第一篇：(冬令營培訓(xùn)材料)山東省濟(jì)南外國語學(xué)校八年級數(shù)學(xué) 奧術(shù)三級 第二跳(思維訓(xùn)練) 第二講 分式的化簡求值（范文模版）

第二講：分式的化簡求值

【知識梳理】

1、先化簡后求值是解代數(shù)式化簡求值問題的基本策略，分式的化簡求值通常分為有條件和無條件兩類。

給出一定的條件并在此條件下求分式的值的問題稱為有條件的分式化簡求值，解這類問題，既要瞄準(zhǔn)目標(biāo)，又要抓住條件，既要依據(jù)條件逼近目標(biāo)，又要能根據(jù)目標(biāo)變換條件。常常用到如下策略：

（1）適當(dāng)引入?yún)?shù)；

（2）拆項(xiàng)變形或拆分變形；

（3）整體代入；

（4）取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系等。

2、基本思路

（1）由繁到簡，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；

（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；

（3）證明：左邊?右邊?0，或

3、基本方法

在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】 左邊?1，此時(shí)右邊?0。右邊

x2?3xy?y

2【例1】（1）已知x?2y?0，求2?___________________； 22x?xy?3y

（2）已知

（3）若

112x?5xy?2y??5，則?___________________； xyx?2xy?yabc，則3a?2b?c?____________________； ??a?2b?3c34

5【例2】若x?

a?bb?cc?a

??，求x的值？ cab

【例3】已知abc?0，且

【鞏固】若

abc3a?2b?c

??，求的值？ bcaa?2b?3c

abcda?b?c?d

???，則的值是 __________________； bcdaa?b?c?d

【例4】已知：x?x?1?0，求x?的值。x

4【鞏固】

a

3（1）已知a?3a?1?0，則代數(shù)式6的值為_______________；

a?

1x4?2x?1

?_______________；（2）若x?x?1?0，則

x5

【例5】已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且

ab1bc1ca1abc

?，?，?，那么a?b3b?c4c?a5ab?bc?ca的值是多少？

【例6】已知abc?1，求證：

abc

???1。

ab?a?1bc?b?1ac?c?1

思路點(diǎn)撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊。

【鞏固】已知：abc?0，a?b?c?0，求a(?)?b(?

【例7】已知a?

1b1c1c111)?c(?)?3的值。aab

?1，b??1，求c?的值。bca

【

例

】

已

知

x?

a?bb?cc?a?b，y?b?c，z?a

c?a，求證?1?x??1?y??1?z???1?x??1?y??1?z?。

思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。

【鞏固】已知ab?cd?3，求證：a2?c2b2?d2?a?b???c?d?a?c?b?d?

a?b?c?d。

：

第二篇：(冬令營培訓(xùn)材料)山東省濟(jì)南外國語學(xué)校八年級數(shù)學(xué) 奧術(shù)三級 第一跳(分析試題) 第6講 全等三角形

第6講：全等三角形

【知識梳理】

1、全等三角形：全等三角形、能夠完全重合的兩個(gè)三角形。

2、全等三角形的判定方法有：

“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”

3、全等三角形的性質(zhì)：

（1）全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）相等。

（2）全等三角形的周長、面積相等。

4、全等三角形常見輔助線的作法有以下幾種：

1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變

換中的“對折”．

2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．

3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三

角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．

4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

5)截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某

條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．

【例題精講】

◆例1：已知，如圖△ABC中，AB＝5，AC＝3，則中線AD的取值范圍是_________.BDC

1【鞏固】如圖所示，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證: AF＝EF.◆例2：已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，求證：AB＝BC＋CD【鞏固】

1、已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB＞AC，求證：AB－AC＝BD－DC

B

D

FC

B

CDA

D2、如圖所示，已知四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求證: BC＋DC＝AC.B

◆例3：如圖，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分線AD，CE相交于點(diǎn)O 求證：OE＝OD

◆例4：如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作PN⊥AB于N，PM ⊥AC于點(diǎn)M 求證：BN＝CM

◆例5：AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A，E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為PA，△EBC周長記為PB。求證PB＞PA.【拓展】正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù).E

B

D

C

A

DF

B

E

C

【課后練習(xí)】

1、如圖，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q 求證：AB＋BP＝BQ＋AQ

A

B

P2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE＋CF與EF的大小.3、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的長.B

E

G

CFA

A

E

F

B

D

C

D

第三篇：(冬令營培訓(xùn)材料)山東省濟(jì)南外國語學(xué)校八年級數(shù)學(xué) 奧術(shù)三級 第一跳(分析試題) 第12講 因式分解的應(yīng)用

第12講因式分解的應(yīng)用

【知識梳理】

許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：

（1）ab?b?a?1??a?1??b?1?；

（2）ab?a?b?1??a?1??b?1?；

（3）a4?4?a2?2a?2a2?2a?2；

（4）4a4?1?2a2?2a?12a2?2a?1；

（5）a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac??a?b?c?； 2????????

（6）a3?b3?c3?3abc??a?b?c?a2?b2?c2?ab?bc?ac。

【例題精講】

◆例1：若?ABC的三條邊a、b、c滿足關(guān)系式a?bc?ac?b?0，則?ABC的形狀是_________________________。

【鞏固】

1、已知a、b、c是三角形三邊長，則代數(shù)式a?2ab?c?b的值是（）

A.大于0B.等于0C.小于0D.符號不定

2、設(shè)a、b、c是三角形三邊長，化簡c?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca。

【拓展】已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，則a?b?c?2ab?2bc?2ca的值 1 ***224??

是（）

A.恒正B.恒負(fù)C.可正可負(fù)D.非負(fù)

◆例2：已知x2?4x?1?0，則2x4?8x3?4x2?8x?1的值是多少？

【鞏固】

1、已知a2?b2?4a?6b?13?0，求a?b的值。

2、已知a??

1?a2?a????a?a?1??2，求1?21?

2??a?a2??的值。

3、設(shè)3b?a?2c，求a2?9b2?4c2?4ac的值。

◆例3：已知a、b是自然數(shù)，且a2?b2?2007，求a與b的值。

【鞏固】設(shè)a、b是自然數(shù)，a?b?7，求a、b的值。

【拓展】設(shè)a、b是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，問a?b?ab?4ab是否為平方數(shù)？

◆例4：（1）求證：81?27?9能被45整除；

（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，2?2n?1?形式的數(shù)不能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差。

【課后作業(yè)】

1、?ABC的三邊滿足a?2bc?c?2ab，則?ABC是（）22791322223

3A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.銳角三角形

2、如果100x2?kxy?49y2是一個(gè)完全平方式，那么k等于（）

A.4900B.700C.?140D.?703、若x2?y2?mx?5y?6能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）

A.1B.?1C.?1D.24、若n為奇數(shù)，則12n?1（）4??

A.一定是奇數(shù)B.一定是偶數(shù)

C.可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)D.可能是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)（分母不是1）

5、若a、b為有理數(shù)，且a?b?4a?2b?5?0，則b?______________。

6、已知x?y?1，x2?y2?2，那么x4?y4?________________。

7、計(jì)算：1.21?0.79?2.42?0.79。

8、已知ab?a?b?1?13，求a、b的值。

2222a

第四篇：(冬令營培訓(xùn)材料)山東省濟(jì)南外國語學(xué)校八年級數(shù)學(xué) 奧術(shù)三級 第一跳(分析試題) 第2講 實(shí)數(shù)(二)

第2講實(shí)數(shù)

（二）【知識梳理】

一、實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1、設(shè)x為有理數(shù)，y為無理數(shù)，則x＋y，x－y都為無理數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，xy，yx,都是無xy理數(shù)；當(dāng)x＝0時(shí)，xy，x就是有理數(shù)了； y2、若x、y都是有理數(shù)，m是無理數(shù)，則要使x?ym＝0成立，須使x＝y(tǒng)＝0;

3、若x、y、m、n都是有理數(shù)，m,n都是無理數(shù)，則要使x?m?y?n成立，須使x＝y(tǒng)，m＝n

二、實(shí)數(shù)大小的比較

常用方法：直接法、利用數(shù)軸比較、平方法、同次根式下比較被開方數(shù)法、作差法、作商法

三、證明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)的方法：

證明這個(gè)數(shù)是一個(gè)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，或可表示成幾個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商的形式。

【例題精講】

◆例1：比較下列兩數(shù)的大小：

（1（2

3（4a?

2【

23?（3）6?2 ?a（5?3?22?2a?1（6?22?3?2 a?3鞏固】設(shè)1

a?b?c?a、b、c的大小？

◆例2：若3? 的小數(shù)部分為a，3?5的小數(shù)部分為b，則a?b的值為。

【鞏固】

1、已知a為?2 的整數(shù)部分，b?1是9的平方根，且a?b?b?a，求a?b的值。

x，小數(shù)部分為y，試求x?y?的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n

a，小數(shù)部分為b，試計(jì)算：2(m?a)?(b?n)的值。

◆例3：已知m、n是有理數(shù)，且(?2）m ?(3?2)n?7?0，求m、n的值。1的值。y

【鞏固】

?13??1?19????b?2?1?a??3?0，求a、b的值

1、已知a、b是有理數(shù)，且?????32??412?4202、已知x、y是有理數(shù)，并且x、y滿足2x2?3y?2y?23?2，求x?y的值。

◆例4：設(shè)?a，?b，試用a、b的代數(shù)式表示0.9

【鞏固】：已知3?a，21?b，試用a、b的代數(shù)式表示0.28

◆例

5(*)

◆例6：a與b是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，由。(*)

【拓展】：

(*)

◆例5：若a、b滿足3a?5|b|?7,求

【鞏固】：已知x?2y?1，求x和y的取值范圍；22是有理數(shù)還是無理數(shù)，并說明理s?2a?3|b|的取值范圍。

【課后練習(xí)】

1、比較大小：?

2、設(shè)a、b是正有理數(shù)，且滿足(3a?2)a?(b?2)b?2?3?0，求ab的值。

x，小數(shù)部分為y，試求x?y(y?的值。

4、已知9?與9?的小數(shù)部分分別是a、b，求ab－3a＋4b＋8的值。

5、已知a、b為有理數(shù)，x、y分別表示5?的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且axy?by?1，求a＋b的值。

(*)

26?