銷售代理的開發與中斷
摘要
銷售代理的開發與中斷問題是一個非線性的優化問題,即要求公司的開支最小。本文從公司每年分給各個代理的業務量為入題點進行考慮，只要業務量一確定，相應的年運行費用、一次性費用、中斷費用、恢復費用等也就可以確定下來，進而可以求得總開支。
問題一：
min，其中，取=0.0001,的值如下表：
年份
代理一
代理二
代理三
代理四
總計
350
0
0
400
350
150
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
350
250
0
200
800
此時
min(T)=313.5
問題二：
min，當=0.005,的值如下表：
年份
代理一
代理二
代理三
代理四
總計
150
250
0
0
400
250
250
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
250
250
300
0
800
此時
min(T)=77.5
問題的重述
某公司正在某個城市開發些銷售代理業務，經預測已確定了未來5年的業務量，分別為400，500，600，700，800。該公司已初步物色了4家銷售公司作為候選企業，下表給出該公司與每個候選企業代理關系的一次性費用，以及每個候選企業每年所能承攬的最大業務量和年運行費用，該公司應與哪些候選企業建立代理關系?
代理一
代理二
代理三
代理四
年最大業務量
350
250
300
200
一次性費用
年運行費用
7.5
4.0
6.5
3.0
若該公司目前已經與上述4個代理建立了關系，并且處于運行狀態，但每年初可以臨時中斷或恢復代理關系，每次臨時中斷或重新恢復代理關系的費用如下表，該公司應如何對這些代理進行業務調整?
代理一
代理二
代理三
代理四
中斷費用
恢復費用
模型假設
1.在一年內只在年初進行業務量分配，中途不能有業務分配、中斷、恢復；
2.只要某代理分得有業務量，公司就應支付年運行費用和一次性費用；
符號說明
：
5年里的總開支
：公司第年的業務量，：公司和代理的年最大業務量，：公司和代理建立代理關系的一次性費用，：公司和代理建立代理關系的年運行費用，：公司和代理的中斷代理關系費用，：公司和代理的恢復代理關系費用，：公司在第年分給代理的業務量，；
：
公司在第年是否與代理建立代理關系，即公司在第年是否給代理分配業務量(=1，建立；=0，未建立)，；，當>0,則=1；當=0，則=0
：公司在第(-1)年到第年是否與代理有業務中斷關系，；
即：
：公司在第(-1)年到第年是否與代理有業務恢復關系，；
即：
模型的分析
從公司每年分給各個代理的業務量為入題點進行考慮，只要業務量一確定，相應的年運行費用、一次性費用、中斷費用、恢復費用等也就可以確定下來，進而可以求得總開支。
只要>0,則=1，=0，則=0，因此可以把和的關系表示為：。
就問題一而言，由題意可知：總開支
=總一次性費用+總運行費用，一次性費用為5年內只要公司分給代理的業務量則就應該支付一次性費用；運行費用為只要則就應該支付運行費。用數學符號表示為：，即為總開支的目標函數。約束條件為：。這便是第一問的模型。
問題二增加了中斷費用和恢復費用，少了一次性費用,從而可知：總開支=總運行費用+總中斷費用+總恢復費用?？傔\行費用在第一問的分析中可以求得，現在我們來求總中斷費用和總恢復費用。
中斷費用是代理由運行狀態到中斷狀態而產生的，恢復費用是代理由中斷狀態到運行狀態而產生的。由此定義：為公司在第(-1)年到第年是否與代理有業務中斷關系，；；為公司在第(-1)年到第年是否與代理有業務恢復關系，。
顯然：，()，于是中斷費用和恢復費用便可以求得。目標函數便可表示為：，約束條件也為：。這便是問題二的模型。
模型的建立與求解
問題一求解：
由以上分析可知問題一的模型為：
min
為了便于求解和減少決策變量的個數，將，(為非常小的一個常數)替換目標函數的和，此時決策變量只有，由Lingo10.0編程可求的結果如下表（取=0.0001）：
年份()
代理一
代理二
代理三
代理四
總計
350
0
0
400
350
150
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
350
250
0
200
800
此時
min(T)=313.5。程序及結果見附錄一。
問題二求解：
由分析可知問題二的模型為：
為了便于求解和減少決策變量的個數，將，對目標函數的，進行替換，此時決策變量也只有。由Lingo10.0編程可求的結果如下表（取=0.0001）：
年份()
代理一
代理二
代理三
代理四
總計
150
250
0
0
400
250
250
0
0
500
350
250
0
0
600
350
250
0
700
250
250
300
0
800
此時
min(T)=77.5。程序及結果見附錄二。
模型的評價與分析
1.該模型的求解結果雖然為固定值，其實不然，應該說是一個范圍。而上面的搜索只是確定選擇哪些代理來建立代理關系。如第一問的第一年的業務量分配選擇了代理一和代理二，求得結果為。其實只要滿足，且總開支也不會變。因此并不是的準確值，而是確定代理的選擇。當時表示選擇該代理；當時表示不選擇該代理，文中的變量就說明了這點。
2.的取值也將會影響具體的求解結果。當很小是在計算機中是一個非常大的數；當在比較大時，在時，=0.5.因此在求解過程中應選擇適當的。
附錄一:
Model:
Min=100*(x11+x21+x31+x41+x51)/(x11+x21+x31+x41+x51+d)+80*(x12+x22+x32+x42+x52)/(x12+x22+x32+x42+x52+d)+90*(x13+x23+x33+x43+x53)/(x13+x23+x33+x43+x53+d)+70*(x14+x24+x34+x44+x54)/(x14+x24+x34+x44+x54+d)+7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d));
x11<=350;
x21<=350;
x31<=350;
x41<=350;
x51<=350;
x12<=250;
x22<=250;
x32<=250;
x42<=250;
x52<=250;
x13<=300;
x23<=300;
x33<=300;
x43<=300;
x53<=300;
x14<=200;
x24<=200;
x34<=200;
x44<=200;
x54<=200;
x11+x12+x13+x14>=400;
x21+x22+x23+x24>=500;
x31+x32+x33+x34>=600;
x41+x42+x43+x44>=700;
x51+x52+x53+x54>=800;
d=0.00001;
end
結果:
Local
optimal
solution
found.Objective
value:
313.4999
Total
solver
iterations:
Variable
Value
Reduced
Cost
X11
350.0000
0.000000
X21
350.0000
0.000000
X31
350.0000
0.000000
X41
350.0000
0.000000
X51
350.0000
0.000000
D
0.1000000E-03
0.000000
X12
50.00000
0.000000
X22
150.0000
0.000000
X32
250.0000
0.000000
X42
250.0000
0.000000
X52
250.0000
0.000000
X13
0.000000
965000.0
X23
0.000000
965000.0
X33
0.000000
965000.0
X43
0.000000
965000.0
X53
0.000000
965000.0
X14
0.000000
30000.00
X24
0.000000
30000.00
X34
0.000000
30000.00
X44
100.0000
0.000000
X54
200.0000
0.000000
附錄二:
Model:
Min=7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d))+5*((1-x11/(x11+d)+1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)+1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)+1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)+1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)+1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+3*((1-x12/(x12+d)+1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)+1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)+1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)+1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)+1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+4*((1-x13/(x13+d)+1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)+1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)+1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)+1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)+1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+2*((1-x14/(x14+d)+1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)+1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)+1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)+1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)+1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2+5*((1-x11/(x11+d)-1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)-1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)-1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)-1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)-1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+4*((1-x12/(x12+d)-1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)-1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)-1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)-1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)-1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+1*((1-x13/(x13+d)-1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)-1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)-1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)-1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)-1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+4*((1-x14/(x14+d)-1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)-1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)-1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)-1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)-1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2;
x11<=350;
x21<=350;
x31<=350;
x41<=350;
x51<=350;
x12<=250;
x22<=250;
x32<=250;
x42<=250;
x52<=250;
x13<=300;
x23<=300;
x33<=300;
x43<=300;
x53<=300;
x14<=200;
x24<=200;
x34<=200;
x44<=200;
x54<=200;
x11+x12+x13+x14>=400;
x21+x22+x23+x24>=500;
x31+x32+x33+x34>=600;
x41+x42+x43+x44>=700;
x51+x52+x53+x54>=800;
@
gin(x11);@
gin(x21);@
gin(x31);@
gin(x41);@
gin(x51);
@
gin(x12);@
gin(x22);@
gin(x32);@
gin(x42);@
gin(x52);
@
gin(x13);@
gin(x23);@
gin(x33);@
gin(x43);@
gin(x53);
@
gin(x14);@
gin(x24);@
gin(x34);@
gin(x44);@
gin(x54);
d=0.005;
end
結果：
Local
optimal
solution
found.Objective
value:
77.49817
Extended
solver
steps:
Total
solver
iterations:
Variable
Value
Reduced
Cost
X11
150.0000
0.1666452E-05
D
0.5000000E-02
0.000000
X21
250.0000
0.5999821E-06
X31
350.0000
0.3061160E-06
X41
350.0000
0.3061160E-06
X51
250.0000
0.5999714E-06
X12
250.0000
0.3199760E-06
X22
250.0000
0.3199872E-06
X32
250.0000
0.3199872E-06
X42
250.0000
0.3199872E-06
X52
250.0000
0.3599856E-06
X13
0.000000
300.0000
X23
0.000000
1300.000
X33
0.000000
300.0500
X43
100.0000
0.5749217E-05
X53
300.0000
0.2777778E-06
X14
0.000000
-599.2804
X24
0.000000
599.7600
X34
0.000000
600.0000
X44
0.000000
600.0000
X54
0.000000
800.0000
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