第一篇：考研數學1.1利用等價無窮小代換求極限時應注意的問題

2、利用等價無窮小代換求極限時應注意的問題．

考研數學每年必考有關求極限的問題，利用等價無窮小代換求極限一般可以簡化計算，但我們一定要明確，在求極限時，什么時候能用等價無窮小代換，什么時候不能用等價無窮小代換，這也是部分學員，尤其基礎比較薄弱的學員開始復習的時候比較容易犯錯的地方。

下面通過給出幾個例子來進行講述，注意錯誤的解法，謹防自己犯同樣的錯誤。

例1：求極限lim 解：limtanx?sinxx3

?0x?0tanx?sinxx3x?0?limx?xx3

x?0利用等價無窮小代換．這樣計算對嗎？計算的錯誤在于在運算過程中利用了未加證明的命題．

若?~?',?~?',則???~?'??'.考察這個命題，??lim?????????lim????????lim??????1?????1???，當lim???1時,這個命題是真命題；當lim???1時,命題是假命題．

對于例1，因為，??sinx,??tanx,?'??'?x，lim所以，證明的結論是錯誤的．

正確解答: tanx?sinxx3??x?0?limsinxtanxx?0?1

limx?0limtanx(1?cosx)x3x?limx?0x2x?02?1.3x2

sin(xsin21例2：求limx?0x2x 1)xsin2)x?limxsin1?0

x?0x?0x?0xxx錯誤的原因在于在運算中錯誤的運用了等價無窮小代換： sin(xsin1錯誤解答: limx?lim1?1?22sin?xsin??xsin,???x?0?

x?x?而根據無窮小的比較的定義，當x取所以不能用等價無窮小的代換．

正確解答：當x?0時，1x1x1n?(n?Z)時，sin(xsin21x)和xsin21x均為0，sin(xsin2?x，21x)?xsinx21x?x?0(x?0)sin(xsin2)?xsin2x所以，由夾逼準則知原函數極限為0．

例3：求極限limx??sinxx

解：本題切忌將sinx用x等價代換，導致結果為1．

sinxsin?應該為：lim??0.x??x?注意：

①乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統一不用．這時，一般可以用泰勒公式、洛必達法則等方法來求極限．

②注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換，如例2.3．

鞏固相應知識點

① 無窮小量階的定義,設lim?(x)?0,lim?(x)?0.(1)若lim?(x)?(x)?0,則稱?(x)是比?（x)高階的無窮小量.(2)若lim?(x)?(x)??,則?(x)是比?（x)低階的無窮小量.(3)若lim?(x)?(x)?(x)?(x)?c(c?0),則稱?(x)與?（x)是同階無窮小量.(4)若lim?1,則稱?(x)與?（x)是等價的無窮小量,記為?(x)??(x).(5)若lim?(x)?(x)k?c(c?0),k?0,則稱?(x)是?（x)的k階無窮小量

② 常用的等價無窮小量

(命題重點,歷年必考)當x?0時, sinx??arcsinx?12?tanx1?coxs~x?~x,2?arctanx??(1?x)?1?~x??是實常數?ln(1?x)??xe?1??