第一篇：3.1認(rèn)識(shí)不等式教案
《3.1認(rèn)識(shí)不等式》教案
教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能：能夠從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，會(huì)根據(jù)給定條件列
不等式；正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.2、過程與方法：經(jīng)歷由具體實(shí)例建立不等式模型的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和數(shù)學(xué)
化的能力，體會(huì)在解決問題的過程中與他人合作的重要性.3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，初步體會(huì)不等式是研究量與
量之間關(guān)系的重要模型之一.教學(xué)重點(diǎn)：不等式的概念和列不等式.教學(xué)難點(diǎn)：利用不等式的意義和在數(shù)軸上表示不等式來解決實(shí)際問題.教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
以璜山社會(huì)實(shí)踐為背景設(shè)計(jì)問題：下列問題中的數(shù)量關(guān)系能用等式表示嗎？若不能，應(yīng)該用怎樣的式子來表示:（1）如圖，是從諸暨到璜山的公路上對(duì)汽車的限速標(biāo)志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過60km/h，用v(km/h)表示汽車的速度，怎樣表示v與60之間的關(guān)系?（2）在應(yīng)急救護(hù)一課中我們了解到當(dāng)病人沒有呼吸后我們要對(duì)他進(jìn)行胸外心臟按壓，按壓頻率應(yīng)不少于100次/分鐘，按壓深度一般要求達(dá)到4～5cm（不包括4cm和5cm），怎樣表示頻率w與100之間的關(guān)系?按壓深度h呢？
（3）晚上做作業(yè)時(shí)我們碰到這樣一個(gè)題目： 要使代數(shù)式什么關(guān)系？
二、交流對(duì)話，探求新知
1、議一議：觀察由上述問題得到的關(guān)系式，相對(duì)等式來說它們有什么共同的特征？
2、不等式的概念：像v≤60，w≥100，h＞4，h＜5，x ≠3 這樣，用符號(hào)“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的數(shù)學(xué)式子，叫不等式.這些用來連接的符號(hào)統(tǒng)稱不等號(hào).3、認(rèn)一認(rèn)：判斷下列式子哪些是不等式？
(1)3＞ 2
(2)a2+1＞ 0
(3)3x2+2x
(4)x＜ 2x+1
(5)x=2x-5
(6)a+b≠c
x?3有意義，x的值與3之間有 x?
34、試一試：選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)填空:
(1)2____3；(2)?8 ____-3；(3)-a2 ____ 0；(4)a2+b2 ____ 0；(5)若x≠y,則-x____-y；
(6)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示 a____b，a+b____0，∣a∣____∣b∣.5、例1 根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：（1）y的2倍與6的和比1小；（2）x2減去10不大于10；
（3）設(shè)a，b，c為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，兩邊之和大于第三邊；（4）x與y的和不小于10.（5）a是正數(shù);（6）y的絕對(duì)值與-8的和為負(fù)數(shù);（7）a與b的差的平方是非負(fù)數(shù)；（8）a與b的平方差是非正數(shù).6、鞏固練習(xí)1：根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式：（1）x比3大.（2）y與1的差小于y的45%.（3）y的絕對(duì)值不等于2.（4）正數(shù)a與1的和的算術(shù)平方根大于1.（5）a的一半不小于-7.（6）a與b的和的平方是非負(fù)數(shù).三、繼續(xù)探索，共同進(jìn)步
1、自主探究：（1）x1=1，x2=2，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出x1，x2的位置；（2）x＜1表示怎樣的數(shù)的全體？據(jù)此理解，x≥2 表示怎樣的數(shù)的全體？
2、鞏固練習(xí)2：（1）說出下列各圖所表示的不等式.（2）在數(shù)軸上表示下列不等式.a 0 b（1）x＜2.5（2）-1≤x＜0（3）x≥-2
四、應(yīng)用新知，鞏固提高
例2 在逃生演練活動(dòng)中，老師規(guī)定逃生時(shí)間在1～3分鐘（包括1分鐘，3分鐘）時(shí)為合格，小于1分鐘為優(yōu)秀，大于3分鐘為不合格。設(shè)逃生時(shí)間為 t（分鐘）.（1）用不等式表示逃生時(shí)間為合格的范圍，并表示在數(shù)軸上；
（2）設(shè)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的時(shí)間分別是①t甲=0.5；②t乙=1.5；③t丙=2.5；④t丁=3.5.試判斷這幾位同學(xué)中哪些是優(yōu)秀的，哪些是合格的，哪些是不合格的？用不等式和數(shù)軸給出解釋.五、反思盤點(diǎn)，整合新知
一個(gè)概念：不等式（五種形式來表示）兩種步驟：列——抓住關(guān)鍵詞，選準(zhǔn)不等號(hào).表——備好數(shù)軸找準(zhǔn)點(diǎn)，分清空實(shí)定方向.一個(gè)思想：數(shù)形結(jié)合思想
六、作業(yè)布置
1、課后習(xí)題；
2、作業(yè)本.七、板書設(shè)計(jì)
屏幕投影 3.1認(rèn)識(shí)不等式
1、不等式概念：
不等號(hào)：
2、列不等式的方法：
先找準(zhǔn)關(guān)鍵詞，再選準(zhǔn)不等號(hào)。
3、在數(shù)軸上表示不等式：
（1）找界點(diǎn)（2）分清空、實(shí)心點(diǎn)（3）確定方向
在數(shù)軸上表示不等式（板演）
例題
八、課后反思
第二篇：不等式的性質(zhì)教案1
高中數(shù)學(xué)新教材
1． 掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系； 2． 掌握求差法比較兩實(shí)數(shù)或代數(shù)式大小； 3． 強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小
教學(xué)難點(diǎn)：理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則
教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧
我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.例如，在圖6—1中，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b,點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么a＞b.我們?cè)倏磮D6—1，a＞b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)即正數(shù).一般地：
若a＞b，則a－b是正數(shù)；逆命題也正確.類似地，若a＜b，則a－b是負(fù)數(shù)；若a=b，則a－b=0.它們的逆命題都正確.這就是說：
a＞ b? a－b＞0 a=b? a－b=0 a＜b?a-b＜0 由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.Ⅱ.講授新課
1． 比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法
比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的差a－b的符號(hào)，而這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則.比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào).接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.2． 例題講解
例1 比較（a+3）(a－5)與（a+2）（a-4）的大小.分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)，并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小.解：(a?3)(a?5)?(a?2)(a?4)
?(a?2a?15)?(a?2a?8)??7?0不等式的性質(zhì)（1）
第三篇：不等式教案
第一講
不等式和絕對(duì)值不等式
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的不等式變形。2.理解并能運(yùn)用基本不等式進(jìn)行解題。
3.理解絕對(duì)值的幾何意義及絕對(duì)值三角不等式。4.會(huì)解絕對(duì)值不等式。
重點(diǎn)：
1.不等式的基本性質(zhì)； 2.基本不等式及其應(yīng)用；
3.絕對(duì)值的幾何意義及其絕對(duì)值三角不等式。
難點(diǎn)：
1.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用； 2.絕對(duì)值不等式的解法；
1、不等式的基本性質(zhì)
? 實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：
? 數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：
a?b?a?b?0a?b?a?b?0a?b?a?b?0
? 得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。例
1、比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。
解：因?yàn)?x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=x2+10x+21-(x2+10x+24)
=-3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6)類比等式復(fù)習(xí)不等式的其他性質(zhì)（注意符號(hào)）
等式的性質(zhì)1.a=b?b=a2.a=b,b=c?a=c3.a=b?a+c=b+c（對(duì)稱性）（傳遞性）（可加性）a=b,c=d?a+c=b+d（加法法則）4.a=b?ac=bc（可乘性）a=b,c=d?ac=bd（乘法法則）nna=b?a=b(n∈N,n>1)（乘方性）5.a=b?na=nb（開方性）1.a>b?b
2.如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 類比等式的性質(zhì)復(fù)習(xí)不等式性質(zhì)證明（2）因?yàn)閍>b>0, c>d>0，由不等式的基本性質(zhì)（3）可得ac>bc, bc>bd，再由不等式的傳遞性可得ac>bc>bd
ab例：已知a>b>0,c>d>0，求證>.dc
練習(xí)：
1、判斷下列各命題的真假，并說明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（假命題）
（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（假命題）
（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（假命題）（4）如果a>b, c
2、比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因?yàn)?x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)小結(jié)：理解并掌握不等式的八個(gè)基本性質(zhì)
作業(yè)：課本P10第3題。求證：
（1）如果a>b, ab>0，那么
（2）如果a>b>0，c 選做題：設(shè)a≥b,c≥d，求證：ac+bd≥ (a+b)(c+d) 2、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。 探究： 你能從幾何的角度解釋定理1嗎？ 分析：a2與b2的幾何意義是正方形面積，ab的幾何意義是矩形面積，可考慮從圖形的面積角度解釋定理。如圖把實(shí)數(shù)a，b作為線段長(zhǎng)度，以a≥b為例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.bAHaIKDGFbBJaCbE則S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于圖中有陰影部分的面積，它不大于正方形ABCD與正方形CEFG的面積和。即a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)矩形成為正方形，此時(shí)有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么a?b?2ab稱為a,b的算術(shù)平均當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立證明：因?yàn)?=a+b-2 ab≥0，a?b)2所以a+b≥2ab，上式當(dāng)且僅當(dāng)a?b，即a=b時(shí)，等號(hào)成立。C稱為a，b的幾何平均AODB如圖在直角三角形中，CO、CD分別是斜邊上的中線和高，設(shè)AD=a，DB=b，則由圖形可得到基本不等式的幾何解釋。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。例3求證:(1)在所有周長(zhǎng)相同的矩形中,正方形的面積最大;(2)在所有面積相同的矩形中,正方形的周長(zhǎng)最短;周長(zhǎng)L=2x+2yxSy定理：設(shè)x,y都是正數(shù)，則有 1）若xy=s（定值），則當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2s.p2 2）若x+y=p（定值），則當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值.4a?b?c定理3 如果a,b,c?R，那么?abc，當(dāng)且僅3當(dāng)a?b?c時(shí)，等號(hào)成立。即：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。 例4: 某居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場(chǎng)所,它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字型地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價(jià)為每平方米4200元,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價(jià)沒平方米210元,再在四個(gè)空角(圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪,每平方米造價(jià)80元.(1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD長(zhǎng)x為米,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)為何值時(shí)S最小,并求出這個(gè)最小值.3、三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式 ? 注：一正、二定、三等。 把基本不等式推廣到一般情形：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a,?,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即：a1?a2??ann ?a1a2?an,n當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)，等號(hào)成立。 二、絕對(duì)值不等式 1、絕對(duì)值三角不等式實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離：|a|OAax任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點(diǎn)間的距離。|a-b|AaBbx 聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關(guān)系：分ab>0和ab<0兩種情形討論：（1）當(dāng)ab>0時(shí)，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|xOaba+ba+bbaOx（2）當(dāng)ab<0時(shí)，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|bOaxa+b如果a<0, b>0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|aOa+bbx（3）如果ab=0，則a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b| 定理1 如果a, b是實(shí)數(shù)，則 |a+b|≤|a|+|b| 當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。 探究 如果把定理1中的實(shí)數(shù)a, b分別換成向量a, b, 能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？ 已知a,b是實(shí)數(shù)，試證明：a?b≤a?b（當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.）證明:10.當(dāng)ab≥0時(shí), 20.當(dāng)ab<0時(shí), ab??|ab|,|a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|ab|?|b|2?|a|2?2|a||b|?|b|2?(|a|?|b|)2ab?|ab|,|a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|a||b|?|b|2?(|a|?|b|)2?|a|?|b|?|a|?|b|綜合10,20知定理成立.探究 你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？例如：|a|-|b|與|a+b|，|a|+|b|與|a-b|，|a|-|b|與|a-b|等之間的關(guān)系。|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.如果a, b是實(shí)數(shù)，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是實(shí)數(shù)，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。證明：根據(jù)絕對(duì)值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。例1 已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證： |2x+3y-2a-3b|<5ε.證明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.例2 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路碑的第10km和第20km處。現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次。要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？ 分析：假設(shè)生活區(qū)建在公路路碑的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km，則有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求問題化歸為求該函數(shù)的最小值，可用絕對(duì)值三角不等式求解。練習(xí)：課本P20第1、2題.求證：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用幾種方法證明 1|x?|?2(x?0)x小結(jié)：理解和掌握絕對(duì)值不等式的兩個(gè)定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0時(shí)等號(hào)成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0時(shí)等號(hào)成立） 能應(yīng)用定理解決一些證明和求最值問題。作業(yè)：課本P20第3、4、5題 （1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①換元法：令t=ax+b, 轉(zhuǎn)化為|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段討論法： ?ax?b?0?ax?b?0|ax?b|?c(c?0)??或? ?ax?b?c??(ax?b)?c ax?b?0ax?b?0?? |ax?b|?c(c?0)??或? ?ax?b?c??(ax?b)?c|ax+b| “登峰”輔導(dǎo)伴你行 專題 1、不等式性質(zhì)及解不等式講義 類型 一、不等式性質(zhì) 基本知識(shí)點(diǎn)要求：能熟練應(yīng)用不等式性質(zhì).題型 1、不等式性質(zhì)考查.例1．若?,?滿足?? 2?????? 2，則2???的取值范圍是（不等式性質(zhì)） ?b，則2a?b的取值范圍是的范圍.（不等式性質(zhì)）練習(xí)1.若a,b滿足2?a?3and1?b?4且aa2例2．已知?1?a?3and2?b?4，求a?b,a?b,b 練習(xí)2.已知?1?a?3and?2?b?4，求a?b,a?b,a2b的范圍.（不等式性質(zhì)） 2?a?b?4，求2a?3b的取值范圍.題型 2、不等式性質(zhì)+待定系數(shù)法以及整體構(gòu)造思想構(gòu)造題.例3．已知?1?a?b?3and 練習(xí)3.已知?1?x?y?1,1?x?y?3，求3x?y的取值范圍.練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)?ax2?bx(a?0)滿足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范圍.類型 二、解不等式 基本知識(shí)點(diǎn)要求：（1）知道不等式、方程及函數(shù)之間的關(guān)系； （2）知道不等式解與方程的根之間的關(guān)系； （3）能用數(shù)軸標(biāo)根法求解不等式.題型 1、解不等式基本知識(shí)考查.例4．解不等式：2x?x?3?0.練習(xí)5．解不等式：?x?x?6?0.例5．解不等式：22x?1?0.x?2 x2?3x?2x?1?0.練習(xí)7．2?0.練習(xí)6．解不等式：2?xx?2x?3 總結(jié)高次不等式求解步驟：（1）最高次系數(shù)化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）數(shù)軸標(biāo)根 法寫出答案.題型 2、解含參不等式.例6．解關(guān)于x的不等式：(x?2)(ax?2)?0.練習(xí)8.關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為?1,???，求 練習(xí)9.解關(guān)于x的不等式：x?(1?a)ax?a?0.總結(jié)：（自己填寫） 會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小——成功者的領(lǐng)地.江西省、南昌市、西湖區(qū) 聯(lián)系電話：***徐（數(shù)學(xué)老師）23ax?b?0的解集.x?2 本資料從網(wǎng)上收集整理 難點(diǎn)18 不等式的證明策略 不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究 ［例1］證明不等式1?12?13???1n?2n(n∈N) *命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤： 這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+12131k?11k?112?13???1k＜2k，則1??????2k??2k(k?1)?1k?1?k?(k?1)?1k?1 ?2k?1,∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+ 12?13???1n＜2n.另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法： ?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)?0,2?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1k?1?2k?1.2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1，又如:?2k?1?2k? 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?2k?1k?1?2k?1.證法二：對(duì)任意k∈N*，都有： 1k?2k?12?k13?2k????k?11n?2(k?k?1)，2)???2(n?n?1)?2n.因此1??2?2(2?1)?2(3?12131n證法三：設(shè)f(n)=2n?(1?* ????)，那么對(duì)任意k∈N 都有： f(k?1)?f(k)?2(k?1??1k?11k?1k)?1k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1](k?1?k?1k)2 ?0??[(k?1)?2k(k?1)?k]?∴f(k+1)＞f(k)因此，對(duì)任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴1?12?13???1n?2n.x?y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使x?y≤a命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜ ?2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得： 22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，① ② ∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，②中有等號(hào)成立.本資料從網(wǎng)上收集整理 比較①、②得a的最小值滿足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.x?x?yy(x?x?yy)22解法二：設(shè)u???x?y?2xyx?y?1?2xyx?y.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，∴x?y≤1，x?y的最大值是1.從而可知，u的最大值為1?1?2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化為 xy+1≤a xy?1，設(shè)xy=tanθ，θ∈(0，?2).∴tanθ+1≤atan2??1；即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+?4?4)，?4).③)的最大值為1(此時(shí)θ=由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計(jì) 1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各 本資料從網(wǎng)上收集整理 種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、填空題 1.(★★★★★)已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且 ax?by=1，x+y的最小值為__________.2.(★★★★)設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是__________.3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________.二、解答題 4.(★★★★★)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1.求證：(1)a2+b2+c2≥ (2)3a?2?3b?2?3c?2≤6 5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)證明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R，則(2)若x，y，z∈R，且x+y+z=xyz，則y?zx?z?xy?x?yz+ + 12，證明：x，y，z∈［0，23］ b?cax?2c?aby?2a?bcz≥2(xy+yz+zx) 2≥2（1x?1y?1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niAim＜miAin； (2)證明：(1+m)n＞(1+n)m 338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤1.參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 證法一：(分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121 4222 14或，從而得證.+t1，b=12+t2.12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜ 本資料從網(wǎng)上收集整理 ?(a?(?121a)(b?21b)?(1a?1a22?b?1b(?14?t1?t1?1)((222?t1)?112?t12?2?t2)?11214?t21412?t2?t2?1)?t2)2212?t1)(22(?14?t1?t1?1)(14?t2?t2?1)?2(54?t2)?t214?t22 ?t2425?16?1432t2?t2222525?16?.144?t2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法） 12時(shí)，等號(hào)成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214 a?1b?1254ab?33ab?8(1?4ab)(8?ab)(a?)(b?)???????0ab4ab44ab4ab 1125?(a?)(b?)?ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤ 14.?2?(1?ab)?125?? ??ab4???25?2(1?ab)?1??139?162?1?ab?1???(1?ab)???4416? 1?4?ab?即(a?1a)(b?1b)?254 證法五：(三角代換法） ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，?2) 本資料從網(wǎng)上收集整理 (a??1a4)(b?1b)?(sin??4221sin?22)(cos2??1cos?222)2sin??cos??2sin?cos??24sin2?222?(4?sin?)?164sin2??sin2??1,?4?sin2??4?1?3.4?2sin2??16?25?22(4?sin2?)25????11244sin2???24sin2??即得(a?1a)(b?1b)?254.22 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2??bcot2??a?b?2ab.答案：a+b+2ab 2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc 3.解析：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n 二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313= 13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ ［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 222 證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥a?b?c32222 a?b?c3證法三：∵∴a2+b2+c2≥ ?a?b?c3∴a2+b2+c2≥ 13證法四：設(shè)a=+α，b= 13+β，c= 13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a+b+c=（22213+α)+（2 13+β)+（2 13+γ) 本資料從網(wǎng)上收集整理 ==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ 13222 +α2+β2+γ2≥13 ∴a2+b2+c2≥(2)證法一:?同理? 3a?2?3b?32(3a?2)?1?3c?323(a?b?c)?92?63a?2?12,3b?2?,3c?2?3c?2? 3a?2?3b?2?∴原不等式成立.證法二：3a?2?3b?2?33c?2?(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)3 ?3(a?b?c)?63?3 ∴3a?2?3b?2?3c?2≤33＜6 ∴原不等式成立.5.證法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得： 2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ 1212，得x2+y2+(1－x－y)2= 12，整理成關(guān)于y的一元二 =0，∵y∈R，故Δ≥0 12∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤ 23，∴x∈［0，23］ ］ 132+x′，y=2 +y′，z= 13132 +z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′) +x′2+y′2+z′2+222 (x′+y′+z′) 13+x′+y′+z′≥2 +x′+ 132 (y??z?)22= 13+ 2332x′2 23故x′≤19，x′∈［－，13］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］ 12證法三：設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x2＞0，=x2+y2+z2≥ 本資料從網(wǎng)上收集整理 x+2(y?z)22?(1?x)22?x?232x?x?212＞ 12，矛盾.23x、y、z三數(shù)中若有最大者大于x+ 2，不妨設(shè)x＞ 23，則 12=x2+y2+z2≥(y?z)22=x+232(1?x)22=1223232x2－x+ =32x(x－)+12＞；矛盾.］ c?abcby?22故x、y、z∈［0，6.(1)證明:??(?(?bax?baax?x?22b?c22x?a?bc2z?2(xy?yz?zx)accaz?222aby?2xy)?(aby)?(y?2y?bc2bcz?2yz)?(2cax?2zx)2cby?z)?(acz?x)?0b?cc?aba?bcz?2(xy?yz?zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y?zx?z?xy?x?yz)?2(xy?yz?zx)2 2?xyz?[yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)]?2(xy?yz?zx)?(x?y?z)(yz?yz22222222?zx?zx222?xy?xy)2222?2(xy?yz?zx)?4(xyz?xyz?xyz)?yz?yz?zx?zx?xy?xy22333333?2xyz?2xyz?2xyz2222222222?yz(y?z)?zx(z?x)?xy(x?y)?x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)?0∵上式顯然成立，∴原不等式得證.7.證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m·?·(m－i+1)，AmmiiAmmm?1m?i?1nn?1n?i?1?????,同理?????，immmnnnnn?kn?m?kmi由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，?，i－1，有Annii，所以?Ammii,即mAn?nAm iiii(2)由二項(xiàng)式定理有： 2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+?+Cnm，2mm(1+n)m=1+C1mn+C2mn+?+Cmn，本資料從網(wǎng)上收集整理 ii由(1)知miAi＞niAi(1＜i≤miAmnm，而Cm= i!,Cin?Ani! ∴miCin＞niCim(1＜m＜n) ∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm?1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a 3+b3 =2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a 2b+3ab2 －8=3a2 b+3ab2 －6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3 +b3)］=－3(a+b)(a－b)2 ≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a?b??m?，?n?ab因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m 2－4n≥0 因?yàn)?=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m3?23m 將②代入①得m2－4(m23?23m)≥0，3即?m?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2 －ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33證法四：因?yàn)閍?b2?(a?b32) 22?4ab?a2?b2?(a?b)[4a?4b?2ab])(a?b)28?3(a?b8≥0，所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有 a3?b32≥(a?b32)3 b3 33因?yàn)閍＞0，b＞0，a+=2，所以1=a?ba?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略） 證法五：假設(shè)a+b＞2，則 ①② 本資料從網(wǎng)上收集整理 a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332 233222第四篇：專題1、不等式講義
第五篇：不等式證明1
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