第一篇：數 學 開 放 題 參 考 文 獻

數 學 開 放 題 參 考 文 獻

專 著

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

[10] [11] ICMI.國際展望:九十年代的數學教育.上海:上海教育出版社,1990,79 NRC.人人關心數學教育的未來.北京:世界圖書出版公司,1993.NCTM.美國學校數學課程與評價標準.北京:人民教育出版社,1994.張奠宙 戴再平.中學數學問題集.上海:華東師大出版社,1996.戴再平.初中數學習題研究.長沙：湖南教育出版社,1996.戴再平.數學習題理論(第二版).上海：上海教育出版社,1996.張奠宙等.素質教育教案精編.北京：中國青年出版社，2000.戴再平倪明等.高中數學開放題集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平龔雷等.初中數學開放題集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱樂平等.小學數學開放題集(上).上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱樂平等.小學數學開放題集(下).上海：上海教育出版社,2000.總 論

[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] 王慧斌.數學教學新方法:開智法簡介.外國教育資料,1988(1).王慧斌.開放性數學問題研究.王建軍.學生的認知發展與習題改革.教育研究,1988(10).周學祁.“開放型題”及其思維對策.數學通報,1990(6).張世賢.高中數學教材中的“開放性問題”.湖南教育,1991(12);中國人大復印資料 忻再義.從上海市新編教材看開放性問題的編制與使用.數學教學,1992(3).凌振吉.從培養發散思維能力的角度談編制開放性問題.數學教師,1993(6).戴再平.數學開放題.中學數學教學參考,1993(12).張必華.試談探索性題的分類.中學數學教學參考,1993(12).梁俊奇.“開放型題”的幾個特點.中等數學,1993(1).戴再平.一組開放型題的試驗與分析.數學教育學報,Vol.2(2),1993(11).北京開放型問題研討組。對開放型問題的認識.數學通報,1994(3).劉梅金等.開放探索型命題解法分析.數學通報,1995(4).龔 雷.數學開放題的分類.中學數學,1995(4).趙雄輝.開放性問題教學初探.數學通報,1996(9).李國安.淺談初中數學中的開放型問題.中學生數學,1996(5).伊 紅.開放題的功能淺析.教學月刊(中學理科版),1997(9).熊躍農.隱去結論,讓學生自己去探索.中學數學教學參考,1997(4).曾 峰.做一點開放題,開拓你的思路.中學生數學,1997(10).宋世良.一個綜合圖形的性質和應用.中學數學(蘇),1998(3).何龍泉.開放題在思維培養中的積極作用.湖南數學通訊,1998(3).劉 萍.數學開放題與學生主體意識的培養.中學數學,1998(4).范黎明．淺談數學開放題與教學的課堂文化，數學教學,199８(5).李永桃.數學開放題之我見.中小學數學（小學版），1998（7-8）.戴再平.時代的呼喚—談數學開放題.小學教學,1999(4).G35,1992(1).1 [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60]

[61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] 全國教育科學“九五”規劃重點課題組.開放題—數學教學的新模式.小學教 俞求是.中學數學教學中的開放題.中學數學雜志,1999(1).俞求是.中學數學教科書中的開放題.中學數學教學參考,1999(4).戴再平.時代的呼喚—數學開放題研究進展綜述.中學數學教學參考,1999(4).編輯部.“數學開放題及其教學”學術研討會在滬舉行.中學數學教學參考,1999(4).龔 雷.數學開放題的常見題型.中學數學教學參考.1999（5）.戴再平.數學開放題——一個方興未艾的領域。教學月刊(中學理科版),1999(7-8).張奠宙.數學教育中的“創新”工程大綱.數學教學,1999(4).孔企平黃毅英.開放性問題對數學教學的意義.數學教學,1999(4).錢從新.有關開放題的幾點探討.數學通報,1999(11).朱樂平.小學數學開放題的含義及分類.小學教學,1999(4).朱樂平.小學數學開放題的教育價值..小學教學,1999(6).林敏鶴.淺談數學開放性命題解題能力的培養.趙小平等.隨機思想〃歸納推理〃問題開放——九年制義務教育“統計” 知識的學習戴運恩.淺談數學開放題.中小學數學(小學版).1999(6).顧建華.談“不附圖”的幾何題與開放性.數學教學,1999(3).胡挺員.關于一題多解的開放性的認識.數學教學,1999(3).曹始好.從另一側面看應用題的教訓.數學教學,1999(4).張遠增等.對數學開放性問題的幾點認識。數學教育學報，Vol.9（4），2000（4）.朱樂平.談開放性應用題.小學數學教師,2000(3).高軍民.淺談開放型題的思維價值。中學教研(數學),2000(8)姚祥尹.應用開放題是數學教育的新趨勢.數學教學通訊.2000(5).任明中.現代數學教學呼喚開放題。數學教學通訊，2000（11）.張樹興.開放型問題的解題策略.中小學數學（初中版），2000（11）.陳國良.“開放型題”及其思維對策.數學通訊，2001（1）.人大復印資料G35 李興貴.數學開放性問題探究.數學教學通訊，2001（1）.中 研.數學開放題的解法.中學數學研究.2001（3）.鄭毓信.開放題與開放式教學.中學數學教學參考,2001(3).學,1999(4).的比較研究之二, 數學教學,1999(2).2001（8）.鄭迪華.一類半開放性問題的解答策略.數學通訊,2001(7).何光峰.數學開放題及其教學的研究綜述.數學通報，2001（5）；人大復印資料G35 2001（9）.何龍泉.開發數學開放題 培養創造性能力.中學數學教學研究，2001（3）.何龍泉.數學開放題求解與創造性能力培養.中學數學研究，2001（6）； 人大復印資料

G35，2001（10）.教學設計與教學記實

[69] 戴再平.鐘面數字問題.備課資料集粹.杭州:浙江教育出版社,1993.2 [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] 王利明等.探索隱含條件,激發學習興趣.浙江教學研究,1993(5).單慶國.“正方體的截面形狀”教學記實.數學通報,1994(12).戴再平林 霄.激發學習興趣,提高思維能力.數學教師,1994(6).戴再平丁沛華等.重要的是讓學生參與.中學數學,1994(9).趙仁安等.運用開放型問題進行教學的一次嘗試.數學教學,1995(1).高向斌.發現平行四邊形判定方法的一個教學設計.數學通報,1996(6).湯伯禹等.一堂強化參與意識的好課---尋找數組規律.數學通報,1996(6).趙雄輝.開放性問題教學初探.數學通報,1996(9).時承權.一道課本習題的挖掘.中學數學教學參考，1997（7）.貝躍敏.滾珠有多少顆——開放題教學設計一例.數學通報.1998(9).王吉林．一堂培養學生創造性思維的復習課．數學教學,1998(6).彭雅雅.開放--引導式教學的實踐與認識.福建中學數學,1998(1).羅綺薇.“充要條件”的“開放性”教學模式設計.數學教學,1998(3).王世忠等.“答案開放型”問題教學初探.中學數學月刊.1998(1).鄔云德等.關于數學開放題能否進課堂的研究.中學教研(數學),1998(9).龔 雷.數學開放題的設問方式.數學教學,1998(5).毛淑麗.格點三角形.數學教學,199８(5).劉 萍.用開放題引入“平行線的性質”的教學設想.中學數學,1999(3).劉 萍.建構觀下數學開放題的教學探索.數學通訊,1999(4).孫聯榮等.“簡單郵路問題”的設計和實踐.小學教學,1999(4).上海市金匯學校課題組.簡單郵路問題與對稱.數學教學,1999(2).王朝明.初中數學開放題研究與實踐.中學教研(數學),1999(8).張雪霖.“問題解決——可以發展的問題”的教學實踐與研究．數學教學,1999(５).王邴圖.一堂開放式習題教學課的嘗試.福建中學數學,1999(6).王井文.挖掘教材中開放性例習題之我見。中學數學教學參考,1999(8).張嘉瑾.解析幾何中的開放型題及其思維對策.中學數學月刊，1999（3）.王思儉.數學開放題教學思考。中學數學雜志,2000(2).趙雄輝 戴再平朱.樂平等.讓開放性問題進入課堂.湖南教育,2000(10).孔企平、黃毅英.開放性問題對教育評估改革的意義。小學數學教師，2000（6）.吳玉蘭等。設計租車方案。小學數學教師，2000（7，8）.[100] 郭瑾芳等.游樂園中的數學問題.小學數學教師，2000（7，8）.[101] 羅永軍等.可能性的大小.小學數學教師，2000（7，8）.[102] 張鈺平等.方向和路線.小學數學教師，2000（7，8）.[103] 項海剛等.長方體物體的包裝.小學數學教師，2000（7，8）.[104] 徐偉榮等。大數量的估算.小學數學教師，2000（7，8）.[105] 鄭建等.用立方體拼擺立體圖形。小學數學教師，2000（7，8）.[106] 張浩強等。購物問題.小學數學教師，2000（7，8）.[107] 徐偉國等.收集數據.小學數學教師，2000（7，8）.3 [108] 朱樂平.主動參與，迎接數學教學的變革。小學數學教師，2000（7，8）.[109] 唐紹友.論數學開放式教學及其數學教育功能。數學通報,2000(8).[110] 任升錄、張遠增.對數學開放性問題的認識及其教學嘗試.數學教學，2000（6）.[111] 徐國勝.例談眾數、中位數的開放型教學。中學數學，2000（7）.[112] 羅秋佳.一道平面幾何問題的開放性教學.中學數學，2001（2）.[113] 張維忠 周曉紅.培養學生創新意識的初中數學課堂教學案例簡析.中學數學教學參

考,2001(4).[114] 張緒瓊.讓學生在探索中創新.數學教學通訊，2001（4）.[115] 陶興模等.一道開放性例題的教學實錄.中學數學，2001（6）.[116] 楊海燕.一堂開放性應用題教學實錄.數學通報,2001(7).開放式教學

[117] 王 凝.中小學數學的開放式教學法評介.課程〃教材〃教法，1988（2）.中國人大復

印資料G35,1988(4)[118] 施仿范.數學復習課中發散思維能力的培養.中學數學教學參考,1993(9).[119] 凌國華 孫聯榮.挖掘現有問題,引用開放性設計.數學教學,1998(4).[120] 李學軍.例談數學教學中的開放型設計.數學教學,1996(5).[121] 胡志發.一堂開放式的數學課的嘗試.中學數學雜志,1998(3),中學數學月刊,1998(7〃8).[122] 張縉紅.如何培養學生的數學思維素養---談平面幾何教學中的開放性思維訓練。教學月刊(中學理科版),1998(11).[123] 張奠宙.數學教育的開放性趨勢．數學教學,199８(5).[124] 彭建平.思維品質素養與“開放型題”.中學數學研究,1999(2).[125] 胡同祥.開放型——數學教學的新模式.數學教學通訊,1999(3).[126] 王立軍.提高數學教學開放度的探索和思考.中學教研(數學),1999(4).[127] 姚祥尹.應用，探索，開放.中學數學教學,1999(5).[128] 陳錫龍.設計開放性的數學教學初探.中學數學教學參考,1999(10).[129] 湯德祥.開放型課堂教學的設計與評估.數學教學，2000（3）.[130] 邵 瓊.數學開放式教學的實踐與認識。載于中國教育學會中學數學教學專業委員會。開創 21世紀數學教育新局面。上海：上海科技出版社，2000年，407-414 [131] 葉建國.關于當前數學問題開放化的幾點思考.中學教研(數學),2000(4).[132] 張明龍.淺談中學數學教學的開放性.數學通報.2000(5).[133] 王智慶.實施開放式教學，培養學生創新能力.小學教學，2000（4）.[134] 張天孝.開放式教學與《現代小學數學》的修訂。小學數學教學教師，2000（7-8）.[135] 張梅玲.開放式教學與創新型人才。小學數學教學教師，2000（7-8）.[136] 商祝泉.初中幾何“無結論”練習實驗研究.中小學數學（初中版），2001（1）.[137] 童仕賢.運用課本進行開放式教學.數學教學通訊，2001（2）.[138] 徐廣華.加強開放性問題的教學 培養創新思維能力.數學通訊,2001(7).[139] 佚 名.一種開放式的數學復習課教學模式.中國中小學教育教學網（K12），2001-05-05.[140] 崔世明.挖掘例題要具有開放性——兩圓位置關系練習課.中學教研(數學),2001(5).4 [141] 吳信昌.讓學生學會交流——談開放性教學.福建中學數學，2001（3）.[142] 鄭冰俏.數學開放式教學嘗試——一堂數學習題課教學.中學教研(數學),2001(7).[143] 石恩文.中學數學與開放式教學.中學數學教學參考，2001（11）.研究性課題

[144] 哈家定.“探索研究題”的教學功能及其編制.福建中學數學,1991(3).[145] 劉冀生等.改變學習模式 激發學習潛能——向明中學“自創性研究課程”的構想與實踐.中學教育，1999（10）.[146] 孟召平等.數學活動課的實踐與認識.中小學數學（初中版），1999（11）.[147] 耿立順.表面展開圖為三角形的四面體.中學數學月刊，2000（2）.[148] 馮 華.表面展開圖為四邊形的四面體.中學數學，2001（1）.[149] 姚志敏.讓學生在“做”中學習——一堂教學研究課的簡介與評析.中學數學雜志（高

中），2000（6）.[150] 許文生.例說“研究性學習”——從2000年一道高考數學題談起.中學數學教學參考，2000（11）.[151] 游家來.研究性課程的設計與實施一例.中學數學，2001（1）.[152] 趙力紅等.開展課題研究（實驗類）的實踐與思考.教學月刊（中學理科版），2001（1）.[153] 王秀彩.一個游戲引起的思考.數學通報，2001（1）.[154] 韓 予等.怎樣燒開水最快最省煤氣.中學生數學，2001（2下）.[155] 楊 麗.研究性學習，讓學生變學者.錢江晚報，2001-02-04.[156] 陳仁彪.電梯運行方法引發的思考.中學數學教學.2000（4）；中國人大復印資料G35, 2001(2).[157] 郭立昌等.初中數學探究性活動的內容、形式及教學設計.中學數學教學參考,2001（1-2）.[158] 游余祥.研究性課題“多面體歐拉定理的發現”教學漫談.中學數學教學參考2001（1-2）.[159] 方維華.“課題研究”的實施.教學月刊（中學理科版），2001（2）.[160] 吳振奎.公說公有理，婆說婆有理——幾個貌視荒唐的數學故事.中等數學，2001（2，3）.[161] 游余祥.研究性課題——拋物線的有關性質.中學數學，2001（4）.[162] 周根龍.讓學生在研究中學習.中學數學教學參考，2001（4）.[163] 吳振奎.公說公有理，婆說婆有理——幾個貌似荒唐的數學故事.中等數學，2001（2）.[164] 張征海.高中數學教學中開展研究性學習的嘗試.數學教學，2001（4）.[165] 張 華.論“研究性學習”課程的本質.教育發展研究，2001（5）；人大復印資料G35 2001（9）.[166] 霍益萍.研究性學習對教師的挑戰和要求.教育發展研究，2001（5）；人大復印資料G35 2001（9）.[167] 周微微.初中數學研究性學習的設計與實施.中學教研(數學),2001(5).[168] 張惠良.研究性課題：分期付款中的有關計算.中學數學，2001（5）.[169] 金 良等.也談“抽簽有先后，對各人公平嗎？”中學數學，2001（5）.[170] 孫立群.高中數學研究性學習內容的構建與實踐.數學通訊，2001（11）.[171] 金 良等.從兩道習題看數學在“研究性學習”中的作用.中學數學研究，2001（6）.5 [172] 孫立群.分期付款問題的研究性學習設計.高中數學教與學，2001（7）.[173] 戴海君.一類復數習題的自然引申——研究性學習的一次嘗試.中學數學，2001（8）.[174] 丁雪梅.例說“研究性課題”教學中學生思維的調整與深化.中學數學教學參考，2001（10）.[175] 徐芳芳.探索“研究性課題” 開展“研究性學習”.中學教研（數學），2001（10）.[176] 馮 寅.課堂中研究性學習的策略、中學數學研究，2001（10）.[177] 羅碎海。研究性學習示例、中學數學研究，2001（10）.[178] 項莉敏.學生探究性學習能力的培養.數學教學通訊.2001（10）.[179] 劉作雄.《〈研究性學習〉系列講座

（一）》，數學通訊，2001（19）.編 制

[180] 凌振吉.從培養發散思維能力的角度 談編制開放性問題.數學教師,1993(6);中國人大復印

資料G35,1993(7).[181] 郭立昌.平面幾何“開放型”題目的編制.數學通報,1994(6).[182] 胡慶彪.解析幾何開放題的編制.數學通報,1998(11).[183] 葉芳琴等.淺議立體幾何開放題.數學通報,1996(11).[184] 潘淑萍.引導學生參與編題初探．數學教學通訊，1993(4).[185] 孫小民.開放型數學習題的若干編制方法.數學教學,1997(3).[186] 戴再平.數學開放題(專欄).中學生數學,1998(1-12),1999(1-12),2000(1-12).[187] 《小學數學教師》編輯部。開放題設計(專欄).小學數學教師,2000(3-).[188] 顧偉民等.淺述數學開放題設計的策略.小學數學教師,2000(7，8).[189] 潘素珍.折紙中的數學.數學教學,1998(4).[190] 數學教育沙龍.歡迎一試.數學教學,1989(3).[191] 孫耀庭.結合教材編制開放型題.數學通訊,1996(5).[192] 夏國良.立體幾何開放題的編制.福建中學數學,1999(3),數學教學,1999(4).[193] 王井文.挖掘教材中開放性例題之我見.中學數學教學參考,1999(8).[194] 張金良.與空間不共面的四點距離為定比的平面個數討論.中學教研(數學),1999(12).[195] 夏昌華.用模型法編制數學開放題若干例.數學通報,1999(12).[196] 張 彥.數學開放題及其編制方法.數學教學,1999(6);載于中國教育學會中學數學教學專 業委員會。開創21世紀數學教育新局面。上海：上海科技出版社，2000年，477-484 [197] 杜吉貴.以正三角形作為面的凸多面體模型及制作。數學教學，2000（1）.[198] 孫聯榮、凌國華.對一道常規題的開放性設計.數學教學,2000(2).[199] 齊建華.等面圖形堆壘問題.數學教學,2000(2).[200] 宋德瑜.鐘面行程問題.小學數學教師,2000(1,2).[201] 季巧玲.開放題的設計原則與教學例談。小學數學教師,2000(5).[202] 朱銀坪.編擬函數開放題的做法.數學通訊，2000（15）.[203] 葉建國.關于當前數學問題開放化的幾點思考。中學教研(數學),2000(4).[204] 朱銀坪.編擬函數開放題的作法.數學通訊，2000，（15）.[205] 方曉霞.編制“開放性初中數學題”淺談.數學教學通訊，2000（9）.6 [206] 李佩風.中考考生編擬數學題舉例.中小學數學（初中版），2000（10）.[207] 石 華.兩道開放題 供你試刀槍.數理天地（初中版），2000（12）.[208] 徐丹陽.精心設計開放題 培養創新意識.中學教研(數學),2001(1).人大復印資料G35 2001（4）.[209] 聞黎明.平面幾何題改編為開放題的一些做法.數學教學,2001(2).人大復印資料G35 2001（8）.[210] 劉 達.由開放性問題設計而產生的開放性問題.數學教學,2001(2).[211] 沈 翔.開放性問題設計的幾個要點.數學通訊,2001(7).人大復印資料G35 2001（8）.[212] 孫樹偉.也談開放型的解析幾何題.中學數學研究，2001（6）.[213] 孫明恩.一道由例題演變的開放題.中學生數學，2001（8下）.開放題與考試

[214] 龔 雷.嘗試用開放題編擬試題.中學數學教學參考,1998(3).[215] 孫聯榮.論考試中的開放性試題.上海中學數學，1998（5）.[216] 時承權.試談近幾年初中升學數學試題的發展趨勢.中國人大復印資料G35,1993(6).[217] 彭 林.中考數學探究型試題的分類及解法.中學生數學,1997(3).[218] 何昌俊.中考命題改革新舉措.數學教學,1995(2).[219] 胡敬民.例談中考數學探索性試題的類型及解法.中學教研(數學),1998(12).[220] 羅時建.試析今年全國高考數學開放探索題．數學教學,1998(６)． [221]習禾生等.平面幾何開放型試題初探.數學教學,1997(1).[222] 付東峰等.中考開放性試題的幾種常見類型.數學教學,1999(2).[223] 胡興余.數學應用開放題解法初探.中學數學教學,1999(5).[224] 魏明華.數學開放題與考試.數學教學通訊,1999(6).[225] 鄭玉君等.1999年高考第（18）題：開放題又有新突破.中學數學教學參考，1999（9）.[226] 張繼海.開放題——數學考試的新題型.試題研究（高中數學），1999（20）.[227] 劉應平.解答中考開放型題試題的八種思維方法.中學數學教學參考,1999(12).[228] 王 珂.從高考新題型——開放題引起的思考.數學通報,1999(12).[229] 王思儉.高考數學開放型試題的解題探微。中學數學雜志,2000(1).[230] 楊 麗.你會算24點嗎.錢江晚報，2000-06-15.[231] 陳德前.考查學生創新意識的數學中考題.試題研究（初中數學），2000（14）.[232] 孫鐵斌.高考物理開放題試題分類例析.中學理科參考資料，2000（8）.[233] 郭立昌.中考對學法改革的啟示.中小學數學（初中版），2000（9）.[234] 趙成海等.突出STS和開放題.中學數學教學參考，2000（9）.[235] 裴光輝.幾類開放題.高中數學教與學，2000（10）.[236] 周 毅.一個開放性幾何計算題求解研討.數學教學，2000（5）.[237] 張繼海 蔡紅.對一道開放性應用題的研究.試題研究（高中數學），2000（20）.[238] 趙春祥.填空題中的開放型問題解法評析。試題研究（高中數學），2000（20）；教學月刊（中學理科版）2000（11）.[239] 李世凱.一道有特色的中考開放型試題.中小學數學（初中版），2000（11）.7 [240] 賀長軍.高考數學熱點開放性問題淺析.數學教學通訊，2000（11）.[241] 肖紹菊.談中考開放題對數學教學的導向作用.數學教學通訊，2000（12）.[242] 林益富.中考數學創新試題的特征與教學對策淺析.中學教研(數學),2000(12).[243] 徐太玉.一道重應用、注重動手動腦的中考題.數學教學，2001（1）.[244] 尹志春.關于中考命題中“應用性問題”題型的探析.教學月刊（中學理科版），2001（1）.[245] 費鎮域.由一道英語競賽題說起.中學數學教學參考,2001(1-2).[246] 陳先海等.注重創新性試題的設計——2000年中考數學命題特點之三.中學數學教學參

考,2001(1-2).[247] 馮 玲.一道饒有趣味的中考開放題.中學數學研究，2001（2）.[248] 王大通等.難得一見的中考題.數學教學通訊，2001（2）.[249] 周光建等.對一道幾何“鑲嵌”題的評析與再研究.數學教學通訊，2001（2）.[250] 何昌俊.創新型的中考題.數學教學通訊，2001（2）.[251] 江興代.中考新視點之一—開放探索性問題.中小學數學（初中版），2001（3）.中國人大 復印資料G35,2001(6).[252] 陸海泉.中考新題型解法探討.中學教研(數學),2001(4).[253] 芮 滋.著眼素質 注意基礎 突出實用 加強開放——試析2000年中考數學試題的特點 及其導向.中學數學月刊，2001（5）；中國人大復印資料G35,2001(9).[254] 張宜成.例談中考開放型試題.中學生數學，2001（7下）.[255] 朱青鋒.開放性試題呼喚開放式教學——2000年全國高考數學試題之我見.數學通報，2001（8）.[256] 郭保勝.例談中考試卷中的開放題.中學生數學，2001（9下）.現代教育技術

[257] 江一鳴.自然數的等差分拆.數學教學,1997(5).[258] 萬福永．例談應用計算機模擬解答競賽題．數學教學,199８(６).[259] 鄧繼業.開放型教學方法的實踐——數學多媒體網絡教學的應用。數學教學,1999(1).[260] 金黎芬 黃榮金.例談信息科技對解數學開放題的影響.數學教學，2000（3）.[261] 周平.談應用幾何畫板輔助數學教學.福建中學數學,2001(2).[262] 徐達炎.建構主義學習理論與計算機多媒體課件的設計.教學月刊（中學理科版），2001（2）.[263] 劉 燕.網絡CAI在數學教學中的應用.福建中學數學,2001(3).[264] 郭 璋.運用TI—92Plus進行一次探究性活動.中學生數學，2001（8下）.國外的數學開放題

[265](日)澤田利夫.從“未完結問題”提出的算術、數學課的教學的方案.外國教育,1980(4).[266](日)相馬一彥.問題與學生反映.數學通訊,1988(9).[267] 胡林瑞.國外數學題的一次測試所見.數學教學,1990(3).[268] 劉學質.問題解決在美國和日本.數學教學.1993(2).[269] 方學榮.日本“課題學習”的一次試驗實錄.數學教學.1993(2).8 [270] 胡啟迪.日本一堂開放性的問題解決課.數學教學,1994(1).[271](日)川口廷.日本初中數學“課題學習”的構造及其展開.數學通報.1994(3).[272] 趙雄輝.一道開放型應用題的教學試驗.數學教學,1994(6).[273] 孫聯榮.日本數學教育中的“課題學習”.數學教學,1995(1).[274] 孫聯榮.再談“課題學習”中的課題.數學教學,1995(2).[275] 楊立公.記一堂開放式的教學實驗課.中學教研(數學),1996(7-8).[276] 孫連舉.淺析日本數學教育中的課題學習.數學教育學報.Vol.6(2),1997(5).[277](日)澤田利夫.兒童的思維與數學思維方法的培養。上海中學數學.1997（1）.[278](日)能田伸彥.日本課堂活動中的開放式教學.黃榮金譯。ICMI-EARCOME1 Proceedings 185-192．見1998年10月上海會議文獻選編。ICMI-EARCOME1于1998年8月17-21日 于韓國忠清北道韓國教員大學校舉行.[279] 湯慧龍等.數學題型應當拓寬—國內外數學題型比較.數學教育學報,Vol.7(4),1998(11).[280] 開放題——數學教學的新模式課題組等。西湖之春——小學數學開放式教學研討會通知.小學數學教師,2000(1,2).其 他

[281] 書訊.我國首套《中小學數學開放題叢書》即將陸續出版.小學數學教師,2000(3).[282] 《中小學數學開放題叢書》出版信息.中學數學教學參考.2000(5)第10頁.9

第二篇：小學數學教學論文 數學開放題

小學數學教學論文：數學開放題

人類已進入二十一世紀的信息時代，國民創新素質的高低將成為衡量一個國家競爭力的重要標志。江總書記曾指出：“創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力。”因此提高全民族素質，培養學生的創新意識、創新精神也就必然成為小學數學教學所面臨的迫切任務。反觀我國的基礎中小學數學教育中，課程仍在“學科中心”理念的支配之下，教材還一直采取“定義—定理—練習”的編寫方式，只突出學科系統性的編寫方法，而把學生的個性發展置于無足輕重的地位；教學模式也過分單一，教學要求同一化；學生厭學，產生大量的“差生”，學有余力的學生的興趣和能力也得不到充分發展；學生只埋頭于題海中、“模擬試卷”中，學生被訓練成了解題機器；而數學教材中的習題又基本是為了使學生了解和牢記數學結論而設計的，學生在學習過程中產生了以死記硬背代替主動參與，以機械模仿代替智力活動的傾向……。為了突破我國數學教育當前的局面，改變這一狀況，順應時代的發展和需要，我們在數學教學中，引進了數學開放題，作為積極推進數學素質教育、創新教學的一個切入口，同時希望通過開放題的引入，促進數學教育的改革和發展。

一、數學開放題的含義

1、特征

數學開放題相對于傳統的封閉題而言。傳統的數學習題條件完備、結論確定，此類題稱為封閉題。而數學開放題通常是指那些條件不完備、結論不確定的習題，或稱為“問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余”的習題。數學開放題一般具有下列特征：

⑴ 問題的條件不完備

開放題的條件可以不足，也可以多余。條件不足時要求學生予以補充，條件多余時可要求學生有所選擇。

例

1、小敏有一些1元和5角的硬幣，合起來是10元錢。小敏有幾個硬幣？

在本題中，給出的條件不足以確定硬幣的個數，學生需要補充一些條件才能得出結論。正是由于條件的不足，從而使本題的結論具有很大的開放性。

例2、從2、3、4、5、6、7、8這七個數中，挑出六個數填在下面的括號內，使等式成立

（）+（）=（）+（）=（）+（）

在本題中，可根據七個數中的某六個數就可確定算式，條件是多余的。多余的條件使本題的解題策略具有開放性。

⑵ 問題的答案不確定

開放題的答案具有多樣性，它決定了能夠滿足各種層次水平的學生的需求，使他們可以在自己的能力范圍內解決問題，從而體現出層次性。

例3、小剛家離學校45米，小紅家離學校55米，小剛家與小紅家之間有多少米？

在道題有三種不同層次的解答思路：①小剛和小紅家在一條直線上且在學校的兩邊，倆家相距 45+55=100（米）②小剛和小紅家在一條直線上且在學校的一邊，倆家相距 55－45=10（米）③小剛和小紅家不在一條直線上，倆家相距大于10米，小于100米

⑶問題的解決策略具有創新性

解答開放題時，沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思想模式，從多個不同的角度思考問題，有時發現一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領域。

例

4、一次，小敏、小紅、小麗三位朋友合乘一輛出租車，大家商定，出租車費一定要合理分攤，小敏在全程三分之一處下了車，到了三分之二處，小紅也下了車，最后小麗一個人坐到終點，付出18元錢，他們三人如何承擔車費比較合理。

本題的一般解題方法是：按路程的多少來合理分配車費。因路程的比是1∶2∶3，所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；

小紅：18÷（1+2+3）×2=6（元）；

小麗：18÷（1+2+3）×3=9（元）。

本題還有特殊的解題方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的錢平均分配。第一段路三人都乘，每人應付2元；第二段路小紅和小麗合乘，兩人各付3元。這樣每人應承擔的車費如下：

小敏：2（元）小紅：2+3=5（元）小麗：2+3+6=11（元）

如果考慮出租車的起步價，車費的分配又有所不同。

解答本題時并沒有一定的解題模式可以遵循，思維呈發散性，如能找到一個新角度，就可以發現新的解答。

2、分類

對數學開放題進行分類，這不但有助于我們對開放題有一個深入的認識，而且也有利于開放題的各種研究工作。數學開放題可以選擇不同的標準進行不同的分類。以下僅從思維形式這一角度對開放題進行分類。數學命題一般可根據思維形式分成“假設—推理—判斷”三個部分。

⑴一個數學開放題若其未知的要素是假設，則為條件開放題。這類開放題給出了結論，要求從多種不同角度去尋求這個結論成立的條件。

例

5、有三個整數，問這三個數具備什么條件時，它們的和能被3整除？

⑵一個數學開放題若其未知的要素是推理，則為策略開放題.這類開放題一般都給出了條件和結論，而怎樣由條件去推斷結論或怎樣根據條件去判斷結論是否成立的策略未知。

例6 制作書架時需要一塊長100厘米，寬20厘米的木板，現只有一塊長80厘米，寬30厘米的木板。問怎樣將木板鋸開，可以拼接成所需尺寸的木板？

⑶一個數學開放題若其未知的要素是判斷，則為結論開放題。結論開放題就是給出了一定的條件，滿足條件的答案有多個。

例

7、在2、4、6、7、10的五個數中，哪一個與眾不同？

⑷有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論要求主體在情境中自行設計與尋找，這類題稱為綜合開放題。

例

8、在一個3×4（米）的長方形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，使花壇的面積是長方形地塊的一半，請給出你的設計。

二、數學開放題的使用價值

由于開放題的特點是條件開放、結論開放、策略開放的問題，開放題教學作為一種新的教學形式，為學生由課堂走向社會實際架起了一座橋梁，為新知和學做的結合開辟了課程的新渠道。本人通過對開放題教學的研究，覺得數學教學中引進開放題是必要的也是必須的，其獨特的作用主要有以下幾個方面：

1、有利于全體學生的積極參與

素質教育的本質應該體現在面向全體和全面發展上，而每個學生發展的關鍵是要在教與學的活動中給每個學生 提供參與機會，使他們在參與中得到發展。新鮮而具有豐富答案的開放題使每個學生都可以從事自己力所能及的探索，優生可做得多而深一些，基礎差的學生也不至于無從下手，而通過自己的努力發現的結論或設計的方案，無論程度如何，都會給學生帶來快樂，而沒有無可奈何的被迫練習的感覺，這樣的參與帶有極大的主動性。每個學生在這樣的參與中都得到更好的發展。開放題教學讓每個學生在積極參與中求得了發展。

2、有利于學生的主體地位得以保障、自信心得以增加

素質教育觀中，主體性是衡量學生學習質量高低的主要標志。學生的主體性越突出，獨立探索的機會就越多；創造性情感就越強；其創新意識和實踐能力越有可能得以培養。在開放題教學中，由于學生的活動是開放的，學生自己可以提出問題來展開并進一步發展教學內容，學生可以按自己的意愿來選擇其所喜歡的思維方式解決問題。這樣的學習，可以使學生的自主權受到尊重，使他們的主體地位得以保障。同時學習的內容和方式是學生自己感興趣的，從而激發了他們的學習積極性和主動性，增強了他們對學習的自信心。

3、有利于培養學生的創新意識和能力

素質教育的制高點就是要培養學生的創新意識和能力，開放題教學具有此功能。在解決開放性問題時，學生探求多種答案，有利于培養思維的獨創性、發散性；學生發現使結論成立的多種條件時，有利于提高學生聯想、猜測、直覺等非邏輯思維能力及分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；學生在尋找多答案中的最優解與在尋找多種條件中最優條件時，訓練了學生的創造性思維能力。又開放題教學能夠提供學生提高創新思維的空間。學生間的討論、師生間的交流、學生提出質疑時，學生發展了自己、超越了自己，使創新思維能力得到有效提高。

4、有利于因材施教，發掘每個學生的潛能

心理學家加德納（Howard Gardner）曾指出：每個人都具備有多種智慧，其差異之一，僅僅是某人這幾方面的智慧占優勢，某人那幾方面的智慧占優勢；

其差異之二，某些智慧已被人所顯示（顯能），某些智慧還沒有被人所顯示（潛能）；人人都具有多方面的智慧。這告訴我們，起主導地位的教師應該為每個學生創設一個良好的情境，以使每個學生的智慧得以展示，使每個學生的潛能得以發掘。以開放題為載體的開放式教學就為學生創設了一個這樣好的情境：開放題由于答案、條件的不唯一性，方法的多樣性，起點低、層次多，適應多層次的學生，為因材施教提供了好的材料，為每個學生提供了更多的參與機會和成功可能。

20世紀已離我們遠去了，數學教育的觀念已發生了巨大的變化，數學不再僅僅是為未來的科學家和工程師作準備，而是21世紀每一個公民的基本素質之一。在這種觀念下，我們可以看到，數學開放題較為有效地反映了學生高層次的思維，在開放題的解答過程中，往往沒有固定的、現成的模式可循，僅靠死記硬背、機械模仿不可能找到問題的解答，學生必須充分調動自己的知識儲備，積極開展探索活動，從多角度用多種思維方法進行探索。課堂中引進數學開放題，可以較好地培養學生的創新意識和能力，數學開放題，創新教學的切入口。

參考文獻

〔1〕戴再平。《為了每個學生的發展，為了中華民族的振興》

小學數學骨干教師國家級培訓班學習材料 2000年10月

〔2〕張梅玲。《開放式教學與創新型人才》

小學數學骨干教師國家級培訓班學習材料 2000年10月

〔3〕孔企平。《開放性問題對數學教學的意義》

數學教學，1999年第4期

〔4〕戴再平。《小學數學開放題集》上海教育出版社。2000年5月

〔5〕龔 雷。《數學開放題及其分類》上海。數學教學2000年5月

第三篇：小學數學開放題教學策略研究

小學數學開放題教學策略研究

摘 要：隨著我國素質教育和創新教育的推進，以計算技能和解決常規問題為重點的數學教育已經不能滿足時代發展的需要了。開放題教學作為一種新的教學形式，更好的為傳統數學教學作補充使其得以發展，使學生的創新意識和“雙基”訓練得到科學的平衡。本文著重探討了小學數學開放題的教學策略及教學過程中的注意事項。

關鍵詞：小學數學；開放題教學；教學策略數學開放題的教學策略

所謂教學策略是指當教學目標確定以后，根據己定的教學任務和學生的實際情況，有針對性地選擇和組織相關的教學內容、教學組織形式、教學方法和手段，從而形成具有較高效率的特定的教學方案。它既包含解決某一實際問題的教學理論，又包含解決某一實際問題帶有規律性的教學方法，具有綜合性、可操作性和靈活性的特點。根據數學開放題的教學原則，本文提出如下數學開放題教學策略。

1.1 展示問題，開放有度

教學中展示的開放題要有趣、有新意，開放度要適當，能激發所有學生的學習興趣。所以，教師要努力研究如何才能讓學生產生對數學的學習興趣是非常必要的，這就需要教師用心去了解每位學生，不但要了解他們的學習狀況，而且要明白他們所處于青春期的叛逆心理，教師要走進他們的內心世界，讓學生喜歡上你，和你沒有距離感，才能相信你，信任你，這樣才會喜歡上你的課。教師必須更高的要求自已，教師必須考慮教材中有關教學內容的可開放性和開放度：分析哪些內容學生可以自主探究獲得，哪些內容不適合開放題教學，要考慮學生現有的認知基礎和思維能力，很好的去理解所學的教學內容。同時，在開放題課堂教學中，開放題編排能夠圍繞教學目標，由易到難、由舊知識到新知識逐步過渡，開放題的數量和開放度都要適中。教師要相信每位學生，課堂的主動權要交給學生，保證學生在掌握“雙基”的基礎上能得到最大限度的發展。教師在課前要做好準備工作，考慮到課堂上學生出現的各種狀況都能處理的恰到好處，教師要非常熟練教學內容，要有清晰的思路，一環緊扣一環的引導和啟發，使學生學起來水到渠成。

1.2 探究問題，及時反饋

分析所展示的開放性問題，要做好心理暗示，我們通過合作、討論探究一定能把問題解決的心理，這樣你就有一股永不服輸的力量支撐著你勇往直前，達不到目的永不罷休的蠻勁。在數學開放題教學中，教師不能簡單的只看學生解決問題的答案對與錯，而更應注重觀察學生的解題方法和過程，教師要及時糾正和指導。解決數學開放題不要受時間的限制，要留給學生足夠時間讓他們充分發揮自已的智慧和想象思維能力。教師要認真細心地記錄學生在學習過程的每一個細節、動向、情景等表現，逐一進行研究、探討、反思總結得失，為數學開放題收集資料，積累經驗。

1.3 討論辨析，多向交流

由于數學開放題的特征，它們有的有多個條件，有的有多個答案，有的有多種解法。因此課堂教學中要留出相對充足的時間給學生，讓學生自由發言、討論。歸納總結，充分發揮學生的主觀能動性。打破教師事先準備控制課堂教學過程的習慣，代之形成根據學生課堂的反應確定教學過程的習慣。其中有的問題不可能由一個學生在有限的時間內完成，需要有幾個人的力量和集體的智慧去解決。因此在數學開放題的教學中，要采用集體教學、小組教學、個別教學相結合等多種渠道相結合的方式，并合理優化分組，讓每個小組中的每個成員都能暢所欲言、發表所見、集思廣義、同力協作，并讓不同學習水平的學生，解決不同的層次的問題。根據合作學習理論，學生在小組中要有不同的角色地位，每個人應明確責任，各有側重，讓學生具有獨立、競爭、合作三種意識。在這個過程中，教師要起到教學組織者、調控者的作用，使課堂環境井然有序，生機勃勃。當小組討論遇到困難和挫折時，教師應給予啟發幫助和鼓勵，及時引導并幫助小組走出困境；當小組討論有成果時，教師應及時給予恰如其分的鼓勵和贊揚，并引導他們的思維更上一層樓向高一級活動升級。

1.4 點評小結，尋找規律

當開放題教學進入尾聲，即各種解題方法都以運用，結論都推斷出來時，應及時讓學生自已進行總結。開放題教學的課堂總結應作為畫龍點睛的環節，讓學生比一比各種策略孰優孰劣，找一找各種結論的規律乃至上升到理論的途徑。教師做好最后的評判，對學生的解題情況和結果進行正確的點評并給予鼓勵表揚。歸納總結，啟發學生對結論一般化的認識，尋找數學學習的規律，能挖掘題目中所包含的數學思想和數學方法。通過開放題教學實踐，需注意的事項

2.1 做好開放題教學課堂前的準備工作

問題的科學性是衡量問題質量的重要標志，要按照數學課程標準要求設計開放性問題，要反映數學核心知識、基本方法和基本技能。開放性問題的內容要正確無誤，陳述性語言要精確，不能有歧義。數學課堂中開展開放題教學要恰到好處，比如在一章知識點講完以后需要大量的練習，并且要把知識點達到綜合性的應用，就應該引進一節開放題教學進行學習，在開放題的解決過程中，學生通過交流合作運用所學的知識和已有的解題技能，有創意的方法或途徑解決開放題，有助于學生對所學知識的理解和鞏固。教師在編制開放題時要考慮到學生的最近發展區以及學生在情感方面的需要，通過解決開放題，學生對所學的知識進行鞏固和提升。

2.2 要精心設計教學過程

開放題教學是對教師臨場應變能力的一種挑戰，教師要了解每位學生，不能低估不同能力水平學生的潛能，要耐心、細心的指導任何一位需要幫助的學生，教師既要關注到差生的解答情況，又要鼓勵優生尋找最佳的解答方法。教師要為學生們提供平等、和諧的學習氛圍。教師要給每一位學生動手實踐、創造發明的機會，事實上學生動手能力最強、想象力最豐富的學生并非是數學成績最好的學生，教師要利用開放題這個載體發掘每一位學生的數學潛能。

2.3 教師需明確自己角色，課后進行總結

在開放題的教學中，教師明確自己的地位是非常重要的。在開放題教學中教師是知識的呈現者，學習的指導者，紀律的管理者，還是課堂學習過程中各種信息的重組者。問題的開放度要有層次，在設計這類問題時要遵循學生的學習實際，既要考慮深化發展又要依據基礎知識的掌握情況，既要考慮優等生的發展，又要照顧到學習困難的學生，做到難易結合，由低到高，節節上升，推進對開放題的認知和解決。

開放題教學對教師綜合能力和素質提出了較高的要求。課前、課中、課后教師需要花費更多的時間進行思考和反思，課前要根據所授課的學生的學習情況而進行開放性問題的設置，同時要想到學生在課堂上的反應，所以教師要精心設計開放題。課后教師要及時的反思和總結，修正自己在課堂教學中的不足以及在那些方面做的比較滿意，并對所授新知進行總結讓學生能有個整體的把握。在開放題教學中教師要重新建立起教學觀念，要時刻關注學生、關心學生，讓學生所學的數學知識和能力終身受用，用把眼光放長遠，不僅要求學生有好數學成績，而且更希望的是學生要學會解決各種數學問題的能力，在教學中教師要尊重學生、相信學生、讓學生成為學習的主人。

參考文獻

[1]楊傳岡.《小學數學開放題教學行思》[J].教育探索，2015.11

[2]孔琴.《有效實施小學數學開放式教學探析》[J].基礎教育研究，2015.06

第四篇：例談小學數學開放題教學策略

例談小學數學開放題教學策略

小學數學開放題由于具有題目條件不充分或結論不唯一等特征，其解題過程具有較強的探究性、發展性與創新性等特點。因此，開放題的解題策略更加靈活多變，要求學生靈活運用已學知識和數學思想方法，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等必要的邏輯思維去得出結論，其解題過程更加關注學生分析問題與解決問題的能力，以及創新意識的培養。

由于數學開放題具有不同的結構特點，其教學策略更加靈活多變。如何更好地提高數學開放題教學的實效呢？本文擬根據開放題的類型特點提幾點意見供參考。

一、條件開放型教學策略

條件開放型開放題具有多種表現形式：可以是條件不充分或條件有余，可以是解決問題的條件具有多種可能性。解決這類問題的關鍵在于引導學生抓住問題的本質和要害，從眾多已知條件中排除各種表象的干擾。同時要防止長期解答封閉題形成的思維定勢影響。其教學策略可概括為“認真審題、深刻分析、準確思考、創造性解決問題”。

例1，習題“少年宮美術組有24人，航模組比美術組少6人，書法組的人數是美術組的3倍，美術組和航模組一共有多少人？”通過審題分析條件和問題可知：書法組人數是美術組的3倍為多余條件。面對多余條件，教學的重點是訓練學生不受干擾，不因思維定勢影響正確解題。

例2，習題 “李強有5角硬幣1枚，2角硬幣4枚，1角硬幣8枚，他想從這些錢中拿出8角購買水筆，請問他可以怎樣拿？”本題的結果就是要拿出8角錢買筆，而怎樣從這些硬幣中拿出8角就變成這一結果的條件，是典型的條件開放題。教學的關鍵在引導學生思考：用這些硬幣組成8角錢有幾種可能性？同時在分析各種可能性的同時培養學生思考及解決問題的條理性，學會用枚舉的方法有序分析、全面考慮、一個不漏，最后用列表的方法將分析思考的結果表示出來。

例3，習題“從58盒牛奶中拿走幾盒后，余下的能夠平均放在8個盤子中嗎？”本題的“拿走幾盒”是使余下的能平均放在8個盤子里的條件。因此屬于條件開放且要補充完整的題型。其解題策略的關鍵在于讓學生理解“余下的能平均放在8個盤子中”，并將其轉化成余下的數量可以平均分成8份這個數學模型。在學生很快想到56之后，還要啟發學生思考還有無其他可能情況，培養其開放思維及勇于探索的意識。并通過本問題的解決培養學生思維的條理性、求異性，并從中悟到拿出的盒數與“2”和“8”的關系，從而建立數學模型。

二、結論開放型教學策略

結論開放型習題，其答案不唯一是因為這類問題的條件和情境存在多種可能性，這就需要教師在教學過程中適時對學生進行組織、管理與調控，并輔以必要的巡視、聆聽、指導與糾錯，以促進學生學習方式的轉變并掌握一定的學習方法。

例4，習題“小明家離學校450米，小紅家離學校550米，小明與小紅他們兩家之間大約相距多少米？”教學這道題時，教師先組織學生在理解題意的基礎上聯系生活實際進行想象、思考和討論：小明、小紅的家與學校這三幢建筑物可能存在怎樣的空間位置關系？教師引導學生用線段圖或直觀空間圖幫助理解，并在此基礎上尋求解決問題的方法。學生在畫圖理解的基礎上就能從幾個角度來思考：即小明與小紅的家與學校都在同一條直路上，或小明、小紅的家與學校都不在一條路上。而三者都在同一條直路上又存在幾種不同情況。通過聯系生活實際學生都能得出小明與小紅兩家之間的距離在100米到1000米之間。這樣的教學，使學生逐步學會用運動變化的觀點分析和解決問題，領悟數學思考的方法和魅力。

例5，習題“把24個邊長為1厘米的小正方形拼成一個大長方形，拼成的長方形的周長與面積各是多少？”這類題型的教學策略關鍵在引導學生動手操作，通過實際的拼擺，學生化抽象為具體，能夠較好地理解題意。同時教師還要引導學生在計算每個拼擺成的長方形周長與面積后去探索發現，并總結得出“雖然拼成的長方形面積都一樣大，但它們的周長卻各不相同”。在此基礎上又組織學生研究“用一根24厘米長的細鐵絲圍成一個長方形，長方形的面積是多少？”有上一題的教學做基礎，學生有了學習與思考方法的牽引，他們通過畫圖分析和思考，把本題的條件轉化成為已知拼成的長方形周長24厘米，并通過推導得出這個長方形的一條長與一條寬的和是12厘米。在此基礎上通過數形結合，把12分拆成“1+11、2+10、3+9、4+8、5+7、6+6”這六種情況。最后在學生計算出每個長方形面積的基礎上，引導學生進一步歸納發現：周長相等的長方形，他們的面積不一定相等。通過這樣的兩道題的學習，學生對長方形的面積與周長的意義有了進一步的理解，并不斷地進行對比、發現，也對學生鞏固長方形面積與周長的計算起到較好的促進作用，以此方式學到的知識都是活的數學知識。

類似的還有策略型、綜合型開放題的教學，其關鍵是在教學中創設寬松和諧的學習氛圍，引導學生積極、主動、創造性地思考，通過師生共同研究，集體合作等方式，讓學生體驗做數學開放題的樂趣，提高學生的數學素養。

（作者單位：福建省廈門雙十中學海滄附屬學校）

第五篇：數學建模文獻綜述

數學建模文獻綜述

摘要：綜述 數學建模方法

前言：數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題。數學模型是一種模擬，是用數學符號，數學式子，程序，圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。在21世紀新時代下，信息技術的快速發展使得數學建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。

正文：自從20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展、數學理論與方法的不斷擴充，使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成為一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。而數學建模作為數學方面的分支，在其中起到了關鍵性的作用。

談到數學建模的過程，可以分為以下幾個部分：

一.模型準備

了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想來包容問題的精髓，數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。要求符合數學理論，符合數學習慣，清晰準確。

二.模型假設

根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

三.模型建立

在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。

四.模型計算

利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。其中需要應用到一些計算工具，如matlab。

五.模型分析

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。

六.模型檢驗

將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。

數學建模中比較重要的是，我們需要根據實際問題，適當調整，采取正確的數學建模方法，以較為準確地對實際問題發展的方向進行有據地預測，達到我們解決實際問題的目的，在近些年，數學建模涉及到的實際問題有關于各個領域，包括病毒傳播問題、人口增長預測問題、衛星的導航跟蹤、環境質量的評價和預測等等，這些就能說明數學建模涉及領域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應的數學建模方法，采用不同的數學模型，再綜合起來分析，得出結論，這需要我們要有一定的數學基礎和掌握一些應用數學方法，以適應各種實際問題類型的研究，也應該在一些數學方法的基礎上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數學工作者的基本要求，我們對數學建模的所能達到的要求就是實現對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現其中的內在關系，體現數學建模的巨大作用。

而在對數學建模中的數據處理中，我們往往采用十類算法：

一.蒙特卡羅算法

也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。

二.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法

比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數據擬合在數學建模中常常有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系。

三.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題

建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。它尤其適用于傳統搜索方法難于解決的復雜和非線性問題，在運籌學和模糊數學中也有應用。

四.圖論算法

這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應用價值,圖論可將各種復雜的工程系統和管理問題用“圖”來描述,然后用數學方法求得最優結果，圖論是解決許多工程問題中算法設計的一種有效地數學模型,便于計算分析和計算機存儲。

五.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法

動態規劃的應用極其廣泛，包括工程技術、經濟、工業生產、軍事以及自動化控制等領域，并在背包問題、生產經營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統可靠性問題等中取得了顯著的效果。回溯算法是深度優先策略的典型應用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經典問題，還有一個經典的應用場景就是迷宮問題。回溯算法是深度優先，那么分支限界法就是廣度優先的一個經典的例子。回溯法一般來說是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。

這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。

六.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法

模擬退火算法的依據是固體物質退火過程和組合優化問題之間的相似性。物質在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質轉化為液態，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩定。
　　“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優雅——雖然生存競爭是殘酷的。遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術指導對一個被編碼的參數空間進行高效搜索。

神經網絡從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經元結構，它的構成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經網絡計算非數字，非精確，高度并行，并且有自學習功能。

這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用。

七.網格算法和窮舉法

對于小數據量窮舉法就是最優秀的算法，網格算法就是連續問題的枚舉。網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。

八.一些連續離散化方法

很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。

九.數值分析算法

在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。

十.圖像處理法

賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。

這十類算法對于數據處理有很大的幫助，甚至從其中可以發現在它們中的很多算法都是數學某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學習，相信這對我們今后的數學學習有很大的幫助，然后，就是數學模型的類別。

常見的數學模型有離散動態模型、連續動態模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數學模型、常微分方程模型、常微分方程的數值穩定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數學模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導，我們最終都會通過實踐檢驗數學建模的正確性，加以完善和提升，在對現實對象進行建模時，人們常常對預測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產的價值或者有一種傳染病的人數。數學模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規劃未來，可以把數學模型看做一種研究特定的實際系統或者人們感興趣的行為而設計的數學結構。

例如人口增長模型：

中國是世界上人口最多的發展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經濟發展的首要因素。人口數量、質量和年齡分布直接影響一個地區的經濟發展、資源配置、社會保障、社會穩定和城市活力。在我國現代化進程中，必須實現人口與經濟、社會、資源、環境協調發展和可持續發展，進一步控制人口數量，提高人口質量，改善人口結構。對此，單純的人口數量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現人口規劃的科學性。政府部門需要更詳細、更系統的人口分析技術，為人口發展策略的制定提供指導和依據。長期以來，對人口年齡結構的研究僅限于粗線條的定性分析，只能預測年齡結構分布的大致范圍，無法用于分析年齡結構的具體形態。隨著對人口規劃精準度要求的提高，通過數學方法來定量計算各種人口指數的方法日益受到重視，這就是人口控制和預測。

人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性，適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律。灰色預測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測。

基于以上思想我們建立了灰色預測模型：

灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。

在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素，例如出生率、死亡率、遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算，則可以根據年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數推算一年或多年后年齡相應增長一歲或增長多歲的人口數。在這個人口數的基礎上減去相應年齡的死亡人數，就可以得到未來某年齡組的實際人口數。對于0 歲的新生人口，則需要通過生育率作重新計算。當社會經濟條件變化不大時，各年齡組死亡率比較穩定，相應活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩定不變。因而可以根據現有的分性別年齡組存活率推算未來各相應年齡組的人數。

通過這樣的實例就能很細致地說明數學建模的方法應用，數學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。它是將研究的某種事物系統，采用數學形式化語言把該系統的特征和數量關系，抽象出一種數學結構的方法，這種數學結構就叫數學模型。一般地，一個實際問題系統的數學模型是抽象的數學表達式，如代數方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規律，與實際問題系統中相應特征的變化規律相符。一個實際系統的數學模型，就是對其中某些特征的變化規律作出最精煉的概括。

數學模型為人們解決現實問題提供了十分有效和足夠精確的工具，在現實生活中，我們經常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們為了一定的目的對原型進行的一個抽象。

隨著科學技術的快速發展，數學在自然科學、社會科學、工程技術與現代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應用，尤其是在經濟發展方面，數學建模也有很重要的作用。數學模型這個詞匯越來越多地出現在現代人的生產、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數學模型的重要性。數學模型就是要用數學的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學習數學建可以掌握解決實際問題的強大武器。

參考文獻：數學建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業出版社（2014）.數學模型建模分析，蔡常豐編著，科學出版社，(1995)．

數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，(1996).