答題：

1．已知定義在區(qū)間[-p，]

上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

-對稱，當(dāng)x?[-，]時(shí)，函數(shù)f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,-

(1)求函數(shù)y=f(x)在[-p，]的表達(dá)式；

(2)求方程f(x)=的解。

解：(1)由圖象知A=1，T=4()=2p，w=

在x?[-，]時(shí)

將(，1)代入f(x)得

f()=sin(+j)=1

∵-

∴j=

∴在[-，]時(shí)

f(x)=sin(x+)

∴y=f(x)關(guān)于直線x=-對稱

∴在[-p，-]時(shí)

f(x)=-sinx

綜上f(x)=

(2)f(x)=

在區(qū)間[-，]內(nèi)

可得x1=

x2=

∵y=f(x)關(guān)于x=

對稱

∴x3=-

x4=

∴f(x)=的解為x?{-,-,-,}

2．求函數(shù)的相位和初相。

解：

原函數(shù)的相位為，初相為

說明：部分同學(xué)可能看不懂題目的意思，不知道什么是相位，而無從下手。應(yīng)將所給函數(shù)式變形為的形式（注意必須是正弦）。

3．若，求的取值范圍。

解：令，則有

說明：此題極易只用方程組（1）中的一個(gè)條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數(shù)的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮墒街械牡忍柍闪⒌臈l件不一定相同。這兩點(diǎn)應(yīng)引起我們的重視。

4．求函數(shù)的定義域。

解：由題意有

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是

說明：可能會(huì)有部分同學(xué)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒有公共部分，所以定義域?yàn)榭占蚴菦]有正確理解弧度與實(shí)數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實(shí)上弧度也是實(shí)數(shù)。

．已知，求的最小值及最大值。

解：

令

則

而對稱軸為

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，說明：此題易認(rèn)為時(shí)，最大值不存在，這是忽略了條件不在正弦函數(shù)的值域之內(nèi)。

6．若，求函數(shù)的最大值。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)，等號成立

說明：此題容易這樣做：，但此時(shí)等號成立的條件是，這樣的是不存在的。這是忽略了利用不等式求極值時(shí)要平均分析的原則。

7．求函數(shù)的最小正周期。

解：函數(shù)的定義域要滿足兩個(gè)條件；

要有意義且，且

當(dāng)原函數(shù)式變?yōu)闀r(shí)，此時(shí)定義域?yàn)?/p>

顯然作了這樣的變換之后，定義域擴(kuò)大了，兩式并不等價(jià)

所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的圖象：

而原函數(shù)的圖象與的圖象大致相同

只是在上圖中去掉所對應(yīng)的點(diǎn)

從去掉的幾個(gè)零值點(diǎn)看，原函數(shù)的周期應(yīng)為

說明：此題極易由的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯(cuò)誤的，原因正如上所述。那么是不是說非等價(jià)變換周期就不同呢？也不一定，如1993年高考題：函數(shù)的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此題就可以由的周期為而得原函數(shù)的周期也是。但這個(gè)解法并不嚴(yán)密，最好是先求定義域，再畫出圖象，通過空點(diǎn)來觀察，從而求得周期。

8．已知Sinα=

Sinβ=，且α，β為銳角，求α+β的值。

正確答案：α+β=

錯(cuò)誤原因：要挖掘特征數(shù)值來縮小角的范圍

9．求函數(shù)y=Sin(—3x)的單調(diào)增區(qū)間：

正確答案：增區(qū)間[]（）

錯(cuò)誤原因：忽視t=—3x為減函數(shù)

10．求函數(shù)y=的最小正周期

正確答案：最小正周期π

錯(cuò)誤原因：忽略對函數(shù)定義域的討論。

11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：挖掘隱含條件

12．（本小題滿分12分）

設(shè),已知時(shí)有最小值-8。

(1)、求與的值。（2）求滿足的的集合A。

錯(cuò)解：，當(dāng)時(shí)，得

錯(cuò)因：沒有注意到應(yīng)是時(shí)，取最大值。

正解：，當(dāng)時(shí)，得

13．求函數(shù)的值域

答案：原函數(shù)可化為設(shè)則則，當(dāng)

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：不考慮換元后新元t的范圍。

14．已知函數(shù)f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）當(dāng)f(x)=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范圍。

解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－

∴當(dāng)sinx=時(shí)，amin=，當(dāng)sinx=－1時(shí)，amax=2，∴a∈[，2]為所求

（2）由1≤f(x)≤得

∵

u1=sin2x－sinx++4≥4

u2=sin2x－sinx+1=≤3

∴

3≤a≤4

點(diǎn)評：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是盲目運(yùn)用“△”判別式。

15．已知函數(shù)≤≤是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M對稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

正解：由是偶函數(shù)，得

故

對任意x都成立，且

依題設(shè)0≤≤，由的圖像關(guān)于點(diǎn)M對稱，得

取

又，得

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)≥2時(shí)，在上不是單調(diào)函數(shù)。

所以，綜合得或。

誤解：①常見錯(cuò)誤是未對K進(jìn)行討論，最后只得一解。

②對題目條件在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，不進(jìn)行討論，故對≥不能排除。

補(bǔ)充習(xí)題：

1．右圖是某市有關(guān)部門根據(jù)對某地干部的月

收入情況調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4000.請根據(jù)該圖提

供的信息解答下列問題：（圖中每組包括左端

點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在）

（1）求樣本中月收入在的人數(shù)；

（2）為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？

（3）試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).解：（1）∵月收入在的頻率為，且有4000人

∴樣本的容量

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

∴月收入在的頻率為；

∴樣本中月收入在的人數(shù)為：

（2）∵月收入在的人數(shù)為：，∴再從人用分層抽樣方法抽出人，則月收入在的這段應(yīng)抽取

（人）

（3）由（１）知月收入在的頻率為：

∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：（元）

2．先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．

（1）求點(diǎn)在直線上的概率；

（2）求點(diǎn)滿足的概率．

解：（1）每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有種情況，所以基本事件總數(shù)為個(gè).記“點(diǎn)在直線上”為事件，有5個(gè)基本事件：，（2）記“點(diǎn)滿足”為事件，則事件有個(gè)基本事件:

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

3．某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組，…，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒

認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中

成績良好的人數(shù)；

（2）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米

測試成績，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，成績在內(nèi)的人數(shù)為：（人）

所以該班成績良好的人數(shù)為27人.（2）由頻率分布直方圖知，成績在的人數(shù)為人，設(shè)為、、；

成績在的人數(shù)為人，設(shè)為、、、.若時(shí)，有3種情況；

若時(shí)，有6種情況；

若分別在和內(nèi)時(shí)，A

B

C

D

x

xA

xB

xC

xD

y

yA

yB

yC

yD

z

zA

zB

zC

zD

共有12種情況.所以基本事件總數(shù)為21種，事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有12種.∴（）.4．已知點(diǎn),.(1)

若,求的值;

(2)

若其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.解：(1)，.,.化簡得.（若則,上式不成立），.(2),...5.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；

（2）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；

（3）若，求函數(shù)的最大值和最小值；

（4）若，求的值.解：（1）∵＝．

∴

函數(shù)的最小正周期．

（2）列表：

描點(diǎn)，連線，得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（3）∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2.當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有最小值1．

（4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴

.6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1)

求角C的大小;

(2)

若△ABC最長邊的長為，求△ABC最短邊的長.解：（1），∴．，∴．

（2）∵,∴邊最長，即．

∵，∴角最小，邊為最短邊．

由

且，解得．

由正弦定理得，得．

∴最短邊的長．

8．如圖（1），是等腰直角三角形，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起，使在平面上的射影恰為的中點(diǎn)，得到圖（2）．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

解：（1）證法一：在中，是等腰直角的中位線，在四棱錐中，，平面，又平面,證法二：同證法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,．

垂直平分，．

∴

．

三棱錐的體積為．

9．如圖，一簡單組合體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC．

（1）證明：平面ACD平面；

（2）若，，試求該簡單組合體的體積V．

（１）證明：∵

DC平面ABC,平面ABC

∴．

∵AB是圓O的直徑　∴且

∴平面ADC．

∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴DE//BC

∴平面ADC

∵平面ADE

∴平面ACD平面

（2）解法１：所求簡單組合體的體積：

∵，∴,∴

∴該簡單幾何體的體積

解法２：將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱

如圖∵，∴,∴=

=

A

B

C

P

M

10．如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面，PA

=

PC,，，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為．

（1）求證：PA⊥BC；

（2）畫出該幾何體的主視圖并求其面積S；

（3）求出多面體的體積V．

主視方向方向

解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC

∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）該幾何體的主視圖如下：

∵PA

=

PC，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，則PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，則PD⊥平面ABC，∴幾何體左視圖的面積===．

∴PD=，并易知是邊長為1的正三角形，∴主視圖的面積是上、下底邊長分別為1和2，PD的長為高的直角梯形的面積，∴S=

（3）取PC的中點(diǎn)N，連接AN，由是邊長為1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱錐A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四邊形PCBM是上、下底邊長分別為1和2，PC的長1為高的直角梯形，其面積．

．

11．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

解：設(shè)投資人分別用萬元、萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知

目標(biāo)函數(shù).上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于的一組直線，R，與可行域相交，其中一條直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里點(diǎn)是直線和的交點(diǎn).解方程組解得

此時(shí)（萬元），∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.答：投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目，6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，在橢圓上，且

.(1)求橢圓方程；

(2)若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線的方程.解:(1)，，.所以橢圓.(2)設(shè)，即

又因圓的方程為,所以

(-3,1),又因關(guān)于點(diǎn)對稱，即為的中點(diǎn)，，.，即.13．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意N，都有為常數(shù)，且.（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足

N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由已知

①

得

②

②-①得，即對任意N都成立.∵為常數(shù)，且，∴，即數(shù)列為等比數(shù)列.（2）當(dāng)時(shí)，得，從而.由（1）知，∵，∴，即.∴為等差數(shù)列.∴.∴.14．已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，若≤對一切N恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．

解：（1）若，則顯然，不構(gòu)成等差數(shù)列.∴，當(dāng)時(shí)，由，成等差數(shù)列得

∴，∵　　　　∴

∴

（2）∵

∴

∴＝

＝

由≤

得≤

∴≥

又≤

∴的最小值為

B組

15．設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)，,求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若對任意成立，證明；

(1)

法1：，當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，即

.當(dāng)時(shí)，仍滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.法2：由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)

.時(shí)，也滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.(2)

由（1）得

(3)

由（1）知

若，則

由對任意成立，知.下面證，用反證法

假設(shè)，，即

恒成立

（＊）

為常數(shù)，（＊）式對不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，.16．已知數(shù)列中，為正實(shí)數(shù)，N.（1）若，求的取值范圍；

（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使對任意N都成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使對任意N都成立，則，對任意N都成立.∴，∴，∴，又

.即.故取，即，有，這與矛盾；

因此，不存在正實(shí)數(shù)，使對任意N都成立.17.已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值.解：（1）由題可得，設(shè)

則，∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得

P到AB的距離為，則

.當(dāng)且僅當(dāng)取等號

∴三角形PAB面積的最大值為．

18．已知函數(shù)和．其中．

（1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值；

（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，．

解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∵點(diǎn)（，0）也在函數(shù)的圖像上，∴．

而，∴．

（2）由題意可知．,∴,∴當(dāng)時(shí)，即．

又,∴<0,∴,綜上可知，．

19．在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.解:

（1）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（2）解法1：

如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=

AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin

所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法2:

如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而

在中，由正弦定理得，AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過點(diǎn)E作EP

BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin

=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.20．某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．

（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？

（2）右圖是某同學(xué)設(shè)計(jì)的解決問題（１）的程序框圖，則框圖中ｐ，ｑ，ｒ處應(yīng)填上什么條件？

（3）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率

為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？

（精確到１立方米,）

解：（1）設(shè)植樹ｎ年后可將荒山全部綠化，記第ｎ年初植樹量為，依題意知數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則即

∵

∴

∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．

（２）ｐ處填,ｑ處填，（或ｐ處填，ｑ處填）

ｒ處填．(或)

（３）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,……

2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.則到2009年底木材總量

----------①

---------②

②-①得

∴ｍ2

答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2