第一篇：線性代數培訓之收獲 ——對“克萊姆法則”的一個新教案

線性代數培訓之收獲

——對“克萊姆法則”的一個新教案

有幸參加國家線性代數精品課程的培訓，聆聽李尚志老師的教誨，真是受益匪淺，感觸很多。李老師對數學的高深領悟，“空間為體，矩陣為用”，獨創性的設計了線性代數新的教學內容體系，淋漓盡致的體現了代數與幾何的內在聯系，使人耳目一新。李老師的啟發式教學方法也是值得我們學習和借鑒，以問題為驅動，引入新概念，使學生對抽象的數學概念（如n階行列式、線性相關、線性無關、方程的秩等）有了形象的、感性的、更簡潔、更深刻的理解.特別是用幾何方法引入二階行列式和三階行列式，而且賦于其幾何含義：二階行列式和三階行列式分別表示平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積，更一般n階行列式在幾何上表示“n維體的有向體積”,這樣可以發揮學生的想象力，引導學生去發現更多，引導學生去發現數學定理，充分培養學生的創造性思維能力，一切是為了學生的發展，正如李老師所說評價教學的效果主要是看學生懂了沒有，體現了以學生為本的教學理念。

對比本人對線性代數的理解以及教學實際，真是差距很大，覺得自己需要努力去奮斗。這里就結合這次培訓的體會和收獲聯系自己以往的線性代數教學實際，擬寫一份教案，談談自己對“克萊姆法則”內容新的處理方式。

§7克萊姆法則

一、教學內容

(1)克萊姆法則的證明(2)克萊姆法則的應用

二、教學要求

（1）理解克萊姆法則的證明

（2）理解非齊次線性方程組有唯一解的充分條件是它的系數行列式D≠0;若D=0，方程組無解或有無窮多解

（3）理解齊次線性方程組有非零解的必要條件是它的系數行列式D=0；若D≠0，方程組只有零解

教學過程

一、（定理1）克萊姆法則

若n×n線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ⑴ ????????????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的系數行列式

a11a12?a1n

D=

a21a22?a2n?????an1an2?ann?0，則方程組⑴有唯一解：x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n.⑵ DDD其中Di(i=1,2,?,n)是把系數行列式D中的第i列的元素用方程組⑴右端的常數項代替后所得到的n 階行列式，即

a11?a1,i?1b1a1,i?1?a1n

Di=

a21?a2,i?1b2a2,i?1?a2n??????????an1?an,i?1bnan,i?1?ann.證：先證明⑵式是方程組⑴的解.要證⑵式是方程組⑴的解，只需把它代入方程組⑴的第i個方程，如果左端也等于bi，則說明⑵確是方程組⑴的解.將⑵代入方程組⑴的第i個方程的左端，并把Di按照第i列展開，第i個方程的左端=ai1=

DD1D+ai22+?+ainn DDD1(aD1+ai2D2+?+ainDn)Di11=[ ai1(b1A11+b2A21+?+biAi1+?+bnAn1)+ D

ai2(b1A12+b2A22+?+biAi2+?+bnAn2)+

?

+

ain(b1A1n+b2A2n+?+biAin+?+bnAnn)]

1[b1(ai1A11+ai2A12+?+ainA1n)+ D

b2(ai1A21+ai2A22+?+ainA2n)+

?

+

bi(ai1Ai1+ai2Ai2+?+ainAin)+

?

+

bn(ai1An1+ai2An2+?+ainAnn)] =根據行列式按行展開法則，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系數是D，而其他bk(k≠i)的系數都是零，從而第i個方程的左端=ai1DD1D+ai22+?+ainn

DDD=1（bi D）=bi =第i個方程的右端, i=1,2,?,n.D故⑵確是方程組⑴的解.再證明解的唯一性.若方程組⑴還有一個解：

x1=c1 ，x2=c2 , ?, xn=cn

⑶ 只要證明⑶與⑵相同即可.將⑶代入方程組⑴，得

?a11c1?a12c2???a1ncn?b1,??a21c1?a22c2???a2ncn?b2,?

⑷ ???????????????ac?ac???ac?bn22nnnn?n11現在構造一個新的行列式

a11c1a12?a1n

c1 D=a21c1a22?a2n??????an1c1an2?ann（即在D的第1列乘以c1）

給此行列式的第2，3，?，n 列分別乘以c2，c3, ?,，cn后都加到第1列，得

a11c1?a12c2???a1ncna12?a1n

c1D= a21c1?a22c2???a2ncna22?a2n?????????????an1c1?an2c2???anncnan2?ann

根據⑷式，得

b1a12?a1n

c1D=b2a22?a2n????bnan2?annDD2,?, cn=n.DD=D1, 因為 D≠0,所以 c1=

D1.D 同理可證，c2=

唯一性得證.（說明：我們學校現使用同濟大學數學教研室編《工程數學：線性代數（第三版）》，其中克萊姆法則的證明（現略）,筆者認為，有以下幾點值得商榷和改進：一是先證明解的唯一性，后驗證解的存在性，是否符合思維邏輯？因為沒有解的存在性這個前提，怎么談解的唯一性？二是在解的唯一性的證明中所用的技巧很強與前面行列式的性質聯系不夠，教學實踐也證明學生難以理解，而且不具備數學中證明很多“唯一性”問題的一般方法.因為一個好的方法應是一般性的、具有“以不變應萬變”的功效，而且應充分利用學生已知的知識，化未知為已知，這是非常重要的數學思想方法。，基于以上想法，本文給出克萊姆法則的一個簡捷的證明.先證明了解的存在性，再證明了解的唯一性，在證明中充分應用了行列式的性質和行列式的展開定理，學生容易理解，而且具有一定意義的數學教育價值.另外，不足之處是，能否象李老師所說引導學生去自然而然的發現這個定理，而不是一開始直接給出這個定理，再去證明，本人目前還沒有好的方法，有待繼續考慮。）

例1 解線性方程組（現略）

（說明：這是一個含有4個未知數4個方程的非齊次線性方程組，其目的是熟悉克萊姆法則的內容和直接的、簡單的應用，也使學生對克萊姆法則從一般到特殊有感性的認識，加深學生對克萊姆法則的理解和應用。）

定理1的逆否定理為：

定理1ˊ若線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式D=0

二、齊次線性方程組的克萊姆法則

若線性方程組（1）中的所有的常數項全為0，即b1=b2=?=bn=0, 若線性方程組（1）稱為齊次線性方程組。

事實1：齊次線性方程組必有解，如x1=x2=?xn=0一定是它的解。這個解稱為它的零解。如果有一組不全為0的數是它的解，則這個解稱為它的非零解。

事實2：若齊次線性方程組有一個非零解，則它有無窮多解。

（說明：這2個事實不難證明，它們在后續的學習中反復遇到，而且可以以不同的形式出現：如零向量可以用任意一組向量線性表示，特別是事實2為后續學習齊次線性方程組的解的結構設下伏筆，正如李老師所說很多內容事實上是一回事，只是表現形式不同而已，這里講透了以后可以少講，這樣使得學生精裝上陣，減輕學生頭腦的負擔，先將書由薄讀厚，再由厚讀薄。）

定理2 若n×n齊次線性方程組的系數行列式D≠0，則此齊次線性方程組只有零解。

定理2的逆否定理為：

定理2ˊ若n×n齊次線性方程組有非零解，則它的系數行列式D=0。

證：用反證法。

假設D≠0，則由 克萊姆法則可知該齊次線性方程組線性方程組有唯一解x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n。而D1=D2=?DN=0,因此唯一解是零解，這與有非零解相矛盾。DDD故D=0。

注1：定理2ˊ的逆命題也成立，即若n×n齊次線性方程組的系數行列式D=0，則它一定有非零解。（第三章證明）

注2：關于更一般的m×n線性方程組的情況在本書第三章討論。

例2 設齊次線性方程組

?(5??)x1?2x2?2x3?0,?有非零解，問?取何值？ ?2x1?(6??)x2?0,?2x?(4??)x?03?1

解

由定理2ˊ可知，若齊次線性方程組有非零解，則它的系數行列式D=0，5??即D=26??020=?5????6????4????4?4????4?6??? 4??=?5????2????8???=0 22 從而得??2或??5或??8。

（說明：齊次線性方程組的情形是線性方程組的特例，從而定理2和定理2ˊ分別是定理1和定理1ˊ的特例，分別由定理1和定理1ˊ演繹得到。數學教學中，歸納和演繹無處不在，我們要給學生強調一般化和特殊化的關系，這容易被忽視。特別是定理2ˊ的逆命題我們還沒有證明，所以這里的例2是將原例題改變而成，原例題是問?取何值時，此齊次線性方程組有非零解。這樣，更符合邏輯，好讓學生懂數學，讓學生更好的掌握知識。因為李教授說我們不但要教數學，也要教學生，不但要懂數學，更要懂學生。）

蘭州交通大學

李興東

2007，11，22

第二篇：新安全生產法培訓教案

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新安全生產法培訓教案

教學目的：

通過此次學習《安全生產法》，加強安全生產工作，防止和減少生產安全事故，保障人民群眾生命和財產安全，促進經濟社會持續健康發展。

教學內容：

新修訂的《安全生產法》(以下簡稱新安法)已經通過全國人大常委會審議，并以中華人民共和國主席令第十三號公布，這是安全生產法制建設的一件大事。新安法為推進依法治理、建立規范的安全生產法制秩序提供了強大的法律武器，也為我們的安全生產監督管理工作提供了法律支撐。此次新安法修改涉及現行安法97條中的63條(包含增條款)，占現行安法的65%，其內容豐富、廣泛，該法于2014年12月1日起施行。

新安法主要增加了幾個亮點：一是強化生產經營單位的主體責任;二是加大對責任人和企業的處罰力度，除對責任人移送司法機關追究刑事責任，對相關責任人給予黨紀、政紀和行政處罰，還要對主要責任人和企業進行經濟處罰(對企業最高罰金2000萬元，對個人最高罰金為其上一年年收入的100%);三是建立安全生產違法行為信息庫(違法黑名單)，向社會公告。

一、修改的必要性

安全生產事關人民生命財產安全和社會和諧穩定大局，是當前人民群眾最關心、最直接、最現實的問題之一，安全生產始終受到黨中央、國務院的高度重視，中央領導同志也多次就安全生產提出要求，強調安全生產是人命關天的大事，是不能逾越的“紅線”;同時，安全生產也事關改革開放、經濟發展和社會穩定大局，現行的《安全生產法》施行12年來，國民經濟、社會發展和人民群眾的期待雖然有了很大變化，但是隨著經濟的不斷提高、社會的不斷發展，我們安全生產不僅面臨著嚴峻的安全生產壓力，還面臨著安全生產新情況、新要求。

二、修改的主要內容

今年8月31日，新安法公布以來，我從修改后的整體進行了一次瀏覽，其主要修改變化主要有以下幾點：

(一)現行《安全生產法》共七章97條(總則共15條，生產經營單位的安全生產保障共28條、從業人員的安全生產權力義務共9條，安全的生產監督管理共15條，安全生產事故的應急救援與調查處理共9條，法律責任工20條，附則共2條)。新的《安全生產法》共七章114條(總則共16條，生產經營單位的安全生產保障共32條、從業人員的權力和義務共10條，安全的生產監督管理共17條，安全生產事故的應急救援與調查處理共11條，法律責任共25條，附則共3條)。

(二)此次新安法的修改，人大的修改決定共有52條，新安法在現行法的基礎上總體上增加了17條。其中：新增16條，主要是人大修改決定中的第6、9、12、13、20、25、28、29、30、31、39、40、45、47、49、51條決定分別新增條作為新安法的第12、19、22、23、38、58、67、75、76、78、92、93、99、105、109、113條(內容解讀中列舉部分);人大修改決定的第42條決定又將現行法的第83條修改為新法第95、96兩條。

(三)人大修改決定的第52條對部分條文作了修改，主要涉及現行安法16條(詳見決定);其余修改項因時間關系在此就不再作詳細解讀。

三、主要內容解讀

為認真總結現行安法實施12年的成功經驗，貫徹落實習總書記關于安全生產工作系列重要指示精神，新安法從強化安全生產工作的擺位、進一步落實生產經營單位的主體責任、政府安全監管定位和加強基層執法力量、強化安全生產等方面入手，著眼于安全生產現實問

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題和發展要求，補充完善了相關法律制度規定，修正的主要內容體現在四個方面：

(一)進一步明確和強化安全生產工作

一是在將現行安法第一條中“促進經濟發展”改為新安法第一條中“促進經濟社會持續健康發展”，我們不難看出安全發展不僅關系經濟，也關乎社會，并且是一個要求長期健康發展的過程。二是將現行安法“安全生產管理、堅持安全第一、預防為主”的方針分解修改為新安法第三條“安全生產工作應當以人為本，堅持安全發展”“堅持安全第一，預防為主，綜合治理”的方針，“建立生產經營單位負責、職工參與、政府監管、行業自律和社會監督的機制”。這些條款對于提升安全生產重要性的認識提供了法律依據，所以我們應當站在貫徹黨的安全生產方針這個高度來抓好安全生產工作。三是落實三個“必須”的要求(管業務必須管安全、管行業必須管安全、管生產必須管安全)，且在新法第9條中，將安全生產監督管理部門和對有關行業、領域的安全生產工作實施監督管理的部門統稱為“負有安全生產監督管理職責的部門”并在修改條款中多次表述。這一條款說明了什么?說明了安全監管不僅是安監部門才管安全，而且對有關行業、領域的安全生產實施監管的部門也將負有安全監管責任，這也就應證了前面的三個“必須”。四是賦予了工會組織新的職責，在新法第7條中規定：工會依法對安全生產工作進行監督;生產經營單位制定或修改有關安全生產的規章制度時，應當聽取工會意見。為什么新安法要賦予工會新的職責呢?因為工會在國家政治、經濟和社會生活中占有非常重的地位的地位，新安法賦予工會新的權利與義務，主要是充分發揮工會組織在安全生產重的監督職責和確保安全生產各項規章制度制定修改時職工權益得到有效保障，而不是一味的追求企業利益至上。

(二)進一步落實生產經營單位的主體責任新安法中有20多條都是針對企業來說的，對企業的安全生產監管、機構建設、隱患排查治理等都做了明確規定，這說明在新安法實施后，經營單位的主體責任更加明確具體。一是新安法“第二章生產經營單位的安全生產保障”增加了4條，共32條。主要是將近年來，特別是國務院[2010]23號文件中關于對生產經營單位要求的條款以法律條文形式寫入了新安法。如：第19條，生產經營單位建立安全生產責任制以及監督考核機制;第22條，生產經營單位的安全生產管理機構以及安全生產管理人員的7條職責;第23條，安全管理機構、安全管理人員依法履行職責并參與經營決策;第38條，生產經營單位建立生產安全事故隱患排查治理制度，治理情況如實記錄并向次年工業人員通報。二是在現行法的基礎上，高危行業增加“金屬冶煉”，并且在新法中相關條款均設定了安監部門相關告知、考核、審查、審核的權利和責任。如：23條規定“安全管理人員的任免應當告知”、29條規定“按照國家有關規定進行安全評價”、30條中的“設計審查”和31條中“安全設施驗收由建設單位負責，安監部門監督核查”等。三是建立對被派遣勞動者的管理制度，在現行安法第21條的基礎上增加“生產經營單位使用被派遣勞動者的，應當將其納入本單位從業人員統一管理、教育和培訓”，“勞務派遣單位進行必要的安全生產教育和培訓”作為新安法第25條的條款。四是安全費用提取和使用制度，在現行安法第18條的基礎上增加“有關生產經營單位應當按照規定提取和使用安全生產費用，專門用于改善安全生產條件，安全生產費用在成本中據實列支”一款作為新法的第20條的條款。

(三)進一步明確政府安全監管定位和加強基層執法力量 新安法規定國務院和縣級以上地方人民政府應當建立健全安全生產工作協調機制，及時協調、解決安全生產監督管理中存在的重大問題，明確了國務院和縣級以上地方人民政府安全生產監管部門實施綜合監管，有關部門在各自職責范圍內對有關行業、領域的安全生產工作實施監督管理。一是在新安法的“第四章安全生產的監督管理中”增加2條，共17條。新安法中的第67條賦予了安監部門在對安全生產經營單位作出停產決定時，在拒不執行的情況下停止供電和民爆物品的權利和第75條，如實記錄生產經營單位的安全生產違法行為信息，對情節嚴重的向社會公告，并通報有關行業部門和機構。二是明確了鄉鎮人民政府安全監管職能。在現行安法第8條基

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礎上增加 “鄉鎮人民政府以及街道辦事處、開發區管理機構等地方政府派出機關應當按照職責，加強對本行政區域內到生產經營單位安全生產現狀的監督檢查，協助上級人民政府有關部門依法履行安全生產監督管理職責”作為新安法第8條的條款。三是規定安監部門要制定監管檢查計劃。在現行安法第53條的基礎上新增“安監部門要制定監管檢查計劃，并按計劃進行監督檢查”作為新安法第59條的條款。四是增加安監部門依法開展安全生產行政執法工作的表述，明確了安監部門的執法地位。比如新法第62條中明確規定“安全生產監督管理部門和其他負有安全生產監督管理職責的部門依法開展安全生產生產行政執法工作”。五是安委會的工作法制化，在新安法的第8條中規定“國務院和縣級以上地方各級人民政府應當加強對安全生產工作的領導，支持、督促各級有關部門依法履行安全生產監管職責，建立健全安全生產工作協調機制，及時協調、解決安全生產監管中存在的重大問題”。這也就是本節開頭說的新法對各級政府和有關部門的規定。

(四)進一步強化安全生產責任追究

在新安法的第六章“法律責任”中，責任追究增加的條款是最多的章節，修改后的第六章共25條，比現行安法新增加5條。可以看出，新安法在責任追究這一塊是比較嚴格和逗硬的，也體現出了新法在修訂過程中，將安全生產責任追究納入了重點修改范疇。同時也說明了在后的安全生產監管中，不管是作為安全生產監管者，還是生產經營單位或是生產經營單位主要負責人來說，責任追究將會越來越嚴厲。比如：一是對安監部門和對有關行業、領域的安全生產工作實施監督管理的部門工作人員的追究，就在現行安法第77條的基礎

上新增了“在監督檢查中發現重大事故隱患，不依法及時處理的”和“有前款規定以外的玩忽職守的，依法給予處分，構成犯罪的，依照刑法有關規定追究刑事責任”作為新安法第87條的條款。二是加大了對安全評價、認證、檢測和檢驗機構的責任追究，此條款主要表現是現行安法和新安法經濟處罰上的重大區別。如：將現行安法中“違法所得在五千元以上的，并處違法所得的二倍以上五倍以下罰款”調整為新安法中“違法所得在十萬元以上的，并處違法所得的二倍以上五倍以下罰款”，此條款主要說明在新安法中的經濟罰款基數和罰款比列數額增加，也就是行政處罰的經濟罰中在現行法的基礎上進行了倍增。三是加大了對生產經營單位的責任追究。從新法的相關條款不難看出，生產經營者在安全生產中的責任越來越大，特別是對生產經營單位和主要負責人的經濟處罰。如：1.新增“對經營單位主要負責人未履行職責，導致發生生產安全事故，由安監部門依照規定對一般、較大、重大、特別重大分別處上一年收入30%、40%、60%、80%的罰款”作為第92條;2.新增“對拒不執行采取措施消除事故隱患的，責令停產停業整頓，并處10-50萬元罰款，對其直接負責的主管人員和其他直接責任人處二萬以上五萬以下罰款”作為第99條;3.新增“對發生一般、較大、重特別重大事故對負有責任的生產經營單位由安監部門處以罰款，從過去的500萬元提高至2000萬元”作為第109條;4.在現行安法第88條的基礎上新增“在事故處理期間擅離職守或者逃匿的生產經營單位主要負責人由安監部門處上一年收入的60%至100%的罰款”作為新安法第106條的條款;5.在現行安法第81條的基礎上增加“對重大、特別重大生產安全事故負有責任的，不得擔任本行業生產經營單位的主要負責人”作為新安法第91條的條款。

以上講的是新安法的主要內容，也是新安法的亮點之處，當然，還有部分新增加的內容沒有講到，如：安全生產標準化制度(新安法第4條)、注冊安全工程師制度(新安法第24條)、安全生產責任保險制度(新安法第48條)、應急救援制度(新安法第76條)。

四、立法思考及法律的生命力

新安法的修改從2013年10月31日十二屆人大常委會將修改列入一類項目開始至2014年8月31日公布，歷時10個月，不難看出，法律的修改制定是一個規范的、科學的、民主的過程，同時也體現了我們國家的法律在制定和修改中的協調性、及時性和系統性。

既然新安法已經公布，那么，作為新修改的法律，它的生命力在哪里?我覺得，新安法

新疆鑫源亨泰客運有限公司 的生命力在于它的實施。新安法的修改遵循了“三項原則”，而“適當細化”就是其中之一，目的就在于提高它的可操作性，因為安全生產涉及面寬，全國各地情況又有很大區別，任然有不少條款使用了比較原則的表述，所以，只有實踐才是新安法實施的基礎，這點需要國家總局進行調查研究，提出指導意見，以便新安法的實施。

比如：新增的第75條“安監部門應當建立安全生產違法行為信息庫，對違法行為情節嚴重的可以向社會公示，并可以通報行業、投資、國土等機構和部門”中，雖然我們對一些違法行為進行了處罰或責令停產整頓，但卻沒建立信息庫，也沒向社會進行公布，還只是停留在簡單的行業內通報，再者，就算建立了信息庫，與其他部門或外市縣的信息又怎么共享等等都需要進一步的實施和調研。

再如新法的第67條賦予了安監部門停電、停供爆炸物品的權利，并且賦予了安監監管部門綜合監督管理行業安全管理的職責，但是大家應該很了解，在以往或者在我們這個地方來說，停電、停供爆炸物品在現行安法中作為安監部門只有建議權，沒有直接的行政強制權利，而新法卻將權利賦予了安監部門，這就意味著安監部門在對那些拒不執行安監部門下達的指令時，安監部門有權采取停電和停止供應爆炸物品的強制措施，但是，根據以往的經驗來看，要真正得到實施，不僅需要上級政府、部門的指導，還需要負有安全監管的相關部門認真領會學習，并將其運用到安全生產監管的全過程，更需要生產經營單位對新安法的學習，使其明白新安法的相關規定和要求，只有這樣，新的法律法規才能在安全生產的實踐中、思索中不斷的完善。