第一篇：證明Mahalanobis距離符合距離三公理,即

1． 證明Mahalanobis距離符合距離三公理，即

（1）r?a,b??r?b,a?；

（2）當且僅當a?b時，r?a,b??0；

（3）r?a,c??r?a,b??r?b,c?。

2． 設P??1??P??2?,?1??2,?1?k?2，試問按最小錯誤率的貝葉斯決策，其分界面是

否為線性。

??1TT3． 二維正態分布?1???1,0?,?2??1,0?，?1??1??21??12?,????2?11?????21???2，試求其決?1??

策域劃分。

4．證明正態等協方差條件下，Fisher線性判據等價于貝葉斯決策。

5．有七個二維向量分屬兩類，其中屬?1的是(1,0),(0,1)及(0,-1)；屬?2的有(0,0),(0,2),(0,-2),(-2,0)，試由上述樣本集畫出最近鄰法決策面。

kk?26．試以k=3證明PN???e|X??PN???e|X?。

7．回答有關剪輯近鄰法的下列問題

（1）試畫出剪輯近鄰法的算法流程圖；

（2）設剪輯前的樣本概率密度函數為P??i|x?,i?1,2，試問經剪輯近鄰法處理后，各點的概率密度數Q??i|x?,i?1,2與原概率密度的關系；

（3）試分析剪輯近鄰法在樣本數據很大時，錯分率可進一步減小的原因；

（4）計算使用剪輯后樣本的漸近錯誤率。

第二篇：證明公理三的推論三

證明公理三的推論三

1.平面通常用一個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關系，例如：a)A∈l—點A在直線l上;Aα—點A不在平面α內;b)lα—直線l在平面α內;c)aα—直線a不在平面α內;d)l∩m=A—直線l與直線m相交于A點;e)α∩l=A—平面α與直線l交于A點;f)α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.2.平面的基本性質公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3經過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據上面的公理，可得以下推論.推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面.3.空間線面的位置關系共面平行—沒有公共點(1)直線與直線相交—有且只有一個公共點異面(既不平行，又不相交)直線在平面內—有無數個公共點(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)平行—沒有公共點

存在性：

在每一條直線上都任意取一點(不是交點),不在同一直線上的三個點有一個平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直線上的三個點只有一個平面(公理3)。

綜上所述，兩條相交的直線確定一個平面。

1)三點確定一個平面

2)在一條直線A上取一個點E，與另一條直線B可確定一個平面C。

3)在A上任取一點D(不與E重合)，證明D與B確定的平面與C重合。

否則可導致A，B不平行。

兩點定一條直線

三點(不直線)定一個平面

兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個點

另一條中找隨便一個點，這個點在第一條直線外

所以不在一直線上的三個點可確定一個平面

第三篇：向量與點到直線的距離公式的證明

向量與點到直線的距離公式的證明

安金龍

（蘇州工業園區

這樣處理，既避開了分類討論，又體現了平面向量的工具性。當然，解析幾何作為一個內涵豐富的數學分支，它和其它數學知識也會有密切的聯系，下面筆者列舉另外幾種推導方法： 2用習題結論巧推點到直線距離公式

老教材代數課本（人教版，下冊.必修）第15頁習題十五第6題：

已知：

ad?,求證：（bc

?（a)

2b?2)c?(d當cad?,b即c?，a)bd

ab

?時，有（a2?b2（）c2?d2)?（ac?bd)2.cd

上式實為柯西不等式的最簡形式，很容易證明.故略去。下面給出點到直線的距離公式的最簡推導。

已知點P(x0,y0)和直線l:Ax?By?C?0,則點到直線的距離即為點P到直線l上任意點所連結的線段中的最短線段.設M

?x,y?為直線l上任意一點，點P到直線l的距離為d，則：

(Ax?Ax0)2(By?By0)2

PM?PM??22

AB2

(By?By0)222222(Ax?Ax0)?(A?B)PM?(A?B)[?] 22

AB

?(Ax?Ax0?By?By0)2＝(?Ax0?By0?

C)2

AB

??d?PMmin?，當且僅當時等號成立。

x?x0y?y03用直線的參數方程推導點到直線距離公式

證明：當A?B?0時易驗證公式成立，下證A?B?0時的情形：

（1）B>0時,過點P作直線L的垂線，垂足為H，則直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t0??(t為參數）?

?y?y?t0

??

將直線PH的參數方程代入直線L的方程得：

A（?x0?t+B（?y0?t??x，解之得點H

對應的參數t

?C?0

?PH?d?PH?

（2）當B時，直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t?0??(t為參數）

?

?y?y?t0

??

可得?PH

?

?d?PH?

4構造引理推導點到直線距離公式

引理：如圖1，直角三角形MPN中，?MPN?90，MP?a,NP?b,則點P到直線MN的距離d滿足

?

a 圖

1N

??.222

dab

證明：由直角三角形的面積公式得：

?MP?NP??MN?d，22

11111即ab?，所以2?2?2.d，即?

dab2dab

下面就用引理證明點P?x0,y0?到直線l：Ax?By?C?0的距d?

證明：當0時易證公式成立.當A?B?0時，如圖2所示,過點

P?x0,y0?分別作平行于x軸,y軸的兩條直線,分別交直線l：Ax?By?C?0

By?CAx?C于點M(-,y0)、N(x0,-)，則AB

B0?yC

M?P0?,AAx?C

NP?y0?0.?MP?NP,?在RT?MPN中，B

點P到直線MN的距離d滿足：

1111

1??＝?22

222dMPNP(x0?0)(y

0?0)BA2?B2,所以d? ＝2(Ax0?By0?C)

參考文獻：

[1] 全日制普通高級中學教科書（人教版）（試驗修訂本.必修）第二冊（上）第55～56頁.[2] 王國平.中學生數學.用習題結論巧推點線距離公式2001年1月上 [3] 張乃貴、段萍中學生數學.點到直線的距離公式的又一證明.2001年1月上

[4] 陳志新.點到直線距離公式的又一證法.中學生數學.2001年6月上

離為

：

第四篇：奧運距離鐵三賽的基礎訓練計劃

奧運距離鐵三賽的基礎訓練計劃

第I階段：起始的4-6周

你的最大挑戰在于堅持。你需要每周至少訓練4天，并且有些天里你將共同完成適量的游泳加跑步或騎車。剛開始時，你的訓練應保持較慢的耐力速度。（耐力速度相當于最大努力的40-50%，即乳酸閾心率的70-90%，以能同時保持交談能力為宜。）要忍住想快一些的沖動，你在為身體積累耐力的基礎。階段性目標：提高運動技能與耐力。

>游泳

（1）可以先從泳池中撲騰開始，不過一定要想辦法獲得些基本的技術指導。（參考下文“別游太猛”。）至少應該做一些基礎的打腿練習，并將每次游泳分為技巧與耐力訓練兩部分。（2）利用浮板和腳蹼學習良好的打腿技巧。（3）對培養水感來說，游泳的頻率遠比距離重要。至少每周游兩次各30分鐘。

>騎行

（1）至少每周以耐力速度騎兩次各1小時。如果你比較有基礎，爭取一次騎90分鐘或更長，另一次重點訓練速度或爆發力。（參見第二階段。）（2）練習正確騎行姿勢：蹬踏至頂點時足跟應高于腳趾；蹬踏至底部時則應低于腳趾。全程流暢蹬踏而非只是上下踩。軀干保持穩定，脊柱下壓。

>跑步

（1）跑步練習將與騎行練習近平行。一開始也是每周兩次耐力慢跑（注意跑步的心率應高于騎行，由于跑步需要更多肌肉參與有氧運動）。如果你基礎很好，可以試著跑一小時。不過頭三周里每次跑30至45分鐘就好。關鍵保證訓練的時長，而非距離。（2）可能的話，盡量在土路或其它較軟的路面跑步以保護膝蓋。（3）良好的跑步姿勢：腰背挺直，步幅均衡，落腳點位于身體重心正下方。

別游太猛

對于多數鐵三選手來說，游泳最具難度。不過它占整個賽程的時間一般不超過五分之一。這首先意味著游泳出色的選手幾乎不用太多練習。其次對其他人而言，下面是如何游完1500米的建議：1.先找一名專業游泳教練。游泳技術關乎成敗。2.別信所謂游泳時不打腿可以為后面的騎行和跑步省力。持續穩定的雙腿打水是自由泳的基礎。3.學會兩側交替呼吸（波浪可來自任何方向），并確保呼吸通暢。4.如果游起來不特別累，那就對了。5.泳池里輕松自如不能確保公開水域的游泳技術，一定要提前適應場地及連體比賽服。

>專業煉鐵心得

游泳開始的場面總是很混亂。最好在出發人群的兩側入水——這樣水不會渾并且不必與他人肢體接觸。記住你不是唯一緊張的人。我也緊張，而且從1986年起我就參加鐵人三項賽了。槍響前盡量放松，以微笑開始比賽。你會比你想象的要準備充分。

——亨特?坎普爾（Hunter Kemper），北京奧運鐵三選手

第II階段：下一個4-6周

你已經打造好耐力基礎。現在要以實際比賽甚至更長的距離訓練，并開始發展速度和爆發力。這一階段強度較大——你將每周訓練5至6天。高強度訓練后總會跟一天低強度修整。力不從心時亦可采用耐力速度。階段性目標：耐力，爆發力和速度。

>游泳

（1）保持技巧練習，同時將水中訓練時間的全姿游泳部分增至65-75%。（2）用自我舒適度感知游泳的進步，并逐漸加長不間歇游的距離。

>騎行

（1）每周保證至少一次長距離耐力騎行（最好在周末），最少連續兩小時。（2）用爬坡鍛煉爆發力。在一小時騎行中，用中間的40分鐘連續攻坡——以高踏頻為主交替采用不同齒輪比。心率采用乳酸閾水平的90%以上。（3）速度訓練：在平坦路段以接近乳酸閾水平騎行3至5分鐘，然后以耐力速度整理3至5分鐘。重復此間歇訓練40至50分鐘。（4）每次訓練前后至少用十分鐘輕松騎行作為熱身和放松。

>跑步

（1）每周至少一次連續慢跑1小時。（2）每周的另一兩次跑步訓練中采用爆發力或速度練習。爆發力練習包括6至8次45秒鐘常速跑坡，然后慢跑下坡至起跑處。速度練習包括在平坦路面以乳酸閾水平跑4至5次4分鐘間歇跑，每次之后是2分鐘慢跑。兩種練習之后都要有15分鐘慢跑整理放松。

>組合

（1）逐漸嘗試不同運動組合。以輕松騎行45分鐘加15分鐘慢跑開始體驗。（2）進階組合：10公里騎行+3公里跑+10公里騎行+3公里跑。（3）自由組合：跑到泳池游泳，出水后再去健身房練習動感單車——狂人由此誕生！

保證核心訓練

強悍的腰腹力量能保持劃水效率，騎行穩定及跑步姿勢。那么你需要專門進行軀干力量訓練嗎？簡單易行的辦法是：省下每次跑步或騎行的10分鐘做仰臥卷腹（3組每組15次）和俯臥挺身（3組每組30至60秒）。

>專業煉鐵心得

別低估周末長途騎行的功效。即使只是2至3小時騎行也會對你的力量與耐力增長大有好處。那天不用多考慮速度或是間歇訓練。——蒂姆?迪布姆（Tim DeBoom），兩屆夏威夷鐵人世界冠軍

第III階段：最后的4-6周

現在到了提高速度與爆發力而沖刺的時候了。而這也意味著你需要更多的時間恢復，所以要適當縮短耐力訓練。尤其賽前的一周主要是補水和修整。階段性目標：準備比賽

>游泳

（1）將技巧練習縮短至水中訓練時間的10-15%，逐漸延長連續游泳至1500米，心里有底對比賽至關重要。（2）游泳時可手戴劃水板以及腿夾浮板，用于增強力量與速度。（3）比賽時如果用防濕泳衣（wetsuit）一定要提前試用兩次——適應額外浮力及不同的肌肉配合。如有可能，在一座湖里適應公開水域可能面臨的波浪，暗流以及漂浮物等可變因素。

>騎行

（1）如果你打算采用空氣動力式騎行姿勢, 最好盡早完成賽車改裝，以提前適應不同操控。（2）增大爆發力訓練強度。爬坡時加大齒輪比，并高于乳酸閾水平進行練習。（3）間歇訓練采用2至4分鐘高于乳酸閾水平，然后以耐力速度放松整理。

>跑步

（1）參照第II階段爆發力與速度訓練，將強度提升至乳酸閾水平以上，并適量增加間歇跑。（2）繼續保持耐力跑并將距離從比賽時的10公里基礎上增加2至3公里。

>組合（1）做一些與比賽實際長度及速度相同的兩項組合練習（2）在跑步之間夾入游泳或騎行（比如20分鐘跑+30分鐘游泳+20分鐘跑）。這讓你的雙腿在游泳或騎行時暫時調整。

修剪轉項時間

想在比賽中縮短10分鐘嗎？只需盡早規劃和練習轉項。1.比賽前到轉項區熟悉地形。弄清楚哪里能直接拿到換項袋。2.陳放裝備井然有序：頭盔倒置放在車把上，里面是墨鏡及騎行手套，鞋放在車子下方，用過的裝備存于車旁的包中。3.熟練掌握轉項流程，閉眼也能手到擒來。4.冷靜。游泳和自行車的最后瞬間在腦中準備好轉項。然后有條不紊地進行。

>專業煉鐵心得

鐵人三項是一項運動，而非三項組合。用“磚頭（brick）”練習來適應長途騎行后的跑步節奏。在騎行階段的最后一公里可站在腳蹬上提前拉伸腿部肌肉。——克里斯?米科馬克（Chris McCormack），2007年夏威夷鐵人世界冠軍

第五篇：等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高證明

等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高證明

例一：如圖所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一點,PD⊥AB于點D，PE⊥AC點E，若△ABC的面積為14。問：PD+PE的值是否確定？若能確定，是多少？若不能確定，請說明理由。

解：三角形ABC的面積為14，所以PD+PE的值為定值。

由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得

S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=1

41/2*8*(PD+PE)=14

PD+PE=14/4=3.5即 PD+PE=3.5

這道題得出的結論是：等腰三角形底邊上任一點到兩腰上的距離之和等于一腰上的高。結論雖簡單，我們又應當如何證明呢？

關于這道題的證明方法有很多種。

求證；等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。

這是一道常見的幾何證明問題，難度不大，但很經典，證明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意點D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC求證： DE＋DF＝BH

證法一：

連接AD

則△ABC的面積＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/

2而△ABC的面積＝BH*AC/2

所以：DE＋DF＝BH

即：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高

證法二：

作DG⊥BH，垂足為G

因為DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四邊形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因為AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因為GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因為BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

證法三：

提示：

過B作直線DF的垂線，垂足為M

運用全等三角形同樣可證

另外運用三角函數也能進行證明

如果D在BC或CB的延長線上，有下列結論：|DE－DF|＝BH

問題：這個問題的另外一個表達形式：將此結論推廣到等邊三角形：等邊三角形中任意一點到三邊的距離的和等于等邊三角形的一條高。證明的方法與上面的方法類似。這是兩條很有用的性質。

如果點在三角形外部，結論形式有所不同，道理是一樣的如圖，已知等邊三角形ABC和點P，設點P到三角形ABC三邊ABACBC(或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，三角形ABC的高為h。

解答提示：

如圖，過P作BC的平行線交AB、AC的延長線于G、H，作HQ⊥AG

先證明PD＋PE＝HQ

（見：）

而HQ＝AN，FP＝MN

所以PD＋PE－PF

＝AN－PF

＝AM＋MN－PF

＝AM

即h1＋h2－h3＝h

另外一個變式問題：

已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、P分別在邊AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分別為點E、F。

（1）當∠A＝30°時，求證：PE+PF＝BC

（2）當∠A≠30°（∠A＜∠ABC）時，試問以上結論是否依然正確？如果正確，請加以證明：如果不正確，請說明理由。

腰長5厘米 底邊長6厘米 p是底邊任意一點 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足為d e pd+pe=

解：

作底邊BC上的高AM，設腰上的高＝h，連接PA

因為AB＝AC＝5，BC＝6

所以BM＝CM＝

3所以根據勾股定理得AM＝

4因為S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝1

2所以h＝24/

5因為S△ABC＝S△ABP＋S△ACP

＝AB*PD/2＋AC*PE/2

所以5*PD/2＋5*PE/2＝12

所以PD＋PE＝24/5

如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩天邊長AB/BC分別為8和15，求點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和。

解：

設AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，連接OP 因為AB＝8，BC＝AD＝15

所以根據勾股定理得BD＝17

因為S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2

所以可得AE＝120/17

因為四邊形ABCD是矩形

所以OA＝OD

因為S△OAD＝S△OPA＋S△OPD

＝OA*PM/2＋OD*PN/2

＝（PM＋PN）*OD/2

S△OAD＝AE*OD/2

所以PM＋PN＝AE＝120/17