第一篇：高中數學 暑期特獻 重要知識點 函數極限的運算規則

函數極限的運算規則

前面已經學習了數列極限的運算規則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規則與數列極限的運算規則相似。

⑴、函數極限的運算規則

若已知x→x0(或x→∞)時，則：

.推

論

：在求函數的極限時，利用上述規則就可把一個復雜的函數化為若干個簡單的函數來求極限。

例題：求

解答：

例題：求

此題如果像上題那樣求解，則會發現此函數的極限不存在.我們通過觀察可以發現此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

解答：

注：通過此例題我們可以發現：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規則了，應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規則求之。

函數極限的存在準則

學習函數極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。

我們先來看一個例子：

例：符號函數為

對于這個分段函數,x從左趨于0和從右趨于0時函數極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。

定義：如果x僅從左側(x＜x0)趨近x0時，函數當時的左極限.記：

與常量A無限接近，則稱A為函數

當

與常量A無限接近，則稱A為函數如果x僅從右側(x＞x0)趨近x0時，函數時的右極限.記：注：只有當x→x0時，函數函數極限的存在準則 的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限

準則一：對于點x0的某一鄰域內的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數的一切x)有那末≤≤，且，存在，且等于A 注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調有界的函數必有極限.注：有極限的函數不一定單調有界 兩個重要的極限

一：

...注：其中e為無理數，它的值為：e=2.7***045

二：

注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經常用到它們.例題：求

解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞，則

注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量 無窮大量

我們先來看一個例子：

已知函數，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設有函數y=，在x=x0的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可找到正數δ，當

時，記為：

成立，則稱函數當

時為無窮大量。

（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）

無限趨大的定義：設有函數y=，當x充分大

時，同樣我們可以給出當x→∞時，時有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可以找到正數M，當成立，則稱函數當x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設有函數，對于任意給定的正數ε(不論它多么小)，總存在正數δ(或正數

(或

當(或)的一切x，所對應的函數值滿足不等式M)，使得對于適合不等式，則稱函數記作：

(或x→∞)時 為無窮小量.)

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