第一篇：世界神經外科發展簡史

世界神經外科發展簡史（The worldwide neurosurgical evolution history）

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神經外科是醫學中最年輕的最復雜的一門學科，究竟起源于何時，翻開浩如煙海的史前資料及考古佐證很難統一。在Waker主編的“神經外科歷史”一書中提到，在巴爾干、印度、北非、太平洋島嶼曾一度發 現過一些治療性顱骨鉆孔的標本，這些資料雖然顯示了很早即有人進行頭顱及大腦創傷的治療；然而，神經外科作為一門獨立的學科是在19世紀末神經病學、麻醉術、無菌術發展的基礎上誕生的。1879年，Mac Ewen在英國格拉斯哥第一次正式 進行開顱手術，他為一患者成功切除了左前顱凹扁平狀腦膜瘤，獲得了良好的效果； 1881年他為一例腦膿腫患者行開顱膿腫引流術獲得成功； 1888年 Mac Ewen又成功地施行了兩例慢性硬膜下血腫清除術和第一例椎板切除減壓術。與Mac Ewen并駕齊驅的 另一位英國人Horsley，1887年第一次行推板切開椎管內脊膜瘤切除術獲得成功；1889年首先倡導了半月神經節后根切斷術治療三叉神經痛；遺憾的是在第一次世界大戰中，Horsley隨軍服務遠征中東，不幸于1916年中暑身亡，享年59歲。后人 Penfield評價近代神經外科的奠基人時總結道：近代神經外科誕生于 1870～ 1890年間的英國，主要應歸功于 Mac Ewen和Horsley。在 19世紀末20世紀初，神經外科學面臨著種種困難，諸如手術器械的短缺、手術經驗的不足、術前術后處理不嚴密、術后嚴重腦水腫及顱內感染，幾乎要將這個初生的嬰兒扼殺在襁褓之中，種種可怕醒目的數字，殘酷地顯示在人們的眼前：1896年Auvray的 腦瘤手術，僅有47例作了減壓姑息性手術； 1898年 Star報告 84例腦瘤手術，大腦腫瘤死亡率達 50％，小腦腫瘤死亡率80％。因此，1898年Ferrier認為，這些殘酷的事實是神經外科史上充滿憂傷的一頁。神經外科學家，神經病理學家及神經解剖學家在痛苦與失敗面前并沒有止步，而是不斷探索，新的診斷及治療技術不斷涌現。

Harvey Cushing 神經外科學史上一位杰出的 神經外科手術技術革新家。早在1917年他就首先提出：神經外科手術操作原則，必須手法細膩，止血徹底，要盡力保護腦組織等。因此，他與同輩比較，腦手術死亡率為7.3％，而同期內其他統計則介于37％～ 50 ％。他首先設計了用小夾夾住帽狀健膜外翻止血； 設計了銀夾夾閉血管，設計了很夾鉗、銀夾臺；他與 Bo vie合作，發明了高頻電刀及電凝，應用于開顱手 術中止血，獲得了成功；他首先提出了術畢要縫合硬膜與帽狀腱膜，從而減少了創口的感染和滲漏，上述原則迄今仍為神經外科界所遵循。在80年前簡陋的條件下，做出如此巨大的成就，實在難能可貴，所以他在醫囑中要求在他的墓志銘中刻上“第一個帽狀腱膜縫合者長眠于此”，深為此而自豪。

Dandy在 1917年多次觀察到顱腦損傷后產生氣 顱的現象，產生了將空氣直接注入腦室進行診斷的聯想，他大膽實驗，于1918年發明了“腦室空氣造影術”，并在Ann Surg雜志上發表了論文，名噪一時。空氣腦室造影是向人的側腦室或蛛網膜下腔注入氣體，可使腦室系統在X線中顯示出來，從而大大提高了腦部病變的定位診斷，使手術成功率倍增，死亡率及致傷率大為下降。神經外科誕生的初期，手術技術并不十分成熟，發展亦不均衡，而且手術技術僅限于某些神經外科醫生，為了促進神經外科技術的交流與提高，讓更多的 醫生學習并從事神經外科工作，1919年10月美國外科醫師學院（American College of Surgeons）成立，宣布神經外科作為一門獨立的外科專業。5個月以后，即1920年 3月 19號，在美國 Boston州 Peter Bent Brigham醫院，成立了世界上最早的亦是規模最大的神經外科機構即神經外科醫師學會（The Society of Neurological Surgeons），Harvey Cushing為主席，學 會的宗旨是：①促進神經外科領域的發展；②加強神經外科醫師的教育，尤其強調的是神經外科醫師需要在普通外科醫師基礎上進行特殊醫療技術訓練。學會每年舉行一次會議，會議的重點是在上午進行手術技術講解與表演，由東道主進行；下午則進行醫學論文交流。這個世界上第一個神經外科中心，由 Cushing 長期擔任主任，各國神經外科醫師慕名前來進修并成為一代泰斗，可以說這里是現代神經外科醫師的搖 籃。在這個神經外科學會漫長的歷程中，另一位杰出的神經外科巨匠，“腦室空氣造影術”的發明人 Walter Dandy在長達 5 0年的生涯中一直與 Cushing及 Frazier關系緊張，從未進行過技術合作，在神經外科史上留下了永遠遺憾令人不解的一頁。

在神經外科診斷技術史上，腦血管造影術的發明人Moniz為現代腦血管病的診斷及外科治療作出了不朽的功績。1927年 Moniz（葡萄牙人）與其學生 Lima（神經外科醫師），通過對狗動物實驗及尸體解剖發現頸動脈注射溴化鍶X線下顯示腦動脈系統，隨后迅速推廣到臨床應用，根據血管形態改變、位置分布來判斷顱內病變部位及性質，使得顱內病變診斷更加準確，且能對腦血管病如腦血管畸形、動脈瘤、腦血管栓塞等具有更直接的意義。

如果說近代神經外科誕生于19世紀末的英國，那么神經外科的初期發展與成熟是在20世紀初的美國，決不過分。尤其是Cushing創立的美國神經外科醫師中心給世界各國神經外科醫師的培養及神經外科的發展作出了杰出的貢獻。現代神經外科的發展，在很大程度上與物理學、放射學、計算機學、生物學等多學科的綜合發展是分不開的。1970年 Hounsfield在神經放射學上作出了一項劃時代的發明，即電子計算機X線體層掃描，簡稱 CT。利用密度對比原理，將顱腦結構按不同密度劃分為Ho unsfieid單位十 1000—－ 1000，可明顯區分腦室、腦白質、腦灰質等不同結構；經靜脈注入對比劑后，可使腦瘤得到強化，顯示出清晰的輪廓及其周圍腦水腫。CT的出現使得過去診斷腦瘤病所必須的氣腦及腦室造影大為減少。腦血管造影亦略有減少。這一重大創新，將神經外科診斷與治療水平提高到前所未有的境界。在CT廣泛應用的同時；另一項診斷技術——核磁共振影像技術（MRI）于 80年代初開始應用于臨床，它在神經外科疾病診斷中彌補了CT的不足，對腦血管病變、后顱凹病變、變性病變、特別是脊髓病變顯示了極大的優越性。由于其病變能從多方面 構建圖象，對當代神經外科高難手術入路設計提供很大的幫助。磁共振血管成像技術（MRA），在許多方面大有取代創傷性血管造影之勢。CT及 MRI的應用，可以說對神經外科的診斷與治療帶來了一場技術革命，其影響是不可估量的。

現代神經外科治療技術在繼承古老方法的基礎 上亦得到了長足的發展。1968年，以瑞士學者 Yasargil為代表的神經外科學家首先開展在顯微鏡下進行手術操作，由于手術視野放大及良好的照明，使得手術精確性大為提高，臨近組織的損害機會明顯減少。許多原來不能做的手術如今成為現實，原來的手術禁區正逐步打破。腦深 部病變、腦干腫瘤、脊髓髓內腫瘤等許多疑難病癥，前人束手無策，如今在顯微神經外科時代許多問題得到了解決，這真是神經外科治療史上的一項重大技術革命。

70年代初期，介人神經放射治療技術集神經影像學、神經外科手術學和神經病學為一體誕生了。它一出現，使得許多以往認為不治或難治之癥，如巨大的、功能區或手術達不到的腦、脊髓畸形、硬腦膜動靜脈瘺、顱內巨大動脈瘤得到了有效的治療；使一些以前需要手術治療的頸動脈海綿竇瘺免除開刀之苦；使一些難度大、危險性高的手術通過術前栓塞減少術中出血，提高了手術安全性。介入神經放射治療給神經 外科治療帶來巨大的沖擊。立體定向放射外科治療是新近發展的一門治療方法。它利用立體定向方法確定顱內靶點，然后將多束放射線匯集靶點，局部形成大劑量照射，導致靶點組織破壞而達到治療的目的。目前應用于臨床的放射治療裝置是由瑞典生產的 Leksell立體定向γ 單 位，或稱 γ 刀。它是選擇多組小劑量放射線，在靶點 聚焦，使局部有破壞力的放射劑量。因此，這種方法選擇性更加準確。目前γ 刀應用于功能性神經外科疾患、良性腫瘤及血管畸形等疾病之中，其危險性極小，可以在門診完成治療。這種無創傷性的立體定向放射 治療正沖擊著傳統的神經外科各領域，同時亦吸引愈來愈多的神經外科醫生和廣大患者。

今日世界，日新月異，神經外科事業亦是蓬勃發展。正如 James Ausmam評價的那樣：28年前，即 1968年，顯微外科技術剛剛引入神經外科，那時 CT及MRI影像技術尚未誕生，介入治療技術治療顱內動脈瘤及血管畸形尚處于原始水平，放射外科治療及內窺鏡技術治療中樞神經系統疾病尚不為人所知，計算機引導直接手術更是新近的創舉。這些種種技術的出現均發生在過去短短的28年之中，那么未來28年 神經外科將發生什么樣的變化呢？ 下一個世紀，主宰世界格局變化的主要力量是計算機及基因工程。神經外科將如何發展，這將是全世界每個神經外科醫師都應正視的問題。要回答它，我們必須要知道什么真正是神經外科新的內容；我們就必須要知道身邊的世界正發生什么樣的變化。

第二篇：中國醫科大學附屬第一醫院神經外科發展簡史

中國醫科大學附屬第一醫院神經外科發展簡史

一、歷史沿革

1、建國前期

1948年沈陽解放后，醫院與同樣創立于1908年原沈陽南滿洲鐵道株式會社奉天醫院合并，組成了今天的中國醫科大學附屬第一醫院（圖1）。新中國誕生前，我國沒有神經外科專科設置，只有北京協和醫院的關頌韜、趙以成；沈陽的張查理等幾個外科醫生兼做一些神經系統方面的手術（中國神經外科發展簡史王忠誠）。其中張查理教授1918年留英歸國后，曾任奉天醫學院助教、副教授，外科主任等職，為東北區域較早開展神經外科手術之先驅。

2、創建初期（1958-1984）

我院外科教研組共分為十個分組。頭、頸、胸、腹、四肢、泌尿等。頭頸組成為后來神經外科的前身。原南滿鐵道醫學院松原動教授為分組組長，當時的副組長為翟允昌教授。1953年第一屆神經外科專科培訓班在天津舉辦，我科翟允昌教授參加培訓，成為新中國最早的一批神經外科專科醫生（中國神經外科發展簡史王忠誠），當時可以處理顱腦損傷、腦腫瘤等神經外科常見疾病，同時也開展了腦室造影，并做過剖開式頸動脈造影術等。于1958年初，神經外科便從外科中分出來成為獨立單元。當時專業醫生3人，輪轉醫生1人，開設床位15張。翟允昌教授任第一任主任（1958-1984）圖2。

圖2中國醫科大學附屬第一醫院神經外科首任主任翟允昌教授

3、發展中期（1985-2000）圖1 中國醫科大學附屬第一醫院前身沈陽南滿洲鐵道株式會社奉天醫院 十一屆三中全會后，神經病學教研室為神經內科和神經外科二部分組成。神經科病房設70張床位。內科組31張，外科組39張。楊國瑞教授任主任（1985-2000）圖3 隨著我院神經外科的規模不斷擴大，二十世紀七十年代和八十年代，開展了腦血管病和神經外科特殊病種的診治工作，如腦動脈瘤、腦血管動靜脈畸形、海綿竇動靜脈漏、硬腦膜動靜脈漏、腦積水、經鼻垂體腺瘤切除、先天性疾病等的治療；二十世紀九十年代初期開展了顱底外科的手術治療和立體定向外科技術；二十世紀九十年代末期，開展了腦干腫瘤和高位頸段脊髓內腫瘤的手術治療，1997年開展了腦血管病的血管內治療。期間我科參加了腦外科部分的全國統編教材編寫并撰寫了多部神經外科學教程，其中1974年出版的《實用手術學-神經外科胸外科分冊》是國內較早的神經外科手術學教材之一（圖4）。

圖3中國醫科大學附屬第一醫院神經外科第二任主任楊國瑞教授

圖4 1974年由遼寧人民出版社出版的實用手術學為國內較早的神經外科手術專著

3、全面發展（2001至今）

目前學科帶頭人為王運杰教授（圖5），現任中華醫學會神經外科分會副主任委員、中華醫學會遼寧神經外科分會主任委員。在王運杰主任帶領下神經外科在遼寧省內率先開展各項顯微外科手術，包括顱內巨大動脈瘤塑形夾閉術、腦干腫瘤切除術、應用POPPEN入路切除松果體區腫瘤，應用遠外側入路切除顱頸交界區腫瘤，應用乙狀竇前入路切除巖斜腫瘤等一系列神經外科復雜手術，均取得了良好療效，并達國內先進水平，其中“顱內動脈瘤術中實時熒光造影”達到國際先進水平。科室大力支持和扶植中青年骨干力量，2002年在東北三省范圍內率先開展了神經介入技術，多次派人前往日本札幌醫科大學及北京天壇醫院等處學習先進的神經介入技術，目前，我神經外科已能成功地進行動脈瘤、顱內及脊髓動靜脈畸形、硬腦膜動靜脈瘺、閉塞性腦血管病等的介入治療，在東北地區神經介入領域占據著領先地位（圖6）。同時學科大膽引進先進人才，購進功能立體定向系統和微導航術中電極記錄系統，成功地填補了遼寧省功能神經外科治療領域的空白。目前已開展應用腦內高頻電刺激治療帕金森氏病等功能性神經外科疾病（圖7）。

圖5 中國醫科大學附屬第一醫院神經外科現任主任王運杰教授

圖6中國醫科大學附屬第一醫院神經外科在國內較早開展復雜腦血管疾病的復合手術

圖7中國醫科大學附屬第一醫院神經外科功能神經外科開展情況

二、學科現狀

在學科帶頭人王運杰教授的帶領下，無論在科室發展方向、團隊建設、人才培養以及科學研究、學術交流、學科環境等方面都有了長足的發展。本科室現科室醫生的學歷及職稱結構合理，其中正高級職稱8人，副高級職稱7人，中級職稱16人，初級職稱10人，已建立了一個完善、合理的三級醫生體系及人才梯隊。開放病床總數166張，專用手術室8間，神經外科重癥監護單元（NICU）1個，神經外科實驗室1個，萬元以上設備101件，總價值1800余萬元。形成了腦血管病、神經系統腫瘤、功能神經外科、重癥神經系統創傷等多個研究方向和以此為基礎的專業化分組，年均手術例數超過3500例顯微神經外科手術的比例達90%以上,治療總體水平達到國內前列（圖8）。1978年被批準為碩士學位授權專業，2001年被批準為博士學位授權專業，2006年成為衛生部神經外科專科醫師培訓基地，目前為衛生部國家臨床重點專科、中華醫學會神經外科分會副主任委員單位、遼寧省重點學科。

圖8中國醫科大學附屬第一醫院神經外科現狀

近三年來，科室已結及在研各級課題48項，其中國家自然基金25項，省部級以上課題14項，累及科研經費600余萬元，發表SCI文章48篇，國內核心期刊200余篇。近三年科室獲得遼寧省科技進步獎三等獎1項、遼寧省科學技術三等獎3項，教育部新世紀優秀人才支持計劃1項、遼寧省百千萬人才工程資助項目1項。獲王忠誠中國神經外科醫師獎2次。1名護士代表醫院參加衛生部護理技能競賽榮獲金獎；獲遼寧省“優質服務技能競賽”第一名及省“五.一”獎章；獲省“三.八”紅旗手稱號1人次；獲市“技術標兵”稱號1人次（圖9）。

圖9中國醫科大學附屬第一醫院神經外科科研獲獎及文章發表情況

三、科室發展展望

神經外科是近20年來發展最為迅速的學科之一，從最初的單純的顱腦損傷的治療到目前的顱腦腫瘤、腦血管病以及癲癇等功能神經外科疾病的治療，神經外科的疾病譜日益擴大，新技術、新術式、新觀念不斷出現。我院是東北地區大型高端綜合性醫院，擁有先進的診療設備﹑精良的醫療技術和雄厚科研實力，影響輻射東北和內蒙地區。神經外科自創建以來開展了大量的工作，打下堅實臨床及科研基礎，具有良好的聲譽和廣大的患者群，在本地區具有深遠的影響力。經過多年努力，本科室已經建立了合理的人才梯隊，中青年骨干迅速成長，學科專業化分組日漸完備，并與國內外建立了廣泛的聯系，能及時掌握學科的發展動態，具有極大的發展潛力。

本學科的未來將繼續以腦血管病、神經系統腫瘤、神經系統創傷、功能神經外科等專科發展為重點，發揮現有優勢特色醫療技術，加速轉化醫學在創新技術中的推廣應用，進一步擴大學科區域輻射能力。同時優化人員結構加強人才培養、深化國內國際交流與合作，力爭把本學科建設成為有相當國際影響、國內領先的優勢學科。并帶動相關學科群及區域神經外科醫療技術和服務能力的均衡發展。

撰寫：秦曉飛 審校：王運杰

中國醫科大學附屬第一醫院神經外科

2013年2月

第三篇：《數學發展簡史》

《數學發展簡史》

導言：為什么學習數學史 第一講： 早期文明中的數學1．古埃及的數學 2．巴比倫的數學 3．中國早期的數學

主講教師：王幼軍

目 錄

第二講：古希臘的數學

1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大 2．亞歷山大時期 第三講：中國古代的數學 1．漢以前的中國數學

2．從魏晉到隋唐時期的中國數學 3．

十二、三世紀的宋元數學 第四講：印度與阿拉伯的數學 1．印度的數學 2．阿拉伯數學 第五章：數學的復興 1．中世紀的歐洲數學

2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響 3．三次、四次方程的求根公式的解決 4．三角學的歷史 第六講：近代數學的興起 1．對數

2．解析幾何的誕生 3．微積分的產生與發展 4．概率論的產生 第七講：近代數學的發展 1．幾何學的發展 2．代數學的發展 3．分析學的發展 4．公理化運動 第八講：現代數學概觀

1．集合論悖論與數學基礎的研究 2．純數學的發展 3．應用數學的發展 4．六十年代以后的數學

導言：為什么學習數學史

1．為了更全面、更深刻地了解數學

每一門學科都有它的歷史，文學有文學史，哲學有哲學史，天文學有天文學史等等。數學有它自己的發展過程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無論是概念還是體系，無論是內容還是方法，都只有在與其發展過程相聯系時，才容易被理解。可以說，不懂得數學史，就不能真心地理解數學。數學課本上的數學，經過多次加工，已經不是原來的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見。數學教師要把課本上的內容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學生理解。

2．為了總結經驗教訓，探索發展規律

我國自古以來就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰國策·趙策一》）早已成為人們的共識。英國哲學家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Histories make men wise）也是盡人皆知的成語。數學有悠久的歷史，它的成長道路是相當曲折的。有時興旺發達，有時衰敗凋殘。探索它的發展規律，可以指導當前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。

3．為了教育的目的

（1）激發興趣，開闊眼界，啟發思維，經驗證明，在數學課中加入數學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發現定理的經過，課堂空氣會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關的典故和趣事。學生開闊了眼界．知道一個定理的發現過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多個方面去思考問題。（如果不是專門的數學史課，史料的加入宜適而止，否則會喧賓奪主，沖淡了主題）

（2）表彰前賢，鼓勵后進。

數學是人類智慧的結晶，是全世界人民寶貴的精神財富。今天數學的繁榮昌盛，實得力于千百年來數學工作者的辛勤勞動。飲水必須思源，數典不可忘祖，他們的豐功偉績，理應載人史冊。數學史的主要內容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻，以供后人參考借鑒。其目的在于總結先輩的經驗教訓，學習他們不畏艱苦的創業精神。表彰前賢，足以鼓勵后進。

4．文化的目的

數學是文明的一個組成部分。數學不僅僅是形式化、演繹化的思維訓練，也不僅僅是一門嚴肅的、抽象的學科，數學其實是豐富多彩的文化的產物，數學中的幾乎每一步進展都反映了推進者的個人背景、時間和地點的影響，也受到當時流行的價值觀、社會思想和當時所有的資源的影響。所以，數學不僅是一種單純的知識活動，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門數學分支的發展都反映了一定時代和地域所流行的價值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂、美學欣賞、宗教信仰、哲學思考和實用價值探索等，在數學中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個方面都將給數學帶不可估量的損失。

為了探索及揭露數學發展的規律，也為了敘述的方便，常常將整個發展史劃分為若干個階段，這就是數學史的分期。分期的標準主要有兩種，一種是根據數學本身的特點（通常叫做“內史”，另一種是根據社會的歷史背景（“外史”），三是根據所接受的對象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的數學，2．初等數學的發展，4近代數學的興起，5近現代數學發展，6現代數學發展概述。

學習資源：

1.李文林．數學史教程．北京：高等教育出版社，20020 2.梁宗巨，王青建，孫宏安，《世界數學通史》（上下冊），遼寧教育出版社，2004 3.王青建，《數學史簡編》，科學出版社，2004 4.張奠宙．數學史選講．上海：上海科學技術出版社，1997 5.J.F.斯科特著，《數學史》，侯德潤 張蘭譯，廣西師范大學出版社，2002 6.(美國)卡茨著，《數學史通論》，李文林等譯，高等教育出版社，2004 7.[美]H.伊夫斯，《數學史概論》（修訂本），歐陽絳譯，山西經濟出版社，1986 8.劉鈍(1993)，《大哉言數》，沈陽：遼寧教育出版社

9.M·克萊茵.數學：《確定性的喪失》，李宏魁譯.長沙:湖南科學技術出版社,1999.10.李迪主編，《中外數學史教程》，福建教育出版社，1993

11.汪曉勤，韓祥臨．中學數學中的數學史．北京：科學出版社，2002 12.http://math.ntu.edu.tw 13.http://math.ntnu.edu.tw/~horng

14.http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ 15.http://math.clarku.edu/~djoyce

第一講：早期文明中的數學

數學最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長江流域的中國等。伴隨著這些早期文明的發展，數學也開始了它的萌芽和進程。

在有文字記載之前人類就已經有了數概念。起初人們只能認識“有”還是“沒有”，后來又漸漸有了“多”與“少”的朦朧意識。而“多”與“少”的意識原始人是在一一對應的過程中建立的。即把兩組對象進行一一比較，如果兩組對象完全對應，則這兩個組的數量就相等，如果不能完全一一對應，就會出現多少。例如，據古希臘荷馬史詩記載：波呂斐摩斯被俄底修斯刺傷后，以放羊為生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子兒；晚上母羊返回山洞，進去一只，他就扔掉一顆石子兒，當把早晨撿起的石子兒全部扔完后，他就放心了，因為他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。

另一個方面，在長期的采集、狩獵等生產活動中原始人逐漸注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數量上的差異。通過一只羊、一頭狼與許多羊、整群狼的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚、一棵樹??之間存在著某種共同的東西，即它們的單位性。由此抽象出數“1”這個概念。數“1”可以說是這類具有單個元素的集合的特征。可以認為，在人類發展的一個相當長的階段上，人們最早具有的數的概念是“1”，與之相對應的是一個比較確定的觀念——“多”。如上面的“數羊”，人們把一些被數物品用另外某些彼此同類的物品或標記來代替，如用手指、小石塊、繩結、樹枝、刻痕等。根據彼此一一對應的原則進行這種計算，也就是給每個被數物品選擇一個相應的東西作為計算工具，這就是早期的記數。

最早可能是手算，即用手指計數。一只手上的5個指頭可以被現成的用來表示5個以內事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數到10，再和腳趾聯合在一起，可以數到20。有人認為，現在的羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開形象，10則畫成ⅤⅤ，表示雙手，后來又畫成X，是ⅤⅤ的對頂形式。古代俄國把1叫做“手指頭”，10則稱為“全部”。這些都是古代手指計數的痕跡。亞里士多德曾經指出，今天10進制的廣泛采用，只不過是人類絕大多數人生來就具有10個手指這樣一個解剖學事實的結果。

手算能表示出的數目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過數到20。當指頭不敷用時，數到10時，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續數更大的數目。自然地人們會想到，可以不用手，直接用石頭記數。但記數的石子堆很難長久保存信息，于是又有結繩記數。我國有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”的說法。“結繩而治”一般解釋為“結繩記事”或“結繩記數”。“書契”就是在物體上刻痕，以后逐漸發展成為文字。

結繩記事、記數，并不限于中國，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀還保留這種方法，有些結繩事物甚至保存下來。例如，美國自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細繩，再在細繩上打各種各樣的結，不同的顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數目。

結繩畢竟不甚方便，以后在實物（石、木、骨等）上刻痕以代替結繩。從現在的考古資料看，幾乎所有的文明古國都經歷過一個刻痕記數的階段，只是各自的形式不同而已。

無論手算、結繩還是刻痕所記下來的數還不是現在意義上的數，只是物體集合蘊涵著的數量特性從一個物體集合轉移到另一個物體集合上。也就是說，人們還不能脫離具體的物的集合來認識“數量”。但是，當人們可以任意選用這種隨手可得的東西來記數時，就離形成數的概念為期不遠了。

總之，在人類幾萬年的原始文明中，只限于一些零碎的、片斷的、不完整的知識，有些人只能分辨一、二和許多，有些能夠把數作為抽象的概念來認識，并采用特殊的字或記號來代表個別的數，甚至采用十、二十或五作為基底來表示較大的數，進行簡單的運算。此外，古人也認識到最簡單的幾何概念，如，直線、圓、角等。直到公元前三千年左右巴比倫和埃及的數學出場，數學開始取得更多的進展。

1，古埃及的數學

背景非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年間，這里曾建立了一個統一的帝國。目前我們對古埃及數學的認識，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是

約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿默士（Ahmes）紙草書。阿默士紙草書的內容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分數的用法、試位法、求圓面積問題的解和數學在許多實際問題中的應用。

古埃及人將所有的分數都化成單位分數（分子為1的分數之和），在阿默士紙草書中，有很大一張分數表，把表示成單位分數之和

狀分數古埃及人已經能解決一些屬于一次方程和最簡單的二次方程的問題，還有一些關于等差數列、等比數列的初步知識。例如，在蘭德紙草書上有一個關于“堆算”的特殊篇章。這部分從本質上來說，包含的是用一元一次方程來解的問題。古代埃及人把未知數稱為“堆”，它本來的意思是指數量是未知數的谷物的堆。其中一個方程式這樣的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33”用現在的形式寫出來就是：

x?2xxx???33327埃及人還發展了卓越的幾何學。有一種觀點認為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發展為幾何學。古埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，其中最突出的是約于公元前2900年興建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高達146.5米，塔基每邊平約寬230米，任何一邊與此數值相差不超過0.16米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一。與金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神廟。其中卡爾納克的神廟主殿總面積達5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達21米。這些宏偉建筑的落成，也離不開幾何學知識。

埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積，計算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計算棱錐、圓錐、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計算，他們給出的計算過程與現代的公式相符。

2，巴比倫的數學

底格里斯河和幼發拉底河流域，希臘人稱之為美索不達米亞（Mesopotamia），原意為兩河之間的地方，統稱為兩河流域。在歷史上兩河流域一直是許多城邦以及定居的部族和游牧部族之間競爭角逐的場所。在兩河流域的歷史上，征服者和被征服者就像走馬燈一樣來來去去，其情形是極其復雜的。但是，兩河流域是個大熔爐，在這里，許多不同的部族都是由競爭角逐而趨于融合，所以各個部族的文化和技術相互融合，從而使這個地區成了西亞的先進地區。

古代巴比倫國家的位置在美索不達米亞最靠近底格里斯河和幼發拉底河河床的地方。巴比倫城位于幼發拉底河河岸上，“巴比倫人”這個名稱包括許多同時或先后居住在底格里斯河和幼發拉底河之間及其流域上的一些民族。其中蘇美爾人（Sumerians）是兩河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人漢默拉比Hammurabi王統治時期，文化得到高度的發展，這位君主以制定一部著名的法典而著稱（《漢默拉比法典》），這個時期就是所稱的古巴比倫王國。公元前八世紀，這個地區為原來住在底格里斯河上游的亞述人（Assyrians）所統治。亞述人尚武輕文，在文化方面很少有創造性的貢獻，然而，亞述帝國的政治統一卻也促進了文化的交流，使古代東方各地的文化得以融于一爐。對兩河流域的古文化，亞述人也做過一些保存和整理工作。亞述帝國的最后一個名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾經在尼尼微的宮殿里建了一座圖書館，那里收藏了二萬二千塊刻著楔形文字的泥板。一個世紀以后，亞述帝國為伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所滅，在歷史上美索不達米亞的這段時期（公元前7世紀）通常稱為伽勒底時期，也稱為新巴比倫帝國。公元前540年左右，新巴比倫帝國為居魯士（Cyrus）統治下的波斯人所征服。公元前330年，希臘軍事領袖亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了這個地區。歷史中所講的巴比倫數學也到此為止。

從十九世紀前期開始，在美索不達米亞工作的考古學家們進行了系統的發掘工作，發現了大約五十萬塊刻著文字的泥板，僅僅在古代尼普爾舊址上就挖掘出五萬塊。在巴黎、柏林和倫敦的大博物館中，在耶魯、哥倫比亞河賓夕法尼亞大學的考古展覽館中，都珍藏著許多這類書板，書板有大有小，小的只有幾平方英寸，最大的和一般的教科書大小差不多，中心大約有一英寸半厚。有的只是書板的一面有字，有時兩面都有字，并且往往在其四邊上也刻有字。

在公元前3500年以前，蘇美爾人就已經發明了文字。蘇美爾人用削尖了的蘆葦管做筆，把這種文字刻在泥板磚的怌塊上，在日光下或火爐上烘干，這種帶有文字的泥板就稱為泥板書。因為這種文字是刻在泥板上的，落筆處比較重，收筆處比較纖細，呈尖劈形，所以被稱為“楔形文字”（Cuneiform）。在五十萬塊書板中，約有300塊是被鑒定為載有數字表和一大批問題的純數學書板。直到1935年，由于美國學者諾伊格包爾（Otto Neugebaur）和法國學者蒂羅。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他們解釋了一部分數學泥板，由于這些工作還在進行，或許不久的將來還會有新的發現。

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。巴比倫人書寫數字的方法更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制（60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀還于數學計算和天文學計算中運用這個系統，直至現在60進制仍被應用于角度、時間等記錄上。

3．中國早期的數學

中國古代數學的起源可以上溯到公元前數千年．《周易·系辭下》中說：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。百官以治，萬民以察。”《說文解字·敘》記載：“及神農氏結繩而治而統其事。”《周易》鄭玄注：“結繩為約，事大，大結其繩；事小，小結其繩。”《九家易》：“古者無文字，其有誓約之事，事大，大其繩；事小，小其繩。結之多少，隨物眾寡，各執以相考，亦足以相治也。”據此可知：結繩是神農或神農以前上古時期的一種記事方法，以繩結的大小約定事的大小，以繩結的多少約定物的多少。

契刻是較結繩晚出的一種記事方法，其作用主要是用于記數或作為契約的記數憑證。在許多古代典籍中都有關這方面的記載，《墨子·備城門》中曰：“守城之法：必數城中之木，十人之所舉為十挈（契），五人之所舉為五挈。凡輕重以挈為人數。”《周易》鄭玄注：“書之于木，刻其側為契，各持其一，后以相考合。”《列子·說符篇》說：“宋人有游于道得人遺契者，歸而藏之，密數其齒，告鄰人曰：?吾富可待也。?”

在距今約五至六千年前的仰韶文化時期出土的陶器上還刻有表示數目的符號，說明此時已開始用文字符號取代結繩記事了。

西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對稱和復雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基。《史記》中記載：夏禹治水，“左規矩，右準繩”。這可以看作是中國古代幾何學的起源。

在殷商（月公元前13世紀）的甲骨文中已經使用了十進制記數法，共有13個獨立的符號，出現的最大數字為三萬。商代還用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱來記60十天的日期。春秋戰國時代又出現了十進位值制籌算記數法．而戰國時代的《考工記》、《墨經》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數學概念，并記載了大量實用幾何知識．

在記述中國古代早期數學內容的典籍中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作，因而對中國古代數學家產生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數，以合六爻之變。”實際上就把數學方法與《周易》中的六爻、八卦等內容聯系起來了。

《周易》中的另一重要概念是太極。《周易》寫道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”太極即太一，這段話講的是八卦產生的原理，也試圖解釋天地造分、化成萬物的原理。到周代（公元前11至公元前3世紀）又發展成64卦，表示64種事物。后經宋代陳摶的發展，便有了太極圖。

《周易》中另一個與數學相關的內容是“河圖洛書”。《周易》中有“河出圖，洛出書，圣人則之”的記載。以后，有人又把河圖洛書與八卦及九數聯系起來。例如，孔安國認為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數至九，禹遂因而第之，以成九類。”也就是說，在古人看來，八卦與九數實出于河圖洛書。

西周初期能用炬測量高、深、廣、遠，知道勾股形中的勾

三、股

四、弦五及環炬為圓等知識。西周青銅器上的金文數字與商代數字基本一致，是我們今天文字的源泉。此時，已有整數和分數的四則遠算，《韓詩外傳》中還記載了公元前7世紀齊桓公招賢納士之事，將會背“九九”乘法口訣的人當作貴客款待。

卜筮是原始人類共有的社會現象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜。”《史記·龜策列傳》則說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍（以后出現的籌算數碼則形成了中國古代用竹棍表示數字的傳統），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。公元前500年左右的戰國時代，算籌已得到普遍使用，算籌大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制作的。算籌的記數法采用十進位制。《墨經》（約公元前4世紀）中說：“一少于二而多余五，說在建位。”即一在個位小于二，在十位就大于五，每個數字的大小除由它本身表示的數值決定外，還要看它在整個數中所處的位置。《孫子算經》（約公元4世紀）中描述了對籌算數字的擺放方法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬百相當” 即：個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發生誤會。并規定用空位表示零。說明有縱橫兩式：

總之，在人類早期的文明中，數學還處于萌芽時期，主要包括計數、算術、初步的代數和幾何等知識。此時所呈現的數學更多的是經驗、直觀、零碎、片斷的知識，還沒有形成系統的理論體系、抽象的思維方法等。

第二講：古希臘的數學

數學作為一門獨立和理性的學科開始于公元前600年左右的古希臘。古希臘是數學史上一個“黃金時期”，在這里產生了眾多對數學主流的發展影響深遠的人物和成果，泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德、阿基米德等數學巨匠不勝枚舉。此外，在初等數學時期，東方的中國、印度與阿拉伯等地區也發展出了獨具特色的數學知識。在中世紀后期的歐洲，在獨特的中世紀文化中，東西方數學知識逐漸融合，為下一個階段數學的快速發展奠定了基礎。

1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大

古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區。這里長期以來由許多大小奴隸制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城（Alexandria）。亞歷山大大帝死后（323B.C.），他創建的帝國 分裂為三個獨立的王國，但仍聯合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統治了埃及的托勒密一世（Ptolemy the First）大力提倡學術，多方網羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖 書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學術文化中心，繁榮幾達千年之久！

希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創立的數學與前人的數學相比較，卻有著本質的區別，其發展可分為古典時期和亞歷山大時期兩個階段。

一、古典時期（600B.C.-300B.C.）

這一時期始于泰勒斯（Thales）為首的愛奧尼亞學派（Ionians），其貢獻在于開創了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯（Pythagoras）領導的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數」作為信條，將數學理論從具體的事物中抽象出來，予數學以特殊獨立的地位。

公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學術思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數學開始從個別學派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。

埃利亞學派的芝諾（Zeno）提出四個著名的悖論（二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題），迫使哲學家和數學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領域中，作出新的發現：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。

哲學家柏拉圖（Plato）在雅典創辦著名的柏拉圖學園，培養了一大批數學家，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大學派之間聯系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學園最著名的人物之一，他創立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德（Aristotle）是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

（1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，約公元前625-前547﹞

古希臘哲學家、自然科學家。生于小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為“希臘七賢”之首。而他更是以數學上的發現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，并以水為萬物的本源。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28日發生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。

證明命題是希臘幾何學的基本精神，泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于： 1.保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；

2.揭露各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎； 3.使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。

數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。

畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）于紀元前580年左右出生于生于希臘東部薩摩斯﹝今希臘東部小島﹞，正是希臘黃金時代的初期，也是羅馬帝國建國的時代。在我們東方來說，就是釋迦牟尼與孔子的道學，正流行的時代。畢達哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費雷西底﹝Pherecydes﹞學習，又曾師事伊奧尼亞學派的安約西曼德﹝Anaximander﹞，以后游歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來的天文、數學知識。他最后定居在克羅托內﹝Crotone﹞，在那里建立一個宗教、政治、學術合一的團體──畢達哥拉斯學派，它是繼伊奧尼亞學派后古希臘第二個重要的學派。這個團體后來在政治斗爭中遭到破壞，他逃到塔蘭托(Metapontum)，后終于被殺害。畢氏學派有一個教規，就是一切發現都歸功于學派的領袖，且對外保密，故討論其學術成就時，很難將畢達哥拉斯本人和他的學派分開。

畢氏學派將抽象的數作為萬物的本源，“萬物皆數”使他們的信條之一。但是，研究數的目的不是為了實際應用，而是通過揭露數的奧秘來探索宇宙的永恒真理。他們將學問分為四類，即算術、音樂﹝數的應用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運動的量﹞；根據“簡單整數比”原理創造一套音樂理論；對數作過深入研究，并得到很多結果，將自然數進行分類，如奇數、偶數、完全數、親合數、三角數、平方數、五角數、六角數等等；發理勾股定理﹝西方稱為畢達哥拉斯定理﹞和勾股數﹝西方稱

為畢達哥拉斯數﹞；發現五種正多面體；發現不可通約量,甚至于音樂上也可目睹到他所遺留的許多事跡。下面我們來列舉十數種畢氏學派的貢獻,供大家見賞。

畢達哥拉斯定理是說：一直角三角形中的斜邊平方等于兩直角邊之平方和。如設三角形 ABC 三個邊為 a,b,c，其中 c 為斜邊（如圖一），則其間的關系為：a2 + b2 = c2

（3），芝諾﹝Zero of Elea，約公元前490-約前425﹞

芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德﹝Parmenides﹞的學生和朋友。芝諾因其悖論而

著名，并因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F?卡約里﹝Cajori﹞說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。”由于芝諾的著作沒能流傳下來，故只能通過批評他的亞里士多德及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。現存的芝諾悖論至少有8個，其中關于運動的4個悖論：二分說、阿基里斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論尤為著名。前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性之間的區別，是無限可分和有限長度之間的矛盾。他并不是簡單地否認運動，而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的和的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。第4個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。

芝諾編造這些悖論的目的何在，歷來有許多爭論。有人認為是為了反對“多”與“變化”，以維護他的師父 Parmenides（約紀元前五世紀）的萬有是“一”與“不變”之學說。從畢氏學派失敗的背景來觀察，芝諾是對于離散性、連續性、無窮大、無窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來可以說是切中數學的核心。芝諾的功績在于把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辯證的考察。雖然不能肯定他對古典希臘數學的發展有無直接的重要影響，但有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇時，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍后的時間里創立了新的比例論，從而克服了因發現無理數而出現數學危機，并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。

羅素稱贊道：“幾乎所有從芝季諾時代到今日所建構出的有關時間、空間與無窮的理論，都可以在季諾的論證里找到背景基礎。”

（4），詭辯學派

希波戰爭以后，希臘商務繁榮，雅典成為文人薈萃的中心。愛奧尼亞學派的哲學家Anaxagoras（B.C.499——427）開始將愛奧尼亞的哲學輸入雅典，畢達格拉斯學派的人也群聚于此，只是過去秘密的作風已不復見。雅典人崇尚公開的精神。在公開的討論中，要想取得勝利，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學知識。于是“詭辯學派”應運而生。“詭辯”(Sophism)一詞是使人智慧的意思，也譯作“哲人學派”或“智人學派”。

經過兩千多年的努力，數學家利用代數方法終于證明了三大難題都無解。化圓為方相當于求√π，它不是任何整系數方程的根，因而不可能用尺規作出，1882年由德國數學家林德曼證明。倍立方相當于求3√2，法國數學家范齊爾于1837年證明用尺規作不出等分任意角難在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉圖﹝Plato，約公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉圖出生于雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時代勤奮好學、多才多藝且體格健壯。除了家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠的莫過于正直善辯的哲學家蘇格拉底﹝Socrates﹞了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名

被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長，他對當時的政客、法典和習俗愈來愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學思想，并從事于締造理想國家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄奧多魯斯﹝Theodorns﹞學數學，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創辦他的著名學園，這是一所為系統地研究哲學和科學而開設的高等院校，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大里亞數學學派之間聯系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死于雅典。

作為一位哲學家，柏拉圖對于歐洲的哲學乃至整個文化的發展，有著深遠的影響。特別是他的認識論，數學哲學和數學教育思想，在古希臘的社會條件下，對于科學的形成和數學的發展，起了不可磨滅的推進作用。

從柏拉圖的著作中，可以看到數學哲學領域的最初的探究。柏拉圖的數學哲學思想是同他的認識論，特別是理念論分不開的。他認為數學所研究的應是可知的理念世界中的永恒不變的關系，而不是可感的物質世界中的變動無常的關系。因此，數學的研究對象應是抽象的數和理想的圖形。他在《理想國》中說：“我所說的意思是算術有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數進行推理，而反對在論證中引入可見的和可捉摸的對象。”他在另一處談到幾何時說：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見的圖形，并借此進行推理，但是他們實際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象。??他們力求看到的是那些只有用心靈之日才能看到的實在。”

如果說數學概念的抽象化定義始于畢達哥拉斯學派，那么，柏拉圖及其學派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進了。他們不僅把數學概念和現實中相應的實體區分開來，并把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴格地分開。柏拉圖是從理念論的角度去探討數學概念的涵義的。亞里士多德闡釋說，柏拉圖是將數學對象置于現實對象與理念之間的，數學對象因其常駐不變而區別于現實對象，又因其可能有許多同類對象而區別于理念。

柏拉圖十分強調脫離直觀印象的純理性證明，并嚴格地把數學作圖工具限制為直尺圓規。這種主張對于形成歐幾里德幾何公理演譯體系，不無促進作用。

柏拉圖也十分重視整數的學問，他在很大程度上繼承了畢氏學派的『萬物皆數』的觀點。他認為宇宙間的天體以至萬物都是按照數學規律來設計的。依賴感官所感覺到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無價值的，只有通過數學才能領悟到世界的實質。

此外，柏拉圖學派在數學中引入了分析法和歸謬法；他給出了點、線、面、體的定義；他對軌跡也有較早的認識，還研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的問題。在算術方面，他們發現了級數的不少重要性質。在天文學方面，他們不只是追尋天文觀測的表象，而是尋求完美的有關天體的數學理論。總之，柏拉圖學派主張嚴密的定義與邏輯證明，促成了數學的科學化。

自公元前387年開始，柏拉圖就把創建和主持學園教育作為自己最重要的事業。雖然他認為學園的辦學宗旨是培養具有哲學頭腦的優秀政治人材，直至造就一個能夠勝任治國重任的哲學王，但他深信：從事數學研究能培養人的思維能力，并因此是哲學家和那些要治理他的理想國的人所必須具備的基本素養。故學園在具體課程設計上繼承和發展了畢氏學派的以數學為主課的方針。據說，他的學園門口寫著：“不懂幾何者，不得入內”。

柏拉圖倡導多層次的數學教育，在某種意義上也體現了一種因材施教的原則。柏拉圖首次提出了普及數學教育的主張：『應該嚴格規定貴城邦的全體居民務必學習幾何。??經驗證明，學過幾何的人在學習其它任何學問時，要比未學過幾何的人快得多。』在柏拉圖的指導下，學園的數學教育取得極大的成功。在公元前四世紀的希臘，絕大多數知名數學家都是柏拉圖的學生或朋友，他們以柏拉圖學園為數學交流活動的中心場所，形成以柏拉圖為核心的學派，史稱柏拉圖學派。

美國數學史家博耶評論說：“雖然柏拉圖本人在數學研究方面沒有特別杰出的學術成果，然而，他卻是那個時代的數學活動的核心??，他對數學的滿腔熱誠沒有使他成為知名數學家，但卻贏得了‘數學家的締造者’的美稱。”

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，約公元前400-前347﹞

歐多克索斯是古希臘時代成就卓著的數學家和天文學家，生于尼多斯。曾受教于柏拉圖及阿爾希塔斯。

歐多克索斯對數學的最大功績是創立了關于比例的一個新理論。他首先引入“量”的概念，將“量”和“數”區別開來。

用現代術語來說，他的“量”指的是連續量，而“數”是離散的，僅限于有理數。其次，改變“比”的定義為：“比”是同類量之間的大小關系。從這一定義出發可以推出有關比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數學史上是一個大突破。其創立之比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內容。事實上，19世紀的無理數理論是歐多克索斯思想的繼承和發展。不過歐多克索斯理論是建立在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理。盡管如此歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎。為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發展。從他以后，幾何學成了希臘數學的主流。（7），亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

亞里士多德出生于希臘北部的斯塔吉拉，父親是馬其頓國王的御醫。公元前367年，17歲的亞里士多德到當時希臘的文化中心雅典，進入柏拉圖的阿卡德米學園學習。由于他聰敏過人，深受柏拉圖的喜愛，成為柏拉圖的得意門生。他在學園一共學習了20年，直到柏拉圖去世。柏拉圖去世以后，他到小亞細亞各城邦去講學。公元前343年，他42歲時，應馬其頓王的邀請，擔任王子亞力山大的老師。當時亞力山大只有13歲。公元前335年，亞里士多德回到雅典，創辦一所學園，名叫呂克昂（Lyceum）。他在這里從事學術研究和教學活動達13年。亞力山大王去世以后，他被迫離開雅典，把呂克昂交給別人管理。次年病逝，享年63歲。他去世以后，呂克昂繼續存在了幾百年。

如果說柏拉圖是一位綜合型的學者，那亞里士多德就是一位分科型的學者。他總結了 前人已經取得的成就，創造性的提出自己的理論，在幾乎每一學術領域，亞里士多德都留 下了自己的著作。從第一哲學著作《形而上學》，物理學著作《物理學》、《論生滅》、《論天》、《天象學》、《論宇宙》，生物學著作《動物志》、《論動物的歷史》、《論 靈魂》，到邏輯學著作《范疇篇》、《分析篇》，倫理學著作《尼各馬可倫理學》、《大 倫理學》、《歐德謨斯倫理學》，以及《政治學》、《詩學》、《修辭學》等，他的著作 幾乎遍及每一個學術領域，他是一位名符其實的百科全書式的學者。

亞里士多德對數學的本性及其與物理世界的關系所發表的看法影響很大。例如，他討論定義：一個定義只能告訴我們一件事物是什么，并不說明它一定存在。定義了的東西是否存在有待證明。亞里士多德還討論數學的基本原理： 把公理個公設加以區別。公理是一切科學所公有的真理，而公設只是為某一門科學所接受的第一性原理。亞里士多德認為邏輯原理都是公理，公設無需是不言自明的，其是否為真受所推出的結果檢驗，列出的公理和公設數目越少越好。這些思想對以后歐幾里德的思想起了重要的影響。

亞里士多德的另一個重大貢獻就是創立邏輯學。他的邏輯對數學也產生了極大的影響，他的邏輯基本原理，如矛盾律：一個命題不能既是真又是假的；排中律：一個命題必須是真的或是假的??等原理是數學中間接證法的核心。

2.亞歷山大時期（300B.C——641A.D.）

這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩個時期。亞歷山大前期和亞歷山大后期，前期出現了希臘化數學的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大數學家：歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波羅尼烏斯（Appollonius）。歐幾里得總結古典希臘數學，用公理方法整理幾何學，寫成13卷《幾何原本》（Elements）。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數學體系的最早典范。阿基米得是古代最偉大的數學家、力學家和機械師。他將實驗的經驗研究方法和幾何學的演繹推理方 法有機地結合起來，使力學科學化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米得在純數學領域涉及的范圍也 很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線論》（Conic Sections）把前輩所得到的圓錐曲線知識予以嚴格的系統化，并做出新的貢獻，對17 世紀數學的發展有著巨大的影響。亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是這一時期有名望的學者。

亞歷山大后期是在羅馬人統治下的時期，但是希臘的文化傳統尚未被破壞，學者還可繼續研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數學家有海倫（Heron）、托勒密（Plolemy）、丟番圖（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丟番圖的代數學在希臘數學中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之后，希臘數學處于停滯狀態。

公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數學悠久燦爛的歷史，至此終結。亞歷山大里亞有創造力的日子也隨之一去不復返了。

（1）歐幾里得﹝Euclid，約公元前330─約公元前275﹞

關于歐幾里得，除了知道他是歷時長久的亞歷山大數學學派的奠基人外，對他的生平所知甚少，僅估計他很可能在雅典的柏拉圖學園受過數學訓練。

在歐幾里得之前，古希臘的數學知識已經累積得相當豐富，于是有人將它們整理成冊，例如希波克拉底就是第一位進行匯

編的人。歐幾里得也總結了他那個時代古希臘的所有數學成果，編輯成13卷的《幾何原本》，以下簡稱《原本》。此書最重要的特色是公理化系統的結構：由少數幾條公理(axioms)出發，推導出所有的幾何定理。公理是「直觀自明」的真理，是數學的源頭，無法證明，也不必證明。歐氏的曠世名著，使得其它版本都黯然無光，乃至消失。《幾何原本》所引起的效果正如古人所說：“月升燈失色，風起扇無功”。

歐幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞是一部劃時代的著作，就其大部份內容來說，是對于公元前七世紀以來，希臘幾何積聚起來的豐富成果作出高度成功的編纂和系統的整理，其主要功績在于對命題的巧妙選擇，和把它們排列進由少數初始假定出發，演繹地推導出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范。

五條公設

1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小于兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。五條公理

1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減法公理）。4.完全迭合的兩個圖形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止適用于幾何學，對于其它學科也行得通。23 個定義

（2）“數學之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）

阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古（Syracuse）的貴族之家。父親是位數學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養，他在年輕時曾在亞力山大求學，不過大半生都待在他老家西西里島的敘拉古，受國王 Hieron 的贊助從事研究工作。

阿基米德與歐幾里德、阿波羅尼并列為希臘三大數學家，也有人甚至說他是有史以來最偉大的三個數學家之一（其他二位

是牛頓與高斯）。他的主要數學貢獻是求面積和體積的工作。在他之前的希臘數學不重視算術計算，關于面積和體積，數學家們頂多證明一下兩個面積或體積的比例就完了，而不再算出每一個面積或體積究竟是多少。當時連圓面積都算不出來，因為比較精確的π值還不知道。從阿基米德開始，或者說從以阿 基米德為代表的亞歷山大里亞的數學家開始，算術和代數開始成為一門獨立的數學學科。阿基米德發現的一個著名的定理是：任一球的面積是外切圓柱表面積的三分之二，而任一球的體積也是外切圓柱體積的三分之二。這個定理是從球面積等于大圓面積的四倍這一定理推來的，據說，該定理遵遺囑被刻在阿基米德的墓碑上。

阿基米德發明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創造技巧相結合的典范。阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。

《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來。

《論螺線》，是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。

《論錐型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。

（3）阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）

阿波羅尼奧斯出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。

（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，約公元前276─約前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔蘭尼﹝現北非利比亞舍哈特﹞，卒于亞歷山大。他早年在雅典學習，大約四十歲時，接

受埃及的托勒玫三世的邀請，來到亞歷山大當他兒子的家庭教師，約公元前235年起擔任亞歷山大附設于博物館的圖書館館長。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致雙目失明，他無法忍受不能讀書的痛苦，竟絕食而死。

埃拉托塞尼在當時所有的知識領域里都是奇才。他是一位杰出的數學家、天文學家、地理學家、歷史學家、哲學家、詩人和運動員。早年在雅典受過教育，先后師事逍遙學派的阿里斯頓，柏拉圖學派的阿凱西勞斯和犬儒學派的塞翁等。后到亞歷山大，又跟隨詩人卡利馬科斯學習詩詞。他的博學多才，后來贏得“五項全能”﹝Pentathlus﹞的雅號。他是阿基米德的摯友，曾受到阿基米德的高度評價。著作有《地理學》、《地球的測量》、《倍立方問題》、《論平均值》、《柏拉圖》等，可惜只有很少的片斷流傳下來。埃拉托塞尼最受人贊揚和傳誦的業績是測量地球的周長，其特點是原理簡單，方法易行，結果也較精確。他的另一項膾炙人口的發明是尋找素數的方法，即所謂埃拉托塞尼篩，記載于尼科馬霍斯《算術入門》第十三章中，即要在自然數列中從小到大找出素數，先從3開始，將奇數列寫出，3是第一個素數，將3后面所有3的倍數都劃去；3后面第一個未被劃去的數是5，將5后面所有5的倍數都劃去；5后面第一個未被劃去的數是7，將7后面所有7的倍數都劃去，重復這一步驟，直到所寫出的數列最后一個數，未被劃去的就是素數。

（5）海倫（Heron of Alexandria, 公元62年左右）

希臘數學家、力學家、機械學家。約公元62年活躍于亞歷山大，在那里教過數學、物理學等課程。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使 用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。主要貢獻是《度量論》一書。該書共3卷，分別論 述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問題。其中卷Ｉ第8題給出著名的海倫公式 的證明，設三角形邊長分別是a、b、c，s是半周長（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面積，則有Δ＝

。海倫用文字敘述了這一公式的證明，并舉例加以 說明。現已公認海倫公式是阿基米德發現的，但這個名稱已成為習慣用法。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。

（6）丟番圖﹝Diophantus of Alexandria，約公元250年前后﹞

對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》﹝The Greek anthology﹞【這是公元500年前后的遺

物，大部份為語法學家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數問題有關的短詩﹝epigram﹞。

亞歷山大的丟番圖對代數學的發展起了極其重要的作用，對后來的數論學者有很深的影響。他有幾種著作，最重要的是《算術》，還有一部《多角數》，另一些已遺失。《算術》是一部劃代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

丟番圖的《算術》是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。現在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數，而只要求是正有理數。從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍。代數學區別于其它學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算。就引入未知數，創設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。

（7）帕普斯﹝Pappus of Alexandria，約公元300─350年﹞

公元4世紀，希臘數學已成強弩之末。“黃金時代”﹝300 B.C─200 B.C﹞幾何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領，學者們雖然仍能繼續研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創作精迪。公元后，興趣轉向天文的應用，除門納勞斯﹝Menelaus of Alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝Claudius Ptolemy，約公元85-165﹞在三角學方面有所建樹外，理論幾何的活力逐漸雕萎。此時亞歷山大的帕普斯正努力總結數百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，敘寫了希臘數學的最后一頁。

帕普斯給歐幾里得《幾何原本》和《數據》以及托勒密的《至大論》和《球極平面投影》作過注釋。寫成八卷的《數學匯編》﹝Mathematical Collection﹞──對他那個時代存在的幾何著作的綜述評論和指南，其中包括帕普斯自己的創作。但第一卷和第二卷的一部份已遺失，許多古代的學術成果，由于有了這部書的存錄，才能讓后世人得知。例如芝諾多努斯的《等周論》，經過帕普斯的加工，被編入于第五卷之中。當中有關于“圓面積大于任何同周長正多邊形的面積”、“球的體積大于表面積相同的圓錐、圓柱”、“表面積相同的正多面體，面積愈多體積愈大”等命題。對于希臘幾何三大問題也作了歷史的回顧，并給出幾種用二次或高次曲線的解法。在第七卷中則探討了三種圓錐曲線的焦點和準線的性質，還討論了“不面圖形繞一軸旋轉所產生立體的體積”，后來這叫做“古爾丁定理”，因為后者曾重新加以研究。

總括而言，希臘數學的成就是輝煌的，它為人類創造了巨大的精神財富，不論從數量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數學家取得具體成果更重要的是：希臘數學產生了數學精神。即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及

自然界依數學方式設計的信念，為數學乃至科學的發展起了至關重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恒的

第三章．中國古代的數學 1．漢以前的中國數學

幾乎和古希臘同時的戰國時期的百家爭鳴也促進了中國數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關出的許多抽象概念。其中著名的有《墨經》中關于幾何的定義和命題，例如，圓，一中同長也，即圓是從中心到周界有相同長度的圖形。平，同高也，即平行線之間的高度相同。等等。

周秦以來逐漸發展起來的中國古代數學，經過漢代更進一步的發展，已經逐漸形成了完整的體系，中國傳統數學自古就受到天文歷法的推動，秦漢時期天文歷法有了明顯的進步，涉及的數學知識水平也相應提高。西漢末年編纂的《周髀算經》是一部以數學方法闡述的天文著作，用對話一問一答的形式寫出的，提出勾股定理的特例和提出測太陽高、遠的方法，為后來重差術的先驅。

《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立并鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以算法為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。

總之，《九章算術》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。

2．從魏晉到隋唐時期的中國數學

東漢《九章算術》出現以后，注釋與修正的工作在不斷進行著。魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首項系數可以為負，三國時代，劉徽注《九章算術》(263年)。《九章算術》中取圓周率為3，劉徽提出「割圓術」，計算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數近似值。其后南北朝祖沖之(429-500)更把這結果向前推進，在《綴術》一書中，找到3.1415926的密率。

如果將《九章算術》的內容當作中國數學的雛型，那么自東漢到隋唐(即公元第二世紀到第十世紀)，可稱為它的發展期，隋唐以后漸臻成熟。到十三世紀南宋及元初，才進入中國數學的黃金時代。

著作方面，唐朝《新唐書藝文志》中收錄的《十部算經》(李淳風注)很 能夠反應發展期的數學水平。《十部算經》除收集早期的《周髀》《九章》之外還包羅了

《海島算經》(劉徽，263年)《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》(皆為第三、四世紀之作，但夏侯陽現傳本則迭經增補，搜集的材料包含到第八世紀的有關內容)《五曹算術》、《五經算術》(《五曹》為官吏手卌，《五經》則傾向玄學，無甚內容)《輯古算經》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世紀祖沖之所作《綴術》，惜已失傳。十三世紀宋朝再刻《十部算經》時，便以《數術記遺》代之，成為現存的《算經十書》。

3．十二、三世紀的宋元數學

宋元兩代，中國數學進入了黃金時期，尤其到了十三世紀成就更趨輝煌。不只相對于中國本身古來的數學得到空前的發展，放眼于當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數學水平，也是處于領先的地位。

宋元黃金時期的數學家一般以南方的秦九韶、楊輝，北方的李治、朱世杰為代表，合稱秦、李、楊、朱四大家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」，開創了高階等差級數的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監工作)的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由于隨乘隨加的方法暗含著二項式定理的系數分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其后不久劉益，秦九韶作一般高次方程的數值解法鋪路。在西方，高次方程的數值解法要延到十九世紀才由 Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數學慣稱為Horner method(霍納方法)。

值得注意，不管在代數方法或轉化方法上，中國數學家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉向去做些定性的工作。例如在代數方法上有了天元術、四元術，便須轉個方向去考慮根與系數的定性關系，才能再往前推進，做出像十九世紀 Abel, Galois 的方程論那樣的工作。而在轉化方法上，有了個別關系也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統的轉化關系，發展出像解析幾何之類的工作。

但變量數學終究不曾出現在中國，道理還是社會條件不夠，當時中國社會以天文歷法所需的數學最為繁復。內插法是一種逼近，隱約有了變量數學成份。但變量數學得以發展的真正關鍵在于引入變化率。日月五星的運行雖也有變量，但運行的瞬間速度在當時還不必去考慮，不像在歐洲，力學已發展到須要找出運動規律的時候了。十三世紀前的中國數學在局部化方法上所作的貢獻只限于三次函數的內插逼近及早先祖沖之的 Cavalieri 原理。

宋元以后，明代理學對科學技術與思想發展造成一定束縛。除程大位《算法統宗》繼吳敬,徐心魯等人將籌算改良，發展為珠算，便利四則計算之外，明朝兩百年間，不僅沒繼承宋元數學而持續發展，甚至宋元著作散失，數學水平普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續來華之時，中國數學正處低潮時期，兩種文化的交會結束了中國本土數學的發展。

第四講章．印度與阿拉伯的數學

1．印度的數學

印度是世界上文化發達最早的地區之一，印度數學的起源和其它古老民族的數學起源一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，印度數學的發展也有一個特殊的因素，便是它的數學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發展的。再加上佛教的交流和貿易的往來，印度數學和近東，特別是中國的數學便在互相融合，互相促進中前進。另外，印度數學的發展始終與天文學有密切的關系，數學作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。

約在三千七百年前，Harappa 文化已開始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進入印度的恒河流域時，這支文化已經消失殆盡。

亞利安人發展了世襲的種姓制度，婆羅門（教士）與武士享有統治權。婆羅門掌管知識，并且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對寫作，而婆羅門教圣詩吠陀(Veda)則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻不足而不清不楚。在數學方面，我們只能從吠陀的經文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花了一些心思。公元前六世紀，佛教興起，屏棄了婆羅門教的閉鎖性格，于是文學萌芽，歷史也開始有了可靠的文獻。

公元前326年，亞歷山大大帝曾經征服了印度的西北部，使得希臘的天文學與三角學傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）興起，在其阿育王時代（公元前272～232年）勢力達到頂峰，領土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國教，每到一重要城市總要立下石柱。從數學的眼光來看，這些石柱讓人感興趣，因為在石柱上我們可以找到印度阿拉伯數字的原形。

從八世紀開始印度教興起，同時回教勢力也開始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數學從此之后就停止不前。

十六世紀初，中亞的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國。到了十九世紀，英國的勢力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時期，印度雖然有比較統一的局面，但數學方面仍然沒有進展。因此十二世紀的 Bhaskara 可以說是印度傳統數學的最后一人。直到二十世紀初，印度數學會成立（1907年），出版學會雜志（1909年），而且又產生了數學怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的數學終于漸有起色，而投入了世界數學的發展洪流中。

然而印度的傳統數學在算術及代數方面則有相當的成就；這些包括建立完整的十進制記數系統，引進負數的觀念及計算，使代數半符號化，提供開方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

拉普拉斯對十進位值制記數法的評價：“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。”

2．阿拉伯數學

從九世紀開始，數學發展的中心轉向阿拉伯和中亞細亞。自從公元七世紀初伊斯蘭教創立后，很快形成了強大的勢力，迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區內，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯數學，就是指用阿拉伯語研究的數學。

從八世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數學的翻譯時期，巴格達成為學術中心，建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻被重新校訂、考證和增補，大量的古代數學遺產獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上，迅速發展起來，直到15世紀還充滿活力。

三角學在阿拉伯數學中占有重要地位，它的產生與發展和天文學有密切關系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發

展了三角學。他們引進了幾種新的三角量，揭示了它們的性質和關系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數表。其中著名的數學家有：阿爾?巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾?維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾?比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁﹝Nasir ed-din﹞完成的，該著作使三角學脫離天文學而成為數學的獨立分支，對三角學在歐洲的發展有很大的影響。

第五講：數學的復興 1．中世紀的歐洲數學

羅馬人活躍于歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數學卻很落后，只有一些粗淺的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》﹝公元前14年﹞。書中比較注重處理數學問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對歷法改革也有一定的貢獻。中世紀原指古代文化衰落（五世紀）到意大利文藝復興（十五世紀）之間漫長的一千年。從科學史角度來看，在這段時期內，人類從希臘科學文明和羅馬統治的高峰跌落，再沿著現代知識的斜坡掙扎向上。這一時期只出現少數幾位熱心學術的學者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞，英國的教士學者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞，著名的法國學者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他后來成了教皇西爾維斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。

在這樣一種價值取向下，數學的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，并成為構建基督教體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現在九世紀著名的經院哲學家和神學家薩阿迪亞·果昂(Saadia Gaon，892-942)的著作中。在他的系統的神學理論中已經曾現出十九世紀和二十世紀數學所特有的某些方法和思維過程。如薩阿迪亞在他的著作中曾

把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來，并且以后所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和《圣經》的象征手法有趣地結合而推導出來。在這里希臘人的方法與希伯來傳統結合起來。這也引出了近現代數學中的“唯一性問題”。

這種思想經過幾個世紀的醞釀，最終在十六、十七世紀達到其頂峰，讓我門看一看法國數學家、哲學家笛卡兒帶有強烈的唯意志論特征的一段話：“數學真理，如同其他一切受造之物一樣，也都是由上帝所確立，并依賴于上帝。??上帝能夠做我們所理解的一切事情，我們不可以說上帝無法做我們所不理解的事情。因為，認為我們的想象力可以窮盡上帝力量的那種想法是？越而狂妄的。”所以，對于此時的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數學家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態度和理性的思考來接近上帝的思想，就可以明白神創造的世界。近代數學的產生和進展就直接得益于這種宗教觀念的提升和促進，由此為近代數學發展超越古希臘階段提供了一個必要的形而上學基礎。

十二世紀是數學史上的大翻譯時期，是知識傳播的世紀，由穆斯林保存下來的希臘科學和數學的經典著作，以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。

十四世紀相對地是數學上的不毛之地，這一時期最大的數學家是法國的N?奧雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著

作中，首次使用分數指數，還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化，出現了變量和函數的概念。他的工作影響到文藝復興后包括笛卡爾在內的學者。

2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響

在古希臘哲學家畢達哥拉斯和柏拉圖那里，數學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數學孤立起來看待，認為數學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數學與不完美的可感知世界產生矛盾時，現實是被校正的對象。柏拉圖尤其認為在現象世界中物質阻礙了對數學理念的精確反映。柏拉圖甚至憎惡“幾何學”這個名詞，他認為在幾何學這門學科中存在著太多的使人聯想起受做工作的名詞，“這門學科所用的語言散發著奴隸的氣息”，數學研究是一種崇高而且有哲理性的職業，但與應用有關的則是卑劣粗俗的[8]。

在文藝復興時期，畢達哥拉斯和柏拉圖所強調的自然是依照數學設計的信念廣泛地為歐洲的知識分子所接受。

近代數學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由于技工與學者相互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數學中新的觀點、新的理論和方法的產生，這時，數學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發了眾多新學科的創造，如對數、三角學的形成，微積分的產生與分析學的發展都是建立在自然科學的研究的基礎上的。另一方面，數學的成果也日益廣泛的被應用到其他自然科學的研究中去。實際上，從開普勒、笛卡爾、伽利略、牛頓到十八世紀的拉普拉斯，他們在一般方法上或具體研究中都是以數學家的身份去探索自然的。依靠數學的指導，建立定量化的規律，從而導出了極有價值的科學成果。

這一時期，在數學中首先發展起來的是透視法。藝術家們把描述現實世界作為繪畫的目標，研究如何把三維的現實世界繪

制在二維的畫布上。

文藝復興時期更出版了一批普及的算術書，內容多是用于商業、稅收測量等方面的實用算術。印度─阿拉伯數碼的使用使

算術運算日趨標準化。

符號代數學的最終確立是由16世紀最著名的法國數學家韋達﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基礎上，于1591年出版了

名著《分析方法入門》﹝In artem analyticam isagoge﹞，對代數學加以系統的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數和已知數，使代數學的形式更抽象，應用更廣泛。韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改進了三、四次方程的解法，還對n = 2、3的情形，建立了方程根與系數之間的關系，現代稱之為韋達定理。

文藝復興時期在文學、繪畫、建筑、天文學各領域都取得了巨大的成就。數學方面則主要是在中世紀大翻譯運動的基礎上，吸收希臘和阿拉伯的數學成果，從而建立了數學與科學技術的密切聯系，為下兩個世紀數學的大發展作了準備。

3．三次、四次方程的求根公式的解決

代數學在文藝復興時期獲得了重要發展。最杰出的成果是意大利學者所建立的三、四次方程的解法。卡爾達諾在他的著作《大術》﹝Ars magna，1545﹞中發表了三次方程的求根公式，但這一公式的發現實應歸功于另一學者塔爾塔利亞﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里﹝Ferrari﹞發現，在《大術》中也有記載。稍后，邦貝利﹝Bombelli﹞在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數，還改進了當時流行的代數符號。

4．三角學的歷史

早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結果推算的一種方法，因而最先發展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數學中都有三角學的內容，可大都是天文觀測的副產品．例如，古希臘門納勞斯（公元100年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年后，另一個古希臘學者托勒密著《天文學大成》，初步發展了三角學．而在公元499年，印度數學家阿耶波多也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（約505～587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾丁（1201～1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數學的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數學家是德國人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數線與半徑的比值定義三角函數，他還創用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形解法進一步轉化為研究三角函數及其應用，成為一個比較完整的數學分支學科．而由于上述諸人及19世紀許多數學家的努力，形成了現代的三角函數符號和三角學的完整的理論

第六講：近代數學的興起

在數學史上，十七世紀初到十九世紀20年代這段時間被稱為近代數學時期。對數的產生、牛頓、萊布尼茨的微積分、帕斯卡等人的概率論等都是這一階段的重要成果。

1．對數

16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，于是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。

德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent，有代表之意）。

英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。

1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。

最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。后來改用 「假數」為「對數」。

2.解析幾何的誕生

幾何學及綜合幾何式的思考方式是希臘數學的傳統。幾何學幾乎是數學的同義詞，數量的研究也包含其中。這種趨勢直到十七世紀上半葉才漸有改變；那時候代數學已較成熟，同時科學發展也逼使幾何學尋求更有效的思考工具，更能量化的科學方法。在此雙重刺激之下，解析幾何學就誕生了。

在希臘人的觀點中，圓錐曲線就是圓錐被平面割截的截痕，但若死守這種觀點，圓錐曲線的性質就甚難推演。Apollonius 由圓錐截痕的定義導出圓錐曲線中一些幾何量所具有的代數關系式，然后以這些關系式為基礎再導出其它的性質。這些關系式，經稍微的變形，用現代的觀點來看是這樣的。

代數學本身尚未完全成熟也使解析幾何的想法未能迅速推廣開來。那時，負數的觀念并不成熟，尤其是，幾何的量不能與負數有關，所以許多可以統一處理的情形，都得分成好幾個狀況，分別處理，而且只有在第一象限才有圖形。

3.微積分的產生與發展

微積分思想的萌芽可以追溯到古希臘時代。公元前5世紀，德謨克利特創立原子論，把物體看成由大量的不可分割的微小部份﹝稱為原子﹞迭合而成，從而求得物體體積。公元前4世紀，歐多克索斯建立了確定面積和體積的新方法──窮竭法，從中可以清楚地看出無窮小分析的原理。阿基米得成功地把窮竭法、原子論思想和杠桿原理結合起來，求出拋物線弓形面積和回轉錐線體的體積，他的種種方法都孕育了近代積分學的思想。

事實上，17世紀早期不少數學家在微積分學的問題上做了大量的工作，但只停留在某些具體問題的細節之中，他們缺乏對這門科學的普遍性和一般性的認識。微積分學的最終創立要歸功于英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲。

4.概率論的產生

（1）．概率的起源——隨機性游戲

作為一門經驗科學的古典概率論最直接起源于一種相當獨特的人類行為思想的探索：人們對于機會性游戲的研究思考。所謂機會性游戲是靠運氣取勝一些游戲，如賭博等。這種游戲不是哪一個民族的單獨發明，它幾乎出現在世界各地的許多地方，如埃及、印度、中國等。在自古至今各國文獻的記載中，有關賭博等機會性游戲的記載的文獻是非常豐富的，賭博手冊的存在、各種隨機發生器的發明，各個時代和國家經常展開的反對賭博的斗爭活動等都是早年機會性游戲流傳的明證。

帕斯卡和費馬正確解決了“點問題”的這一事件被伊夫斯）稱為“數學史上的一個里程碑”。

（2）．概率論與統計學的結合

概率論產生于人類的一種特殊的活動——機會性的游戲，而培育它成長壯大的其他因素卻豐富多彩。首先是一門與經濟、政治和宗教信仰等有密切關系的關于數據的學問——統計學對概率論發展產生了重大的影響。

正是伯努利具體地指出了概率論可以走出賭桌旁而邁向更廣闊的天地這一光輝前景。他的大數定律成為概率論從一系列人們視之為不怎么高尚的賭博問題轉向在科學、道德、經濟、政治等方面有價值和有意義的應用的一塊塌腳石，從而吸引了歐拉、拉格郎日、達朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯等一大批數學家投身于其中。

（3）．概率論與分析學等領域的結合

伯努利的工作也顯示了逐漸發展的統計是概率論施展潛力的最重要的舞臺。但是由于統計學所研究的許多現象比賭博中的輸贏等現象要復雜得多，許多問題涉及到連續和無限的情形，這樣主要以離散組合方法為主的古典概率論就顯得不是很充分了。所幸的是十八世紀分析學的發展為概率論方法的擴展提供了及時的條件，于是分析的方法開始大規模地進入了概率論研究的領域。早期在這方面做出重要嘗試的是與伯努利幾乎同時對概率論做出重要貢獻的另一位數學家棣莫弗（1667—1754）。

在數學分析與概率論的結合方面做出有益嘗試的數學家們還有：伯努利家族眾多科學成員中的一員丹尼爾.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖論。丹尼爾.伯努利在其工作中還明確地示范了怎樣將微積分（60年前發明的）應用于概率的研究。歐拉（Leonard Euler，1707—

1783）分類整理了許多概率問題；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系統地把微積分應用于概率論，由此把概率論推進了一大步。

（4）．概率論與社會科學的結合

在十八世紀，除了當時非常有效的數學工具——數學分析，以及統計學和誤差測量等方面與概率論的廣泛結合之外，概率論發展的另一個重要特征就是它的應用范圍大幅度地向社會學領域中擴展，這種傾向與當時的社會精神氛圍有著極其密切的關系。在十八世紀，“理性”是貫穿始終的一個中心，這個詞表達出了這個世紀的人們的希望和為之奮斗的一切東西。所謂理性一般是指正確方法的關鍵，它也指自然界的秩序，也表示邏輯上有效的論證，就像數學中的論證那樣。所以，數學一直被作為秩序和理性的典范。而此時正是經典的自然科學領域結出輝煌碩果的時期，許多知識分子也希望建立一門像自然科學那樣以數學的方法為基礎的關于人和社會的科學。這一切與自笛卡爾以來人們所認為的數學具有普遍特征的觀點是一脈相承的。

第七講：近代數學的發展

十九世紀二十年代以來，數學發展的主要特征是空前的創造精神和高度的嚴格精神相結合，這個世紀的數學成果超過以往所有數學成果的總和，其中最典型的成就應當屬分析學的嚴格化；射影幾何的復興及非歐幾何的誕生；代數學中群論和非交換代數學的產生；以及公理化運動化的開端等。這些事件具有重大的意義，從某種程度來說它們改變了人類的思維方法，并且最終影響到人們對數學的本性的理解，這些事件也深深地影響了二十世紀數學的發展趨勢，主要反映在純粹數學方面。

1．幾何學的發展

（1）射影幾何學的復興

19世紀，幾何學領域的首先的一個突出的進展是關于射影幾何學的研究。

射影幾何學討論平面或空間圖形的射影性質。所謂射影性質就是在射影變換下保持不變的幾何性質，如三點共線、三線共點等，這些性質如此眾多，且各不相同，因此，為了使這繁雜的知識變得有條理，人們常采取建立在定理的推演方法的基礎上的分類原則。按照這種分類原則可以區分出“綜合”與“分析”兩大類方法。綜合法就是歐幾里得公理化方法，它將學科建立在純粹的幾何基礎之上，而與代數及數的連續概念無關，其中的定量都是從一組稱為公理或公設的原始例題推導出來的。分析法則是建立在引入數值坐標的基礎上，并且應用代數的技巧。這種方法給數學帶來了深刻的變化，它將幾何、分析和代數統一成為一個有機的體系。

（2）非歐幾何的創立

19世紀幾何學最重要的成就，應當首推30年代創立的非歐幾何學。

非歐幾何的歷史，便開始于努力清除對歐幾里得平行公理的懷疑。據說，在歐幾里得以后果的兩千多年的時間里，幾乎難以發現一個沒有試證過第五公設的大數學家。但是，兩千多年來許多數學這在這方面的努力都失敗了。這是因為：除了他們一直沒有找到一個比平行公理更好的假設之外，在他們的每一個所謂“證明”中，都自覺不自覺、或明或暗地引進了一些新的假設，而每個新假設都與第五公設等價：即在某給定的公理的基礎上加上第五公設可以推導出這一命題；反之；反之在此組公理基礎上加上這個命題也可以推導出第五公設。所以，在本質上他們并沒有證明第五公設，只是在整個公理體系中，把第五公設用等價命題來代替罷了。例如：公元4世紀的普洛克拉斯（Proclus）試圖通過把平行于已知直線的線定義為和已知直線有給定固定距離所有點的軌跡的方法，來廢除特殊的平行公理，但是他沒有意識到，他只是把困難轉移到另一個地方罷了，因為，必須證明這樣的點的軌跡的確是一條直線，當然證明這一點是困難的。但如果承認這個命題是一個公理，那么容易證明：這個公理和平行公理是等價的。

到17、18世紀，許多數學家，如意大利耶穌會教士薩開里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法國的分析數學家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒讓德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波

爾約（WBolyai，1775-1813）等，為了試證平行公設，而改用反證法，即從第五公設不成立的情況著手，追窮它能否得出與已知定理相矛盾的結果。如果得不出，它又會產生怎樣的事實。實際上，這樣的思想方法，已經開辟了一條通向非歐幾何的道路，并且得出了許多耐人尋味的事實。而這些事實正是從第五公設不成立這一假定下推導出來的，這恰恰就是非歐幾何學中的定理。

羅巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大學數理系的一次會議上提出了關于非歐幾何的思想。1829年，他正式發表了題為《論幾何學基礎》的論文，以后，他又發表了題為《具有平行的完全理論的幾何新基礎》等多篇著作，論述他關于平行公設的研討以及對新創立幾何體系的探索。

到了19世紀末期，非歐幾何逐漸被人們所接受，非歐幾何的產生具有極為深遠的意義，它把幾何學從傳統的模型中解放出來，“只有一種可能的幾何”這個幾千年來根深蒂固的信念動搖了，從而為創造許多不同體系的幾何打開了大門。1873年，一位英國數學家把羅巴切夫斯基的影響比作由哥白尼的日心說所引起的科學革命。希爾伯特也稱非歐幾何是“這個世紀的最富有建設性和引人注目的成就”。

2.代數學的發展

（1）群論的誕生

群的思想起源于求解高次方程的根的問題。在18世紀末和20世紀初，代數學中的中心問題之一仍是代數方程的代數解法，這個問題的根本困難在于求一個未知數的n次代數方程的解法，可以用系數的加、減、乘、除和開方的有限次運算表示出根的公式，也稱根式解法。

19世紀末期，群論幾乎滲入到當時數學的各個領域中去，例如1872年，克萊因在他著名的“埃爾朗根綱領”中指出，變換群可用來對幾何進行分類；F·克萊因和龐加萊在研究自守函數的過程中曾用到其它類型的無限群；1870年左右，S·李開始研究連續變換群的概念，并用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類；在代數中，群作為一個綜合的基本結構成為抽象代數在20世紀興起的重要因素；此外，群論在近代物理學中也有重要的應用。

（2）非交換代數學的產生 1．代數結構

在19世紀早期，代數和幾何有著相似的經歷，人們把代數單純地看作是符號化的算術，也就是說，在代數中，凡量都可以用字母表示，然后按照對數字的算術運算法則對這些字母進行計算，例如，這些運算法則中最基本的五條是：加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律、乘法在加法上的分配律。而隨著伽羅瓦的群的概念的引入，19世紀中葉的代數在保持上述這種基礎的同時，又把它大大地推廣了。這時，在代數中還考察比數（自然數、整數、負數等）具有更普遍得多的性質的“數”——元素。比如，上述關于數的五條基本性質，也可以看作是其它完全不同的元素體系的性質，也就是說，存在有共同代數結構的公設，并且，邏輯上隱含于這些公設的任何定理，可被用于滿足這五條基本性質的任何元素來解釋。從這個觀點上說，代數不再束縛于算術上，代數就成了純形式的演繹研究。

2．向量

19世紀后期，復數成為研究平面向量的有效工具。但是，復數只能表示平面向量，而物理學中處理的量涉及的總是三維空間向量。困此，迫切需要一種能處理空間向量的數學理論。四元數的誕生自然引起了很大的反響，數學物理家們從四元數中找到了處理空間向量的數學理論，因為四元數中含有三維向量的標準研究式xi+yj+zk。但是，在哈密頓那里，向量只是四元數的部分，而不是作為獨立的數學實體處理的。從四元數到向量需要邁出主要一步是把向量從四元數中獨立出來。電磁理論的發明者，偉大的英國數學物理學家之一麥克斯韋（1831-1879）在區分出哈密頓的四元數的數量部分和向量部分的方向上邁出了第一步。其后，在19世紀80年代初期由數學物理學家吉布斯（1839-1903）和希維賽德（1850-1925）各自獨立地開創了一個獨立于四元數的新課題——三維向量分析。

3．矩陣

另一個不可交換的代數——矩陣理論是英國數學家凱萊創造的。他是在研究線性變換下的不變問題時，為簡化記號引入矩陣概念的。凱萊定義了兩個矩陣相等、兩個矩陣的乘法、矩陣的加法。在所得到的矩陣代數中，可以證明：乘法不滿足交換律。

總之，正象非歐幾何的創立為新幾何學的創立開辟了道路一樣。四元數、超復數、向量、矩陣等新的代數體系的出現，也成為代數學上的一次革命。它們首先把數學家們從傳統的觀念中解放出來，并為新的代數學——現代抽象代數學的創立打開了大門。

3．分析學的發展

（1）微積分的嚴格化

自17世紀中葉微積分建立以后，分析學各個分支象雨后春筍般迅速發展起來，其內容的豐富，應用的廣泛使人應接不暇。它的高速發展，使人們無暇顧及它的理論基礎的嚴密性，因而也遭到了種種非難。到19世紀初，許多迫切的問題得到了基本解決。大批數學家又轉向了微積分基礎的研究工作。以極限理論為基礎的微積分體系的建立是19世紀數學中最重要的成就之一。

微積分中，這種缺乏牢固的理論基礎和任意使用發散級數的狀況，被當時一些數學家認為是數學的恥辱。這些問題，雖然經過了整整一個半世紀的修正和改進，仍未得到完滿的解決。但是人們已經從正反兩方面積累了豐富的材料，為解決這些問題準備了條件。從19世紀20年代起，經過許多數學家的努力，到19世紀末，微積分的理論基礎基本形成。在這方面做出突出貢獻的主要有數學家波爾查諾、柯西、魏爾斯特拉斯等。

集合論的建立

在分析學的重建運動中，德國數學家康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

但是隨著歲月的流逝，集合論日臻完善，并且以其巨大的生命力展現在人們面前。集合論的誕生被譽為是數學史上一件具有革命性意義的事件，英國哲學家羅素把康托爾的工作稱為“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的成就。”康托爾生前曾充滿自信地說：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人到頭來都將搬起石頭砸自己的腳??。”歷史的事實證實了這一點，康托爾和他它的集合論最終獲得了世界的承認，至今享有極高的聲譽，它已經深入到數學的每一個角落。正如大數學家希爾伯特所指出的那樣“沒有人能把我們從康托爾所創造的樂園里趕走！”

4.公理化運動

概括地說，公理觀點可以敘述如下：在演繹系統中，為了證明一個定理，就必須證明這個定理是某些以前已經證明過的命題的必然的邏輯推論，而這些命題本身又必須用其它命題來證明，等等。這個過程不可能是無限的，因此，必須有少數不定義的術語和公認成立而不要求證明的命題（稱為公理或公設），從這些公理出發，我們可以試圖通過純邏輯的推理來導出所有其它的定理。如果科學領域的事實，有這樣的邏輯順序，那么就說這個領域是按公理形式表示了。

（1）、算術的公理化

對于分析，幾何等分支的基礎問題的進一步探討，使得數學家們關心起算術的基礎。然而，直到19世紀末，算術中一些最基本的概念，如：什么是數？什么是0？什么是1？什么是自然數的運算等，卻很少有人解釋過。

（2）初等幾何的公理化

自從歐幾里得時代以來，幾何學就成為公理化學科的典范，很多世紀，歐幾里得體系是被集中研究的對象。但是在19世紀后期，數學家們才明白：如果一切初等幾何都要從歐氏系統推演出來，那么歐氏公理必須加以修改和補充。

（3）其它數學對象的公理化

公理化的思想風靡于世，它日益滲透到每一個領域中去。例如，在19世紀初解代數方程而引進的群及域的概念，在當時都是十分具體的，如置換群。只有到19世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻畫它，群的公理由四條組成，即封閉性公理，兩個元素相加（或相乘）仍對應唯一的元素；運算滿足結合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影響著現代數學的發展。20世紀初的數學發展的趨勢之一就是數學分支的公理化。例如1933年，蘇聯數學家A.H.柯爾莫戈洛夫在他的《概率論基礎》一書中給出了一套嚴密的概念論公理體系。特別應當指出的是：公理化運動最大的成果之一是它已經創立了一門新學科——數理邏輯。

第八講 現代數學概觀

“現代數學”一詞已為人們所常用，但現代數學時期卻很難用一個確定的年代作為開始的時間，一般來講，是從20世紀初開始的。現在，20世紀即將結束，它留給人們一筆豐富的數學財產。這個世紀數學發展速度之快、范圍之廣、成就之大、遠遠超出人們的預料，數學的發展在改變著人們對數學的認識。數學本身也在不斷分化出更多的二級、三級，甚至更細小的學科和思想，而在不同的學科之間，幾乎沒有共同的語言。在這里我們所能給出的，僅僅是極為粗略的概述。

1．集合論悖論與數學基礎的研究

康托的集合率與數學的關系從來沒有順利過。1900年左右，正當康托的思想逐漸被人接受時，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論里的邊緣被發現了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數學中的奇特現象。人們認為，集合的概念結構的組成還沒有達到十分令人滿意的程序，只需對基本定義修改，一切事情都會好起來。

在有限集合中，推理有效的邏輯法則的一個特殊例子是排中律，布勞威爾反對把它應用于無限集中。支撐這個法則的假設是每一個數學陳述都可以判斷是真或假，而不依賴于我們用于判斷真值的方法。對布勞威爾來說，純粹地假設的真值是一個錯誤。只有一個自明的構造通過有限步驟建立起來時，才可以說斷定一個給定的數學陳述是真的。因為并不能預先保證能夠找到這樣的一個構造。所以我們就無權假設有一個陳述要么是真的，要么是假的。例如：布勞威爾問：“在π的小數表達式中有十個連續的數學形成0123456789的形式，這個陳述是真還是假？”因為這顯然需要我們判定在π中有0123456789形式，或者證明沒有這樣的形式，但是因為π是一無窮小數，也就不存在作出這個決定的方法，所以人們就不能應用排中律說這個陳述是真或假的。另一方面，從直覺主義者的立場來說，斷言 或是素數或是合數，而不必說二者之一成立。因為有一種方法，（如果不怕麻煩去應用它的話），也就是一個有效法則能夠決定兩者之一哪個是正確的。

拋棄排中律和拋棄以此為根據的非構造的存在性證明，對希爾伯特來說是過于激進的一步，以至于不能接受。他說：“禁止數學家用排中律，就象禁止天文學家用望遠鏡或拳擊者用拳一樣。”對他來說，布勞威爾不會贊同證明傳統數學是相容的能夠恢復數學的意義的主張。這樣他寫道：“用這種方式不會得到任何有數學價值的東西，沒有被悖論制止的一個假的理論仍然是假的。就象一個沒有被法庭禁止的犯罪行為仍然是犯罪一樣。”

2.純數學的發展

20世紀初，除了圍繞驚心動魄的關于數學基礎所展開的爭論之外，由19世紀70年代以來發展起來的數學的抽象化和公理化的趨勢一直受人重視，人們已經意識到抽象理論幾乎具有囊括一切的本領。建立起這樣的抽象理論成為許多數學家的奮斗目標，而這些人又影響到他們的弟子以及以后幾代數學家，使得他們不但非常重視數學的公理化、嚴密性和抽象性，而且傾向于將這些特性永遠看作數學的本質。在20世紀產生的眾多的純粹數學中，最具有代表性的應當屬拓撲學、泛函分析和抽象代數學。這三門學科可以說是現代數學的三大理論支柱。20世紀，圍繞著這三個領域產生了形形色色的數學分支，時至今日，人們

似乎形成了這樣的一個觀念，一個人不能閱讀用抽象代數、拓撲和泛函分析的語言寫成的書籍，就不能自認為真正掌握了現代數學知識，下面簡略介紹這三門學科的歷史。

（1）拓撲學

有關拓撲學的某些問題可以追溯到17世紀，1679年萊布尼茲發表《幾何特性》一文，試圖闡述幾何圖形的基本幾何特點，采用特別的符號來表示它們，并對它們進行運算來產生新的性質。萊布尼茲把他的研究叫做位置分析或位置幾何學，并另外宣稱應建立一門能直接表示位置的真正幾何的學問，這是拓撲學的先聲。

1736年，歐拉解決了著名的哥尼斯堡七橋問題。這個問題是，能否在散步中連續地經過如圖（6-1的左圖）所示的七座橋且每座橋只走一次。歐拉解決問題的方式具有拓撲意義，他簡化了這個問題的表示法，用點代表陸地，用線段或弧代表橋，將問題改變成：能否一筆畫出下圖中的右圖。

（2）泛函分析

泛函分析有兩個源頭。第一個源頭是變分法。早在17世紀末18世紀初，約翰·伯努利關于最速降線的工作就可以看成是泛函數研究的開端。這個問題及后來提出的各種變分問題一般都可歸結為求形如 或更復雜一些的積分的極值。這里函數 是在某個集合Y上變動。變分法研究以函數y為自變元的函數J(y)。把這里的y視為點，Y視為函數空間的觀念是在很晚才形成的。泛函的抽象理論開始于意大利數學家沃爾泰拉（1860-1940）關于變分法的工作，他研究所謂“線的函數”時指出：每一個線的函數是一個實值函數F，它的值取決于定義在某個區間[a, b]上的函數y(x)的全體。全體y(x)被看作一個空間，每個y(x)看作空間中的一個點。對于y(x)的函數J(y)，沃爾泰拉曾引進連續、微商和微分的定義。法國數學家阿·達馬首先稱這種函數的函數J(y)為“泛函”，而阿·達馬的學生萊維則給泛函的分析性質的研究冠上了泛函分析的名稱。

（3）抽象代數學

抽象代數是20世紀初期的數學中最偉大的成果之一，它的產生可以追溯到19世紀。在19世紀，代數學中發生了幾次革命性的變革最終促進了抽象代數學的產生，首先是由于阿貝爾和伽羅瓦等人的工作結束了代數學中以解方程為主的時代，并促使人們對于代數學所研究的對象采取一種更為抽象的形式，并且，他們的工作也是后來抽象群論的第一個來源，自19世紀以來，引起代數學的變革并最終導致抽象代數學產生的工作還有許多，這些工作大致可以分屬于群論、代數理論和線性代數這三個主要方面。到19世紀末期，數學家們從許多分散出現的具體研究對象抽象出它們的共同特征來進行公理化研究，完成了來自上述三個方面工作的綜合，至此可以說，代數學已發展成為抽象代數學。近代一些德國數學家對這一綜合的工作起到主要作用，自十九世紀末戴德金和希爾伯特的工作開始，在韋伯（1842-1913）的巨著《代數教程》的影響下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年發表了重要論文《域的代數理論》，對抽象代數學的建立貢獻很大。

（4）布爾巴基學派

隨著三大理論支柱的建立，20世紀以來，數學越來越向著日益抽象的趨勢發展，三十年代，對于推動這種趨勢進一步發展的是尼古拉·布爾巴基的工作。

1939年，布爾巴基出版了一部書名樸實的長篇巨著——《數學原理》，全書分成許多卷，這本書馬上引起了數學界極大關注。但是，關于書的作者人們卻一無所知，1949年，有人在一篇有關布爾巴基教授的生平簡介中提到，他從前是波爾達維亞皇家科學院院士，當時居住在法國的南錫。但是以后不久，大約在1953-1954年，他似乎又與南加哥大學數學研究所有了聯系。

3.應用數學的發展

20世紀現代數學變得抽象化的同時，數學應用的范圍也變得更加廣泛了。數學不僅僅應用于天文、物理、力學等傳統的領域，而且涉及到了人們以往認為的與數學的相互關系不大的生物、地理、化學等領域。今天，可以說幾乎所有的科學領域都滲入了數學的概念和方法，而數學本身由于在這些學科上的應用也不斷地豐富起來，數理統計學和生物數學的興起和發展充分說

明了這一點。

與數理統計學的興起和發展相互推動的是另一門應用學科——生物數學的興起。以往生物學的研究工作大多停留在描述生命現象和定性研究的階段，對數學的需求自然顯得不太迫切，許多人對于“生物學的研究中究竟能用到多少數學知識？”這個問題持消極態度，但事實證明生物學的深入研究必然會遇到大量數學問題。生物界現象的復雜程度遠遠超過物理現象和化學現象。特別是在定量研究方面更加困難，因此，進行研究所使用數學工具必然多樣化。如基因的地理分布、種群的年齡分布、森林病毒的蔓延等等。這些問題的研究都要涉及到種群大小的計算、估計和預測，這是概率論的基本內容。沃爾泰拉模型中用的微分方程、進化論和試驗設計發展了數理統計學；遺傳結構離不開抽象代數等等。這些都是數學與生物學相互結合的典型事例。到現在為止，生物數學已經有了生物統計學、生物微分方程、生物系統分析、生物控制、運籌、對策等分支。有人預言：“21世紀可能是生物數學的黃金時代。”

應用數學最迅猛的發展開始于四十年代。第二次世界大戰期間反法西斯戰爭的需要，以及戰后經濟發展的需要等大大促進了該學科的發展。例如：

計算機的出現，使計算數學迅猛發展。一些由于計算量過大而擱置不用的應用方法，這時獲得了新的實用價值。線性規劃、動態規劃、優選法等最優化理論迅速成長起來。應用數學有了電子計算機，如虎添翼，20世紀初期強調抽象理論的趨勢至此有了新的變化。

4.六十年代以后的數學

20世紀60年代以后，數學理論更加抽象。這個時期，除了某些重大的傳統科目，如集合論、代數、拓撲、泛函、分析、概率論、數論等等學科有許多重大的進展外，還有許多新興的分支出現，其中，最引人注目是：非標準分析、模糊數學、突破理論。此外，由于電子計算機的廣泛應用，使得數學發展的趨勢又有了新變化。

（1）非標準分析

在牛頓—萊布尼茲時代，微積分的基礎理論是不嚴格的；那時，牛頓、萊布尼茲的無窮小游移不定——有時被認為是0，有時被認為不是0，他們自己不能自圓其說，因此，遭到了很多的批評，直到19世紀，才由柯西、波爾查諾、魏爾斯特拉斯等人把微積分的理論建立在嚴格的極限理論基礎上。從此，分析中的無窮小量和無窮大量作為數就再也不存在了，偶而提到，也只是“某變量趨于無窮大”之類的句子，只不過是習慣性的說法而已。但是，1960年秋，羅賓遜（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德國人，猶太人，1962年去美國）在普林頓大學的一次報告中卻指出，利用新的方法可以使分析學中久已廢黜的“無窮小”、“無窮大”的概念重新納于合法的地位。1961年在《荷蘭科學院報告》上刊登了羅賓遜的題為“非標準分析”的文章，表明這一新分支已經形成。

（2）模糊數學

經典集合論已經成為現代數學的基礎。在經典集合論中，當確定一個元素是否屬于某集合時，只能有兩種回答：“是”或者“不是”，它只能表示出現實事物的“非此即彼”狀態，然而在現實生活中，卻有著大量的“亦此亦彼”的模糊現象，比如“高個子”、“年輕人”、“漂亮的人”等一些更復雜的情況，這樣一類問題以經典集合論為基礎的數學就不能處理。為了解決這類矛盾，1965年，美國加利福尼亞州立大學的扎德（Zadeh，L.A，1921-）發表了論文《模糊集合》，其中，他提出了一種嶄新的數學思想。他引進了“隸屬度”的概念。

此后，在電子計算機的配合下，形成了一個數學的新分支——模糊數學，并且很快應用到各個領域中去。（3）突變理論

如果說微積分的主要研究對象是連續變化的現象，那么突變理論的基本思想則是運用拓撲學、奇點理論和結構穩定性等數學工具描述客觀世界各種形態、結構的突然性變化，如火山爆發、胚胎變異、神經錯亂、市場崩潰等一系列不連續的變化現象。

但是，突變理論產生的時間畢竟很短，它的理論還遠不夠完善，對它也還存在著不同的意見和看法，因此，現在對它做出更準確的評價，似乎為時尚早。

（4）電子計算機對數學發展的影響

20世紀科學技術的卓越成就之一是電子計算機的產生。自從1944年第一臺計算機問世以來，計算機已經深深地影響到整個人類的生活，包括數學在內，人們普遍認為，電子計算機的出現標志著一個新時代——信息時代的到來。

1．四色問題的解決

四色問題稱四色猜想，1852年由倫敦大學的學生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，當時他觀察到：如果近鄰區域著以不同的顏色，那么用四種顏色足夠給任何畫在平面上的地圖著色。他由此提出疑問：是否能夠從數學上對此加以證明。

2．幾何學的新動向

自歐幾里得時代以來，幾何學一直是基礎數學的一個主要支柱，由于本世紀中期的新數學運動的影響，幾何學經歷了幾十年衰退，但是到了七十年代，數學中的幾何學觀念又開始復興，這主要靠的是新理論工具的開發和計算機圖像顯示的威力，客觀地說，幾何學在數學上又在起著核心作用，就如同在古希臘時代一樣。舉例來說，在1986年的3名菲爾茲獎獲得者中，幾何學占了2名，這是為了獎勵邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐納森（Simou Donaldson）在四維流形幾何方面的貢獻。

計算機繪圖為把幾何學技術推廣到其它數學領域提供了新的有效手段。開始相互合作，最近在美國明尼蘇達大學進行的幾何學大型計算的研究項目就是一個例子。

3．非線性動力學

對非線性問題（如流體的紊流）的數學的分析只是在最近幾年才能進行，這是因為新的解析法、巧妙的數值模擬和計算機圖象顯示，使這類問題的解決已成為可能。應用范圍從機翼剖面的設計到等離體物理學，從油料回收到燃燒過程的研究等。

第四篇：比較文學發展簡史

比較文學發展簡史

1.、比較文學發展的三個階段

（一）、影響研究。時間：19世紀末——20世紀50年代。法國學派。代表人物：戴克斯特、巴爾登斯貝格、梵第根、卡雷、基亞。學術風格：歷史實證主義。影響研究：用充分可靠的材料來闡明各民族文學之間相互聯系相互影響的事實，探討其中的規律，獲取文學交流中可資借鑒的經驗教訓。

有兩個特點：

1、有文學上的事實聯系和影響的國家；

2、局限在歐洲國家

（二）、平行研究和跨學科研究。時間：20世紀50年代末——20世紀70年代。美國學派。代表人物：韋勒克、雷馬克、列文、奧爾德里奇。學術風格：審美研究。平行研究：對那些沒有事實聯系的不同民族的作家、作品和文學現象進行研究，比較其異同，并在此基礎上引出有價值的結論。一方面從新批評的文本理論出發，提倡美學的介入，對沒有文學上的事實聯系和影響的跨國文學進行研究；一方面提倡文學和其它知識領域的跨越性研究。

（三）、跨文明研究。時間：20世紀70年代以后。

比較文學源生于歐美，雖然有歌德和馬克思的世界文學的主張，實際上因為歐洲中心主義，其視域一直局限在歐洲文明。中國學者必然會有尖銳的文明異質感，無法忽視文學現象背后隱藏的中西文明差異。特點：在后現代主義（解構主義）思潮的背景下，立足文化的多元性，強調不同文明的文學的異質性的相互對話。

二、當前發展趨勢 ：

1、理論大潮的影響；

2、東西比較文學的興起；港臺學者李達

三、古添洪、陳慧樺提出“中國學派”的設想。

3、文化研究大潮的影響。

2、比較文學的體系和方法 比較文學的定義

比較文學是以世界性眼光和胸懷來從事不同國家、不同文明和不同學科之間的跨越式文學比較研究。它主要研究各種跨越中文學的同源性、變異性、類同性、異質性和互補性，以實證性影響研究、文學變異研究、平行研究和總體文學研究為基本方法論，其目的在于以世界性眼光來總結文學規律和文學特性，加強世界文學的相互了解與整合，推動世界文學的發展。美國學者雷馬克的定義：比較文學是超出一國范圍之外的文學研究，并且研究文學與其他知識及信仰領域之間的關系，包括藝術（如繪畫、雕刻、建筑、音樂）、哲學、歷史、社會科學（如政治、經濟、社會學）、自然科學、宗教等等。簡言之，比較文學是一國文學與另一國或多國文學的比較，是文學與人類其他表現領域的比較。（見教材第5頁）3、比較文學研究的對象具備的三個基本屬性：

（一）、跨越性。跨國家、跨文明、跨學科。

（二）、可比性。跨越性必然要受到可比性原則對它的有效限定。“沒有可比性的比較是荒唐的比較。”（劉圣效《比較文學概論》，湖南人民出版社1989）

可比性的四種情況：

1、同源性：實際存在于兩個或多個民族文學之間的相互影響、相互聯系。

2、變異性：同源的文學在傳遞過程中，發生的文化過濾、文化誤讀和創造性叛逆。

3、類同性：不存在實際的歷史關系的不同國家文學之間，在美學意義上存在的顯明的相合和隱性的遙契，以及文學與其他學科之間存在的交叉關系。

4、異質性和互補性：凸顯跨文明的文學之間的根本差異，在總體文學的視野和構建中互相補充。

（三）、文學性。

4、比較文學研究方法：1）影響研究把影響的過程分為放送、傳播、接受這三個方面，要求對這三個方面進行具體的研究，劃出“經過路線”。從而分出三種學術思路：

（一）、流傳學（譽輿學）。站在“放送者”的角度，對某個民族文學的作家作品、文體，或是整個民族文學在國外的聲譽、反響和影響進行研究。

（二）、淵源學。從接受者的角度來研究某一文學作品的外來影響，研究它的題材、主題、思想、風格、藝術技巧等的來源。

（三）、媒介學。對不同民族文學之間產生影響的途徑、方法、手段和因果關系的研究。2)變異研究：研究不同國家不同文明文學之間交流的變異狀態，包括語言層面、形象變異、文本變異、文化變異、文學他國化幾個方面的研究。

平行研究可分為以下四個方面：

（一）、主題學。

（二）、文類學。

（三）、類型學。

（四）、跨學科研究。、比較文學方法論 有以下幾種方法：

（一）、歷史實證主義；

（二）、審美批評主義；

（三）、闡發法；

（四）、文化模子尋根法：不同文化系統決定著不同的“美感運思和結構行為”，形成不同的文學模子，在進行不同類型文化背景的文學比較研究時，不應該用一個既定的文學模子硬套在另一種文學之上，比較文學要求其共相，即共同的文學規律，然而共相的尋求必須以文化模子的尋根為基礎。

（五）、對話：不是對作家作品進行分析闡釋，主要是在文學理論的領域中圍繞人類面臨的共同問題，各文化體系詩學從不同的角度提出自己的解答和看法，同時又交織著作家及人物的觀點和感情，隱含人物未來的動機、行為傾向，衍生出各種情節。這種研究分兩個方面：

一、對文學中常見的特定情境，以及不同作家對基本情境的不同處理的研究。

二、對情境母題的研究。如三角戀、“落難公子中狀元，私定終身后花園”。

6、形象概念及形象學基本原理

對形象概念的理解：1）、一方面，形象是對異域或異國的某種歷史文化現實的描述，即形象的客觀性。另一方面，形象是對他者的想像，即形象的主觀性。作為被描述的對象，因為對他者不可能完全了解，往往與他者的客觀情況有差距。2）、比較文學的形象學的旨意并不在鑒定形象與他者事實上的相符程度，而在于從形象中反射出來的形象制造者本身的文化特點。關注之點在于注視者表現出來的“社會集體想像物”。重點不在形象的真偽，而在形象的生成機制。3）、按形象與注視者所在社會的關系，可區分為“意識形態的形象”和“烏托邦的形象”。4)、形象的特殊形態：套話。幾個重要概念。社會集體想像物：借自法國年鑒史學派的概念，指特定社會群體在某一歷史時期對一個異國或異域社會文化的整體所作的闡釋。這種闡釋有兩極性，即認同性和相異性。意識形態的形象：用注視者社會話語重塑的異國形象，注視者社會群體通過這種詮釋整合具有相異性的他者形象，強化了自我身份，傾向于本文化認同。

烏托邦的形象：注視者悖離本社會意識形態，質疑和顛覆本社會，對他者理想化，對異國形象的描述悖離本社會模式，具有批判性。其特點在于“維持可能領域的開放狀態”，為本社會暗示一種具有積極意義的未知領域。

套話：指一個民族在長時間里用于描述某一異國、異國人或異國事物的穩定的表達方式，一般表現為詞或詞組。是社會集體想像物表達的最小單位。7 后現代主義

要理解后現代主義，必須要清楚什么是現代主義（modernism），因為后現代主義是作為叛逆者，在解構現代主義的基礎上建立起來的。Post具有雙重涵義，一是歷史意義的，指后現代主義是作為現代主義的后繼者出現的；二是邏輯（學理）意義的，指后現代主義顛覆和覆蓋了現代主義。現代主義、啟蒙主義、理性主義基本上是同義詞，有學者把它的歷史分期為公元1492年（即哥倫布發現美洲的同年）至二十世紀中葉。為現代主義奠立哲學基礎的是笛卡兒（Rene Descartes，1596－1650），“通常都把他看成是近代哲學的始祖，我認為這是對的。”（羅素《西方哲學史》下，馬元德譯，商務印書館1976年6月版，第79頁。）笛卡兒宣稱世界上唯一能夠確信的是“正在思”的存在，即那句名言：我思故我在（I think，therefore I am.）。對笛卡兒來說，獨立于迷信、激情、想象的理性能夠引導人發現真理。另一個重要人物是弗郎西斯·培根（Francis Bacon，1561－1626），他建立了現代科學的方法論，因為他，我們才會在初中高中做那些化學和物理實驗。第三個重要人物是艾沙克·牛頓（Isaac Newton，1642－1727），他從科學的角度重新解釋了宇宙和天體的運動，使之變成了在可知定律下運動的類似機器的現象。最具有現代主義精神的人物卻是本杰明·富蘭克林（Benjamin Franklin，1706－1790），他是最具有典型特征的“現代人”（和后來的林肯總統一樣是“美國夢”的代表），他本人出身貧寒，通過自學和個人奮斗，成為科學家、哲學家和政治家，成為第一個具有世界影響的美國人，正如他自己描述的“pulled himself up by his own bootstraps”。富蘭克林深信可以通過觀察、實驗，找出事實真相。他肯定上帝的存在，但他認為上帝允許每個人成為自己命運的主宰，每個人都可以運用上帝賦予的理性，發現真理，享受人類文明進步的成果。9 現代主義有兩個最基本的觀念：一是認為理性是人的天賦，一切知識都要經過理性的過濾才是可信的，通過理性人可以認知事實真相，掌握宇宙萬物的真理；二是認為科學會帶領人走向新的應許之地（Promised Land），歷史是一個不斷進步、走向更高級文明的過程。現代主義的一個隱在前提是：萬物有其真理。而人的理性在科學的方法指導下可以認識這個真理，甚至于掌握萬物的規律進行創造。

二十世紀六十年代興起的后現代主義，卻根本否定了現代主義的這個理論前提。這個思想，可追溯到尼采（Friedrich Nietzsche，1844－1900），他宣告上帝之死，也就意味著客觀實體和終極真理的毀滅。

后現代主義，也叫解構中心主義（Decentrism）、解構主義（Deconstructionism）、后結構主義（Poststructuralism）。德里達（Jacques Derrida，1930－2004），“the founder of deconstruction”，提出消解邏各斯中心主義（logocentrism）、語音中心主義（phonocentrism），實質上是要消解西方形而上學思維中“存在”、“本源”、“真理”等終極觀念。它既然否定了客觀的事實和真理，剩下的就只有主觀帶來的差異（difference），每個人對世界的認識不過是個人的事實，有多少個人就有多少個事實。

11、后現代主義對比較文學研究的影響

（一）、文學性的喪失。后現代主義影響到文學領域，就導致文學作品客觀意義、本體美的解構，文學不過是一堆“漂移的能指”（拉康）或“語言的游戲”（維特根斯坦）。文學自身的失落，文學和非文學界限的消失，文學研究也就失去了存在的根據。文學的非文學化一方面表現為文學自身本體價值（審美）的喪失，另一方面又表現為文學邊界向文化領域的無限延伸，出項了文學研究的“泛文化化”。

（二）、開放性的解放。后現代主義解構了民族主義和西方中心主義，使比較文學研究獲得了新視野。

寫作

第五篇：茶具發展簡史

《神農本草經》記載：“神農嘗百草，日遇七十二毒，得荼而解之。”荼即為茶。這就是說早在遠古時期中國就開始利用茶了。中國茶文化淵源流長，早在三千多年前，我們的祖先已經開始栽培和利用茶樹。茶，是中華民族的舉國之飲。發于神農，聞于魯周公，興于唐朝，盛于宋代。伴隨著品茶的誕生，茶具也在文明的演進中扮演者不可或缺的部分。茶的盛行，最有功績的當屬陸羽，這位茶圣及其著作《茶經》將茶的地位提高到了修身養性的高度，而其中茶具文化又是茶文化中的重要組成郎分。茶具一詞最早見于西漢王褒的《僮約》賦中“烹茶盡具”一詞，即指烹茶極講究及其用具。縱觀茶具的發展歷史，對于茶具的講究并非一開始就有之，它是隨著茶文化的發展和飲茶習慣的改變而逐漸形成的。

茶的利用經歷了從藥用到食用到飲用，從煮食（戰國）到煮飲（唐）再到泡飲（明代）的演變。人們飲茶是從春秋戰國時期開始，到秦漢時期，飲茶之風逐漸傳播開來。在唐代則 成為舉國之飲，成為茶在歷史上的最盛時期，也是在這個時期，世界上第一部茶葉專著—— 陸羽的《茶經》問世。宋代，飲茶更是發展成為一種風氣，一種時尚，一種典雅的藝術。

“水為茶之母、壺為茶之父”。茶具，古文獻中稱為茶器。通常是指人們飲茶過程中所使用的各種器具。茶具是在“茶之為飲”以后出現的，并隨著飲茶的發生而發生，隨著飲茶的發展而發展。茶具的發生和發展，如同酒具和食具一樣，歷經了一個從無到有、從共用到專

一、從粗糙到精致的過程。一般認為，中國最早飲茶的茶具，是與酒具、食具共用的。這種器具是一種小口大肚、陶制的缶。浙江余姚河姆渡出土的黑陶器，便是當時食具兼作飲具的代表作品。

縱觀茶具發展的脈絡，不同時代的飲茶方式也有不同。如唐代以飲用煎茶、餅茶為主，飲茶方式多為煎茶法。時至宋代，人們尚飲餅茶，改為點茶法，并出現了斗茶和分茶，并以茶湯“面色鮮白”、乳花“著盞無水痕”為判定標準，改唐碗為宋盞。明代后促進了散茶的改進，受清飲之風的影響，唐宋用于炙茶、碾茶、煮茶等的茶具不再需要，而轉為注重通過沖泡體現茶葉新綠本色的茶具，多為白色或淡色。

一、最早的飲茶器具（漢代）

很難說清楚，飲茶的器具與酒距、食具共用，有人說商代前后就有了茶具陶——口小、肚大。大多數專家認為我國最早的燒及飲茶器具的是西漢，王褒《億約》（公元前59年“武陽買茶，享荼盡具”這個具可能是茶具或食具。

二、專用茶具的出現 茶學界公認最早的有關茶具的文學記載是西晉(公元265-316年)左思(約公元250-約305年)的《嬌女詩》，其中有“心為荼荈劇，吹噓對鼎礪。”這“鼎”當屬茶具。

二、完備的唐代茶具：

1茶具的形成期：漢代→→隋唐以前。從漢代到唐代，人們飲茶通常加蔥、姜、橘子等物一起煮與煮湯（蔬菜）無差別，或用來解渴，或用于菜食，可能與食具共用。最早我國古人多用鼎和鑊（huo）煮水 2專用茶具的確立（陸羽）唐代飲茶之風盛行，飲茶由粗放煮茶進入，精工煎茶階段，于是茶具的藝術價值開始受到重視。為此，陸羽在總結前人飲茶使用的各種器具后，開列出28種茶具的名稱，并描繪其式樣，闡述其結構，指出其用途（見《茶經?四之器》）。這是中國茶具發展史上，對茶具的最明確、最系統、最完善的記錄。從中可清晰地看到，唐代時中國茶具不但配套齊全，而且已是形制完備。如果說，陸羽在《茶經》中提及的只是民間的飲茶器具，那么，陜西法門寺地宮出土的成套飲茶器具，則為人們提供了大唐宮廷飲茶器具的物證。

三、興盛的宋代茶具

宋代飲茶器具進人宋代，雖然飲茶方法有所改變，但無論是宋代初期的煮茶法和飲茶法并存，還是進人宋代中期以后，點茶法大行其道之時，其法都出自唐代。而且飲的茶與唐朝一樣，仍然是以緊壓茶為主，茶的加工方法也無多大變化，只是餅茶的花式品種有所改變罷了。所以，宋代的飲茶器具與唐代相比，在種類和數量上，并無多大變化。宋代民間飲茶多用茶盞，宋代建安（今福建建甌）制造的一種稍帶紅色的黑茶盞，被時人看作是佳品，但宋人飲茶，更講究烹瀹技藝，特別是盛行的斗茶，不但講究點茶的技和藝，而且對斗茶用的茶和水，以及用于斗茶的器具，都要求精益求精，以達到斗茶的最佳效果。華麗的點茶法的流行、金銀具的盛行、黑釉建盞的不可一世，子民們郁郁不得志之余，一門心思置身于“斗茶”的游戲之中，這對茶具如醉如癡、魂系夢牽，及宋人對茶藝精益求精的追求，也深深影響了近鄰日本，逐漸日本茶道追名于世。

品茶器具：唐人流行越窯青瓷茶碗，宋人時尚建窯黑釉盞； 煮水器具：唐時為敞口式的，宋代改用較小的茶瓶來煎水； 碾茶器具：唐代民間用木質或石質的茶碾碾茶，但宋時的茶碾雖然也有用木質或石碾制成的。

四、過度時期的元代茶具品茶器具：

元代時期較短，沒有生產出有特色的茶具，很大程度上保留著南宋時期茶具的特色。蒙古人游牧民族的生活習慣，使元代的茶具朝厚重與豪放方向發展。元代茶具從某種意義上說，無論是茶葉加工，還是飲茶方法，抑或是使用的茶具，元代是上承唐、宋，下啟明、清的一個過渡時期。

五、明代

明代茶具，對唐宋而言可謂是一次大的變革。明朝，江西景德鎮青花瓷、白瓷異軍突起。明代中期以后，開始注重“茶味”講究“壺趣”，出現了用瓷壺和紫砂壺的風尚。品茶用具瓷色尚白，器形貴小。明清返璞歸真的茶風，為茶具走向輝煌提供了有利條件，使茶具的發展終于步入正軌，并達到頂峰，景德鎮甜白瓷和青花瓷鑄就了瓷業的一段輝煌，宜興紫砂茶壺更是龐大茶人的至寶。在品飲香茗的同時，欣賞精致可人的茶具，實屬一次從藝術到心靈的震撼。

六、清代飲茶器具

清代，慢慢形成了以瓷器和紫砂壺為主的局面。茶具種類有了長足的發展：琺瑯彩，彩粉，金彩瓷，脫胎瓷器，竹木茶具等。另外茶類有了很大發展，除綠茶外，又出現了紅茶、烏龍茶、白茶、黑茶和黃茶，形成了六大茶類。但這些茶仍屬條形散茶。所以，無論哪種茶類，飲用時仍然沿用明代的直接沖泡法。但與明代相比，清代茶具的制作工藝技術卻有著長足的發展，這在清人使用的最基本茶具，即茶盞和茶壺上表現得最為充分。清代的茶盞和茶壺，通常多以陶或瓷制作，以康（熙）乾（隆）時期最為繁榮，并以“景瓷宜陶”最為出色。清時的茶盞，康熙、雍正、乾隆時盛行的蓋碗，最負盛名。蓋碗由蓋、碗、托三部分組成。此外，自清代開始，福州的脫胎漆茶具、四川的竹編茶具、海南的生物（如椰子、貝殼等）茶具也開始出現，自成一格，異彩紛呈，形成了這一時期茶具新的特色。

我國的茶具，種類繁多，造型優美，除實用價值外，也有頗高的藝術價值，因而馳名中 外，為歷代茶愛好者青睞。中國茶具，種類繁多，造型優美，兼具實用和鑒賞價值，為歷代 飲茶愛好者所青睞。茶具的使用、保養、鑒賞和收藏，已成為專門的學問，世代不衰。

通過一年對中國茶具發展簡史的學習，讓我更多的了解中國茶文化，增加了對茶文化的 理解與感悟，對茶的享受又多了一成。現代茶具，式樣更新，名目更多，做工更精，質量也屬上乘。在這眾多質地的茶具中，貴的有如金銀茶具，廉的如竹木茶具，此外還有用瑪瑙、水晶、玉石、大理石、陶瓷、玻璃、漆器、搪瓷等制作的茶具，枚不勝數。

茶異于酒，同是醉，茶是信任，酒是胡話。相逢相慶，宜飲茶，即使分離，也哀而不傷，因為明凈，怨而不亢，因為厚道；茶別于水而不忘本，淘肺腑，滌郁結，人情味十足，茶濃茶淡，心意盎然，簡直是一紙前人序言今人續文的佳作，天不荒地不老，全無爛柯之虞。那茶洋溢著滄桑對青春年少的追憶，無聲無息的往事，歷歷在目，夢一般的可及不可觸，在縹緲的香澀中縈繞，在莫名的心緒里飄逸，久遣不散??

我國最先發現和利用茶。《神農本草經》記載：“神農嘗百草，日遇七十二毒，得荼而解之。”荼即為茶。這就是說早在遠古時期中國就開始利用茶了，至今已有5000年的歷史。這個傳說使茶這種植物首次被人們以藥物形式所認識，所以歷代茶學家、醫學家都認為，茶不但是一種生津解渴的飲料，而且還是一種富含營養和藥理功能的保健品。

茶的利用經歷了從藥用到食用到飲用，從煮食（戰國）到煮飲（唐）再到泡飲（明代）的演變。人們飲茶是從春秋戰國時期開始，到秦漢時期，飲茶之風逐漸傳播開來。在唐代則成為舉國之飲，成為茶在歷史上的最盛時期，也是在這個時期，世界上第一部茶葉專著——陸羽的《茶經》問世。宋代，飲茶更是發展成為一種風氣，一種時尚，一種典雅的藝術。茶具，古文獻中稱為茶器。通常是指人們飲茶過程中所使用的各種器具。

茶具是在“茶之為飲”以后出現的，并隨著飲茶的發生而發生，隨著飲茶的發展而發展。茶具的發生和發展，如同酒具和食具一樣，歷經了一個從無到有、從共用到專

一、從粗糙到精致的過程。

一般認為，中國最早飲茶的茶具，是與酒具、食具共用的。這種器具是一種小口大肚、陶制的缶。浙江余姚河姆渡出土的黑陶器，便是當時食具兼作飲具的代表作品。按現有史料而論，中國最早談及飲茶使用器具的是西漢（公元前202年～公元9年）王褒的《僮約》，其中談到：“烹荼盡具，已而蓋藏。”

在中國作為飲茶時所需的專用器具，即茶具的出現，最晚始于漢代。但茶具在民間的普遍使用，以及成套專用茶具的正式確立，還是需要經過一個相當長的時期的。盡管從漢代開始已可找到茶具的蹤跡，但作為專用茶具在民間普遍使用和確立，尚需有一個相當長的過渡時期。

在這一時期內既有與食具共用的，也有作為茶具專用的，兩者并存，可稱之為過渡期。這種情況的出現，在很大程度上還與人類當時對茶的飲用方式有關。盡管自秦漢以來，茶已逐漸成為人們日常生活所需的飲料，但當時的飲茶方法粗放。

唐代詩人皮日休寫了十首詠茶詩，詩前寫了一篇“序”。序文說，陸羽以前，人們飲茶，叫做“茗飲”，其法“與夫瀹（yue）蔬而啜者無異也”。這就是說，與煮蔬菜食湯無什么區別，或用來解渴，或用來作食，如此飲茶，當然不一定需要專用茶具，自可用食具或其他飲具代之。應該說，明確表示有茶具意義，并為茶學界公認的有關茶具的最早文字記載，則是西晉左思的《嬌女詩》，其內有句：“心為荼荈劇，吹噓對鼎礪”。這“鼎礪”當屬茶具，差不多與左思同一時代的杜育，在他寫的《賦》中談到：“器澤陶簡，出自東隅”，“酌之以匏，取式公劉”。“東隅”一詞，有人認為是指浙東的寧（波）紹（興）地區；也有人認為“東隅”即“東甌”，是指浙東南的溫州一帶。而其中提到的當時飲茶器具“匏”，原本是酒具，其式似古代公劉使用的葫蘆狀的壺。《茶經?七之事》中引《廣陵耆老傳》載：晉元帝時，“有老姥每日獨提一器茗，往市鬻之。市人競買，自旦至夕，其器不減”。接著，《茶經》又引述了西晉八王之亂時，惠帝司馬衷蒙難，從河南許昌回洛陽，侍從“持瓦盂承茶”敬奉之事。

中國在漢代以后，隋唐以前，盡管已有出土的茶具出現，但食具和包括茶具、酒具在內的飲具之間，區分并不嚴格，在很長一段時間內，兩者是共用的。這種情況，以后一直被沿用下來。北宋詩人蘇東坡日：“道人不惜階前水，借與匏尊自在嘗。”這里說的飲茶器具匏和尊，其實也是古代的酒具。

即使在今日，這種酒具、食具、茶具互用的情況，也時有所見。如果選配得當，還有“返璞歸真”之感。但就茶具發展史而言，應該說自漢開始，經六朝，至隋唐以前，在這一相當長的時期內，茶具已經法相初具了。

唐時，隨著飲茶之風在全國興起，并講究飲茶情趣，茶具已成為品茶和茶文化的主要對象之一。為此，陸羽在總結前人飲茶使用的各種器具后，開列出28種茶具的名稱，并描繪其式樣，闡述其結構，指出其用途（見《茶經?四之器》）。

這是中國茶具發展史上，對茶具的最明確、最系統、最完善的記錄。從中可清晰地看到，唐代時中國茶具不但配套齊全，而且已是形制完備。如果說，陸羽在《茶經》中提及的只是民間的飲茶器具，那么，陜西法門寺地宮出土的成套飲茶器具，則為人們提供了大唐宮廷飲茶器具的物證。根據同時出土的《物賬碑》記載：“茶槽子、碾子、茶羅子、匙子一副七事，共八十兩。” 這“七事”是指茶碾，包括碾軸；羅合，分羅身、羅合和羅蓋；以及銀則和長柄勺。中國的專用飲茶器具，自唐代確立后，進入到一個新的發展時期。以后，隨著茶類的創新和飲茶方法的改變，飲茶器具也隨之發生變化。宋代飲茶器具

進人宋代，雖然飲茶方法有所改變，但無論是宋代初期的煮茶法和飲茶法并存，還是進人宋代中期以后，點茶法大行其道之時，其法都出自唐代。而且飲的茶與唐代一樣，仍然是以緊壓茶為主，茶的加工方法也無多大變化，只是餅茶的花式品種有所改變罷了。所以，宋代的飲茶器具與唐代相比，在種類和數量上，并無多大變化。

但宋人飲茶，更講究烹瀹技藝，特別是盛行的斗茶，不但講究點茶的技和藝，而且對斗茶用的茶和水，以及用于斗茶的器具，都要求精益求精，以達到斗茶的最佳效果。因此，與唐代相比，宋代飲茶器具更加講究法度，形制愈來愈精，舉例如下。品茶器具：唐人流行越窯青瓷茶碗，宋人時尚建窯黑釉盞； 煮水器具：唐時為敞口式的x，宋代改用較小的茶瓶來煎水； 碾茶器具：唐代民間用木質或石質的茶碾碾茶，但宋時的茶碾雖然也有用木質或石碾制成的，還有用銀、銅、熟鐵制成的，形制也有一定變化； 炙茶用器：唐時用的是小青竹制的夾，宋時用的是金屬夾子； 生火用器：宋代與唐代用的大多為熟鐵制成的古鼎形的爐，但宋時質地更為廣泛。有石質的、泥制的、磚制的。元代飲茶器具

到了元代，從茶的加工到飲茶方法都出現了新的變化，茶葉蒸后經搗、拍、焙、穿、封加工而成的緊壓茶開始衰退，經揉、炒、焙加工而成的條形散茶（即芽茶和葉茶）開始興起，因此直接將散茶用沸水沖泡飲用的方法，逐漸代替了將餅茶研末而飲的點茶法和煮茶法，與此相應的是一些茶具開始消亡，另一些茶具開始出現。所以，從飲茶器具來說，元代是上承唐、宋，下啟明、清的一個過渡時期。

元代時期較短，沒有生產出有特色的茶具，很大程度上保留著南宋時期茶具的特色。蒙古人游牧民族的生活習慣，使元代的茶具朝厚重與豪放方向發展。明代飲茶器具 明代茶具，對唐宋而言可謂是一次大的變革。隨著條形散茶在全國范圍內的興起，飲茶改為直接用沸水沖泡，這樣唐、宋時的炙茶、碾茶、羅茶、煮茶器具成了多余之物，一些新的飲茶器具品種則脫穎向出。而對明代而言，對這些新的茶具品種是一次定型，因為從明至今，人們一直采用沸水泡茶，所以使用的飲茶器具品種，基本上已無多大變化，僅僅在茶具式樣、工藝或質地上有所變化罷了。

明張謙德《茶經》專門寫了一篇“論器”，提到當時的茶具有茶焙、茶籠、湯瓶、茶壺、茶盞、紙囊、茶洗、茶瓶、茶爐9件。現將明代幾種有代表性的飲茶器具，說明如下。

貯茶器具：明時，由于人們飲的是條形散茶，比早先的團餅茶更易受潮，因此，貯茶就顯得更為重要。選擇貯存性能好的貯茶器具茶瓶，就成了茶人普遍關注的問題。一般說來，明代貯茶，采用的是既貯又焙，貯、焙結合的方法。

洗茶器具：“洗茶”一說，始見于明代。顧元慶的《茶譜》中記有“煎茶四要”，其中之一就是茶在品飲前先要“洗茶”，即用熱水滌茶，目的是去“塵垢”和去“冷氣”，前者是指洗去混在茶中的灰塵和雜質，后者是指淋去滲人茶中的陰濕之氣。對如何洗茶，馮可賓的《芥茶箋》有詳細記載：在烹茶之前，用“熱水滌茶葉”，水“不可太滾”，否則會沖淡茶味。

燒水器具：明代的燒水器具主要有爐和湯瓶，其中，爐以銅爐和竹爐最為時尚。飲茶器具：明代，飲茶器具最突出的特點：一是小壺的出現，二是茶盞的變化。總的說來，與前代相比，明代有創新的茶具，當推小茶壺和茶洗。還有改進的是茶盞，它們都由陶或瓷燒制而成。在這一時期，江西景德鎮的白瓷茶具和青花瓷茶具、江蘇宜興的紫砂茶具獲得了極大的發展，無論是色澤和造型、品種和式樣，都進入了窮極精巧的新時期。清代飲茶器具

清代，茶類有了很大發展，除綠茶外，又出現了紅茶、烏龍茶、白茶、黑茶和黃茶，形成了六大茶類。但這些茶仍屬條形散茶。所以，無論哪種茶類，飲用時仍然沿用明代的直接沖泡法。

在這種情況下，泡茶用的茶具無論種類和形式，基本上沒有突破明人的規范。如生火仍然推崇竹爐。另在京城北京，還流行一種以木為框、內外敷石灰的三角形小茶爐，其表面繪有飛禽走獸、魚蟲花草、人物山水，倒也顯得十分雅致。燒水用的茶瓶，當時也有稱為茶銚的，仍習用明人的陶瓷或銅錫茶瓶。只是在烹茶過程中，清代對洗茶這一道工序，已不如明代那么重視。在清代許多有關飲茶的文獻和著作中，都未談及洗茶，也未談到茶具中有茶洗之說，表明茶洗已從茶具中淘汰。但與明代相比，清代茶具的制作工藝技術卻有著長足的發展，這在清人使用的最基本茶具，即茶盞和茶壺上表現得最為充分。

清代的茶盞和茶壺，通常多以陶或瓷制作，以康（熙）乾（隆）時期最為繁榮，并以“景瓷宜陶”最為出色。清時的茶盞，康熙、雍正、乾隆時盛行的蓋碗，最負盛名。蓋碗由蓋、碗、托三部分組成。蓋呈碟形，有高圈足作提手；碗為大口小底，有低圈足；托實為中心下陷的一個淺盤，其下至于茶壺，不但造型豐富多彩，而月品種琳瑯滿目，著名的有康熙五彩竹花壺、青花松竹梅壺、青花竹節壺，乾隆粉彩菊花壺、馬蹄式壺，道光青花嘴壺、小方壺等。陷部位正好與碗底相吻。清代的汪蘇宜興紫砂壺茶具，在繼承傳統的同時，又有新的發展。紫砂壺可分五大類：光身壺、花果型、方壺、筋紋型、陶藝裝飾壺。

此外，自清代開始，福州的脫胎漆茶具、四川的竹編茶具、海南的生物（如椰子、貝殼等）茶具也開始出現，自成一格，異彩紛呈，形成了這一時期茶具新的特色。