第一篇：變性梯度凝膠電泳DGGE實(shí)驗(yàn)報(bào)告

變性梯度凝膠電泳DGGE

劉琳 1131428 環(huán)境科學(xué)

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1． 學(xué)習(xí)掌握變性梯度凝膠電泳的原理和方法。2． 練習(xí)變性梯度凝膠電泳的操作步驟。

3． 分析并掌握變性梯度凝膠電泳的思路，并了解其在微生物群落研究中的地位。

二、實(shí)驗(yàn)原理

雙鏈DNA分子在一般的聚丙烯酰胺凝膠電泳時(shí)，其遷移行為決定于其分子大小和電荷。不同長(zhǎng)度的DNA片段能夠被區(qū)分開，但同樣長(zhǎng)度的DNA片段在凝膠中的遷移行為一樣，因此不能被區(qū)分。DGGE技術(shù)在一般的聚丙烯酰胺凝膠基礎(chǔ)上，加入了變性劑（尿素和甲酰胺）梯度，從而能夠把同樣長(zhǎng)度但序列不同的DNA片段區(qū)分開來(lái)。

不同的雙鏈DNA片段因?yàn)槠湫蛄薪M成不一樣，所以其解鏈區(qū)域及各解鏈區(qū)域的解鏈溫度也是不一樣的。同樣長(zhǎng)度但序列不同的DNA片段會(huì)在膠中不同位置處達(dá)到各自最低解鏈區(qū)域的解鏈溫度，因此它們會(huì)在膠中的不同位置處發(fā)生部分解鏈導(dǎo)致遷移速率大大下降，從而在膠中被區(qū)分開來(lái)。然而，一旦溫度（或變性劑濃度）達(dá)到DNA片段最高的解鏈區(qū)域溫度時(shí)，DNA片段會(huì)完全解鏈，成為單鏈DNA分子，此時(shí)它們又能在膠中繼續(xù)遷移。因此，如果不同DNA片段的序列差異發(fā)生在最高的解鏈區(qū)域時(shí)，這些片段就不能被區(qū)分開來(lái)。

DNA片段在DGGE膠中的遷移行為（如下圖）：

變性劑

Low

High

在DNA片段的一端加入一段富含GC的DNA片段（一般30-50個(gè)堿基對(duì)），使DNA片段最高的解鏈區(qū)域在GC夾子這一段序列處，它的解鏈溫度很高，可以防止DNA片段在DGGE/TGGE膠中完全解鏈。當(dāng)加了GC夾子后，DNA片段中基本上每個(gè)堿基處的序列差異都能被區(qū)分開（Myers, 1985)。

DGGE有兩種電泳形式：垂直電泳和水平電泳。垂直電泳是為了確定變性劑梯度；而水平電泳則是對(duì)比分析不同樣品的微生物差異。本次試驗(yàn)做的是水平電泳，主要對(duì)比分析不同樣品的微生物差異。

三、實(shí)驗(yàn)器材與藥劑

器材：DGGE system(D-Code, Bio-Rad)、移液管、移液槍、槍頭、制膠設(shè)備、30ml針筒、聚乙烯細(xì)管、電泳儀

試劑：16s rDNA V3區(qū)PCR擴(kuò)增產(chǎn)物、膠濃度為8%變性劑濃度分別為0%和90%丙烯酰胺膠、50×TAE buffer、去離子甲酰胺、尿素、去離子水、10%過(guò)硫酸銨(Aps)、TEMED、sDNA染料

變性劑Lowhigh

四、實(shí)驗(yàn)步驟

1． 首先按照實(shí)驗(yàn)要求將50x TAE buffer稀釋為1×TAE buffer，并利用90%和0%的變性膠分別配置15.5ml的35%和55%的變性膠溶液。其中35%的變性溶液需要加入6ml 90%的變性膠溶液和9.5ml的0%的變性膠溶液；55%的變性溶液需要加入9.5ml 90%的變性膠溶液和6ml的0%的變性膠溶液。

2． 將海綿墊固定在制膠架上，把類似‘三明治’結(jié)構(gòu)的制膠板系統(tǒng)垂直放在海綿上方，用分布在制膠架兩側(cè)的偏心輪固定好制膠板系統(tǒng)，注意一定是短玻璃的一面正對(duì)著自己。將三根聚乙烯細(xì)管中短的那根與Y形管相連，兩根長(zhǎng)的則與小套管相連，并連在30ml的注射器上。在兩個(gè)注射器上分別標(biāo)記‘高濃度’與‘低濃度’，并安裝上相關(guān)的配件； 反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)凸輪到起始位置。將體積設(shè)置顯示裝置固定在注射器上并調(diào)整到目標(biāo)體積設(shè)置（15.5）。配制兩種變性濃度的丙烯酰胺溶液到兩個(gè)離心管中，每管加入12 μl TEMED，80 μl 10% APS，迅速蓋上并旋緊帽后上下顛倒數(shù)次混勻。將兩種變性溶液分別吸入相應(yīng)注射器中。通過(guò)推動(dòng)注射器推動(dòng)桿小心趕走氣泡； 分別將高濃度、低濃度注射器放在梯度傳送系統(tǒng)的正確一側(cè)固定好，再將注射器的聚丙烯管同Y形管相連，輕柔并穩(wěn)定地旋轉(zhuǎn)凸輪來(lái)傳送溶液，以使溶液恒速的被灌入到三明治式的凝膠板中，灌完后插上梳子，迅速清洗用完的設(shè)備。

3． 待膠干后，在梳孔中加入相應(yīng)樣品，之后在75V的條件下電泳20h。4． 在200ml 1×TAE中加入30ul sDNA 染料(或20ul 1%EB），混勻后小心倒入一容器中；撥開一塊玻璃板，將膠（帶著一塊玻璃板）放入容器中；輕輕晃動(dòng)玻璃板，使膠與玻璃板脫落，置水平搖床輕輕搖晃染色20min。

5． 利用生物電泳分析系統(tǒng)對(duì)染色后的膠進(jìn)行拍照。

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果記錄并整理

如圖所示，在紫外透射儀的觀察下，可明顯發(fā)現(xiàn)跑出很多條條帶。上面和底部幾乎沒(méi)有明顯條帶出現(xiàn)，條帶顯示居中下，說(shuō)明變性膠的濃度范圍可以適當(dāng)縮小。這樣可以更好地分離中間較為集中的條帶。

在同一水平方向上，有些條帶亮度呈依次增強(qiáng)的趨勢(shì)，這表明該微生物在水凈化處理系統(tǒng)中依次增加；條帶亮度不變的表明，該微生物的數(shù)量并沒(méi)有變化；條帶亮度依次減弱，表明該微生物已經(jīng)不適應(yīng)系統(tǒng)中的環(huán)境，數(shù)量在逐漸減少。在膠的下半部分，條帶之間的間隔比較小，有些辨別不清楚，這可能與電壓較小且電泳時(shí)間過(guò)長(zhǎng)有關(guān)。左邊的純菌種跑出了四條條帶，表明有些純菌種可以跑出多條條帶的。右邊也是純菌種，理論上應(yīng)該只有一條條帶，但結(jié)果有很多條，可能是實(shí)驗(yàn)操作時(shí)出現(xiàn)了污染。

六、思考

1． 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中需要注意些什么細(xì)節(jié)？ 1)配制試劑時(shí)一定要用去離子水 2)在混合和灌膠時(shí)應(yīng)避免產(chǎn)生氣泡。

3)制膠是關(guān)鍵。玻璃板一定要洗干凈，在灌膠時(shí)，要?jiǎng)蛩俚霓D(zhuǎn)動(dòng)滑輪，將凝膠液勻速的灌入玻璃板中，液面要保持水平。

4)灌完膠后要立即清洗注射器，以防膠凝固，堵塞管子.5)點(diǎn)樣時(shí)，要用小型注射器，伸入點(diǎn)樣孔底部點(diǎn)樣

6)每次用完儀器后要及時(shí)清理，玻璃板一定要清洗干凈，放置妥當(dāng)。

2． 通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)阌惺裁词斋@？這個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)你今后開展相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究是否有幫助？

變性梯度凝膠電泳（DGGE）讓我了解到現(xiàn)在微生物群落的研究方法的先進(jìn)性，在分子生物學(xué)的研究中具有重要的意義。變性梯度凝膠電泳可以區(qū)分不同群落中微生物的種類。而且，此次實(shí)驗(yàn)對(duì)今后的畢業(yè)論文課題開展奠定了良好的基礎(chǔ)。

3． 如果你在做DGGE實(shí)驗(yàn)時(shí)得到的指紋圖譜的所有條帶都在凝膠的上端，可能是什么因素 導(dǎo)致的，你怎么來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？實(shí)驗(yàn)前做什么樣的準(zhǔn)備工作可以避免這樣的結(jié)果出現(xiàn)？

可能導(dǎo)致的原因有：

① 變性劑濃度過(guò)大，雙鏈DNA開始電泳后立即部分裂解為單鏈后，始終保持較小的電泳速 度，因而導(dǎo)致結(jié)果偏上。

② 電泳時(shí)電壓過(guò)低，導(dǎo)致電泳速度影響條帶位置。③ 電泳時(shí)間太短。④ GC濃度不理想。解決措施

① 適當(dāng)降低變性劑的濃度 ② 增加加電泳電壓 ③ 加長(zhǎng)電泳時(shí)間

4.如果你的DGGE圖譜很模糊，只有很少的幾個(gè)條帶，這個(gè)結(jié)果能用嗎？可能是什么原因?qū)е碌模?/p>

不能用。可能是由于變性膠濃度不合適而導(dǎo)致產(chǎn)物結(jié)果無(wú)法完全呈現(xiàn)在圖譜上。除此外，也可能是因?yàn)闃悠妨窟^(guò)低而導(dǎo)致圖譜模糊。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中中，操作過(guò)程、膠的均勻程度、玻璃板的潔凈程度等都會(huì)影響電泳的結(jié)果。

第二篇：變性梯度凝膠電泳及其在法醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

【關(guān)鍵詞】變性梯度凝膠電泳；法醫(yī)學(xué)應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】r919．

2【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】b

【文章編號(hào)】1007—9297(2005)02—0063—0

4隨著人類基因組計(jì)劃的實(shí)施和迅速發(fā)展．人類基

因的神秘面紗已逐步揭開，越來(lái)越多的疾病或基因多

樣性均與基因的突變有關(guān)。因此，對(duì)基因突變的篩選

或

診斷無(wú)論對(duì)基礎(chǔ)研究還是臨床研究均具有重要意

義。近年來(lái)，一系列新的基因突變檢測(cè)方法層出不窮的同時(shí)，經(jīng)典的方法也不斷得到改進(jìn)。其中。由fischer

和lerman[，2】創(chuàng)立的變性梯度凝膠電泳(denaturing gra—

dient gel electrophoresis，dgge)歷經(jīng)多次改良，已發(fā)

展成一類極具實(shí)用價(jià)值的常規(guī)突變檢測(cè)技術(shù)．被廣泛

應(yīng)用于疾病的診斷或相關(guān)基因的篩查、人類基因多態(tài)

性分析、微生物種群研究等各個(gè)領(lǐng)域。

一、dgge基本原理

dgge是利用dna的物理性質(zhì)進(jìn)行突變分析的。

其原理是基于待測(cè)dna 片段雙螺旋的解鏈溫度

(melting temperature。tm)。tm值由dna片段的堿基

數(shù)目和堿基組成共同決定。主要引起低溫解鏈區(qū)域解

鏈。當(dāng)dna片段在變性劑(尿素和甲酰胺)濃度呈線

性梯度增加的凝膠中電泳時(shí)。起初雙螺旋dna片段

以恒定的速率(由分子量決定)向前遷移，在抵達(dá)變性

效果相當(dāng)于其tm值的變性劑濃度點(diǎn)時(shí)．雙鏈dna開

始部分解鏈．部分解鏈后的dna分子呈分枝狀使其

遷移速度極度減緩．幾乎處于“停頓”狀態(tài)。長(zhǎng)度相同

但序列不同的dna片段。即使僅存在單個(gè)堿基改變。

也將影響鄰近堿基間的相互作用．導(dǎo)致tm值的改變．

從而在不同的變性劑濃度點(diǎn)解鏈、“停頓”．這樣dna

片段由于相同電泳時(shí)間內(nèi)的不同位移而得以分離。

上述原理僅能檢測(cè)dna片段中低溫解鏈區(qū)存在的序列差異或突變．而位于高溫解鏈區(qū)的則無(wú)法檢

出．因高溫解鏈區(qū)解鏈的變性條件可使整個(gè)雙鏈完全

解開導(dǎo)致序列依賴的凝膠遷移特性喪失。基于此．可

通過(guò)克隆或pcr方法在待檢目的片段的5 端引入

3o 5o個(gè)gc堿基組成的寡核苷酸鏈． 即gc—clamp。

使其成為片段中tm最高的區(qū)域，從而使目的片段高

溫解鏈區(qū)解鏈時(shí)dna雙螺旋不至于完全解鏈成單

鏈，極大增加dgge的突變檢出率。[3]

變性梯度凝膠是有方向性的，據(jù)此可將dgge分

為兩類：垂直dgge和平行dgge。垂直dgge的變

性劑梯度方向與電泳方向垂直，可用于確定同一dna

片段上不同的解鏈區(qū)域、優(yōu)化樣本的分離條件或分析

pcr產(chǎn)物的組成；平行dgge的變性劑梯度方向與電

泳方向一致，在所檢測(cè)的dna解鏈區(qū)域和溫度已知的情況下可用于多個(gè)樣本的同時(shí)分析。

二、dgge衍生技術(shù)

圈i t 曩

(一)恒定變性凝膠電泳(constant denaturant gel

electrophoresis，cdge)

由hovig等嗍(1991年)在dgge的基礎(chǔ)上發(fā)展

而來(lái)．它是通過(guò)預(yù)試驗(yàn)或理論計(jì)算預(yù)先精確確定待測(cè)

dna片段的tm值后即采用相當(dāng)于該tm值的單一變

性劑濃度的凝膠電泳．使不同的dna片段各自以不

同但恒定的速度遷移。cdge避免了化學(xué)變性劑梯度的應(yīng)用．且選擇特定的最佳變性劑濃度可獲得最好的分辨效果。同時(shí)克服了dgge電泳時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn)，使

其變得更加簡(jiǎn)單快速。但對(duì)含有多個(gè)解鏈區(qū)域的目的片段需選擇不同濃度的變性凝膠以提高檢測(cè)效率。因

需事先精確確定待測(cè)片段的tm值。故該法主要用于

已知突變的檢測(cè)。

【基金項(xiàng)目l 國(guó)家自然科學(xué)基金資助(no．30300399)

【作者簡(jiǎn)介l 黃代新(1969一)，男，湖北松滋人，博士，副教授，主要從事法醫(yī)分子遺傳學(xué)研究。

· 146 ·

(二)溫度梯度凝膠電泳(temperature gradient gel

electrophoresis，tgge)

tgge凝膠中含有固定濃度的化學(xué)變性劑，在電

泳過(guò)程中．通過(guò)微處理器控制從凝膠的頂端到底端形

成一線性增加的溫度梯度，以此取代dgge中的化學(xué)

變性劑濃度梯度。變性環(huán)境由凝膠中恒定濃度的變性

劑和溫度梯度共同構(gòu)成。[5,61由于無(wú)需制備變性梯度

膠，tgge較dgge更加簡(jiǎn)單穩(wěn)定。但目前大多tgge

儀器所允許的溫度范圍為15℃～80℃，較大片段的tm值會(huì)因接

第三篇：共軛梯度法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

數(shù)值代數(shù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 一、實(shí)驗(yàn)名稱：

用共軛梯度法解線性方程組。

二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/span>

進(jìn)一步熟悉理解掌握共軛梯度法解法思路，提高 matlab 編程能力。

三、實(shí)驗(yàn)要求：

已知線性方程矩陣，應(yīng)用共軛梯度法在相關(guān)軟件編程求解線性方程 組的解。

四、實(shí)驗(yàn)原理：

1．共軛梯度法：

考慮線性方程組 Ax b 的求解問(wèn)題，其中 A 是給定的 n 階對(duì)稱正定矩陣，b 是給定的 n 維向量，x 是待求解 的 n 維向量.為此, 定義二次泛函 T T(x)x Ax 2b x.定理 1 設(shè) A 對(duì)稱正定 , 求方程組 Ax b 的解，等價(jià)于求二次泛函(x)的極小值點(diǎn).定理 1 表明，求解線性方程組問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求二次泛函(x)的極小值點(diǎn)問(wèn)題.求解二次函數(shù)極小值問(wèn)題，通常好像盲人下山那樣，先給定一個(gè)初始向量 x 0，確定 一個(gè)下山方向 p 0，沿著經(jīng)過(guò)點(diǎn) x 0 而方向?yàn)?p 0 的直線 x x 0 p 0 找一個(gè)點(diǎn) x x p，1 0 0 0 使得對(duì)所有實(shí)數(shù) 有 x p x p，0 0 0 0 0 即在這條直線上 x 1 使(x)達(dá)到極小.然后從 x 1 出發(fā)，再確定一個(gè)下山的方向 p 1，沿著 直

線

x x p 再 跨 出 一 步，即 找 到 1 使 得 x 在 x 2 x 1 1 p 1 達(dá) 到 極 小 ：1 x p x p.1 1 1 1 1 重復(fù)此步驟，得到一串 0 , 1 , 2 ,L 和 p 0 , p 1 , p 2 ,L，稱 p k 為 搜索方向，k 為步長(zhǎng).一般情況下，先在 x k 點(diǎn)找下山方向 p k，再在直線 x x p 上確定步長(zhǎng) k 使 k k

x p x p k k k k k,最后求出

x x p.然而對(duì)不同的搜索方向和步長(zhǎng)，得到各種不同的算法.k 1 k k k 1

由此，先考慮如何確定 k.設(shè)從 x k 出發(fā)，已經(jīng)選定下山方向 p k.令 f x p k k T T x p A x p 2b x p k k k k k k 2 T 2 T p Ap r p x，k k k k k 其中 r k b Ap k.由一元函數(shù)極值存在的必要條件有 T T f 2 p Ap 2r p 0 k k k k 所確定的 即為所求步長(zhǎng)，即

k 步長(zhǎng)確定后，即可算出

T r p k k k T p Ap k k

.x x p.k 1 k k k T 此時(shí)，只要 r p 0，就有 k k 即

x x.k 1 k

x x x p x 2 k 1 k k k k k T r p k k 2 T 2 T 0 p Ap r p k k k k k k T p Ap k k 再考慮如何確定下山方向 p k.易知負(fù)梯度方向是(x)減小最快的方向，但簡(jiǎn)單分 析就會(huì)發(fā)現(xiàn)負(fù)梯度方向只是局部最佳的下山方向，而從整體來(lái)看并非最佳.故采用新 的方法尋求更好的下山方向—— 共軛梯度法.下面給出共軛梯度法的具體計(jì)算過(guò)程 : 給定初始向量 x 0，第一步仍選用負(fù)梯度方向?yàn)橄律椒较颍?p 0 r 0，于是有 T r r 0 0 ,x x p ,r b Ax.0 T 1 0 0 0 1 0 p Ap 0 0 對(duì)以后各步，例如第 k+1 步（k 1）, 下山方向不再取 r k，而是在過(guò)點(diǎn)由向量 r k 和 p k 1

所張成的二維平面 2 { x | x x k r k p k 1 , , R} 內(nèi)找出使函數(shù) 下降最快的方向作為新的下山方向 p k.考慮 在 2 上的限制：,(x k r k p k)1 T(x r p)A(x r p)k k k 1 k k k 1 T 2b(x r p).k k k 1 計(jì)算 關(guān)于 , 的偏導(dǎo)得：

T T T r Ar r Ap r r , k k k k 1 k k T T 2 r Ap p Ap , T 其中最后一式用到了 r p 1 0，這可由 r k 的定義直接驗(yàn)證.令 k k 1 k 1 k 1 k k 0，即知 在 2 內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn) x% x r p，k 0 k 0 k 1 2

其中 0 和 0 滿足

T T T r Ar r Ap r r 0 k k 0 k k 1 k k,T T r Ap p Ap 0 k k 1 0 k 1 k 1

0.由于 r k 0 必有 0 0，所以可取 1 0 p x% x r p k k k k0 0 作為新的下山方向.顯然，這是在平面 2 內(nèi)可得的最佳下山方向.令 0 k，則可 1 得 T r Ap k k 1.k 1 T p Ap

k 1 k 1 T 注：這樣確定的 p k 滿足 p Ap 1 0，即 p k 與 p k 1 是相互共軛的.k k

0 總結(jié)上面的討論，可得如下的計(jì)算公式：

T r p k k，x k 1 x k k p k，k T p Ap k k r b Ax，k 1 k 1 T r Ap k 1 k，p k 1 r k 1 k p k.k T p Ap k k 在實(shí)際計(jì)算中，常將上述公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，從而得到一個(gè)形式上更為簡(jiǎn)單而且對(duì)稱 的計(jì)算公式.首先來(lái)簡(jiǎn)化 r k 1 的計(jì)算公式：

r 1 b Ax 1 b A(x p)r Ap.k k k k k k k k 因?yàn)?Ap k 在計(jì)算 k 是已經(jīng)求出，所以計(jì)算 r k 1 時(shí)可以不必將 x k 1 代入方程計(jì)算，而是 從遞推關(guān)系 r k 1 b k Ap k 得到.再來(lái)簡(jiǎn)化 k 和 k 的計(jì)算公式.此處需要用到關(guān)系式 T T T r r 1 r p 1 r 1 p 0, k 1,2,K.k k k k k k 從而可導(dǎo)出 1 T T r r r ,，k 1 k 1 k 1 1 1 k T T T p Ap p r r p r k k k k k 1 k k 1 T 1 T k k r r p r r.k k k 1 k 1 k k k k 由此可得

T T r r r r k k 1 1.k k ,.，k T k T p Ap r r k k k k 從而有求解對(duì)稱正定方程組的共軛梯度法算法如下：

x 初值 0 r b Ax ； k 0 0 0 while r k 0 k k 1 if k 1 p r 0 0 3

else T T k r k r k r k r k1 1 2 2 p r p k 1 k 1 k 2 k 2 end T T k r k r k p k Ap k1 1 1 1 x x p k k 1 k 1 k 1 r r Ap k k 1 k 1 k 1 end x x k 注：該算法每迭代一次僅需要使用系數(shù)矩陣 A 做一次矩陣向量積運(yùn)算.定理 2 由共軛梯度法得到的向量組

r 和 p i 具有如下基本性質(zhì)：

i T（1）

p r 0，0 i j k;i j T（2）

r r 0，i j，0 i, j k;i j T（3）

p Ap 0，i j，0 i, j k;i j（4）

span{ r ,K , r k } span{ p ,K , p k }(A, r ,k 1)，0 0 0 其中 k(A,r , k 1)span{ r , Ar ,K , A r }，0 0 0 0 通常稱之為 Krylov 子空間.下面給出共軛梯度法全局最優(yōu)性定理：

定理 3 用共軛梯度法計(jì)算得到的近似解 x k 滿足 x min x : x x(A,r ,k)k 0 0 或 x x x x x x A r k，* min * : 0(, 0 ,)k A A 其中

T x x Ax，x * 是方程組 Ax b 的解，(A, r 0 ,k)是由所定義的 Krylov 子空間.A 定理 2 表明，向量組 r 0 ,K ,r k 和 p 0 ,K , p k 分別是 Krylov 子空間(A, r 0 ,k 1)的正 交基和共軛正交基.由此可知，共軛梯度法最多 n 步便可得到方程組的解 x *.因此，理論上來(lái)講，共軛梯度法是直接法.然而實(shí)際使用時(shí)，由于誤差的出現(xiàn)，使 r k 之間的正交性很快損失，以致于其有 限步終止性已不再成立.此外，在實(shí)際應(yīng)用共軛梯度法時(shí)，由于一般 n 很大，以至于 迭代 O n 次所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間就已經(jīng)使用戶無(wú)法接受了.因此，實(shí)際上將共軛梯度 法作為一種迭代法使用，而且通常是

r 是否已經(jīng)很小及迭代次數(shù)是否已經(jīng)達(dá)到最大

k 允許的迭代次數(shù) k max 來(lái)終止迭代.從而得到解對(duì)稱正定線性方程組的實(shí)用共軛梯度 法，其算法如下：

x 初值 4

k 0;r b Ax;

T r r

while

b and k k max 2 k k 1 if k 1 p r else %;p r p end T;;Ap p x x p T r r;%;r r end 算法中，系數(shù)矩陣 A 的作用僅僅是用來(lái)由已知向量 p 產(chǎn)生向量 Ap，這不僅可以 充分利用 A 的稀疏性，而且對(duì)某些提供矩陣 A 較為困難而由已知向量 p 產(chǎn)生向量 Ap 又十分方便的應(yīng)用問(wèn)題是十分有益的。

2．算例 10 13 4

x 1運(yùn)用共軛梯度法求解下述方程，并解釋你所觀察到的結(jié)果 1 9-1 2-3 x 27 2-1 7 3-5

x 33 2 3 12-1 x 17 解：已知共軛梯度法的 MATLAB 程序代碼如下所示：4-3-5-1 15 x 12 function[x,n]=conjgrad(A,b,x0)5 %采用共軛梯度法求線性方程組 Ax=b 的解 %線性方程組的系數(shù)矩陣：

A %線性方程組中的常數(shù)向量：

b %迭代初始向量：

x0 %線性方程組的解：

x %求出所需精度的解實(shí)際的迭代步數(shù)：

n r1=b-A*x0;p=r1;n=0;for i=1:rank(A)if(dot(p,A*p)<1.0e-50)break;end

alpha=dot(r1,r1)/dot(p,A*p);5

x=x0+alpha*p;r2=r1-alpha*A*p;if(r2<1.0e-50)break;end belta=dot(r2,r2)/dot(r1,r1);p=r2+belta*p;n=n+1;end 用共軛梯度法求解，在 MATLAB 命令窗口中輸入求解程序：

>> A=[10 1 2 3 4 2 4 2 1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 9 2;2-1 7 3-5 4-5 7-1 3;3 2 3 12-1 5-1 3 2 4;4-3-5-1 15 1 3 2 3 2;2 3 4 5 1 10 4 5 3 4;4-3-5-1 3 4 9 1-3 2;2-1 7 3 2 5 1 7-1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 12 10;1 2 3 4 2 4 2 1 10 15];>> b=[12;-27;14;-17;12;12;-27;14;-17;12];>> x0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];>> [x,n]=conjgrad(A,b,x0)輸出的計(jì)算結(jié)果為：

x = 8.5669-7.1981-7.3479-13.9388 1.1303 11.5188-26.8966-2.2388 0.0829 13.2786 輸出的迭代次數(shù)為 n = 10 共軛梯度法理論上只要迭代 n 步，就能得出方程組的解，但是由于存在計(jì)算誤差，即分?jǐn)?shù)向小數(shù)轉(zhuǎn)化時(shí)存在舍入誤差，很難保證在第 n 步時(shí)得到準(zhǔn)確解。

3． 總結(jié) 本文首先給出最小二乘問(wèn)題的定義，隨后從盲人下山法開始討論了共軛梯度法 的具體推導(dǎo)過(guò)程及其相關(guān)性質(zhì)與算法.繼而重點(diǎn)給出正則化方法的實(shí)用共軛梯度算 法并舉例進(jìn)行檢驗(yàn).最后，需要說(shuō)明雖然正則化方法是求一般線性方程組 Ax b，m n A R m n 且 A 列滿秩的最小二乘解的一種方法且簡(jiǎn)單易行，但是也有許多不

足之處，如 m n 時(shí)一般無(wú)解；

T A A 形成時(shí)運(yùn)算量大，A 中某些信息會(huì)丟失；當(dāng) A病

態(tài)時(shí)其收斂性速度由于

T 2 2(A A)2(A)很大變得非常之慢等，故為了避免正則化方 法的缺點(diǎn)，還可運(yùn)用殘量極小化方法或殘量正交化方法等更好的方法來(lái)解決此類問(wèn) 題.在實(shí)際的科學(xué)與工程問(wèn)題中，常常將問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)線性方程組的求解問(wèn)題，而求解線性方程組的數(shù)值解法大體上可分為直接法和迭代法兩大類.直接法是指在 沒(méi)有舍入誤差的情況下經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算可求得方程組的精確解的方法.因此，直接法 又稱為精確法.迭代法則是采取逐次逼近的方法，亦即從一個(gè)初始向量出發(fā)，按照一 定的計(jì)算格式，構(gòu)造一個(gè)向量的無(wú)窮序列 , 其極限才是方程組的精確解，只經(jīng)過(guò)有限 次運(yùn)算得不到精確解.當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，我們常用共軛梯 度法（或簡(jiǎn)稱 CG 法）求解，目前有關(guān)的方法與理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，并且已成為求解 大型稀疏線性方程組最受歡迎的一類方法.7