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關于謝國芳先生有獎征求平面幾何證明題的證明

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第一篇:關于謝國芳先生有獎征求平面幾何證明題的證明

關于謝國芳先生有獎征求平面幾何證明題的證明

證明:

為了區別于三角形ABC外接圓的半徑R,我們特意將原題中的點R改為S,如上圖所示。

我們的目標是證明小圓I就是點P在圓O上任意位置時所作三角形PQS的內切圓,即證明:QI平分角PQS。

我們作直線PI,則它必定交圓O于異于點P的另一點D;我們再作直線OI,則它必定交圓O于兩點,我們記為E和F,如上圖所示,則IE=R+OI,IF=R-OI。

連結QD和SD, 記∠QPD=α,根據所作,PI平分角QPS,所以有∠SPD=∠QPD=α,記 ∠PQI=β, ∠SQI=γ,則由PQDS四點共圓知:∠DQS=∠SPD =α,所以,∠DQI=∠DQS +∠SQI=α+γ,又因為∠DIQ是ΔPQI的一個外角,所以有∠DIQ=∠QPD+∠PQI=α+β

下面的目標是證明QI平分角PQS,即β=γ,也就是證明ID=QD顯然,由正弦定理,QD=2Rsinα

下面的目標是證明ID=2Rsinα

因為EF和AD都是圓O的弦,并且兩弦相交于點I

所以有:IP*ID=IE*IF,而IP=

即: ID?GIr?,r為圓I的半徑。sin?sin?r22?(R?OI)*(R?OI)?R?OI,sin?

而由歐拉公式,有:OI^2=R(R-2r)所以ID?r22?(R?OI)*(R?OI)?R?OI?2Rr sin?

即:ID?2Rsin?

所以有:ID=QD

所以有:α+β=α+γ

所以有:QI平分角PQS

所以有:小圓I就是三角形PQS的內切圓

所以有:QS與小圓I相切

湖南省沅江市第一中學王習波證明于2012年12月15日

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