第一篇：“ 數列的基本問題 ” 的教與學的策略

二、“ 數列的基本問題 ” 的教與學的策略 發布者：楊小紅 發布時間： 2012-8-17 10:54:23

（一）學生在學習數列概念時的障礙及對策

數列概念是學習數列的起始課，在學習中學生會遇到如下障礙： 1．對數列定義中的關鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊． 2．對數列與函數的關系認識不清．

3．對數列的表示，特別是通項公式一個覺得不可思議．

4．由數列的前幾項寫不出數列的通項公式． 教學策略：

感到困惑．對數列的通項公式可以不只1．為激發學生學習數列的興趣，體會數列知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出數列要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子等。

2．數列中蘊含的函數思想是研究數列的指導思想，應及早引導學生發現數列與函數的關系．在教學中強調數列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數的自變量，相同的數組成的數列，次序不同則就是不同的數列．函數表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數列就有列舉法、圖示法、通項公式法。

數列的概念

定義：像這樣按照一定次序排列起來的一列數稱為數列.從三個層次來理解“次序”（1）語言描述

把位置編上號碼，這些號碼是所有的非零自然數按從小到大順序排列，每一個有序號的位置都有一個確定的值，由所有這樣的數值組成一個數列；

數列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，?，an，?，這種有序性是對數列本質的刻畫（2）映射角度

“次序”用數學語言來表示，就是一種特殊的對應，即映射：

（3）函數角度

數列可以看成以正整數集 N *（或它的有限子集 {1，2，?，n}）為定義域的函數 an= f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值．

數列——初等函數

對于任意的函數 y = f(x)（x ≥0），我們可以得到一個數列

3．由數列的通項公式寫出數列的前幾項是簡單的代入法，對程度差的學生，可多舉幾個例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的結構關系，盡量為寫通項公式提供幫助．

歸納數列的通項

教學的目的：歸納法的運用，數列概念的理解。教學中，分幾個層次： 可以先給一些特殊的數列：

再給和特殊數列有關的數列：

4．由數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是學生學習中的一個難點，要幫助學生分析各項中的結構特征，讓學生依據前幾項的規律，猜想該數列的下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數的關系。最后老師可以和學生共同歸納一些規律性的結論：

（1）并非所有數列都能寫出它的通項公式，如： 0，-1，3，7，11 ?；（2）有些數列的通項公式在形式上不一定是唯一的，如：數列 1，-1，1，-1，-1，?的通項可寫成

（3）當一個數列出現“ + ”、“-”相間時，應先把符號分離出來，用等來控制，然后再尋找數量間關系；

（4）有些數列的通項公式可以用分段的形式來表示；（5）熟悉常見數列的通項：

例如，全體正偶數按從小到大的順序構成數列 2，4，6，?，2 n，?，這個數列還可以用列表和圖象分別表示為

總之：數列概念的要求比過去高，用圖形的變化描述數列，把圖形的幾何結構量化。

（二）用函數的觀點進行等差數列的教學

關于等差數列定義的教學

給出一些等差數列的例子，讓學生從項與項關系的角度去觀察、歸納、概括得等差數列的定義.在這一段的教學中，一定要重視歸納的過程，這是學生能理解等差數列的所必須的，不要一筆帶過！

研究數列的一個很重要的方法是：從整體上看數列，研究數列中的項與項之間的關系 引入：（2004 北京卷）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.已知數列 是等和數列，且a1=2，公和為 5，那么 a18的值為

從定義的數學表達式：

得： 表明從第二項起，等差數列的任意項都可以表示為它的前一項與公

差的和 , 因此，等差數列的任意項也就應該可以用首項和公差來表示.2．等差數列通項與一次函數

得到結論： 是等差數列

這樣，由于公差不為零的等差數列的每一項an是關于項數 n 的一次函數式 于是可以利用一次函數的性質來認識等差數列 例如，理解為什么.根據一次函數的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數列

由率的計算方法）

3．等差數列的性質，它的含義是什么呢？（可以適當拓展到直線斜

表面看是兩項之和相等，從對應的項數之間又是一種什么關系呢？

由此歸納得出：

使用等差數列的性質意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不成立。

如

時要注，有

.等差中項的定義是針對三個數的，即如果 x，A，y組成等差數列，則 A叫做 x，y的等差中項.從等差數列的整體看： a1，a2，a3，?，an，?，從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項.推廣：從第二項起，每一項都是到它距離相等的兩項的等差中項，即與數列中的任一項“等距離”的兩項之和等于該項的 2 倍.這個性質體現的是數列的對稱性，這種對稱性是由項數之間的關系決定的.例題：

（三）把握等差數列的前 n項和公式的教學實質 ．等差數列的前 n項和公式的教學實質

有些教師在教學中利用“梯形鋼管堆的計數”“梯形面積公式”等模型來體現數形結合，認為“倒序求和”是等差數列前 項和公式這一內容蘊含的思想方法。因此，把基礎定位在要讓學生掌握求和公式及其變式，學會“倒序求和”的思想方法。

其實，“倒序求和”只是為避免對項數 n進行奇偶討論而引入的一個技巧，并不是什么思想方法。

基礎性表現在幾個層次：

用等差數列的“基本量”；

用等差數列的性質“等差數列不同數求和化歸為相同數求和，從數量關系上看是利用了“平均數”概念；

”，將更進一步地，為了體現從概念出發思考和解決問題的思想，利用等差數列的概念和通項公式。，所以實質就是求 教學設計：

引入高斯故事，歸納方法本質

從“高斯的故事”引入；歸納“高斯方法”的本質，即實質是利用將不同數化為相同數求和；

探究求值方法，引出分類討論，用這一方法求的值，引出需要分 n為奇數、偶數討論的問題，并

求出和；過渡到利用歸納思想方法，提升解題技巧

求等差數列前 n項和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引導學生經歷從特殊到一般的歸納過程，從中領悟“化歸”的思想方法的思路。

教學中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在討論 n的奇偶性而得出求和公式后，再讓學生思考“能否想個辦法避免討論”，把公式，再聯系性質得到。

變形為應把等差數列前 項和這節課看成是等差數列概念、性質的應用課。這一節課的教學，重要的是培養學生從基本概念、基本原理出發思考問題的習慣。具體教學時應明確任務（即用基本量）的基礎上，引導學生從基本性質、通項公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”中得到“倒序求和”。

2.公式的推導 3 ．從函數的觀點來認識 Sn

首項為 a1、公差為 d 的等差數列前 n 項和的公式可以寫為：

即當 時，Sn是 n 的二次函數式，于是可以運用二次函數的觀點和方法來認識求等差數列前 n 項和的問題 如可以根據二次函數的圖象了解 Sn的增減變化、極值等情況 ．通過 Sn的有關問題進一步認識等差數列的結構特征

本題給出了等差數列前 6 項的和，應該關注最后六項的和，利用等差數列的性質和前 n項和公式解決問題。要求學生對等差數列前 n項和概念要有深刻理解。

例 2 等差數列 的公差為 d，前 n項和為 Sn，當首項 a1和 d變化時，a2+a8+a11是一個定值，則下列各數中也為定值的是（C）

本題利用整體代換求解，體現了整體代換的思想。

（四）典型例題的作用及教學

n的取值只能是 8，9.（五）數列研究的幾個基本問題 ．關注 an與 Sn

（六）數學歸納法的教學定位 ．數學歸納法教學的重點和難點 重 點

（1）初步理解數學歸納法的原理.（2）明確用數學歸納法證明命題的兩個步驟.（3）初步會用數學歸納法證明簡單的與正整數有關的恒等式.難 點

（1）對數學歸納法原理的理解，即理解數學歸納法證題的嚴密性與有效性.（2）假設的利用，即如何利用假設證明當 n=k+1 時結論正確.2 ．數學歸納法原理形成的教學定位

由于數學歸納法原理的高度的抽象性，學生在學習時，往往限于掌握了一些應用數學歸納法的技巧，而不能真正理解它的意義.因此學習停留在單純的模仿之中.所以原理的形成過程的教學，既是本節課的重點，也是難點.教師要組織形象、生動、與所學內容密切相關的素材，作為數學歸納法原理產生的背景，以激發學生濃厚的學習興趣，幫助、引導學生從中感悟其蘊含的數學思想，最終產生遷移效果.抽象出數學歸納法的原理，如何通過探究順利實現遷移抽象的目標，就成了本節課能否成功的關鍵.有些教師對數學歸納法原理形成過程的教學不夠重視，表現在有的教師沒有安排實驗探究，急于向學生展示一種思維“模式”和“套路”，接著通過大量的例題、習題進行強化；有的教師雖然安排了實驗，但也是一帶而過，很快抽象出了數學歸納法原理，這只能是教師的“成果”，而不是學生的成果，仍然擺脫不了生硬灌輸這種教學模式的影子；甚至有的教師將相當多的時間和精力花在舉例說明“不完全歸納法”的缺陷上，這顯然偏離了本節課的主題與核心.“多米諾骨牌實驗”的教學定位

本節課所需的“引例”，形式豐富多樣，教師用的最多的是“多米諾骨牌實驗”，因為這幾乎是所有學生小時候都玩過的一種游戲，貼近學生的生活實際，具有一種無形的親近感。同時“多米諾骨牌實驗”以簡便的形式蘊含了數學歸納法的深刻原理，因而成為這節課的典型素材.問題是如何正確認識，科學定位“多米諾骨牌實驗”？在實驗的方式上，“多米諾骨牌實驗”應從不同角度多次進行，每次實驗都要有不同的目的，都要引發學生不同的思考、探究，讓學生既要有實驗成功的體驗，又要有實驗失敗的反思；而多次的實驗又能形成一個有機的整體，當將每次實驗的體驗和反思糅合在一起后，數學歸納法的內在原理就扎根于學生的心中了。從學生的基礎來看，學生用原有的知識結構同化數學歸納法存在著數學知識和邏輯知識上的準備不足，需要具體的實例幫助；從學生的認知規律來看認知抽象的事物應盡可能將其具體化、形象化，同時，對抽象事物本質的認識不能一步到位，應該由淺入深、由表及里、正反對比，方能凸顯本質。

“多米諾骨牌實驗”的功能應該包含兩個層次：一是將實驗轉化為關于正整數的命題，即“第一塊骨牌倒下”對應“當 n取第一個正整數 n0時命題成立”，“第二塊骨牌倒下”對應“當 n取第一個正整數 n0+1時命題成立”，?，“所有的骨牌都倒下（即游戲成功）”對應“命題對從 n0開始的所有正整數都成立”，若“第一定有第 k+1塊骨牌跟著倒下”對應“若

塊骨牌倒下，則

時命題成立，則 n=K+1時命題也一定成立”。

二是將游戲轉化為具體的數學問題，引導學生通過解決具體的數學問題進一步體驗數學歸納法的思想，并從中感受到成功的喜悅，然后在此基礎上才能推廣到一般命題，抽象概括，得到數學歸納法原理。這樣學生才能夠切實掌握數學歸納法原理，本節課的難點才能夠得到有效突破。

“多米諾骨牌實驗”的教學設計 三次實驗

實驗 1 ：用手推倒 1 號骨牌，然后 2 號骨牌，3 號骨牌，?，緊跟著全部倒下，讓學生討論為什么會出現這種結果，在這個環節，學生對現象的本質的認識可能是比較模糊的，但必要的討論為下面顯現本質奠定了基礎。

實驗 2 ：課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距和實驗 1 相同，用手推倒 1 號骨牌，沒有推倒，然后 2 號骨牌，3 號骨牌，?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。這時教師讓學生對比實驗 1 和實驗 2，討論游戲失敗的原因，從而得到游戲成功的第一個必要條件，1 號骨牌必須被推倒。

實驗 3 ：課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距出現分化，1 號骨牌與 2 號骨牌的間距拉開的足夠大，其他骨牌間距不變（同實驗 1），這是用手推倒了 1 號骨牌，但 2 號骨牌沒有倒下，3 號骨牌，4 號骨牌?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。同樣讓學生對比不同實驗及其結果，分析原因。這是學生得到的結論往往在具體骨牌上，即 1 號骨牌倒下，沒有帶動 2 號骨牌倒下導致了失敗，而學生對其中的任意性很難提煉出來。繼續下去，再將 2 號骨牌和 3 號骨牌 ,3 號骨牌和 4 號骨牌?，的間距拉開的足夠大，（每一次試驗只改變一個間距），重復實驗 3，如此反復幾次，學生不難悟出游戲成功的第二個必要條件，即第 k塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌倒下（這里暗示了無窮推理的合理性）。

至此，用數學歸納法證明數學問題時，為何兩步缺一不可，便不言自明。兩次遷移：

骨牌游戲雖然有數學歸納法的影子，但畢竟不是數學歸納法原理本身，不能直接用來證明數學問題，這就需要將游戲遷移到數學問題中去。

遷移 1 將骨牌游戲換成數學問題，提出問題：設等差數列 的首項為 a1，公差為 d，我們在前面推導其通項公式時，得到與正整數有關的無窮多等式：

要使這無窮多個等式都成立，你能否用數學語言概括上面游戲成功的兩個條件？然后讓學生獨立思考、合作討論、得到

（1）第一個等式成立（即當 n=1成立）

（2）假設第 個等式成立，一定能推出第k+1個等式也成立。這樣就實現了由游戲向原理的第一次遷移。

遷移 2 教師請同學就等差數列通項公式問題具體嘗試，是否能做到這兩步？最后將無窮多個等式統一為

。至此，由游戲向原理的第二次遷移順利完成。數學歸納法原理的得出已經是水到渠成。

（1）歸納奠基（2）歸納遞推

從多米諾骨牌實驗到數學歸納法原理，清晰地反映了生活問題 — 數學問題 — 數學形式化的發展軌跡。在對實驗的探究過程中，學生經歷了成功與失敗的種種體驗，經歷了將生活語言轉化為數學語言的過程，經歷了將生活中蘊含的原理轉化為數學原理的過程。由于始終堅持在學生的“最近發展區”內設置問題情境，注重層層遞進，避免一步到位，因而學生能夠積極思考。樂于交流討論，不斷體驗到成功的快樂，從而順利地建立了新舊知識及其本質之間的聯系。

學生通過數列一章內容和其它相關內容的學習，已經初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數學問題，猜想或發現數學規律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹的科學的論證方法─數學歸納法。

第二篇：高中數學“數列的基本問題”教學研究

高中數學“數列的基本問題”教學研究

郭潔 北京市東城區教師研修中心

一、對“數列的基本問題”中數學知識的深層次理解

（一）數列內容的知識結構

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型．研究等差數列和等比數列這兩種特殊數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題．

（二）深入理解數列內容在知識體系中的地位及相互聯系 數列是函數學習的繼續；

數列作為一種特殊函數，是反映自然規律的基本數學模型； 數列在整個中學數學教學內容中，處于一個知識匯合點的地位 ；

歸納和類比是兩種用途最廣的合情推理.也是數列教學和學習中最重要的方 法。

（三）數列教學內容的重點、難點 等差數列與等比數列的通項公式與前項和公式的探求，在實際問題的情境中抽象出等差數列或等比數列模型，數列遞推關系的建立及其應用是這部分內容的重點和難點．

二、“ 數列的基本問題 ” 的教與學的策略

（一）學生在學習數列概念時的障礙及對策

數列概念是學習數列的起始課，在學習中學生會遇到如下障礙： 1．對數列定義中的關鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊． 2．對數列與函數的關系認識不清． 3．對數列的表示，特別是通項公式以不只一個覺得不可思議．

4．由數列的前幾項寫不出數列的通項公式． 教學策略：

1．為激發學生學習數列的興趣，體會數列知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出數列要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子等。

2．數列中蘊含的函數思想是研究數列的指導思想，應及早引導學生發現數列與函數的關系．在教學中強調數列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數的自變量，相同的數組成的數列，次序不同則就是不同的數列．函數表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數列就有列舉法、圖示法、通項公式法。數列的概念

定義：像這樣按照一定次序排列起來的一列數稱為數列.從三個層次來理解“次序”（1）語言描述

把位置編上號碼，這些號碼是所有的非零自然數按從小到大順序排列，每一個有序號的位置都有一個確定的值，由所有這樣的數值組成一個數列； 數列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，?，an，?，這種有序性是對數列本質的刻畫

感到困惑．對數列的通項公式可（2）映射角度

“次序”用數學語言來表示，就是一種特殊的對應，即映射：

（3）函數角度

數列可以看成以正整數集 N *（或它的有限子集 {1，2，?，n}）為定義域的函數 an= f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值． 數列——初等函數

對于任意的函數 y = f(x)（x ≥0），我們可以得到一個數列

3．由數列的通項公式寫出數列的前幾項是簡單的代入法，對程度差的學生，可多舉幾個例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的結構關系，盡量為寫通項公式提供幫助． 歸納數列的通項

教學的目的：歸納法的運用，數列概念的理解。教學中，分幾個層次： 可以先給一些特殊的數列：

再給和特殊數列有關的數列：

4．由數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是學生學習中的一個難點，要幫助學生分析各項中的結構特征，讓學生依據前幾項的規律，猜想該數列的下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數的關系。最后老師可以和學生共同歸納一些規律性的結論：

（1）并非所有數列都能寫出它的通項公式，如： 0，-1，3，7，11 ?；（2）有些數列的通項公式在形式上不一定是唯一的，如：數列 1，-1，1，-1，1，-1，?的通項可寫成（3）當一個數列出現“ + ”、“-”相間時，應先把符號分離出來，用

等來控制，然后再尋找數量間關系；（4）有些數列的通項公式可以用分段的形式來表示；（5）熟悉常見數列的通項：

例如，全體正偶數按從小到大的順序構成數列 2，4，6，?，2 n，?，這個數列還可以用列表和圖象分別表示為

總之：數列概念的要求比過去高，用圖形的變化描述數列，把圖形的幾何結構量化。

（二）用函數的觀點進行等差數列的教學 關于等差數列定義的教學

給出一些等差數列的例子，讓學生從項與項關系的角度去觀察、歸納、概括得等差數列的定義.在這一段的教學中，一定要重視歸納的過程，這是學生能理解等差數列的所必須的，不要一筆帶過！研究數列的一個很重要的方法是：從整體上看數列，研究數列中的項與項之間的關系

引入：（2004 北京卷）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.已知數列

是等和數列，且a1=2，公和為 5，那么 a18的值為

從定義的數學表達式：

得： 表明從第二項起，等差數列的任意項都可以表示為它的前一項與公差的和 , 因此，等差數列的任意項也就應該可以用首項和公差來表示.2．等差數列通項與一次函數 得到結論： 是等差數列

這樣，由于公差不為零的等差數列的每一項an是關于項數 n 的一次函數式 于是可以利用一次函數的性質來認識等差數列

例如，理解為什么.根據一次函數的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數列 由斜率的計算方法）3．等差數列的性質，它的含義是什么呢？（可以適當拓展到直線

表面看是兩項之和相等，從對應的項數之間又是一種什么關系呢？ 由此歸納得出：

使用等差數列的性質

注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不成立。如

.時要，有等差中項的定義是針對三個數的，即如果 x，A，y組成等差數列，則 A叫做 x，y的等差中項.從等差數列的整體看： a1，a2，a3，?，an，?，從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項.推廣：從第二項起，每一項都是到它距離相等的兩項的等差中項，即與數列中的任一項“等距離”的兩項之和等于該項的 2 倍.這個性質體現的是數列的對稱性，這種對稱性是由項數之間的關系決定的.例題：

（三）把握等差數列的前 n項和公式的教學實質 1 ．等差數列的前 n項和公式的教學實質

有些教師在教學中利用“梯形鋼管堆的計數”“梯形面積公式”等模型來體現數形結合，認為“倒序求和”是等差數列前 項和公式這一內容蘊含的思想方法。因此，把基礎定位在要讓學生掌握求和公式及其變式，學會“倒序求和”的思想方法。

其實，“倒序求和”只是為避免對項數 n進行奇偶討論而引入的一個技巧，并不是什么思想方法。基礎性表現在幾個層次： 用等差數列的“基本量”

；

用等差數列的性質“等差數列”，將不同數求和化歸為相同數求和，從數量關系上看是利用了“平均數”概念； 更進一步地，為了體現從概念出發思考和解決問題的思想，利用等差數列的概念和通項公式求

教學設計：

引入高斯故事，歸納方法本質。，所以實質就是從“高斯的故事”引入；歸納“高斯方法”的本質，即實質是利用，將不同數化為相同數求和；

探究求值方法，引出分類討論 用這一方法求的值，引出需要分 n為奇數、偶數討論的問題，并

求出和；過渡到利用歸納思想方法，提升解題技巧

求等差數列前 n項和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引導學生經歷從特殊到一般的歸納過程，從中領悟“化歸”的思想方法的思路。

教學中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在討論 n的奇偶性而得出求和公式后，再讓學生思考“能否想個辦法避免討論”，把公式

變形為，再聯系性質得到。

應把等差數列前 項和這節課看成是等差數列概念、性質的應用課。這一節課的教學，重要的是培養學生從基本概念、基本原理出發思考問題的習慣。具體教學時應明確任務（即用基本量）的基礎上，引導學生從基本性質、通項公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”中得到“倒序求和”。2.公式的推導 ．從函數的觀點來認識 Sn

首項為 a1、公差為 d 的等差數列前 n 項和的公式可以寫為：

即當 時，Sn是 n 的二次函數式，于是可以運用二次函數的觀點和方法來認識求等差數列前 n 項和的問題 如可以根據二次函數的圖象了解 Sn的增減變化、極值等情況 ．通過 Sn的有關問題進一步認識等差數列的結構特征

本題給出了等差數列前 6 項的和，應該關注最后六項的和，利用等差數列的性質和前 n項和公式解決問題。要求學生對等差數列前 n項和概念要有深刻理解。例 2 等差數列 的公差為 d，前 n項和為 Sn，當首項 a1和 d變化時，a2+a8+a11是一個定值，則下列各數中也為定值的是（C）

本題利用整體代換求解，體現了整體代換的思想。

（四）典型例題的作用及教學

所以，滿足不等式組的正整數 n的取值只能是 8，9.（五）數列研究的幾個基本問題 1 ．關注 an與 Sn

（六）數學歸納法的教學定位 1 ．數學歸納法教學的重點和難點 重 點

（1）初步理解數學歸納法的原理.（2）明確用數學歸納法證明命題的兩個步驟.（3）初步會用數學歸納法證明簡單的與正整數有關的恒等式.難 點

（1）對數學歸納法原理的理解，即理解數學歸納法證題的嚴密性與有效性.（2）假設的利用，即如何利用假設證明當 n=k+1 時結論正確.2 ．數學歸納法原理形成的教學定位

由于數學歸納法原理的高度的抽象性，學生在學習時，往往限于掌握了一些應用數學歸納法的技巧，而不能真正理解它的意義.因此學習停留在單純的模仿之中.所以原理的形成過程的教學，既是本節課的重點，也是難點.教師要組織形象、生動、與所學內容密切相關的素材，作為數學歸納法原理產生的背景，以激發學生濃厚的學習興趣，幫助、引導學生從中感悟其蘊含的數學思想，最終產生遷移效果.抽象出數學歸納法的原理，如何通過探究順利實現遷移抽象的目標，就成了本節課能否成功的關鍵.有些教師對數學歸納法原理形成過程的教學不夠重視，表現在有的教師沒有安排實驗探究，急于向學生展示一種思維“模式”和“套路”，接著通過大量的例題、習題進行強化；有的教師雖然安排了實驗，但也是一帶而過，很快抽象出了數學歸納法原理，這只能是教師的“成果”，而不是學生的成果，仍然擺脫不了生硬灌輸這種教學模式的影子；甚至有的教師將相當多的時間和精力花在舉例說明“不完全歸納法”的缺陷上，這顯然偏離了本節課的主題與核心.“多米諾骨牌實驗”的教學定位

本節課所需的“引例”，形式豐富多樣，教師用的最多的是“多米諾骨牌實驗”，因為這幾乎是所有學生小時候都玩過的一種游戲，貼近學生的生活實際，具有一種無形的親近感。同時“多米諾骨牌實驗”以簡便的形式蘊含了數學歸納法的深刻原理，因而成為這節課的典型素材.問題是如何正確認識，科學定位“多米諾骨牌實驗”？在實驗的方式上，“多米諾骨牌實驗”應從不同角度多次進行，每次實驗都要有不同的目的，都要引發學生不同的思考、探究，讓學生既要有實驗成功的體驗，又要有實驗失敗的反思；而多次的實驗又能形成一個有機的整體，當將每次實驗的體驗和反思糅合在一起后，數學歸納法的內在原理就扎根于學生的心中了。從學生的基礎來看，學生用原有的知識結構同化數學歸納法存在著數學知識和邏輯知識上的準備不足，需要具體的實例幫助；從學生的認知規律來看認知抽象的事物應盡可能將其具體化、形象化，同時，對抽象事物本質的認識不能一步到位，應該由淺入深、由表及里、正反對比，方能凸顯本質。

“多米諾骨牌實驗”的功能應該包含兩個層次：一是將實驗轉化為關于正整數的命題，即“第一塊骨牌倒下”對應“當 n取第一個正整數 n0時命題成立”，“第二塊骨牌倒下”對應“當 n取第一個正整數 n0+1時命題成立”，?，“所有的骨牌都倒下（即游戲成功）”對應“命題對從 n0開始的所有正整數都成立”，若“第“若

塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌跟著倒下”對應時命題成立，則 n=K+1時命題也一定成立”。

二是將游戲轉化為具體的數學問題，引導學生通過解決具體的數學問題進一步體驗數學歸納法的思想，并從中感受到成功的喜悅，然后在此基礎上才能推廣到一般命題，抽象概括，得到數學歸納法原理。這樣學生才能夠切實掌握數學歸納法原理，本節課的難點才能夠得到有效突破。“多米諾骨牌實驗”的教學設計 三次實驗

實驗 1 ：用手推倒 1 號骨牌，然后 2 號骨牌，3 號骨牌，?，緊跟著全部倒下，讓學生討論為什么會出現這種結果，在這個環節，學生對現象的本質的認識可能是比較模糊的，但必要的討論為下面顯現本質奠定了基礎。

實驗 2 ：課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距和實驗 1 相同，用手推倒 1 號骨牌，沒有推倒，然后 2 號骨牌，3 號骨牌，?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。這時教師讓學生對比實驗 1 和實驗 2，討論游戲失敗的原因，從而得到游戲成功的第一個必要條件，1 號骨牌必須被推倒。

實驗 3 ：課件展示動畫，在該實驗中，骨牌的間距出現分化，1 號骨牌與 2 號骨牌的間距拉開的足夠大，其他骨牌間距不變（同實驗 1），這是用手推倒了 1 號骨牌，但 2 號骨牌沒有倒下，3 號骨牌，4 號骨牌?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。同樣讓學生對比不同實驗及其結果，分析原因。這是學生得到的結論往往在具體骨牌上，即 1 號骨牌倒下，沒有帶動 2 號骨牌倒下導致了失敗，而學生對其中的任意性很難提煉出來。繼續下去，再將 2 號骨牌和 3 號骨牌 ,3 號骨牌和 4 號骨牌?，的間距拉開的足夠大，（每一次試驗只改變一個間距），重復實驗 3，如此反復幾次，學生不難悟出游戲成功的第二個必要條件，即第 k塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌倒下（這里暗示了無窮推理的合理性）。至此，用數學歸納法證明數學問題時，為何兩步缺一不可，便不言自明。兩次遷移：

骨牌游戲雖然有數學歸納法的影子，但畢竟不是數學歸納法原理本身，不能直接用來證明數學問題，這就需要將游戲遷移到數學問題中去。遷移 1 將骨牌游戲換成數學問題，提出問題：設等差數列 的首項為 a1，公差為 d，我們在前面推導其通項公式時，得到與正整數有關的無窮多等式：

要使這無窮多個等式都成立，你能否用數學語言概括上面游戲成功的兩個條件？然后讓學生獨立思考、合作討論、得到（1）第一個等式成立（即當 n=1成立）（2）假設第個等式成立，一定能推出第k+1個等式也成立。這樣就實現了由游戲向原理的第一次遷移。

遷移 2 教師請同學就等差數列通項公式問題具體嘗試，是否能做到這兩步？最后將無窮多個等式統一為

。至此，由游戲向原理的第二次遷移順利完成。數學歸納法原理的得出已經是水到渠成。（1）歸納奠基（2）歸納遞推

從多米諾骨牌實驗到數學歸納法原理，清晰地反映了生活問題 — 數學問題 — 數學形式化的發展軌跡。在對實驗的探究過程中，學生經歷了成功與失敗的種種體驗，經歷了將生活語言轉化為數學語言的過程，經歷了將生活中蘊含的原理轉化為數學原理的過程。由于始終堅持在學生的“最近發展區”內設置問題情境，注重層層遞進，避免一步到位，因而學生能夠積極思考。樂于交流討論，不斷體驗到成功的快樂，從而順利地建立了新舊知識及其本質之間的聯系。

學生通過數列一章內容和其它相關內容的學習，已經初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數學問題，猜想或發現數學規律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹的科學的論證方法─數學歸納法。

三、學生學習目標的檢測

（一）課程標準與高考對數列內容的要求

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型．學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題．

（1）數列的概念和簡單表示法

通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數．（2）等差數列、等比數列

①通過實例，理解等差數列、等比數列的概念．

②探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前 n 項和的公式．

③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.④體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系． 因此教師在檢測中要注意 ．等差數列和等比數列有著廣泛的應用，教學中應重視通過具體實例（如教育貸款、購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等），使學生理解這兩種數列模型的作用，培養學生從實際問題中抽象出數列模型的能力． ．在數列的教學中，應保證基本技能的訓練，引導學生通過必要的練習，掌握數列中各量之間的基本關系．但訓練要控制難度和復雜程度．

（二）典型題目分析

本題涉及到等差數列與等比數列的基本知識，涉及到求公比的問題，應該注意對公比q的討論，這一點學生往往容易忽略。

本題的第一問涉及到判斷數列是否是等比數列的問題，通過解決本題，教師應該讓學生掌握證明等比數列的方法，第二問是數列求和問題，教師應該讓學生掌握根據已知條件選擇恰當的求和方法。

此題為 1996 年全國高考文史類數學試題第（21）題，試卷中不少考生的解法同錯誤解法，根據評分標準而痛失 2 分，因此在檢測中要加強這方面的訓練。

第三篇：《多元智能教與學的策略》讀后感

《多元智能教與學的策略》讀后感

細讀了《多元智能教與學的策略》一書，本書的宗旨在于探討如何構建一個開放的教育系統，使人的才能得以充分地、盡性地發展。本書是專為教育工作者，尤其是中小學教師撰寫的。多元智能理論是由美國哈佛大學的加德納教授提出的，多元智能理論提出共有八種智能，即語言智能、邏輯—數學智能、空間智能、身體—運動智能、音樂智能、人際關系智能、自我認識智能和自然觀察者智能。加德納教授認為：一方面，智能不是一種能力而是一組能力；另一方面，智能不是以整合的方式存在，而是以相互獨立的方式存在的。并將這些理論與中小學教育教學實驗密切結合起來，為教師提供多元智能理論在教育情境中的實踐方法，為教師的教學活動提供了嶄新的視角。多元智能理論建議不論在哪種情況下，沒有一種對所有學生都適合的好方法。所有的孩子在八項智能中有不同的傾向，所以任何一組特定的方法可能對某些孩子很成功，但對另一些孩子卻不一定奏效。因此，教師要因材施教隨時變換教學方法以達到更佳的教學效果。加德納的多元智能理論認為智能是發展的，是可以培養的，而且在許多方面都能達到比較高的水平。這就給了很多人希望，特別是那些在傳統智力理論看來沒有優勢的人。加德納關注的正是這些人。多元智能理論使老師看到了學生們的多種潛能，增強了我們對每一個人接受教育的可能性的信心。

多元智能理論對我的教育觀念的影響是極其明顯的，這一理論給了我一個新的視角和改進教學的武器。我是教英語的，這一理論使我對英語學困生問題的看法發生了很大的轉變，也使我在轉化英語學困生方面看到了希望。我應該在多元智能理論視角下重新看待英語學困生的問題，并且以多元智能為理論依據，制定確實可行的方法指導幫助他們，使他們樹立學習的信心，走出學習的低谷

多元智能理論在轉化英語學困生方面是可行的。英語新課程標準指出英語課程面向全體學生，注重素質教育；特別強調要關注每個學生的情感，激發他們學習英語的興趣，幫助他們建立學習的成就感和自信心。按照英語課程標準的理念，英語教學也應面向全體學生，尤其對于學困生，更需要老師的關心和教育，每一位老師應該不要輕言‘放棄’。這一目標與多元智能理論的教育目標不謀而合。多元智能在尊重學生個體差異的同時，強調后天環境和教育對學生的影響。教育者的任務就是，認識并接受每個人智能不均衡發展的事實，幫助每一位學生發揮他們的優勢智能的同時，挖掘他們自身的潛能，達到全面發展的目的。

我將多元智能理論在實際的教學中運用。我對班級中的英語學困生的學習動機、習慣和家庭狀況等基本情況進行調查，同時通過加德納多元智能量表對他們進行檢測，把學生測試的選項鍵入量表,統計每一位被測試者各種智能的得分數據，得分偏高的智能者被視為該智能傾向較強的學生。通過這項調查，找出每位學困生在八項智能中相對較強的智能，并記錄下來。結合觀察其在學校生活中的表現來驗證其在多元智能量表的結果。以前我只把學習困難程度和心理特征等作為分類的標準來分析學困生，通過《多元智能教與學的策略》的學習，按照學困生智能的分類，使我發現了每一個學生的天賦和優勢，從而找到教育的切入點。

多元智能理論認為：人的智能只有傾向不同和強弱的差別，而沒有智商高低之分；誰都不應該因為學生某幾項智能的暫時遲緩發展，就給這個學生定性為差生，給予他們不公正的待遇或者放棄對他們的幫助。在英語學科中，語言智能是占主導地位的，英語學科的學困生大部分語言智能不如其他智能發達。因此，英語老師要有寬廣的胸懷，充分尊重學生在智能發展上的差異，對每一位學生都抱以積極、樂觀的態度，對他們寄予熱切的期望，并樂于從多個角度來評價、觀察、接納他們。相信每一位學生都可以得到全面發展，只要我們能結合多元智能理論為他們創設恰當的時機。認識到這一點，老師 1 就不會再以傳統的唯一標準看待學困生，而是主動挖掘他們的優勢潛能，給予充分的欣賞和肯定，樹立學生的自尊和自信，這樣就能夠大大減少學困生在英語學習中的挫敗感。大部分學困生最后放棄學習的原因就是喪失了學習的信心，老師給予他們的真實的欣賞和肯定會幫助他們克服自卑感，樹立重新學習的信心。只有老師的教育觀轉變了才能促使學困生在學習觀念上的轉變。

我們所教的每一個學生，不可能八項智能都全面發展，但他總會有他的特長。那作為教師就應該發掘學生的智力潛能，使其潛能得到發展。對更多英語成績落后的學生，我們再也不能像以往那樣的嫌棄和冷淡，而是要傾注更多的熱情和耐心；應該站在多元的角度觀察學生，引導他們向著適合自己的方向發展。在進行教學設計的過程中，要把智能因素放在重要的位置。針對不同的智能提供可能的學習機會，課堂設計要融合更多的智能活動，調動學生的智能興奮點，發展優勢智能，帶動其弱勢智能。無論在何處學習，教師幫助學生發現至少一個強項并鼓勵學生去探尋自己的興趣所在，這對學生們來說是至關重要的。這些追求不僅培養了學習的興趣，也同樣刺激了學生掌握學科內容和進行創造發明時所需要的堅持性和毅力。

教師應該針對學困生的智能特點和學習中的困難環節進行方法指導。有很多學困生對英語詞匯學習感到非常困難，我會鼓勵他們充分發揮其智能優勢，尋找記憶詞匯的最佳方法。例如：李瑤同學視覺-空間智能較強，我和她一起分析和尋找適合的方法，最后決定采用制作個人詞典的方法，把重點詞匯寫在本子上，并配上插圖或圖標，使記憶單詞成為她的樂趣。張浩同學人際交往智能很強，我幫他找到了小組記憶單詞的方式，在小組中互相幫助，使他的詞匯學習不再乏味。當學生遇到學習困難時，老師應該用他們的愛心和多元智能的知識來幫助他們解決困難，為他們指明前進的道路。

多元智能所主張的教育評價應該是多渠道，采用多種形式、在多種不同的實際生活和學習情景下進行的。多元智能所欣賞的評價方法，將跨越物質條件的限制，最終找到解決問題和制造產品的能力。每一種智能的評價，都應該側重這種智能所要解決的問題。教師在設計評價活動時，應該打破傳統的評價體系，提供多元的方式，根據學困生的特點，引導學生選擇適合他們的評價活動，打開他們通向成功之門。提供靈活多樣的評價方式使學困生不再認為語言的學習高不可攀，他們能依照自身的優勢智能特點，選擇適當的方式完成任務，還會主動加深與其他同學間的交往，互相取長補短，發展優勢智能的同時語言智能也得到了更大的發展。

我們對英語學困生的態度，也應該從過去的盲目指責中走出來，以積極樂觀的態度接受每一個孩子的獨特性。我們相信人的智能高低關鍵在于教育者的開發，老師的職責就是通過科學的方法了解孩子，發現他們身上的閃光點。《多元智能教與學的策略》在最后一章中寫道：一個成功挑戰學生的教師會根據學生的努力提供反饋，而不會威脅到學生的自信心，并可以激發學生掌握自己的學習。他們培養冒險心并推崇成功。這種讓學生逐漸喜愛學習的老師，可以鼓勵學生帶著自信與好奇面對未來的世界。愿每一位老師都能夠培養學生尤其是學困生的自信心，激發他們極大的學習興趣，勇敢面對所有的困難。

第四篇：《多元智能的教與學的策略》讀后感

智能在很長一段時間內被人們狹隘地理解成語言和數學方面的能力。我們的傳統教育也十分強調語文和數學方面智能的表現，因此，有些學生在其他方面的智能在傳統的教育過程中不能得到表現和發展。這些學生往往被認為傳統的認為是學習有困難的。而多元智能理論就從根本上否定了這種人類聰明程度的界定。以下是我對多元智能的一些粗淺的認識。

首先，作為教師的我們應該清醒地認識到所面對的每一位學生都具備完整的智能光譜，人人都至少具有語言智能、邏輯——數學智能、空間智能、身體運動智能、音樂智能、人際關系智能、自我認識智能、自然觀察者智能等八種智能。那種把智能局限在語言與數學范圍內的傳統智能觀已經過時了。

其次，每個人的各種智能的潛力不同，在多種智能中，相對發展水平比較高的智能被稱之為優勢智能，每個人的優勢智能都是在學習和生活中發現和培養起來的，并在優勢智能方面會表現出更高的創造力，發現并培養學生的優勢智能是教育教學的重要任務。

第三，各種智能之間是可以相互促進的。有些學生的智能并不突現于語文和數學方面，他可能在運動、音樂或人際關系方面表現較為突出。這些學生往往會成為傳統教學中的學習困難學生或有問題行為的學生。教師可以利用學生這些表現突出的智能來促進其語文和數學智能的發展。那就要求教師有一雙善于發現學生優點的慧眼。如：在此書的第三章的例子：《波拉的舞蹈》中的教師，就成功地運用了波拉在舞蹈方面的才能（運動智能）幫助和促進了其在語文方面的智能。

又如：在數學教學中，我們經常運用動手操作這一形式。因為學生通過動手操作，能更積極而專心致志的解決問題。通過動手操作更容易有邏輯的思考，從而培養和促進學生的邏輯數學智能。

第四，各種智能的培養和發展需要有一個現實的、積極的、充滿刺激和交互作用的環境。因此，教師要在教學過程中設計安排呼喚和鍛煉學生多種智能的活動與場景，在單調的活動中難以有效培養學生的多種智能。比如，在數學教學中，游戲這一練習形式中就蘊涵了多種智能的活動。學生的思考過程是一種邏輯-數學思維的過程，學生間的合作和交流既是一種語言智能的表現也是人際關系智能的顯現，同時也可以看出學生不同的自我認識智能。

《多元智能教與學的策略》為教師的教育教學活動提供了嶄新的視角。教師可以運用學生的多元智能進行教育教學；同時教師可以將開發和培養學生的多元智能當做教育教學的重要目標之一。從而使學生的多元智能既作為手段得到呼喚和鍛煉，又作為目標得到培養和發展。

第五篇：多元智能教與學的策略讀后感

多元智能教與學的策略讀后感

“多元智力理論”是由美國哈佛大學心理學家加德納教授提出的，它倡導的是“學生主動參與”“探究發現”“交流合作”的學習，引起教師角色、教與學的方式的變革。加德納認為，每個人都具有九種智能的潛能，人們可以根據各自的智力傾向去發展這些智力。通過學習、領會“多元智力理論”，對“‘多元智力理論’如何有機滲透到課堂教學中”在我們日常教學活動中，應切實做到以下幾方面：

一、“積極樂觀”面向學生。加德納認為，每個學生的智力都有各自獨特的表現方式，也有自己的智力強項和學習風格。據此，我們應該樹立起這樣的學生觀：我們的學生不應該被區分為“好生”、“差生”，他們只是些各具自己智力特點、智力組合形式、學習類型、學習風格、發展方向不同的學生。為此，在我們的教學實踐中，“對所有的學生都抱有熱切的成長希望，充分尊重每一個學生的智力特點，使教學真正成為愉快教學、成功教學”是我們應該確定的努力方向，盡力做到——考慮學生之間的個別差異，在教育中使用不同的教學方法，采取分層教學的模式，使每一個學生都能擁有獲取成功體驗的機會，并將自己的成功敢于向他人展示，這樣就能使不同的學生都可以得到最恰當的教育，每個學生都可以得到最大限度的發展。

二、“因材施教”實施教學。由于每個學生的智力都是多元的，其作用方式也是有差異的。傳統教育只重視語言智力和數理邏輯智力方面的內容的選擇，對其他智力方面的材料則排斥在教學內容之外，造成教學內容的狹窄化。而特別是當今這個信息化、多元化社會要求個體智力的全面發展和個性才能的充分展示因此，要培養能夠適應現代社會要求的人，就必須對傳統的教學內容進行改革、篩選，使之能夠體現人類智力的多元化、生活化。教師要善于針對不同智力特點的學生，尤其是要根據學生智力結構中的優勢智力，采用多元化的教學模式和教學方式，使不同的學生都能得到最好的發展。

三、“有效創設”教學情境。“情境性教學”也是加德納非常強調的，他強調智力是在某一特定文化或特定環境中的能有效表現。他認為，理解智力不能脫離學習者所持的文化，只有在社會活動或社會實踐中體現出來的能力才是真正意義上的智力。智力的培養不僅要通過人與人之間的交互作用，而且還要通過人與環境的交互作用。在情境教學中，他非常重視“項目學習”，他認為這種學習方式有利于調動學生學習的主動性，有利于使學習與生活實際相聯系，有利于學生廣泛運用各種智力、發展各種智力。有效的問題情境之所以能調動學生的思維積極性，是因為在問題情境中，新的需要與原有的數學水平之間產生了認知沖突，使學生的求知心理和教材內容之間形成了一種“不協調”，把學生引入與問題有關的情境中去，進而誘發和促進學生積極思維。有效的問題情境，能改進數學知識教學的呈現方式，使學生的自主探索、動手實踐、合作交流活動成為可能，從而改變學生的學習方式。學習方式的改變具有極其重要的意義，這是因為學習方式的轉變將會牽引出思維方式、生活方式、生存方式的轉變。學生的自主性、獨立性、能動性和創造性將因此得到張揚，學生將成為學習和教育的主人。

四、“恰當選擇”教學策略。“多元智力理論”特別強調教學應該重視學生智力的差異性，教師的教學策略、教學方法不僅要根據不同的教學內容而不同，而且要根據不同的教學領域、不同的教學情境而有所不同；每一個體都有相對優勢的智力領域，這是個體區別于他人的關鍵領域，當然每一個個體也有其弱勢的領域。據此，我們的教學就應該充分尊重每個學生的優勢智力特點，努力挖掘學生的特殊的巨大潛力，進行卓有成效的個性化教育，同時，我們還應該幫助每個學生認識自己的優勢智力領域和弱勢智力領域及其相互關系，并以此為切入點，把優勢智力領域的特點遷移到弱勢智力領域中去，使其優勢智力領域與弱勢智力領域相得益彰，最終使其智力獲得最佳的發展。

總之，多元智力理論為當前的教學改革提供了許多新的啟示，為我們樹立新的教學理念，促進新一輪基礎教育課程改革提供了許多積極、有益的參考框架。