第一篇：弗賴登塔爾關于“數學化”的演講稿

弗賴登塔爾關于“數學化”的演講稿

弗賴登塔爾關于“數學化”的演講稿

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分類：教學理論《數學教育再探--在中國的講學》 [荷蘭] 弗賴登塔爾

1.3 數學化 1.3.1術語

在討論了數學的前后關系和內外結構之后，我們再回過頭來把數學當成一種活動，來看看它的一個主要特征：數學化。是誰最先使用這個術語，用以描述根據數學家的需要和興趣整理現實性的這種過程呢？這種術語通常是先出現在非正式的談話和討論中，而后才出現在文獻著作里，因此沒有人能說出是誰的發明。不管怎么說，數學化是一個過程，只要現實世界在一系列因素的影響下進行著變化、延拓和深化，這個過程就在持續著，這些因素也包括數學，而且數學反過來被變化著的現實所吸收。

以前用的術語，諸如公理化、形式化、圖式化等也許是在數學化之前提出的，其中公理化也許是在數學的行文中出現得最早。公理和公式古已有之，盡管在歲月的長河中，“公理”（或“公設”）的意義及公式的形式有所改變.過去幾個世紀里，人們認為歐幾里得的幾何原本不是完美推導的典范，其原意也并非如此，看來今天有人仍這么認為。我們現在使用的公理體系這個術語，是一種現代思想，把它歸為古希臘人的功勞（雖然他們是先驅）是一種時代的錯誤。然而，重新組合某一領域的知識，以至于結論被當作出發點，以及相反地把已證明的性質作為定義來證明原始的定義--這種顛倒的構造是一種久遠的數學活動，它和古希臘數學一樣古老，或許更古老；盡管只是到了近代，人們才像熱衷于知識的組織和重組的古希臘人那樣，有意識地、有條理地、熱切地運用它。今天雨后春筍似的公理體系是人們試圖重新組織數學研究領域的結果。這種技術就叫公理化。它被現代的數學家深刻地理解和掌握。它早期顯著的例子是群。18世紀以來，數學家們遇到了集合到自身映射的問題，映射通常由一些不變性質去限制，從而導致去構造這種映射。這樣他們開始熟悉了變換的集合，在構造之下自動地滿足一些熟知的假設，這種假設是后來群所需要的。1854年凱萊（Cayley）用這些假設統一定義了這種（有限）的對象，他稱作群。然而，直到1870年這一新概念才被一些領頭創造的數學家們完全認可。之后又用到無限基的情況。在日常生活和符號語言中，公式是像公理一樣古老，甚或更古老的一種特殊形式。用日益有效的符號或符號法來改進語言表達是一個長期的過程，它首先涉及到數學題材，后來才影響到表述這種題材所用的語言。這種對語言的整理、修正和轉化的過程就叫做形式化。可以肯定，公理化可能會像公理一樣在現代數學中流行，他們只是一項活動過程中的精彩部分和最后的潤色，在這個過程中重點強調的是形式而不是內容。公式和形式化也同樣如此。公理來源于范例或一系列范例，而公理化則意味著總結熟練的范例。人們早已習慣于把經歷和行為示范性地推廣，從中抽象出定律和規則.形成與現實的體系相吻合的圖式。最后一步就是圖式化，它和公理化、形式化相對應，尤其是當考慮的是內容而不是抽象的形式或語言的時候。

上面一段解釋，通過與公理化、形式化、圖式化作類比，說明了數學化一詞的來源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的內容是屢見不鮮的，所以我才占一定的篇幅來說明它。我自己則堅持這個術語應該包括數學家的全部組織活動，不管它是用于數學的內容和表達，還是用于更通俗的直覺意義上，比如生活經驗，日常語言的表達。但是我們別忘了，在擴展的現實性和發展語言的復雜性中，“生活”和“日常生活”的個體的與環境的依賴性。1.3.2某些方面 建立模型 然而，一談到圖式化就有一種傾向，把“圖式”與形式化數學里的解題公式和步驟等問題等同起來。今天，在更廣泛的意義上說，“圖式”一詞似乎被更時興的“模型”所替代--這是一個很有價值的術語，然而不幸的是，由于人們的濫用和誤用而降低了其含義。我一直反對這樣做，至少在我看來是這樣的。數學總是被應用于自然和社會，然而長期以來，人們只是過多地考慮它的應用，而很少想到應用它的方法以及它為什么能用。記數實際上是由生活得來的常識，土地測量員的工作好像是說他們用的界釘和標桿就是幾何上的點和線，還有外幣兌換員，商人及藥劑師好像都在表明比例是自然界和社會的一個顯而易見的特征。甚至古巴比倫王國的天文學家很早就習慣于用線性內插或外插法，來試著數值化地描述天文現象，也就是用分段線性函數和鋸齒形函數的方法，后來的希臘人最終把它們變成測角函數。但是測角函數不會從他們仰望的天空里掉下來，其基本理論是天體運動應該是環形的。為了解釋這種假設和一些互相矛盾的現象，產生了一個我們現在稱之?quot;模型“的東西來描述天體的運動，這個模型包括了圓、本輪（epicycles）和外心的新發明，不管對它們進行幾何上還是數值上的處理都需要用到測角函數。這個模型持續了近兩千年。開普勒（Kepler）沒有給出新模型，而是提出了行星運動的三大數學定律，后來牛頓（Newton）由此得出了萬有引力理論的一系列結果。牛頓自己不肯設計簡單的機械模型來解釋地球引力。隨著時間的推移，物理學家們才勉強地接受地球引力的吸引本身就是一個模型，它超過了一般意義上的經驗，是第一個近代的模型，其意義僅亞于惠更斯（Huygens）的光的波動理論，歷史在不斷重復：根據19世紀的力學常識，人們提出了關于光傳播理論的一些彈性的模型，但由于研制惠更斯的波動理論的失敗，物理學家們不得不接受馬克斯韋爾（Maxwell）的光的電磁理論模型。建模是現代的產物，只是到了近代，人們才或多或少有意識地忽略了所有看起來不重要的干擾，把在模糊的自然界和環境中應用的數學濃縮成了精確的數學，是它們破壞了理想情況。長期以來，簡單的幾何學和代數學已足以滿足這種需要。但是什么是理想情況，什么又是不重要的干擾呢？伽利略（GaliIeo）首先給出了一個例子，說明了它們在特定含義下的區別：即勻速運動是理想情況，但又受到阻力的干擾，或像牛頓說的更一般意義上的外力干擾。這樣，這種方法就延續到了今天。即使有了精確的理論，也是經過簡化后才使用，以使其更接近于實際的過程：這樣后者就有可能用更好的逼近或者反饋模型提煉出來。這種了不起的理想化方法的最偉大的例子當屬達朗倍爾（d'Alembert）的繃緊的弦的振動問題：通過忽略弦線的曲度，他能把微分方程線性化，而方程一旦線性化以后問題就輕易地解決了。實際上，通過線性化的手法重建物理上的模型已成了應用數學的一般手段。在自然科學里，最早使用”模型“一詞也許是與眾所周知的太陽系模型相聯系的，它用一個機械裝置，（經過粗略簡化以后）給出了在引力作用下行星和月亮運動的相互作用：由于它只是一個模型，所以只考慮到運動學問題，而不牽涉天體運動的動力學問題：另外，由于實際的原因，代表天體的球形的半徑互相不成比例，和軌道大小相比也不成比例。還有人們熟知的盧瑟福－波耳（Rutherford-Bohr）原子模型，它把原子及其示意圖描述成一個小太陽系形狀，在可能的軌道上作一些奇特的限制模型的特征來自于軌道遵守的特定條件，以及關于從一個軌道向另一個軌道躍遷時的特定假設，和經典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的質子和中子像液體一樣被釋放出來--這種思想是簡單化模型的典型。另外一個典型是開放的宇宙體系的宇宙生成模型，它起初是對朝各個方向運動的星群的純運動學上的解釋。隨著時間的推移，由于加入動力學和基本粒子物理的許多特點而豐富起來，當然它仍被認為是宇宙進化的粗略的簡化模型。

這些都是理想化的模型，它們有的把數學的精確性引入到相對粗糙的物理現實中：或者是簡化現實，而心照不宣地承認現實要比這些稱為模型的東西復雜得多。奇怪的是，數學上最早使用”模型“一詞卻正好相反：用塑料、電線或紙板做的抽象幾何形狀的具體模型。如果我沒弄錯的話，弗里克斯·克萊因作為一個數學家，他收集了大量的幾何模型，同時也是首先把”模型“一詞用于數學中的人。這里是指非歐氏幾何在射影幾何里的映象的問題--這是凱萊的發明，克萊因闡釋為模型，用來把看起來很抽象的非歐氏幾何映射到射影幾何的框架里，后者看上去要比前者具體些。盡管不像石膏模型那樣顯而易見，這個模型實際上要比它的原象易于想象。克萊因的例子說明了公理體系中現代模型概念的根源：用一個合適的數學對象來明確形式公理中所暗含的東西.看起來就像用真實的內容來填充公理的形式。舉例來說，一個特殊的群或一般函數上的變換群可以作為一般意義上公理化定義的群的模型。還有歐氏空間，尤其是三維空間，可以作為公理化定義的線性空間或度量空間的模型。僅就具體化而言，可以超過純數學的范圍，考慮把物質的或僅僅是經驗型的空間作為公理化定義的某種原像的模型。

只是為了保持完整，我才提到了”模型“的這種應用，它和我們開始所說的模型正好相反。實際上，在這里的行文中，我們沒有考慮公理體系的模型，盡管它在基礎研究中被大量使用，而是考慮理想化意義上的模型。用這種方法，我們能夠簡化一些復雜的條件，它們太復雜而無法付諸實際，或者是僅僅能用一些特定的數學理論來對付它們。

因為我們的主題是建模，并把它作為數學化的一個方面，需要強調的是，在這里的行文中應包括一些真實的具體模型，像檢驗飛機模型的風洞，或流體動力學理論的實驗室模擬。換句話說，是用觀察結果而不是用數學來進行評價的一些模型，盡管建造它們用到的數學知識也許比得到一些不那么真實的模型用的更多。我看甚至還應該包括對這樣的真實模型的計算機模擬，它在進行評價時比模擬活動本身更少地依賴于數學。另外，我強烈反對給代數、微分、積分方程等體系貼上一?quot;模型”標簽的做法--數學模型--因為有人喜歡這么叫。根據我的術語觀，模型就是不可缺少的一種中介，用它把復雜的現實或理論來理想化或簡單化，從而更易于進行形式的數學處理。因此我不喜歡在行民主文中用數學模型一詞，它讓人誤以為數學是直接地用于環境中，或者幾乎如此：實際上只是當數學被緊緊地局限于周圍環境中才會發生這種情況。我之所以如此強調模型的中介作用，因為人們往往意識不到它是不可缺少的：很多情況下，數學公式像秘訣樣用于復雜的現實，而缺乏一種中介模型來檢驗它們的用場。

概率和統計就是特別突出的例子。在概率論里，盛簽用的容器還有其他的隨機裝置，就是模型，人們用它把世界一切看起來由偶然因素決定的事情數學化，這包括：同種植物間的授粉，某個種族間的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是由擲簽來決定的--當然有的合適，有的則不盡然。而概率在統計學上的應用也僅僅需要這么一個模型。然而，就我所知，在相關性和回歸系數的常規的一一或者應該說是例行的一一應用以及某些社會的特別是教育的研究中因素分析之間，還不存在模型。這些工具只是從其他科學里翻版過來的，在那里它們是在使用的時候有中介模型來驗證的。

再回過頭來看看，我意識到對模型的談論已超過了建模，而且使用了頗為通常意義下的術語；我猶豫這么久還沒接觸正題的原因.正是擔心這種情況發生。當然，我本應該讓讀者領略一系列合理化的模型，像諧振器、電力網、變換陣、傳播過程、游戲、引導裝置、人口動力學、排隊論等等。其中有些例子有很大的變化范圍，如果希望他們能很好地利用的話，當然值得讓學生們了解：另一方面，我把建模定義成理想化和簡單化一一不管我的定義多么地不精確，它還是切中了要害：把握某種（靜態或動態的）情境的要點，在豐富的相關情境中（我前面闡述過的）關注它們：并且隨著事物的進展，會有更加豐富一些的內容。那么，這就是我繼續考查數學化的其他方面的出發點。尋找本質

即在行文中找出哪些能表示成如下形式 ·在一種情境之內和交叉的情形 ·在一個問題之內和交叉的問題 ·在一個過程之內和交叉的過程 ·在一個組織之內和交叉的組織 ·在一個圖式之內和交叉的圖式 ·在一個算法之內和交叉的算法.·在一個結構之內和交叉的結構 ·在一個公式之內和交叉的公式

·在一個符號體系之內和交叉的符號體系 ·在一個公理體系之內和交叉的公理體系

為什么有這么多種“??和交叉的??”呢？因為找出一般的特征、相似、類比，同構才能夠行 ·概括

成為一種下意識的習慣或是多多少少有意識的行為。從一個簡單的 ·范例

不經意的經驗，并且只靠一些范例（盡管不是很多）來強化就能得出一般性，人們往往是不相信的。現在，·概括范例.是對

·舉例說明一般概念的顛倒。假如過分地說，這正是我稱為“違反教學法的顛倒”的一個例子，后文中還會牽涉到。然而，·示范性地探討未確定的一般性 是一種有價值的 ·啟發式活動

這和流行的啟發式教學有所不同，后者被認為是一種預先設置好的工具。當強調單一的范例的作用時，我突然想到一些新鮮的思維對象和運算，而對象和運算通過日常練習能夠程序化，并最終導致成為 ·合理化和捷徑 這就會導致 ·不斷發展的 組織化 圖示化 結構化

尤其考慮到一些拙劣的語言和符號，就會產生·不斷進步的 形式化 算法化 符號化

數學化一個十分重要的方面就是 ·反思自己的活動 從而促使

·改變看問題的角度 并伴隨著局部結果的 ·顛倒 和整體的 ·公理化

說重一些，這也是違反教學法的顛倒的一個例子。

1.3.3例子

1.在數軸上找出16和72的中間值！

據我觀察，孩子們把兩個點均勻地相向移動：開始一個一個單位地移，后來步子大一些，最多的每次移10個單位；（得出的）捷徑是把它們的差平均分，再把其中一半加到較小的數上，開一般術語來描述就是表達式a＋（b－a），通過代數運算有更一般的表達式（a＋b）。

在我說明把兩個數朝反向移動仍保持中間值不變以后，孩子們最后把較小的數變成O，同時把較大的數變成a＋b，這樣也能證明求中間值的一般表達式。

如果不僅僅局限于只是找到求兩個數的中間值的方法，還可以通過不斷改進的圖式化來逐步發展。為了找到這種圖式的一般性，一個范例看來就足夠了，即使擴大到整數域上也是如此。夸張地說，“我把兩個己知數加起來，然后被2除”這種一般的結果，可以通過用代數語言“兩個己知數的和的一半”來進一步公式化，這樣就能促使代數語言的產生和運用。另一種概括的系列就是對多于兩個的數提出同樣的問題，從而建立平均數這樣一個思維對象和求平均數的圖式。只有在得出“給定的數的和被所給的數的個數來?quot;這個形式的概括或者它的代數表達式之后，人們才能滿意。另一方面，一旦內容確定以后，人們應該找出哪些情形下所設想的加法用起來自然，或對這種情形來說含義比較含蓄。比如：加的不是（單純的）年齡、尺寸、價格等，而是食物的日常消費，工作時間，某人一周或一月總和求每筆單位資金的消費，或者由時速求出每秒的速度。

如果僅僅作為圖式化和形式化的代表，再仔細研究平均數的概念就沒有必要了。而下面我要再提出一個”中間值“概念的概括，即平面圖形或立體圖形的”中心“，數學化的很多方面需要回答下文中要提出的問題。

2.如果一個水龍頭1小時能把水池灌滿，另一個需要2小時才能把這個水池灌滿，那么這兩個水籠頭同時灌需要多長時間能自灌滿水池？這種古老的問題（還有其他像兩個工人一起勞動、兩個人起吃一定數量的食物等等）如果不跟數學化的廣泛背景結合起來，并且用傳統的圖式來解決的話，這問題看起來就很可笑。我提出問題后，孩子們把滿的水池分成兩部分，假想每個水龍頭負責其中的一部分：三分之二的部分由”大“的水龍頭承擔，另外的三分之一由”小“的水龍頭承擔，于是兩部分都能在2/3小時內灌滿。即使給一些更大的數，孩子們仍堅持按這種形象化的比例來推算，并舉例論證：比如，認為用幾個慢的水龍頭來取代一個快的。這顯然背離了傳統認可的簡化為1小時的圖式，即：如果兩個水龍頭能分別用a小時和b小時把水池灌滿，那么1小時內，第一個水龍頭灌池子的1/a，第二個灌去1/b，于是它們在1小時內一共灌1/a+1/b，整個水池在 = 小時內灌滿。而按照孩子們的推理，對應地把整個水池按b：α的比率分開，兩個水龍頭分別灌，那么第一個水龍頭應該灌整個池子的b/（a＋b），它就是按原來的a小時灌滿時，所應乘的因子。

然而奇怪的是，當用兩個人以不同的速度相向而行的問題采取代這類問題的時候，對這類問題很熟悉的成年人，往往不注意它與其他問題的同構性，而去用線性的路程－時間簡圖來求解問題。這看起來好像是在兩個人之間分配距離，只是為了得到幾何策略而不是求數量關系，就像水龍頭灌水、工作、食物等一樣。

像”速度“這樣的思維對象，有兩種截然相反的基本的圖式化和形式化的辦法：每段時間所走的路程和每段路程所花費的時間；后者在比較運動成績的時候經常用到。這種雙向圖式化的另一個例子是耗油問題：為了知道用一箱油能否走完某段距離，司機要算出來一箱油能走多遠。

這種雙向圖式化牽涉到各種現象，并且它的因素之間有著重要聯系。如果能夠意識到這些，水池和水龍頭之類的問題就不會再讓人看起來覺得可笑。調和的相加和求平均（即變成倒數之后）實際上是一個重要的圖式，要得到它，當然需要詳細的圖式化去引導。

3.在學校里教學能被9整除的數的特征，很難說是數學知識.只不過是在驗證它的正確有效性罷了。以算盤為模型的定位系統，可以成為一種圖式化：如果用算盤上的算珠代表所給出的數，那么把一個算珠移到另一個檔上，數的改變量就是9的倍數；因此，如果所有的算珠都移到個位上，就得出這個數和它的所有位上的數之和被9除同余。這種推理可以推廣到其他定位系統。

4.對圖示化而言，百分數這個工具由于用途廣泛而不宜在此進行詳細論述，我們僅給出一個特征，來說明它的極度重要性，它涉及到一種重新組織的轉換：

增加或減少p％，即達到原來的（1＋）倍或（1－）倍。5.鐘表的兩個指針什么時候重合？用無窮級數、簡單的代數學、線性草圖都能解決這個問題，而一旦得出結果，就有一條捷徑得出恰當的圖式：時針每轉一圈，分針轉了12圈，于是在12小時內追上時針11次，并且保持相同的時間間隔。這是一個用途很廣泛的圖式，應用到其他問題里能解釋一些天文現象。

6.生日宴會上有十個小孩，男孩比女孩多兩個。

一個盛著牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有雞和兔子：13個腦袋，36條腿。

孩子們最初想用嘗試錯誤法來解答這些問題，但是遇到大數目時效率就顯得很低；而后就開始利用更顯而易見的形形式式的圖式來解決有關的問題。比如用”假設“來進行推理：假設每個女孩找一個男孩??假設每個兔子是一只雞的話??這樣不斷地進行概括，就產生了代數。

7.如果你還不熟悉的話，就停下來想想下面的問題：在一群人中任意5個人里總有兩個人的歲數相同，請證明在他們的17個人中總有5個人的歲數相同，你或許會想出很多圖式來解決這個問題，但最終的結果會使你改變看問題的觀點：實際上17個人中間至多有4個年齡層次。

8.一堆火柴100根，兩個游戲者輪流每次拿掉1－10根，能拿走最后一根火柴的人為勝。這里只要知道秘訣就能取勝，這幾乎人人都知道。現在來玩另外一種游戲：

一堆火柴，輪流每次從中拿走2的方冪（2）根，也是能拿走最后一根的人取勝。如果只有1根或2根火柴，那么最先拿的人獲勝；如果是3根的話，他就輸；如果有4根則能勝，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一個人怎么拿都輸。如果有6根，不管他拿1根，2根還是4根，他都把有利形勢讓給了對方，自己則只好輸掉。7根和8根的情況，分別拿走1根或2根則都能贏（剩6根）。但9根又是一個不利的情況。繼續分析，就能猜到：對輪到拿的人來說，如果火柴根數是3的倍數，則處于失敗境地，其他情況則不會輸。你能證明嗎？結果表明要考慮模3的算術。2的方冪模3余2或1。因此那些2的高次冪都沒什么關系，而是最后歸結成取1根還是2根的問題--這是古老游戲的一種細微的變形。另外一種變形：只允許拿走素數根（還包括l）。

我們來列出輪到拿的人所處的有利位置和不利位置的情況。顯然，1、2、3、5、6、7、9、10、11、?是有利的，4、8、12?是不利的。

實際上，以12為例，不管你從中拿哪個素數，你都把有利位置讓給了對方；而把上一行的數分別減去1、2或3，都能把對方送到下面一行。這表明要考慮模4的算術，在這里只需用3來代替10，就退化成古老的游戲。還有一種變形：每次可拿1根或4根，那么 1、3、4、6、8、9、11、?是處于有利位置； 2、5、7、10、12、?是處于不利位置。被5除，余1、3、4則有利，余0、2則不利。

實際上，如果輪到拿的人處于第一種狀況，他就能采取任何拿走4根或者1根的行動，這樣就能保持有利的狀況。這里給出的游戲相互之間表現出了相似的特征。它們的相似性背后又有什么更深的屬性呢？它們能作為更一般的游戲的范例嗎？如果這樣的話，怎樣更一般的闡述呢？ 在我們做過的游戲里，與其說是示范性地開始，倒不如說展開問題的一般方法是：先找出最后的結果，再來證明它--即違反教學法的顛倒。我們給出的是開放的結果，而不是最后的結論。9.一系列圓盤，編號為1、2、3，?盤的一面是黑色，另一面是白色。開始所有的黑面都朝上，先把編號為偶數的盤翻過來，然后把編號能被3整除的圓盤翻過來，接著把編號能被4整除的圓盤翻過來，等等。最后哪些圓盤的黑色一面仍朝上？人們總是先做實驗，然后找素數因子及一些有類似特征的，只是在最后才找到捷徑：對于數n的任意非平凡因子k，都有相應的因子，只是當n是一個平方數時，這兩個數才保持一致。從這一點出發，才能得到簡潔的論述。

10.下面的例子說明，圖式化得來的經驗能導致重復計數等思想的產生：立方體的八個頂點處有三條邊相交，似乎說明應該得到8×3條邊，而實際上只有12條邊。

11.通過骰子上的五個點（圖2）畫一條折線，每個點經過且只經過一次，能得到多少不同的圖形？

首先，必須對”不同的圖形“的概念圖式化，可以用全等的方法來區別。其次，計數的過程必須通過適當的分類來構造，舉例說，考慮五個點的中間一個：把它作為起點，作為（折線的）第一站、（折線的）第二站??，再對四個角上的點繼續以同樣方式處理。12.除了前面的問題外，數學化另外一個重要的方面可以用例子來說明，?quot;棋盤上的谷粒”這一著名問題：為了估算2，用10 代替2，這就是數值圖式化的一個例子。

13.至此，我忽略了數學化的語言特點。為了有所選擇，我參考了[87，第4章，p.15]。選擇即意味著放棄，我不愿這樣做，只好如此了。

14.我也沒充分注意到觀點的改變。像[87，第4章，p16]的例子所顯示的那樣，這是一個十分豐富的課題，這個課題需要更加系統地去處理，我還不敢妄為。對此我可以補充很多，但我不愿。

15.一個木桶，上蓋封住，有4個洞，呈正方形（圖3）。在洞的正下方有四個圓盤，一面黑色，一面白色，而顏色是看不見的。游戲者允許選擇打開1個或2個洞，把相應的圓盤翻過來。操作一次之后，繞著桶的豎軸隨意地旋轉木桶，使游戲者找不到他剛選擇的孔洞，如此隨意重復下去，一旦四個圓盤的上面的顏色已經一致，則響鈴示意游戲結束。找一個方案，保證最后能讓所有圓盤顯示相同的顏色！這個例子蘊含著豐富的數學化特征。為了讓愿意自己獨立解決這個問題的讀者不至于失望，我把答案歸到附錄里。

1.3.4 數學化--橫向的和縱向的

1978年，特萊弗斯（Treffers）在他的論文里把橫向和縱向數學化區別開來--不是嚴格的，而是帶有適當的保留：橫向數學化，能使一個問題的領域變得易于進行數學上的處理（這里指狹義的、形式的數學），而相對的縱向數學化卻或多或少影響到復雜的數學處理過程。長期以來，我不愿接受這種劃分。我關注的是兩種活動在理論上的等價性，以及由此決定的實用中的同等地位；我怕這種區分破壞了它們之間的這種關系。根據特萊弗斯的術語觀，那些熱衷于教育的數學家把數學化限制在它的縱向因素；而致力于數學教學的教育家卻把數學化限制在它的橫向因素，而多少次他們的做法并沒使我感到喪氣！最終我接受了這種分的思想，甚至到了極力推崇的地步；我還給它們的形成加上了某些細微的差異，但我認為，在某種意義上還是尊重了特萊弗斯的初衷。我接受這種劃分，還因為它對數學教育的影響，尤其是在規定教育方式的時候。在我討論數學教育的理論框架時（見3.1.2）還會詳細地解釋。

我們給這種劃分的特征作如下規定：橫向數學化把生活世界引向符號世界。在生活世界里，人們生活、活動，同時也受苦受難；在符號世界里，符號生成、重塑和被使用，而且是機械地、全面地、互相呼應地；這就是縱向數學化。在生活世界里，經歷的就是現實（其意義前邊講過），而符號世界則是關于它的抽象化。當然，這兩種世界的界限十分模糊，可以互為擴張和縮小--同時以另一個為代價。有些東西在某一事例中屬于生活世界，而在另一件事中屬于符號世界（路線圖、地圖、幾何圖形、帳單、目錄單、要填的表格，等等）。自然數屬于生活世界，而抽象的加法需要符號圖式。抽象的加法可以被結合到生活世界，而加法的可交換性的認識（由此而產生的乘法）還需要經過處理的模型以及在符號世界里所理解的等價意義。對一個數學專家來說，數學對象可能是他生活的一部分，而對于初學者來說卻完全不同。橫向和縱向數學化的區別依賴于特定的情境，牽涉到人和他周圍的環境。除了這些一般性，不同層次的例子則是解釋它們之間區別的最好辦法。1.3.5 例子

1.數數 為了數數，一個沒有結構的事物或事件的集合必須進行結構化--手工的、視覺上的、聽覺上的或在大腦里--而對大體上結構化了的集合必須揭示或強化其已有的結構。這就需要橫向數學化。而另一方面，如何在這個（新創造的或揭示的）結構中運用數數的次序則是縱向數學化，它依據結構本身，可以采馭不同復雜程度的方法：例如可以用乘法來給一個能用矩形結構表示的（即能排成幾行幾列的）集合數數。2.多些或少些 同時構造兩個給定的集合也許是橫向數學化，而找出誰是誰的子集則是縱向的。或者換一種情況，給兩個集合數數是橫向數學化，而說出數數的順序，聽聽哪個數在前邊，就是縱向的。

3.相加 一個問題需要把5個和3個想象中的石頭彈子加起來，它可以用“手指的圖式”來進行橫向數學化，而數手指的辦法則是縱向的。換一種說法即是，用5＋3的算術和來表示前一個問題是橫向數學化，而解答結果則可以通過縱向地一個一個數、或用4＋4來代替，或用記憶等辦法來得到。4.相加 如果直到10的自然數都屬于生活世界，那么用（10－2）＋（5＋2）=10＋5的辦法求解8＋5就是縱向數學化，而礁霰患郵慕峁乖蚴峭ü嵯蚧竦玫摹?br> 5.交換律 如果2和9是可見的或在大腦中結合成線性結構的集合，并且它們的結合可以被倒過來讀的話，那么用9＋2代替2＋9可以歸到橫向數學化里。交換律一旦被普遍使用，就能被縱向說明了。

6.加法 當在如下情形中使用加法時，它就是屬于縱向數學化的一個符號：當A到B及B到C之間的距離己被步測之后，則從A經B到C的距離就不用再重新步量，而只需把前面兩個數值相加即可。

7.乘法 8的5倍可以用5行8列的矩形圖式來橫向數學化，而縱向數學化則可能得到如下的序列8、16、24、32、40。8.乘法 人們最終認識到對相同被加數的加法，并把它獨自作為一種運算--這種過程以橫向數學化開始，并以縱向數學化結束。

9.除法 當需要把一些物品分給一群人的時候（例如圍成一桌打牌時的發牌），可以把這些物品一個一個地發下去，也可以每回分給每個人等量的物品，直到分完為止；這是分配問題的橫向數學化。縱向數學化則在于尋找愈來愈大的份額（直到剛好合適），從而來縮短分發的過程。這些過程是逐步圖式化的一個顯著的例子（在這個例子中是逐步的算法化，最終導出標準的長除算法）。

10.組合學 如果A、B之間有3條路相連，B、C之間有4條路，那么從A經B到C共有多少種不同的走法？橫向數學化在于找出問題的結構，這可以從某種巧妙的計算開始，而最終用乘積的手段來完成縱向數學化。依具體情況的不同，這種“道路的圖式”在其他情形中的應用既可能是橫向的也可能是縱向的數學化。把3和4同用字母代替則是縱向的數學化。

11.比率 對一些從幾何上或代數上看起來具有某種相似性的一類問題進行數學化，會出現橫向與縱向的思路交替發生的情況，開始時會這樣敘述：在這里大小加倍的東西，在另一邊也必然加倍。

12.比 把足球比分2：1和3：2等價起來是不對的，把它們和4：

3、5：4等繼續比較下去就能看出來，這是縱向數學化搗的鬼。為了找出一個公正的比較辦法，要用到橫向引入，并從縱向得到幾何的圖式或比例表。

13.直線性 比率可以通過上面得到圖式和線性函數的直線圖象進一步縱向數學化，日常生活的很多情形都能如此，它們通過橫向數學化與比率聯系起來。揭示固定的比率和平直度之間的關系是縱向數學化的一大功績，這也正是比率值和圖象的陡峭程度之間的關系。對商業事務中牽涉到的一個固定的或成比例的比率進行的橫向數學化，總是伴隨著縱向數學化發生，它把商業事務的特點和圖像的特點聯系起來。14.垛積數 用于幾何（形狀）給出的垛積數，它們的大小和關系就屬于橫向數學化問題。例如（圖4），前n個奇數的和等于n的平方，又如（圖5）：第n－1個三角形數和第n個三角形數的和等于n的平方。長期以來，這都是橫向的經驗，而且一旦把這種敘述和關系表達成公式進行處理，縱向數學化就占了主導。證明這種關系的歸納步驟具有縱向的特征，即使在很長的時間內它將像橫向的那樣起作用。在證明中所用的完全歸納法語言也表現出縱向的數學化。15.帕斯卡三角 這種情形和上一個例子類似：一旦給出了帕斯卡三角，它的元素間的大量關系是橫向數學化獲得的。二項式系數的一般的代數表達式需要縱向數學化；眾所周知，很多組合問題都和帕斯卡三角有關。?

第二篇：王永老師的兩篇文章(關于弗萊登塔爾思想的)

著名特級教師王永“小學數學課堂教學的數學化”探討實錄

這里所說的“數學化”更注重生活數學化，課程內容數學化，還是教學方法數學化，或者其他？“數學化”是數學教學手段、目的，還是特征？

王永：“數學化”是弗賴登塔爾數學教育思想的核心。今天我們看到以數學活動為載體的小學數學課程，強調“向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗”。

數學作為人類的一種活動，它的主要特征是數學化。數學的根源在于普通的常識，在于學生已有的生活經驗。數學教學要通過數學活動讓學生親身經歷對現實進行數學化的過程，使數學變成是他們自己“再創造”的產物，而不是成人強加給他們的東西。

所以，數學化是學生自己的活動，不是教師的活動；數學化的對象是學生熟悉的現實，不是成人的現實。教師的責任首先是創設適合于學生進行數學化活動的具體的現實的情境，并有效地指導他們參與到數學化的各個方面中去。

例如，小學一年級學生怎樣學習加法呢？首先要向學生提供熟悉的現實情境：笑笑左手拿著2支鉛筆，右手拿著3支鉛筆，她一共有幾支鉛筆？（用兩幅圖呈現這個實際問題）

其次，指導學生參與如下的數學活動：①笑笑的一只手拿著幾支鉛筆，你就在本子上畫幾個小圓圈；②笑笑的另一只手拿著幾支鉛筆，你在本子上繼續畫上幾個小圓圈；③數一數你的本子上一共畫了幾個小圓圈？④想一想：你所畫的這些小圓圈表示什么意義？讓每個學生都經歷上述畫圖、數數與思考等數學活動，都體驗并獲得一個數學事實：2支鉛筆與3支鉛筆合起來一共有5支鉛筆。在這個基礎上，教師才把這個數學事實加以形式化，寫出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指導學生結合具體情境運用語言描述或解釋算式中每一個數字或符號的意義。進而讓學生在新的情境中嘗試應用加法算式，表示現實生活中大量存在的加法結構。

這就是課程標準強調的：“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，也就是經歷數學化的過程。我所理解的“數學化”，既是數學教學活動的目的，也是實現目的的手段。

數學化是否就是培養學生的數學建模思想？數學化與純數學之間有什么聯系與區別？

王永：數學化有橫向數學化和縱向數學化之分。在弗賴登塔爾看來，橫向數學化“是把生活世界引向符號世界”，而“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”，則是縱向數學化。

是否也可以這樣理解：橫向數學化的產物是生成數學與生活的聯系，縱向數學化的產物是生成抽象的數學知識之間的聯系。數學建模只是數學化的一個方面，它關注的是橫向數學化的因素，并不是數學化的全部。將實際問題抽象成數學模型，這個“模型”是不可缺少的一種中介，用它把復雜的現實來理想化或簡單化，從而更易于進行形式的數學處理。

所謂純數學，如果是指脫離了現實背景的抽象的形式化的數學理論與方法，它卻是縱向數學化所要生成的東西。對數學模型進行形式的數學處理，就是縱向數學化的過程。

有趣的是，弗賴登塔爾原來并不接受橫向與縱向數學化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是如果數學教育用雙重的二分法分別注重橫向數學化和縱向數學化來進行分類的話，可以分成如下四種類型，這些教學類型分別對應著彼此不同的哲學觀：

①缺少橫向數學化，也缺乏縱向數學化，是機械主義的教學； ②橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義的教學； ③橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義的教學； ④橫向數學化與縱向數學化都得到成長，是現實主義的教學。

當下我國基礎教育數學課程改革倡導的是現實主義的教學，橫向數學化與縱向數學化要結伴而行，均衡發展。

數學教育的本質是發展學生的思維。發展學生的思維與數學化是否是同一回事？

王永：我們暫且不去討論數學教育的本質是否只是關注發展學生的思維。但發展學生的數學思考能力無疑是數學課程的基本目標之一。發展數學思考能力包括抽象思維、形象思維、統計觀念、合情推理能力和初步的演繹推理能力等。發展學生的思維與數學化雖然不是同一回事，但可以肯定，學生親身經歷數學化的活動也是發展學生思維的過程和動力。

數學新課程強調數學教學要遵循學生學習數學的心理規律，什么是學生學習數學的心理規律呢？布魯納關于兒童智力發展的研究表明，兒童的認知發展需要經歷三個發展階段：動作認知、圖形認知和符號認知。這三個發展階段對應著兒童思維發展的三種水平：操作水平、表象水平和分析水平。我們可以從下面一個例子，看到數學化過程是怎樣促進學生思維發展的。

問題情境（用情境圖呈現）：在兩個箱子里分別裝著9瓶和5瓶牛奶，這兩箱一共有幾瓶牛奶？

從這個實際問題能提出一個簡單的數學問題嗎？這個簡單的數學問題是：9和5合起來是多少？從而列出算式：9＋5＝？要求學生從實際問題剝離出一個簡單的數學問題，就是思考、尋找具體問題情境中的抽象結構，建立數學模型的過程。這是橫向數學化。在傳統數學教學中，不要求學生在列出算式前先把實際問題抽象為一個簡單的數學問題（數學模型），是因為意識不到這一中介的重要性。

接著，放手讓學生自主探索：9＋5應該怎么計算？這就是學生自己在進行著縱向的數學化活動。在是創造算法化的過程，“算法化意味著將證明留給學生，即使它會在一段時間或永遠地隱含在學習過程中”，弗賴登塔爾說，“再創造算法涉及到一個圖式化的過程，由他們來探究盡可能適合學習者需要、能力要求和允許范圍的標準算法”。

學生的算法是多樣化的，因為他們本來就處在不同的認知發展階段，他們的認知背景和認知風格也不會相同。

處在動作認知水平的學生，可能會先數出9根小棒和5根小棒，然后合在一起數，得出結果14。這些學生的思維需要利用實物的圖式，他們還擺脫不了數數的具體操作。

處在圖形認知水平的學生，可能會先畫出兩堆小圓圈，一堆9個一堆5個，然后從5個一堆的圓圈中劃出1個小圓圈并到另一堆，變成10個一堆和4個一堆，得出結果14。這些學生利用的是圖形的圖式，他們已經擺脫了動作，可以借助表象進行思維了。

處在符號認知水平的學生，他們可以進行抽象的思維了：9＋1＝10，10＋4＝14。這些學生利用的是符號的圖式，他們有良好的數感和符號感。

凡是學習就會產生差異，但差異也會產生學習。因此，要把上述差異當作課堂動態生成的教學資源加以利用，有效的策略是讓學生交流、互動起來，將不同算法展示出來，這些差異的碰撞，會促使學生個體的反思。這種反思，會促使認知水平比較低的學生獲得感悟：利用圖形的圖式比小棒圖式簡便，利用符號的圖式又比圖形的圖式簡捷。

數學化的一個十分重要的方面就是反思自己的活動，從而促使改變看問題的角度，這是學生思維得以持續發展的內因。認知水平比較低的學生雖然不可能創造出超越自己認知水平的算法，但可以通過模仿他人來改變自己的思維方式，掌握更好的算法。維果茨基認為，學習的本質是基于模仿為基礎的溝通過程；在學生最近發展區框架內，模仿并不是消極的，它同樣具有建構的意義。

數學知識的生活化在新課程中有相當的地位，也得到了許多教師的認同，可實施一段時間后，我們發現有的數學課不再像數學課。請問：如何處理生活問題的數學化與數學問題的生活化？

王永：數學新課程強調要密切數學與現實生活的聯系。我不知道是否由此引伸出所謂“數學知識生活化”的說法。什么是數學知識？課程標準明確指出數學知識包括數學事實和數學活動的經驗。數學事實具有客觀性，是公共知識；而數學活動的經驗是因人而異的，是主觀的個人化的知識。

值得我們追問的是，它們是怎樣產生的？又是怎樣發展的？它們是怎樣被人類創造出來，又是怎樣被后人掌握的？無論是數學事實還是數學活動經驗都是將數學作為人類一種活動的成果。今天，我們學習數學不必重復人類創造數學的歷程，但卻可以通過數學化的活動去經歷和體驗數學知識是怎樣從生活經驗與常識中提煉和升華而來的；去經歷和體驗數學知識是怎樣發展、豐富起來，并逐步得到系統化和合理化的；去經歷和體驗數學知識是怎樣被廣泛應用的。

數學化的對象不是別的，就是學生的生活現實；數學化活動把數學知識發生、發展與應用的各個方面貫通起來；數學化本身已經把密切數學與現實生活的聯系涵蓋其中。

我想，了解數學化內涵的人是不會贊成“數學知識生活化”的提法的。因為，縱向的數學化活動是在數學符號世界里進行的，它是通過解決數學知識內部的矛盾或問題來發展數學的過程。指導學生進行數學化活動有兩個基本原則：一是在學生當前的現實中選擇學習情境，使其適合于橫向的數學化。這就是為什么新世紀（版）教材采用如“小熊購物”、“玩具”、“動物園”等情境性的課題名稱的原因。二是為縱向的數學化提供手段和工具。縱向的數學化活動也要提供問題情境，只不過它是用數學自身的素材來創設情境的。

例如，新世紀（版）小學數學三下“找規律”一課，就是從算一算如下三組算式開始的： 5×1

3×2

12×4 5×10

3×20

12×40 50×10

30×20

120×40 上述算式中，凡是兩個乘數都是兩位數或三位數的，是學生初次遇到的乘法算式，放手讓學生去探索算法，交流各自算法的理由，從而得到如下三組等式：

5×1＝5

3×2 ＝6

12×4＝48 5×10＝50

3×20＝60

12×40＝480 50×10＝500

30×20＝600

120×40＝4800 這些有序排列的三組等式又構成了縱向數學化活動的一個起點。指導學生有序地觀察這些等式，去發現蘊含其中的形式規律，并嘗試用語言描述自己所發現的規律。發現這一規律的目的，就是為了運用它能夠更快捷地進行整十數與整十數的乘法運算。但為什么這么有用的規律教材又不明確地用文字表述出來呢？這里涉及到數學化的另一個重要的方面，即形式化。

所謂形式化，是指對語言的整理、修正和轉化的過程。形式化的過程也是要讓學生經歷的，讓學生用個性化的語言來描述所發現的規律，開始的描述也許不準確，不完整，不簡練，但通過合作交流與個體反思，可以達到澄清思想，修正錯誤，形成正確的語言描述的目的。

數學課要上出數學味。選擇橫向的和縱向的數學化兩個標準，來設計和分析數學教學，會幫助教師更好地理解自己教學設計的明確的或含蓄的意圖，防止數學教學偏離現實主義的正確道路。

我們使用了北師大版的數學，每個課題都聯系生活創設情境，聯系實際提出問題，一個學期下來，學生會編、會背口訣，卻不會運用口訣解決實際問題了。如，一根跳繩3元，24元能買幾根？（問題是用情境圖呈現的）列式時學生就不知道 是用乘法解決問題呢，還是用除法解決問題。請問：這是為什么？

王永：由于對張老師實施教學的過程缺乏了解，所以很難能客觀地分析產生上述現象的原因。不過從現象看，學生也許是沒有真正弄清楚乘法與除法的意義或結構。

北師大版的小學數學，是把數與數的四則運算以及“倍”的關系，作為思維對象來處理，而不是作為概念來教學的。許多心理學家和教育學家仍把認知發展看作概念的獲得。但弗賴登塔爾不以為然。他說，通過概念獲得的學習，這種認識只是一種表面的認識。

“不幸的是，教學概念看起來比純粹的教學更加尊貴，教學概念好像是創造了可以對所學的是什么增加了更多理解的假象。”在他看來，我們得到對現實的把握的有效途徑，是通過結構化而不是概念的形成。他說，“對于大多數人的大多數情況來說，教與學的基本的最終目標是思維對象。我特別喜歡這個術語，因為它可以被外推出另一個術語，描述這些對象是如何地被掌握的，這另一個術語叫做思維操作”。

通過大量的思維操作去體會和掌握乘法、除法運算的構成。從北師大版小學數學教材乘法與除法起始單元的名稱“數一數與乘法”、“分一分與除法”就表明了這樣的編寫意圖。

其次，可能在解決實際問題的教學中，學生也許沒有真正經歷和體會其中的數學化過程： 從“1根跳繩3元，24元能買幾根？”這個實際問題中，能提出一個什么簡單的數學問題呢？從24中能分出幾個3？或者24是3的幾倍？

這兩個簡單的數學問題都揭示了實際問題中蘊含的數學結構--除法結構，進而列出除法算式：24÷3，至此完成了橫向數學化。利用口訣求商，得到數學問題的解8，這是縱向數學化。再回到實際問題的情境，解釋和檢驗這個抽象的解8的實際意義，做出實際問題的答案。這個過程也反映了從具體到一般，再從一般到具體的人類認識真知的辯證的道路。

我想，作為一名數學老師，應該用“整體”“遠視”的眼光關注數學的發展。

王永：我經常在思考：生活數學化、數學生活化在小學數學教學中具有明顯的特征和現實意義，可是，當數學達到高度抽象之時（高中階段、大學階段），數學教學是否也具有同樣特征？教材呈現形式以及教學的策略等方面與小學階段又有什么區別？如何為小學生的繼續學習打下基礎？

實際上，縱向和橫向要和諧發展，但是年級越高，縱向的因素可能更多一點，但是也不應該忽視橫向的隱私 因素，橫向始終是讓我們知道數學的根源來源于現實，我覺得讓孩子們知道數學的來龍去脈，更側重于橫向 但是隨著年級的深高，要逐步關注縱向數學化的成長 沒有縱向的數學化，數學知識就像一盤散沙，缺乏系統化和合理化，適用性有不強，這是當前課改必須克服的一個傾向 我想，是否在小學階段著重從橫向數學化切入，以此為重點；并逐步引導學生進行縱向數學化，到了高中，更是以縱向數學化為重點。數學化，就是關注數學本原性的問題，提供適合孩子橫向數學化的情景，提供縱向數學化的工具和手段，是兩個基本原則 同時，課堂教學需要一個互動的系統，鼓勵孩子門的創造，不僅是創造解法，還要創造問題，這是很重要創造 要把數學化各部分的內容聯系起來，構成一個整體，使得數學化能夠持續的進行，備課應該從全書到單元，從單元到章節，從粗到細，充分地挖掘其中的橫向數學化和縱向數學化信息。實際上，我不太同意數學問題生活化的提法而生活問題數學化，僅僅是數學的一個方面，是橫向的，數學化還有縱向數學化。

到底什么是縱向什么是橫向？我還是理解不透。

王永：布魯納關于兒童智力發展的研究表明，兒童的認知發展需要經歷三個發展階段：動作認知、圖形認知和符號認知。不僅僅表示不同學生的不同水平吧，不同年級的學生應該會有一種比較主要的認知水平吧。這和皮亞杰的認識發生階段理論似乎有點相似。我個人覺得符號認知已經是走向了縱向數學化的道路了。

是否也可以這樣理解：橫向數學化的產物是生成數學與生活的聯系，縱向數學化的產物是生成抽象的數學知識之間的聯系。數學建模只是數學化的一個方面，它關注的是橫向數學化的因素，并不是數學化的全部。將實際問題抽象成數學模型，這個“模型”是不可缺少的一種中介，用它把復雜的現實來理想化或簡單化，從而更易于進行形式的數學處理。

簡單地說，橫向數學化就是從生活到數學，縱向數學化就就從數學到數學，數學化有橫向數學化和縱向數學化之分。在弗賴登塔爾看來，橫向數學化“是把生活世界引向符號世界”，而“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”，則是縱向數學化。

讀懂弗萊登塔爾

王永

2004年，從職場退休后的第二年，我開始認真閱讀弗賴登塔爾的著作——《數學教育再探——在中國的講學》。一次次的重讀、思考和寫作，一次次走進弗賴登塔爾的數學教育思想，直到2011年春節過后，一次頓悟，我才覺得真正讀懂了他。

弗賴登塔爾強調“數學是一種活動”，這種數學觀區別于把數學看成是印在書上或銘記在頭腦里的東西。我把“數學是一種活動”視為數學教學設計與實踐的一種原理；我的頓悟，就是突然想到把這個原理概括為三個方面和一個核心（如下圖所示）。

■

我最先關注和讀懂的是數學化，2005年開始發表這一方面的教研文章。比較滿意的有兩篇，一篇是《尋找均衡的數學化——評（a能表示什么）一課的得與失》（《人民教育》2006年第1期）；一篇是《小學數學教學中的數學化——一次網絡上的對話》（《福建教育·小學版》2006年第3期）。《福建教育》雜志鐘建林編輯告訴我說，張興華先生很贊賞這篇“網絡上的對話”，并評價說，小學數學教學就是這么回事。我深感到榮幸。

2008年，我開始關注課堂教學中的反思性學習，先后在《小學教學》、《新世紀小學數學》等雜志上發表了《必須重視對解決問題探究過程的反思》、《比方法更重要的是想法》、《課堂教學三元素：自讀、探究、反思》等教學案例。反思數學課程課堂教學實踐的問題，我的直覺是：橫向數學化有余，縱向數學化不足。于是，我開始思考上世紀90年代興起的情景教學理論與弗賴登塔爾數學教育思想究竟有什么區別與聯系。我以為，當下實踐形態的情景教學必須加強縱向的數學化，必須重視“去情景化”的問題。結合這個問題，重讀弗賴登塔爾的時候，我才明白他關于“學習過程的重要問題是不連續性”的論述是多么深刻，多么重要。

數學學習是“有指導的再創造”，學習過程是由各種學習水平構造的。弗賴登塔爾說，這是學習過程不連續性的決定因素。學習過程的階段從一個水平到下一個水平與教學有關，這里，教學是指導學生在較高水平中對他們較低水平的活動進行反思，也就是把較低水平活動中的可操作的內容變成較高水平的分析對象。因此，學習過程中學生學習水平的提高，必須通過他們自己的反思去實現，不經歷反思的水平提高，那是拔高，而不是學生自己的跳躍。

弗賴登塔爾指出：“傳統的方法經常采取相反的方向：從較高水平降到最低水平，而不是從較低水平爬到較高水平。”

我認為，學習水平理論主要是描述縱向數學化活動過程的理論。縱向數學化的較低水平是具體的、直觀的、可操作的，在這個水平上，通常是把抽象的數學符號與直觀的現實模型結合起來進行思考，通過操作尋找結果。進一步的縱向數學化則要“去情景化”，在抽象水平上，應用已有的數學知識和方法解釋為什么以及怎樣能夠得出這個結果，而且解釋（說理）的方法或途徑不是唯一的，是多樣化的。這里，起先用直觀的方法找到的結果，成為后續在抽象水平中的分析對象。當然，在抽象水平上，還有不同的學習水平：一級抽象，二級抽象??，一步一步地體驗數學的抽象化和形式化。反思的重要性，用弗賴登塔爾的話可以為概括三點：反思是數學創造的動力，反思是聯系兩個水平之間的紐帶，反思思維是數學思維的特征。

我常常問自己：真的讀懂了弗賴登塔爾博大精深的數學教育思想了嗎？我想只有在實踐中不斷地去應用它才能回答自己的問題。幾年來，我總是讀懂一點就用一點。我發現不論在哪里，老師們都喜歡聽我用弗賴登塔爾的數學教育思想解讀新世紀小學數學教材，也喜歡聽我用學習水平理論進行課的評析。我會繼續這樣做下去，因為我是弗賴登塔爾的鐵桿粉絲，因為我延長學術生命的意義就在其中。我希望我的堅持，能夠影響更多的青年教師一起來從事把弗賴登塔爾數學教育思想中國化、本土化的工作。這項工作的核心，就是在讀懂弗賴登塔爾的基礎上，身體力行，站到巨人的肩膀上，把數學教育的再探索進行下去。

【弗賴登塔爾簡介】

弗賴登塔爾（1905-1990）是世界著名數學家和數學教育家。他曾是荷蘭皇家科學院的院士和數學教育研究所的所長。他在1967年至1970年間任“國際數學教育委員會”（ICMI）主席，在他的倡議下，召開了第一屆“國際數學教育大會”（ICME）。他一生中為國際數學教育事業作出了巨大貢獻。尤其令人敬佩的是，在他80歲高齡之后，依然在不斷地思考著數學教育中的問題，關心著孩子們的成長和發展。1987年，他82歲來到中國訪問。《數學教育再探——在中國的講學》一書就是弗賴登塔爾對他這次訪問中國時在報告和座談會上所表達的思想和觀點進行的整理。

在他看來，數學的根源是常識，人們通過自己的實踐，把這些常識通過反思，組織起來，不斷地進行系統化（橫向的或縱向的）。因此，他認為數學學習主要是進行“再創造”，或者是他經常提到的“數學化”。按照他的觀點，這個“化”的過程必須是由學習者自己主動去完成的，而不是任何外界所強加的。在數學教育中應當特別注意這個數學化的過程，培養學生一種自己獲取數學的態度，構建他們自己的數學。■

（摘自《數學教育再探——在中國的講學》一書“譯者說明”）

第三篇：2013新疆阿爾塔什水利樞紐工程前期工程“安全生產月”演講稿(修改)

2013水電安全生產演講稿

尊敬的各位領導、朋友們：

你們好﹗我是黃河工程咨詢監理有限責任公司的一名普通員工，我叫馬浩。我很榮幸能參加今天的“安全生產月”活動的演講，現在我演講的題目是“安全與愛同行”。安全是什么，安全就是生命。只有確保了安全，生命才會美麗精彩。

說起安全，每個人都知道該怎么做，但是你真正重視了嗎？施工中你戴好安全帽了嗎？走馬路闖紅燈了沒有？……世上每天都有很多不幸的事情在發生，生命就像珍貴的青花瓷，是那么脆弱，只要一失手就會變成碎片。我們只有更了解生命的意義，才能讓不幸離我們遠些，安全離我們更近些。我們要為自己和他人的安全著想，不要讓寶貴的生命消失。生活在這個世界上，安全就是我們生活的基礎課程，只有學好了這門課，才能開始你豐富美好的生活。

人一生最寶貴的是生命，生命屬于每一個人只有一次，所以我們要好好愛惜生命，從小養成好的習慣。從我們來到了人世間，父母愛的嘮叨就開始伴隨著我們成長。從每一個最細小的動作開始：慢點吃，別嗆著了；別爬到床邊會摔下去的；站穩扶好別倒了；路上騎車小心點，別回家太晚了……等等，沒等我們去真正的體味那些話的含義，我們也就長大了，愛又讓做了父母的我們不由自主的沿著前輩的話語引導著我們的下一代。其實我們的親人所重復的話語的真正含義，就是希望我們能夠健康安全。大家都在重復著同樣的話語，雖然有些啰嗦乏味，但只要用心留意會發現，在這平淡無奇的話語里，卻凝聚著親人、同事、朋友最深的愛意與關懷。我們曾一千遍一萬遍的強調一定要注意安全，“安全”兩字說起來就這么簡單，但做起來就不簡單了。

安全是一個永恒的主題，它是人類最重要、最基本的要求，安全生產既是人們生命健康的保障，也是企業生存與發展的基礎，更是社會穩定和經濟發展的前提條件。“隱患險于明火，防范勝于救災，責任重于泰山”，逆耳的忠言利于行啊！天天說安全，時時話安全，但久而久之未見出任何事，就會使一些人產生了麻痹思想。水電建設集團在2005年發生的生產安全事故我們還清晰的記得：5月28日，尤馬水電站工地發生一起交通事故，死亡4人。8月15日，某水電分包商在平頭電站架橋時，發生高空墜落事故，死亡2人。如果當時他們能想到一點點安全，這人間的悲劇就不會發生。安全知識的貧乏，安全意識的淡薄總是能讓我們聽到一次次血的教訓，讓我們看到一幕幕人間慘劇。但是有了安全知識，強化了安全意識，往往也會使我們逢兇化吉，遇難呈祥。

“嚴是愛，松是害”，如果對違章的職工心慈手軟，不敢大膽管理，那就等于害了他們，有句話說的好：“寧愿天天聽到職工的埋怨聲，也不愿有一天聽到出事后職工家屬的哭聲”！慘痛的事實告訴我們：重視安全生產，不能僅僅停留在口頭上、規章制度的文件里，必須落實到議事日程和操作流程上。然而，有些人就是對安全生產重視不夠，或存僥幸心理，往往是“說起來重要，做起來次要，忙起來不要”，甚至把安全生產與經濟效益對立起來，認為安全生產是可有可無、不見成效的工作，直到釀成大禍才后悔不迭。其實，好多事故都是由于安全工作做不到位或違反操作規程，蠻干、盲干造成的。

安全生產要求我們大家要繃緊安全警鐘長鳴這根弦，進一步強化“安全第一、預防為主”的思想觀念，不斷總結成功的經驗和失敗的教訓，重在防患未然，把事故消滅在萌芽狀態。安全監督管理部門在建立健全規章制度的同時，加大監督、檢查、管理的力度，督促企業加大對安全生產的投入，加強職工的安全生產教育和培訓，使軟、硬件同時到位。

在我們的施工現場中，還存在著許多不安全因素，如各類施工機械作業、特種作業、施工用電等，在工作中稍有疏忽和大意就可能造成生產事故。要想做到安全施工，完善的規章制度、安全生產責任制、安全監督檢查、安全生產投入及安全培訓是必不可少的重要工作。我們可以通過培訓提高意識增強技能，也可以通過安全技術交底使作業人員明確安全隱患及

防范、應急措施，做到更好的保護好自己，這樣才能把安全工作做到位。這就要求我們每一個作業人員必須提高安全意識，嚴格按照安全技術規范進行操作、作業。安全帽、安全帶是現場人員最基本的勞保護具，可是我們有的現場人員總是 嫌麻煩，有的覺得沒有必要，不戴或不正確佩戴安全帽就進入現場施工；高空作業不扎安全帶，為了所謂的方便就違章作業；有的明知危險卻總是抱著僥幸心里，于是大大小小的事故就發生在了我們的身邊和周圍。讓我們靜下心來仔細分析一下那些事故，很多都是人為造成的，都是違章作業造成的。所以我們要采取措施，加強安全生產的宣傳和教育，努力營造安全文明生產氛圍，使遵章守紀成為我們每個作業人員的自覺行為，讓違章遠離我們，做到令行禁止，不能因一個繁忙的日程成為忽視安全的理由為借口，釀成終身遺憾。

安全是金錢，安全是效益。安全生產警鐘常鳴，居安思危才能使企業興旺，才能使企業發展。再講一個“安全帽’的故事吧。某工地職工小楊在拆除腳手架的作業過程中，一根長

1.8米，重19公斤的槽鋼從3米高處垂直掉落，砸在小楊的頭上，頭上的安全帽震裂了，險啊，這一頂小小的安全帽居然救下了小楊，使他免遭厄運。無疑，是安全防護救了他。生命需要呵護，安全對他的呵護才是最根本、最有效的，我深深的相信：只有那些真正熱愛生命、熱愛生活、對安全這項偉大事業有著深刻領悟的人們，才會對安全和生命格外關注，才會安全健康的活著。因此，我在這里呼吁和提醒大家：在生產過程中必須實施”我不害人、人不害我“的安全行為規范，當上班前穿戴好勞保用品時，那就是安全；當你按章作業時，那就是安全；當你發現一個不起眼的安全隱患，并及時將之消除時，那就是安全；這樣安全才能常駐我們心里。不懂得“安全第一”的人，是不會平安生存在世界上的，只有安全才會有收獲、有幸福。

只有人人注意安全，重視安全，我們才能真正擁有安全幸福的人生。

我們水電人不容易，背井離鄉地在外面工作，背負著父母、愛人和孩子的期盼。“高高興興上班來，平平安安回家去”是我們的心愿。同志們，為創造我們黃河工程咨詢監理有限責任公司的輝煌，讓我們攜起手來，共筑安全的長城，讓安全警鐘長鳴，讓愛與安全伴我們一同前行。

我的演講完了，謝謝各位！

2013年6月20日