橋式吊車運動控制系統(tǒng)的建模及MATLAB仿真(附程序)
簡介
橋式起重機是橫架于車間、倉庫及露天堆場的上方，用來吊運各種物體的機械設(shè)備，通常稱為“天車”或
“吊車”。它是機械工業(yè)、冶金工業(yè)和化學(xué)工業(yè)中應(yīng)用最廣泛的一種起重機械。實際生產(chǎn)中的橋式吊車（天車）類似，是一個MIMO復(fù)雜控制系統(tǒng)。
橋式吊車系統(tǒng)由三部分組成：橋架驅(qū)動系統(tǒng)，車體驅(qū)動系統(tǒng)和重物裝吊系統(tǒng)。其工作流程為：先將重物起吊至預(yù)先設(shè)定好的高度，然后吊車運動將重物運到想要放置的位置上方，最后把重物下放到想要放置的位置上。
確定要研究的系統(tǒng)為橋式吊車運動控制系統(tǒng)
橋式吊車系統(tǒng)工作示意圖見下圖1：
p
M
m
x
z
F
θ
mg
圖1
橋式吊車工作示意圖
對于如上橋式吊車控制系統(tǒng)，首先做如下假設(shè)：
1)
吊車的行走運動僅限于吊車一個自由度，即假設(shè)橋架不運動，只有吊車在橋架上行走。
2)
吊車行走時吊裝重物的繩索長度不變。
圖中，x坐標為水平方向，z坐標為垂直方向。重物的擺動是由吊車與重物的運動產(chǎn)生的，可以根據(jù)動力學(xué)有關(guān)規(guī)律建立吊車及重物的運動方程式。
1)
在水平方向，吊車和重物整體受力為F(t)，由牛頓第二定律得
（1）
2)
在垂直于繩索方向，重物受力為，由牛頓第二定律得
（2）
由吊車在行走時吊裝重物的繩索長度不變的假設(shè)可得出下面兩個關(guān)系式：
（3）
（4）
式中，為繩索長度。
由（3）可得
（5）
（5）代入（1）得：
（6）
同樣由式（4）可得：
（7）
將（5）（7）代入（2）得
（8）
又盡量小，所以有如下近似式：，將（6），（8）線性化可得：
（9）
（10）
由（9）和（10）計算得
（11）
和
（12）
3）
吊車驅(qū)動裝置的方程式。吊車由電動機驅(qū)動，簡化的認為電動機是一個時間常數(shù)為的一階慣性環(huán)節(jié)，即它產(chǎn)生的驅(qū)動力F(t)與其控制電壓v(t)之間滿足方程式：
（13）
其中K為放大系數(shù)。
選擇系統(tǒng)的輸入、輸出變量和狀態(tài)變量
選擇5個狀態(tài)變量分別為：，，；
輸入變量為：；
兩個輸出變量為：。
建立狀態(tài)空間描述
根據(jù)（11）（12）（13）式可得出描述吊車運動系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：
選取適當參數(shù):對一個實際的橋式吊車吊車運動系統(tǒng)，假定具有如下各具體參數(shù)：M=1000kg,m=4000kg,l=10m,K=100N/V。將它們代入上面的狀態(tài)空間表達式得：
分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性
用特征值法。在MATLAB中輸入以下程序：
eig(A)
ans
=
0
0
0
+
2.2136i
0
2.2136i
系統(tǒng)的5個開環(huán)特征值不全位于S左平面上，有4個位于虛軸上，所以系統(tǒng)為臨界不穩(wěn)定。
系統(tǒng)輸出仿真波形如下圖所示：
判斷系統(tǒng)的能控性
使用MATLAB判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下程序：
A=[0
0
0
0;0
0
-39.2
0
0.001;0
0
0
0;0
0
-4.9
0
0.0001;0
0
0
0
-1];
B=[0;0;0;0;100];
C=[1
0
0
0
0;0
0
0
0];
rct=rank(ctrb(A,B))
rct
=
根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。
采用狀態(tài)反饋進行系統(tǒng)綜合因為系統(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。例如將極點配置在：s1=-0.16-j0.16
s2=-0.16+j0.16
s3,s4,s5=-1。
在MATLAB中輸入：
P=[-0.16+0.16i,-0.16-0.16i,-1,-1,-1];
K=acker(A,B,P)
求出狀態(tài)反饋矩陣K：
K
=
0.52245
4.8327
-1420.7
-137.21
0.0232
在MATLAB中輸入
A-B*K
ans
=
0
0
0
0
0
0
-39.2
0
0.001
0
0
0
0
0
0
-4.9
0
0.0001
-52.245
-483.27
1.4207e+005
13721
-3.32
因此綜合后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：
采用MATLAB編寫m文件進行仿真。
運行仿真程序，得到仿真曲線如下圖：
將極點配置在：s1=-0.2
s2=-0.2
s3,s4,s5=-1。計算出K=[0.40816
5.3061
-1438.1
-119.06
0.024]此時輸出y的仿真曲線如下：
將極點配置在：s1=-0.16+0.16i
s2=-0.16-0.16i
s3=-1
s4=-2
s5=-3。計算出K=[3.1347
25.339
-2145.4
553.73
0.0532]此時輸出y的仿真曲線如下：
實驗結(jié)論
通過比較3組不同的極點配置下狀態(tài)反饋系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線和原系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線可以看出，不同的極點配置對系統(tǒng)性能有一定的影響，但只要極點都配置在S左平面，就可以保證系統(tǒng)具有一定的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。
附錄：程序
%*******************************************
%橋是吊車運動控制系統(tǒng)極點配置設(shè)計及仿真
2015.12.30
lwd
%*******************************************
%建立狀態(tài)空間表達式
A
=
[0,1,0,0,0;0,0,-39.2,0,10^(-3);0,0,0,1,0;0,0,-4.9,0,10^(-4);0,0,0,0,-1]
B
=
[0;0;0;0;100]
C
=
[1,0,0,0,0;0,0,1,0,0]
D
=
[0;0]
%分析系統(tǒng)穩(wěn)定性
eig(A)
%求A的特征值，通過特征值在S平面分布判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性
%系統(tǒng)仿真輸出波形
[num,den]
=
ss2tf(A,B,C,D);
sys1
=
tf(num(1,:),den);
sys2
=
tf(num(2,:),den);
figure
step(sys1)
figure
step(sys2)
%判斷系統(tǒng)的能控性
rct
=
rank(ctrb(A,B))
obs
=
rank(obsv(A,C))
%如果能空則進行極點配置設(shè)計
if
==
rct
%第一次極點配置設(shè)計
P
=
[-0.16+0.16*i,-0.16-0.16*i,-1,-1,-1];
K
=
acker(A,B,P)
A1
=
A-B*K
[num,den]
=
ss2tf(A1,B,C,D);
sys1
=
tf(num(1,:),den);
sys2
=
tf(num(2,:),den);
figure
step(sys1)
figure
step(sys2)
%第二次極點配置設(shè)計
P
=
[-0.2,-0.2,-1,-1,-1];
K
=
acker(A,B,P)
A1
=
A-B*K
[num,den]
=
ss2tf(A1,B,C,D);
sys1
=
tf(num(1,:),den);
sys2
=
tf(num(2,:),den);
figure
step(sys1)
figure
step(sys2)
%第三次極點配置設(shè)計
P
=
[-0.16+0.16*i,-0.16-0.16*i,-1,-2,-3];
K
=
acker(A,B,P)
A1
=
A-B*K
[num,den]
=
ss2tf(A1,B,C,D);
sys1
=
tf(num(1,:),den);
sys2
=
tf(num(2,:),den);
figure
step(sys1)
figure
step(sys2)
end
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