第一篇：高中立體幾何最佳解題方法及考題詳細解答

高中立體幾何最佳解題方法總結

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形；

2、利用三角形或梯形的中位線；

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面與這個相交，那么這條直線和交線平行。（線面平行的性質定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質定理）

6、平行于同一條直線的兩個直線平行。

7、夾在兩個平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法

1、定義法：直線和平面沒有公共點。

2、如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線就和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線必平行于另一個平面。

4、反證法。

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩個平面沒有公共點。

2、如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一個平面的兩個平面平行。

4、經過平面外一點，有且只有一個平面與已知平面平行。

5、垂直于同一條直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理；

2、等腰三角形；

3、菱形對角線;

4、圓所對的圓周角是直角；

5、點在線上的射影；

6、如果一條直線和這個平面垂直，那么這條直線和這個平面內的任意直線都垂直。

7、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。（三垂線定理）

8、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內的任意直線都垂直；

2、點在面內的射影；

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面。（面面垂直的性質定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，那么另一條必垂直于這個平面。

6、一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么這條直線必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么它們的交線必垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角；

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直；（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。

a???

?????a???

高中立體幾何經典考題及方法匯總

1線面平行的判定

1、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，AC1在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。

2線面垂直的判定

2、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

3線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

3、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

D1A1

BC1

?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

證明：（1）連結A1C1，設

AC11?B1D1?O1，連結AO1

D

A

B

C

∵ ABCD?A1B1C1D1是正方體?A1ACC1是平行四邊形

∴A1C1∥AC且 AC11?AC又O1,O分別是AC11,AC的中點，∴O1C1∥AO且O1C1?AO

?AOC1O1是平行四邊形?C1O∥AO1,AO1?

面AB1D1，C1O?面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

（2）?CC1?面A1B1C1D1?CC!1?B1D又

∵AC11?B1D1

同理可證

AC?AD11，?B1D1?面A1C1C即A1C?B 1D1，又

D1B1?AD1?D1

?面AB1D1?AC1

4線面垂直的判定

4、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.5 線面平行的判定（利用平行四邊形）

5、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

6三垂線定理

6、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB

?

（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴CPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?

AB B

P

A

N

（2）∵?APB?90?，PA?PB,∴PD?

AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

2MQ?

BC?

1，∴MN?2

7線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

7、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?AC1∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

8線面垂直的判定,構造直角三角形

8、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30

9線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

9、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大小． 證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，22

2PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG為二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?450 10線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直

?平面MBD．

10、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?

M∵AO，∴A?MO?A1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

11線面垂直的判定

11、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 12線面垂直的判定，三垂線定理

12、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

第二篇：高中立體幾何證明方法

高中立體幾何

一、平行與垂直關系的論證

由判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系，在應用中：低一級位置關系判定高一級位置關系；高一級位置關系推出低一級位置關系，前者是判定定理，后者是性質定理。1.線線、線面、面面平行關系的轉化：

面面平行性質

?//?

????a,???

???a?b?

//b)

線面平行性質

?//???//??

??

a???

????b??

a//??a//b

?//??

a???

?

?

??//?

?a//?

2.線線、線面、面面垂直關系的轉化：

在?內射影a??

則a?OA?a?POa?PO?a?AO

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線面垂直定義

???

?

?a?

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?l?a

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????b??a?? a??,a?b??

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?

?

??a?? ?a??

面面垂直定義

????l，且二面角??l???

成直二面角

?????

?

3.平行與垂直關系的轉化：

a//b?a??

a???

a

??b???

a???

???

//?

面面平行判定2 面面平行性質

3a???b???

??a//b

?//??a??

?a???

4.應用以上“轉化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質。”5.唯一性結論：

二、三類角

1.三類角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?時，b∥?或b

??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三類角的求法：轉化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計算大小。

（三）空間距離：求點到直線的距離，經常應用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關三角形中求解。求點到面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面利用面面垂直的性質求之也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離，直線與平面的距離，面面距離都可轉化為點到面的距離。

第三篇：高中數列解題方法

數

1.公式法：

等差數列求和公式:Sn?

n(a1?an)n(n-1)?na1?d 2

2Sn?na1(q?1)

等比數列求和公式：a1(1-qn)(a1-anq)Sn??(q?1)1?q1?q

等差數列通項公式：an?a1?(n?1)d

等比數列通項公式：an?a1qn?

12.錯位相減法

適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 和等差等比數列相乘{an},{bn}分別是等差數列和等比數列.Sn?a1b1?a2b2?a3b3?...?anbn

例題：

已知an?a1?(n?1)d,bn?a1qn?1,cn?anbn,求{cn}的前n項和Sn

3.倒序相加法

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1?an)

例題：已知等差數列{an}，求該數列前n項和Sn

4.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.5.裂項法

適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即然后累加時抵消中間的許多項。

常用公式：

111??n(n?1)nn?1

1111(2)?(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1 11(3)?(a?)a?ba?(1)

例題：求數列an?1的前n項和S

n n(n?1)

小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意： 余下的項具有如下的特點

1余下的項前后的位置前后是對稱的。

2余下的項前后的正負性是相反的。

6.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立；

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

例題：求證： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)= n(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)5

7.通項化歸

先將通項公式進行化簡，再進行求和。

8.（備用）a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

a?b?(a?b)(a?ab?b)3322

第四篇：高中理科數學解析幾何解題方法集錦

22弦長問題：|AB|=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]。

Ⅰ.求曲線的方程

1．曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數法解決。

分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數法。

2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程這種方法叫做直接法。

一般地，如果選擇了m個參數，則需要列出m+1個方程。

Ⅱ.研究圓錐曲線有關的問題

1．有關最值問題

2．有關范圍問題

分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，對于（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數思想”。

x2y2

??1(a?b?0)，A,B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與已知橢圓a2b2

a2?b2a2?b2

?x0?x軸相交于點P(x0,0)，證明：?.aa

第五篇：高中立體幾何中線面平行的常見方法

高中立體幾何證明平行的專題訓練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉化為 線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：

（1）通過“平移”。

（2）利用三角形中位線的性質。

（3）利用平行四邊形的性質。

（4）利用對應線段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通過“平移”再利用平行四邊形的性質

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中點G，連EG.，FG，則易證AEGF是平行四邊形

（第1題圖）

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求證：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥面BCD；

分析：取DB的中點H，連GH,HC則易證FGHC

是平行四邊形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：連EA，易證C1EAD是平行四邊形，于是MF//EA

F

A

1D

A4、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中點F，連EF,AF則易證ABEF是

平行四邊形

(2)利用三角形中位線的性質

5、如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點，求證：

AM∥平面EFG。

分析：連MD交GF于H，易證EH是△AMD的中位線

6、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

7．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

分析：連B1C交BC1于點E，易證ED是

△B1AC的中位線

8、如圖，平面ABEF?平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?900,BC

//?

AD，BE

2//?

AF，G,H分別為FA,FD的中點 2

（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（Ⅱ）C,D,F,E四點是否共面？為什么？

（.3）

利用平行四邊形的性質

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

分析：連D1B1交A1C1于O1點，易證四邊形OBB1O1 是平行四邊形

10、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E為PD中點.2求證：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中點F，連EF則易證ABFE 是平行四邊形

11、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）證法一：

因為EF//AB，FG//BC，EG//AC，?ACB?90?，所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG//BC，FG?

BC

2BC 2

在?ABCD中，M是線段AD的中點，則AM//BC，且AM?

因此FG//AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM//FA。又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用對應線段成比例

12、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且求證：MN∥平面SDC

分析：過M作ME//AD，過N作NF//AD 利用相似比易證MNFE是平行四邊形

AMBN

=，SMND13、如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N分別為AC和BF上的點且AM=FN求證：MN∥平面BEC

分析：過M作MG//AB，過N作NH/AB 利用相似比易證MNHG是平行四邊形

（6）利用面面平行

?

14、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF?2FP.（1）求證：BE?平面PAC；（2）求證：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中點N，連CN、MN，易證平面CMN//EFB