第一篇：關于謝國芳先生有獎征求平面幾何證明題的證明

關于謝國芳先生有獎征求平面幾何證明題的證明

證明：

為了區別于三角形ABC外接圓的半徑R，我們特意將原題中的點R改為S,如上圖所示。

我們的目標是證明小圓I就是點P在圓O上任意位置時所作三角形PQS的內切圓，即證明：QI平分角PQS。

我們作直線PI,則它必定交圓O于異于點P的另一點D；我們再作直線OI,則它必定交圓O于兩點，我們記為E和F，如上圖所示，則IE＝R+OI，IF＝R-OI。

連結QD和SD, 記∠QPD=α,根據所作，PI平分角QPS,所以有∠SPD=∠QPD=α，記 ∠PQI=β, ∠SQI=γ，則由PQDS四點共圓知：∠DQS=∠SPD =α,所以，∠DQI=∠DQS +∠SQI=α+γ，又因為∠DIQ是ΔPQI的一個外角，所以有∠DIQ＝∠QPD+∠PQI＝α+β

下面的目標是證明QI平分角PQS，即β＝γ，也就是證明ID=QD顯然，由正弦定理，QD＝2Rsinα

下面的目標是證明ID=2Rsinα

因為EF和AD都是圓O的弦，并且兩弦相交于點I

所以有：IP*ID＝IE*IF，而IP=

即： ID?GIr?，r為圓I的半徑。sin?sin?r22?(R?OI)*(R?OI)?R?OI，sin?

而由歐拉公式，有：OI^2=R(R-2r)所以ID?r22?(R?OI)*(R?OI)?R?OI?2Rr sin?

即：ID?2Rsin?

所以有：ID=QD

所以有：α+β＝α+γ

所以有：QI平分角PQS

所以有：小圓I就是三角形PQS的內切圓

所以有：QS與小圓I相切

湖南省沅江市第一中學王習波證明于2012年12月15日