第一篇：第三回彩虹為何眩目且聽統計描述

第三回彩虹為何眩目且聽統計描述

如果人總是從一滴水中觀察光線的反射，他就很難理解美麗的彩虹現象

——凱特萊

有一句歌詞寫的挺好：―不經歷風雨怎能見彩虹‖。好就好在寫得有些道理。

第一，這句歌詞寫清楚了風雨和彩虹的關系。風雨在前，彩虹在后；風雨是因，彩虹是果；風雨是

解釋變量，彩虹是被解釋變量。

第二，這句歌詞還告訴我們，透過一滴雨水是看不見彩虹的。雖然歌詞沒有講清楚能夠看見彩虹的雨是中雨、大雨、還是暴雨，但必須是有足夠多的雨滴組成的雨。詞作者可能不懂統計，但他有大數定律的樸素思想。

但是，歌詞寫得雖好，在理論上還存在一些問題。在自然現象中，風雨一般是結伴而行的，有一句話叫―風雨交加‖嘛。但經科學分析，我們可以得出結論，風和彩虹沒什么相關關系，將風雨加在一起寫進歌詞，好像風和雨對彩虹的出現各有50%的貢獻，與事實不符。顯然，詞作者在這方面的知識不如凱特萊，至少他不懂變量篩選技術。更嚴重的問題是，詞作者遺漏了一個更重要的變量，即雨后的陽光。不論雨量

大小多么適合彩虹出現，如果雨停的時間正好是后半夜，也絕見不到彩虹。

如果筆者寫這句歌詞，絕不會出現上述的不嚴密。

比較準確的表述是：雨后的天空，當雨滴還飄散在空氣中，來自遠距離的太陽光線投射在雨滴上，產生一系列的彩色圓弧，可分解為赤、橙、黃、綠、青、藍、紫七色光帶，此時天空中的景色異常美麗，這就是人們通常所說的彩虹現象，簡稱彩虹。有時在彩虹的外側還能看到第二道虹，光彩比第一道彩虹稍淡，稱為霓。虹和霓的色彩排列次序正好相反。虹的色序是外赤內紫，而霓的色序是外紫內赤。以上表述便是彩虹的比較全面的定義。此定義雖比原歌詞嚴密，但估計譜上曲子唱出來，可能沒有原歌詞上口。

多少年來，在人們看來，彩虹是美麗而神秘的。史書有記載，民間有傳說，少女借其抒情，詞人借其詠志。早年間，希臘女神Iris把彩虹作為警示和希望的征兆；在非洲的神話中，彩虹被認為是暴風雨過后出來掠物的巨蟒；我國殷代甲骨文中，認為彩虹是龍在雨后的顯形，所以虹字帶上了―蟲‖字旁，并一直

沿用至今。

科學家，這里主要指物理學家和統計學家忒不會浪漫，他們非要打破人們對彩虹的七色夢幻，還其以一個用科學解釋和變量描述的本真。經過他們幾百年的努力，彩虹的謎團正在解開。

―赤橙黃綠青藍紫，誰持彩練當空舞‖。是什么東西決定了彩虹的出現，彩虹為什么有七種顏色，七種顏色為什么又有特殊的排列，彩虹為什么在當空舞成一個拋物線，即一段圓弧，―當空‖到底有多高，即什么決定了彩虹的高度，為什么虹出現以后，有時還會出現霓，等等。從十四世紀開始，科學家包括笛卡爾、牛頓等一些科學巨匠就開始捉摸這些問題。逐漸地，人們開始認識到彩虹與雨滴對光的反射和折射有關。

任何一門應用統計，都是統計理論與方法和所應用領域學科的結合。經濟統計學就是統計理論與方法和經濟理論的結合。彩虹問題也不例外，應當是光學與統計學的結合。但筆者的光學知識甚少，只停留在光線太暗了什么都看不見，光線太強了刺眼的水平上。所以，在彩虹問題上筆者出現的系統誤差請讀者

不要太挑剔。

遠在1657年，法國數學家、物理學家、概率統計的奠基人費爾馬（Pierre de Fermat，1601—16

65）提出了著名的Fermat原理。費爾馬發現光線是沿直線傳播的，遇到障礙物又能拐彎，由于介質不同

或不嚴格地說障礙物不同，光線的拐彎可分為反射和折射。

我們假定天空中的雨滴是一個球體。太陽光從遠處通過空氣射到雨滴，由于遠處很遠，所以可以假定太陽光線是相互平行的。陽光從空氣穿過雨滴的過程中，一部分光線被反射，另一部分光線通過折射而進入雨滴內部，進入雨滴內部的光線又經過反射和折射，最后再折射回空氣中，便形成了虹。如圖所示：

α α

B

α

C

A

α

Α

Β

A點為光線的照射點，即光線通過空氣和雨滴的交接點。一部分光線經過A點反射出去，其余光線通過雨滴而折射，α是入射角，β是折射角，當光線折射到B點，再B點光線又經過反射通過C點，最后

在C點折射回到空氣中，這一過程稱為一次反射途徑。

如圖所示，只要A點在雨滴的左側上方任何一點，它都在雨滴的下半部離開雨滴。虹的出現與光線離開雨滴時的方向折射情況有關，即與光線的折射的角度有關。若光線是沿著圓的直徑方向進入雨滴，則入射角為0°，折射角也是0°，最后光線從雨滴的后面反射出來退出雨滴，從順時針方向來看，總的折射角是180°。由于圓是對稱的，因而只需考慮左上部的四分之一圓上的點即可，即對于。在A點經折射，折

轉了，在 點經反射又折射了，最后在C點再折射，設 為光線折射的角度，則：

根據折射定理：入射角的正弦與折射角的正弦之比為常數，即有，稱 為折射率。因此，令，得

由可以得到，即

實驗證明，光在空氣中的速度大于在水中的速度。由于雨滴是水，折射率，所以有。并且有：。

由于。其中。

所以，故，這表明在 時，取得最小值。這就是虹出現的位置，射入角為59.6°的光線為虹光線，42.5°=180°– 137.5°為虹角。因此，雨滴在觀測者的特定角度下，它將呈現較亮的光線。如果觀測者處于頂角為二倍虹角的圓錐頂點處，這時用垂直于軸的平面去截圓錐，就會得到一個圓形的截面，每個錐表面

上的雨滴都構成虹角，于是觀測者就看到了天空中一條明亮的圓弧，這就是虹。

虹出現的高度依賴于太陽的高度。對于地面上的觀察者來說，虹最多是個半圓。如果觀察者能飛行

到一定高度，虹則是一個完整的圓。

虹為什么有七種顏色呢，因為光線是一種電磁波，具有連續的波長光譜。波長在6470—7000，看到的是紅色，波長在4000—4240，看到的是紫色，其它顏色的波長介于二者之間。而且，水的折射也依賴于所通過的光的顏色，紅光的折射率為1.3318，紫色的折射率為1.3435。針對不同顏色的光，可以重復計算最小折轉角。紅光的最小折轉角為137.7°，相對應的虹角為42.3°，紫光的最小折轉角為139.4°，相對應的虹角為40.6°。也就是說，觀測者在觀看彩虹時，看到的紅光圓弧略高于紫光圓弧，混有不同波長的陽光射在雨滴上，折射出各種不同顏色的圓弧，順序為赤、橙、黃、綠、青、藍、紫。

我們構造的彩虹模型只是一個理論模型，相當于回歸分析中設定的理論曲線。在實際觀測中，我們會發現彩虹的高度是有時高有時低，長度是有時長有時短，亮度有時明有時暗，弧度是有時彎有時緩，更接近一幅散點圖。很多年來，時有學者對其進行觀測和計算。牛頓經過測算，更正了―平行光線‖的假定，得出了太陽直徑允許有0.5°的偏差，虹的寬度約為2.2°的結論，與實際觀測結果基本一致。

虹是由陽光的第一次反射形成的，而霓則是由第二次反射形成的，建立模型的基本道理一樣，只是

更復雜一些。為避免言多語失，讓物理學家看見笑話，恕不贅述。

讀者看罷此回，可能產生不滿，統計是有用處，但彩虹用處不大。它

不頂吃,不頂喝，遠在天邊，只有視覺享受。不如將有用的統計用于我們身邊。筆者十分理解讀者感受，我們不僅要將統計應用于我們身邊，還要應用于我們身上。請看第四回：君欲減肥成功 統計授你秘訣。