第一篇：邁克爾遜非定域干涉圖樣的分析

2008大學生物理實驗研究論文

邁克爾遜非定域干涉圖樣的分析

趙國平

（東南大學 機械工程學院，南京210096）

摘要： 解釋邁克爾孫干涉實驗中非定域干涉圖樣的成因，理論分析推導在兩反射鏡不嚴格垂直時干涉圖樣的方程，并通過Matlab軟件數值模擬出非定域干涉可能出現的圖像。關鍵詞： 邁克爾孫實驗；非定域干涉圖樣；Matlab模擬

Analysis of Michelson Non-Localized Interference

Zhao Guo Ping

(School of Mechanical Engineering of Southeast University, Nanjing210096)

Abstract: Explained the cause of the Michelson Non-Localized Interference, analyzed the situation when two mirrors are not

strictly vertical from the theory, and through Matlab numerical simulation software to simulate the possible image.key words:Michelson interference experiment;non-localized interfering patterns;Matlab simulation

邁克爾孫干涉儀，設計精巧，原理簡單，是許多現代干涉儀的原型，它不僅可用于精密測量長度，還可應用于測量介質的折射率，測定光譜的精細結構等。它的主要特點是：兩相干光束分得很開；光程差的改變可以由移動一個反射鏡（或在光路中加入另一種介質）得到。我們可以用邁克爾孫干涉儀做光的非定域干涉實驗，以此來測定光的波長。但是實驗教材中關于非定域干涉圖樣的形狀及成因介紹的比較抽象，本文從理論的角度出發，分析、解釋非定域干涉的現象，并給出實驗中所得非定域干涉圖樣的數學方程，同時用Matlab軟件仿真模擬出在實驗中可能出現的所有圖樣的形狀。

作者簡介：趙國平（1989-），男，江蘇淮安人，本科在讀。

Email:zgppgz89@163.com實驗回顧

在“用邁克爾孫干涉儀觀察非定域干涉圖樣”

實驗中，激光束經短焦距凸透鏡擴束后得到點光源S，它發出的球面波經G1反

圖1點光源產生非定域干涉光路圖 ’

射可等效為是由虛光源S發出的（如圖1）。S’發出的光再經M1和M2’的反射又等效為由虛光源S1和S2發出的兩列球面波，這兩列球面波在它們相遇的空間內產生干涉，從而形成非定域干涉圖樣。

下面我們利用圖1作為原理圖進行理論計算。

當M1和M2’絕對平行時有

??(1)?為S1和S2發出的球面波在屏上任一點P（對

應于入射角為?）的光程差。

當Z??d且在?很小時(1)式可簡化為

??2dcos?(2)

由式(2)可知，在d確定時，?由?唯一確定，即對應同一個?，?值不變。因此，我們能夠在屏上看到同心干涉圓環紋。問題提出

在實際實驗中，當我們將M2’逐漸靠近M1時發

現看到的干涉條紋由原來的比較接近圓的情況變得越來越接近橢圓。后來經調節儀器發現是M2’和M1不平行所致。因此我便想通過理論計算當M2’和M1不平行時干涉條紋的形狀來解釋實驗中的現象。問題分析

當M2’和M1不平行時，首先為簡化問題，設M2’和M1成?角且M2’和M1都垂直與水平面。此時，以O點為坐標原點建立三維坐標系（如圖2）。XOY平面為觀察屏所在平面，其平行于M1所在平面；Z軸垂直于M1平面。

圖2兩鏡不完全平行時的非定域干涉光路圖

2008大學生物理實驗研究論文

3.1光程差解析式的理論推導 此時，光程差為

??S1P?S2P

設S’坐標為?0,0l?,，M2’的方程為z?ta?n?y? h,M1的方程為z?h?d，為使計算結果較為簡單，令k?tan? ；

則有，S1的坐標為?0,0,2d?2h?l?，S2的坐

標為??2k(?h?l)2(k2?0,k2?1,l?h)k

2?1?l??。設點?

P?,x,y?為0XOY平面內任意一點，則

S1P??

x2

?y2

??2d?2h?l?

?

(3)

1?2

?2

S2

?2k??h?l???2?k2l?h??2

2P???x????

?k2?1?y??????k2

?1?l?????

(4)

因而

??S1P?S2P??

x2

?y2

??2d?2h?l?

?

?

1?2??2

?x2???2?2k??h?l????k2l?h??2

??

?k2?1y??????k2

?1?l????(5)?

令??n?，n?0,1,2,3?，則有

n???x2

?y2

??2d?2h?l?

?

?

1???2

?x2???2k??h?l?2?y??2???k2l?h??2

??k2?1??k2

?1?l???(6)?

????

化簡得

1?222

??2

?x2???2k??h?l??y??2????kl?h??l????

?k2?1???k2

?1?????

?x

?y2

??2d?2h?l?

?

?n??0(7)

顯然，這是一個二次曲線，猜測其圖像應為圓、橢圓、拋物線和雙曲線中的一種或幾種。關于這個

猜想的詳細證明，在一些書中有介紹，在此我就不作論述。下面我主要通過Matlab數值模擬來驗證猜想。3.2Matlab數值模擬圖像分析

以上已經推導出了光程差的解析式，下面通過Matlab軟件對圖像進行數值模擬。

為了便于討論，并注意到實際情況：M1與光屏固定在可動導軌上、M2’與虛光源相對實驗儀靜止，即：若光屏相對實驗儀移動距離為?l，則d的變化量?d與h的變化量?h之間的關系為：

?l???d??h(8)故令初始狀態：

l?30mm;d?5mm;h?300mm;

則當轉動手輪，使光屏移動距離?l時，式(7)

可簡化為

??2

2??x2????590k??590???k2?1?y?????k2?1?5??l??????

?

x?

?y2

??605??l?

?n?(9)

由此可以看出圖像的形狀與k值即?的大小以及?l的大小密切相關。

首先令k?tan??0，即非定域干涉的理想情況，同時考慮到實際實驗中光源并非理想點光源，且光波波長會有一定的抖動，故取光波波長

??632nm，抖動范圍為?5%，用Matlab模擬出圖像隨?l的變化情況：

圖

3??0?時模擬出的圖像

圖3.a

2008大學生物理實驗研究論文

圖3.b

圖3.a中四個切片圖像是當?l取不同值，即光屏位置l改變時，光屏上的干涉圖樣。圖中所標注的X軸和Y軸分別對應圖2中的X軸和Y軸。若取l?30.00050mm，用Matlab模擬后則得到 圖3.b，這和我們在實驗中所看到的圖像特性是一致的。

再令k?tan??tan0.5?，即在M1和M2’成0.5?時的情況。用Matlab模擬后得如下圖像

圖4?

?0.5?時模擬出的圖像

圖4.a

圖

4.b

同樣，其中圖4.a中四個切片圖像是當光屏取不同位置l時所模擬出在光屏上的非定域干涉圖樣。圖中所標注的X軸和Y軸分別對應圖2中的X軸和Y軸。若取l?30.00025mm，用Matlab模擬

后則得到圖4.b，顯然，此時的干涉圖樣已經變為橢圓，與前面的猜想相吻合。

由圖4.b可進一步猜想，圖像有可能有隨著x和y取值的變大而由橢圓漸變為拋物線和雙曲線的趨勢。為驗證假想，取x和y在[-4000mm,4000mm]上變化，得如下圖像：

圖5圖像的變化趨勢

2008大學生物理實驗研究論文

觀察圖5，發現干涉條紋之間發生了相互重疊，這是由于計算機屏幕大小有限所導致，在實際試驗中，只要光屏、兩反射鏡大小及角度合適，我們是可以看到雙曲線的干涉圖樣的。

參考文獻：

[1] 錢鋒，潘人培.大學物理實驗（修訂版）[M].2005，高等教育出版社，2006.230-231.[2] 陳杰.MATLAB寶典[M].2007，電工電子出版社，2007.281-300.

第二篇：教案1 邁克爾遜干涉實驗

教案1 邁克爾遜干涉實驗

一 實驗目的

1、了解邁克爾遜干涉儀的結構；

2、掌握邁克爾遜干涉儀的結構；

3、觀察光的等傾干涉現象并掌握波長的方法；

4、掌握逐差法處理數據。

二 實驗儀器

He-Ne激光器、擴束透鏡、邁克爾遜干涉儀

三 實驗原理

邁克爾遜干涉儀的光學系統如圖。它由分光板G、補償板H、定反射鏡M1和動反射鏡M2組成。M1和M2互相垂直，分光板和補償板是一對材料和外型完全相同的平板光學玻璃，它們相互平行并分別和M1、、M2成大致45度夾角，分光板的次數不同引起的光程差。來自點光源（或擴展光源）的光，入射到分光板上，分為強度相同的光線“1”和光線“2”的相干光，并分別由M1和M2反射后投射到光屏上（對于擴展光源用眼睛正對著觀察）產生干涉現象。由于M1和M2垂直，可以等價地看成M2的虛象和M1形成一個厚度d為的空氣隙，d的大小隨M2的位置改變而改變，所以兩光線的光程差可由下式確定：

??2dCosi?

（1）

式中iˊ為光線“1”對M2的入射角。當d一定時，Δ由iˊ確定，iˊ相同的方向上光程差相等，形成了等傾干涉條紋。且滿足：

2dCosi??k?

k=0、1、2、3??

（2）

呈亮條紋：

??(2k?1)

2dCois?k=0、1、2、3??

（3）

呈暗條紋。條紋呈明暗相間的同心環，這和牛頓環干涉條紋相似，但不同的是本同心環外側干涉級別低，越靠圓心干涉級別越高。圓心干涉級別最高。現分析一下（2）式。對于第級亮條紋，有：

??k?

（4）2dCosik當d增大時，為了保證（4）式仍成立ik必須也增大，即k級亮條紋往外擴大，反之，減小

‘時，ik也必須減小，k級亮條紋往內縮小。特別地考慮iˊ=0（即圓心）處。滿足：

2d?k?

（5）

時為亮條紋。那么，d增大時，中心亮條紋的級別K增大，中心往外冒出亮條紋，d減小時，中心亮條紋級別減小，亮條紋往中心收進。每當d改變涉條紋。當d改變n‘

?時，中心處就冒出或收進一個干2?2時，中心處就冒出或收進n個干涉條紋。根據這種現象，可以測定光波波長。

假設動鏡M2原在位置D1上，現移動M2的位置，同時觀察并計算中心亮條紋冒出或收進的數目，當M2移至位置D2時，相應地冒出或收進的亮條紋數目N。就有：

???2?D2?D1

??2D2?D1N四

教學內容

1、檢查預習報告，特別對數據記錄表格進行檢查

2、實驗裝置的調整，提問He-Ne激光器所發的光線與定鏡之間的關系，應該怎樣調整？（反射回來的光線應該出現在He-Ne激光器的頭部面板上）

3、示范并提問第二個問題，光斑重合的時候應該出現干涉圖樣，如果沒有圖則擴束之后仍然無法得到干涉圖樣，那么應該怎樣調整？

4、提醒幾個要點

a、動鏡的位置應調到40~50mm之間

b、如果不能產生干涉那么要檢查當調節定鏡背后的三個螺絲時，出現在He-Ne激光器的頭部面板上的光線是否相應會動？以及對重合的斑點進行檢查（換個點看看）c、干涉圖樣的中心應該全部出現，利用哪個部份？

5、用逐差法處理數據

五

注意事項

1、使用干涉儀時不要使工作臺震動；

2、切勿用手或其他物品觸摸其光學表面；

3、切勿正對著光學表面講話。