第一篇：任意角、弧度制、任意角的三角函數教學設計(貴州貴陽六中高文遜)

高三復習課《任意角、弧度制、任意角的三角函數》教學設計

貴陽六中

高文遜

一．教學內容解析：

這一節的內容主要有任意角的概念，包括正角、負角、零角，終邊相同的角，象限角；弧度制，包括1弧度交的定義，角與弧長、半徑的關系，角度與弧度的互換，扇形的面積公式；任意角的三角函數，這是這一節的重點，包括任意角的三角函數的定義，誘導公式一，角的三角函數在象限的符號，三角函數線等。

二.教學目標設置：

1． 知識目標：

（1）了解任意角的概念，掌握終邊相同角的關系以及象限角的范圍；（2）了解弧度制的概念，能進行角度與弧度的互化，掌握扇形的弧長公式與面積公式；

（3）掌握任意角的三角函數的定義，會判斷角的三角函數在象限的符號，理解三角函數線的定義，并能簡單的運用等。

2． 能力目標：

（1）培養學生整理知識的能力；

（2）培養學生的分析能力、觀察能力、理解能力。（3）培養學生的類比能力、探索能力。（4）培養學生運用運用數學思想思考問題的能力。

三．學生學情分析：

高三學生已經掌握了一定的知識，但知識網絡不夠完整；能解一些題，但解題方法還有所欠缺。

四．教學策略分析：

通過思維導圖的形式，展現知識點之間的內在聯系；通過對問題的剖析，結合數學思想（化歸與轉化、數形結合、分類討論、函數與方程等）探討如何解題。

五．教學過程： 1.知識的整理：

畫一個直角三角形，引導學生回憶初中三角函數的定義，舉出兩個特殊的直角三角形（用途：記住特殊的三角函數值）。再從特殊到一般，讓學生挖掘斜三角形的性質（學生課后整理）。然后類比到扇形，找出相似點，引出1弧度角的定義，弧長、半徑與圓心角的關系，弧度與角度的互化。再把銳角推廣的任意角，坐標角，引出象限角，半角的范圍，角與角終邊的關系。再類比直角三角形中角的三角函數的定義，推廣任意角的三角函數的定義，利用角與角終邊的關系，得到誘導公式。然后根據任意角的三角函數的定義，得到角的三角函數在象限的符號。再得到三角函數線的定義及應用。【設計意圖】首先培養建立知識體系的能力。通過觀察，類比，引導，從而使學生能更好地理解數學概念和方法，培養學生觀察能力、分析能力、理解能力。這樣使學生理清了知識的來龍去脈，掌握了知識點之間的內在聯系，既突出了重點，又化解了難點。

2.如何分析問題

如何思考問題？可以從以下三個方面考慮：（1）有什么？可以下劃線，做記號；（2）是什么？要展開聯想，轉化題意；

（3）如何？尋找條件與所求的聯系，可以直接轉化，也可以數形結合，分類討論，借助于函數與方程等知識點找聯系。

【設計意圖】讓學生形成基本解題方法，從而可以做到舉一反三，避免題海戰術，避免解題的盲目性。

3．例題講評：

例1（1）．若?為第二象限角，且cos?2??cos?2，則角是【 】

?2 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 分析：?為第二象限角，所以為一、三象限角，因為cos?所以為二、三象限角，所以為第三象限角。選C

（2）．函數y?1,3? A、?sinxcosxtanx??sinxcosxtanx?22??cos?2，?2?2的值域為【 】 C、??1,?3?

1,?3? D、?B、??1,3?

分析：當x在第一象限時，y=1+1+1=3;當x在第二象限時，y=1-1-1=-1;當x在第三象限時，y=-1-1+1=-1;當x在第四象限時，y=-1-1+1=-1。選B 【設計意圖】應用上面的方法，從有什么出發，探討這個條件本質上要告訴我們的是什么，讓學生展開聯想，學會轉化。然后通過數學思想，挖掘條件與所求的聯系。培養學生分析問題、解決問題的能力。

4.課堂小結：（1）能力層面：

1）學會整理知識，要抓住知識與知識之間的聯系，了解知識點的來龍去脈。2）要學會審題：

有什么：畫橫線，重點標記； 是什么：聯想與轉化； 如何：條件與所求的聯系。

思考問題是學會從數學的思想來思考。（2）知識層面：

1）我們說的角不再是銳角、鈍角等，它可以是任意角； 2）我們要習慣用弧度制，而淡化角度； 3）扇形中的弧長與面積要會算；

4）任意角的三角函數的定義以及三角函數值的符號的考察，一般會滲透在其他三角函數題中，不會單獨命題，但是容易算錯符號，要小心。

【設計意圖】通過對所學知識進行歸納總結，可以使學生能從總體上把握這堂課的內容，并將所學知識納入已有的認知結構。

5、教學反思設計

（1）與學生交流，反思自己的講解有沒有從根本上解決學生存在的問題，有沒有提高學生的思維能力，教學是否達到了預期目標；（2）與同事交流，反思設計的依據、出發點，反思教學重心、基本教學過程，反思富有創意的素材或問題等。

（3）通過批改作業，反思知識的滲透是否到位，學生是否理解了問題的本質性的東西等。

（4）從參考資料、教學信息等方面反思。學習相關的數學教育理論，參考多方面的教學信息，可以豐富我的知識水平，開闊我的教學思路，使我理智的看待自己教學活動中“熟悉的”、“習慣性”的行為，能使我更大限度的做出有效的教學決策。

第二篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中數學必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教學目標】

1.理解任意角的概念.2.學會建立直角坐標系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫.3.了解弧度制，能進行弧度與角度的換算.4.認識弧長公式，能進行簡單應用.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應用，不必在應用方面加深.5.了解角的集合與實數集建立了一一對應關系，培養學生學會用函數的觀點分析、解決問題.【導入新課】

復習初中學習過的知識：角的度量、圓心角的度數與弧的度數及弧長的關系

提出問題：

1．初中所學角的概念.2．實際生活中出現一系列關于角的問題.3.初中的角是如何度量的？度量單位是什么？

4.1°的角是如何定義的？弧長公式是什么？

5.角的范圍是什么？如何分類的？

新授課階段

一、角的定義與范圍的擴大

1．角的定義：一條射線繞著它的端點O，從起始位置OA旋轉到終止位置OB，形成一個角，點O是角的頂點，射線OA,OB分別是角的終邊、始邊.說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

2．角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

負角：按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它為零角.說明：零角的始邊和終邊重合.3．象限角：

在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負軸重合，則

（1）象限角：若角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.例如：90,180,2等等.說明：角的始邊“與x軸的非負半軸重合”不能說成是“與x軸的正半軸重合”.因為

x軸的正半軸不包括原點，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點為其端點的射線.4．終邊相同的角的集合：由特殊角30看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角自身在內，都可以寫成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都與30角的終邊相同.從而得出一般規律：

所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S|k360,kZ，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同.例1在0與360范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，與120角終邊相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角終邊相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，試判斷角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴與225終邊相同，所以，在第三象限.例3

寫出下列各邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素

寫出來：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中適合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中適合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中適合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

寫出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360內第一象限角可表示為090；

（2）與0,90終邊相同的角分別為0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夾在這兩個終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為：

M|k36090k360,kZ．

學生討論，歸納出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

說明：區間角的集合的表示不唯一.例5寫出yx(x0)所夾區域內的角的集合.解：當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

所以，按逆時針方向旋轉有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制與弧長公式

1.角度制與弧度制的換算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧長公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l簡單.r180

lR，其中l是扇形弧長，R是圓的半徑.2

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數）的絕對值與半徑的積

3．扇形面積公式

S注意幾點：

1．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度數與弧度數的對應值應該記住：

3．應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的關系.任意角的集合實數集R

例6

把下列各角從度化為弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

變式練習：把下列各角從度化為弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角從弧度化為度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.變式練習：把下列各角從弧度化為度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求該扇形的面積.解：因為2R+2R=8,所以R=2,S=4.課堂小結

1．弧度制的定義；

2．弧度制與角度制的轉換與區別；

3．.弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教學目標：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內建立

適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學難點：“旋轉”定義角

課標要求：了解任意角的概念

教學過程：

一、復習

師：上節課我們學習了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負角和零角；另外還學習了象限角的概念，下面請一位同學敘述一下它們的定義。

生：略

師：上節課我們還學習了所有與α角終邊相同的角的集合的表示法，[板書]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

這節課我們將進一步學習并運用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。

二、例題選講

00例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤β720的元素β

寫出來：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中適合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000說明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法來構成與-21角終邊相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應熟練掌握。

例2．寫出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負半軸上；（2）y軸上

分析：要求這些角的集合，根據終邊相同的角的表示法，關鍵只要找出符合這個條件的一個

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360間，終邊在x軸負半軸上的角為180，∴終邊在x軸負半軸上

00的所有角構成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360間，終邊在y軸上的角有兩個，即90和2，∴與90角終邊相

00同的角構成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，與2角終邊相同的角構成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提問：同學們思考一下，能否將這兩條式子寫成統一表達式？

師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0師：在（1）式等號右邊后一項是180的所有偶數（2k）倍；在（2）式等號右邊后一項是

00180的所有奇數（2k+1）倍。因此，它們可以合并為180的所有整數倍，（1）式和（2）式

可統一寫成90+n×180（n∈Z），故終邊在y軸上的角的集合為

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

處理：師生討論，教師板演。

提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推廣：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何關系？（圖形表示）

處理：“提問”由學生作答；“進一步”教師引導，學生作答；“推廣”由學生歸納。

例1

若是第二象限角，則2，00，分別是第幾象限的角？

師：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，處理：先將k取幾個具體的數看一下（k=0，1，2，3），再歸納出以下規律：

是第一象限的角；

當k2n1(nZ)時，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22當k2n(nZ)時，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3說明：配以圖形加以說明。

（3）學生練習后教師講解并配以圖形說明。（進一步求是第幾象限的角（是第三象限的角），學生練習，教師校對答案。

三、例題小結

1．要注意某一區間內的角和象限角的區別，象限角是由無數各區間角組成的；

2．要學會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、課堂練習

練習2

若的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2的終邊在y軸的非負半軸上.練習3

若的終邊與60角的終邊相同，試寫出在（0，360）內，與000角的終邊相同的3

角。

（20，140，260）

（備用題）練習4

如右圖，寫出陰影部分（包括邊界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是該集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活動

經過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉多少度？

五、作業

A組:

1．與

終邊相同的角的集合是___________，它們是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負角是___________．

2．在0o~360o范圍內，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B組

3．寫出終邊在x軸上的角的集合。

4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－360o≤β＜360o的元素寫出來：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC組：若

是第二象限角時，則，分別是第幾象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教學設計

教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創設情境：“轉體，逆（順）時針旋轉2周”，角有正角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態與價值

通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.學會運用運動變化的觀點認識事物.2.教學重點/難點

重點:

理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點:

終邊相同的角的表示.3.教學用具

多媒體

4.標簽

任意角

教學過程

【創設情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應

當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體”

（即轉體2周），“轉體”（即轉體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現實生活中“大于的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子,這些說明了什么問題又該如何區分和表示這些角呢

[展示]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角(positive

angle),按順時針方向旋轉所形成的角叫負角(negative

angle).如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角(zero

angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any

angle）,包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant

angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習:

(1)(口答)銳角是第幾象限角第一象限角一定是銳角嗎再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾

天前的那一天是星期幾100天后的那一天是星期幾

5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系請結合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發現,在教材圖1.1-5中,如果

角的終邊都是,而

.的終邊是，那么

設,則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內,都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角

與整數個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內，找出與角

象限角.（注：是指

例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把中適合不等式終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結

(1)

你知道角是如何推廣的嗎

(2)

象限角是如何定義的呢

(3)

你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎會寫終邊落在上的角的集合.課后習題

軸、軸、直線

板書

《》

第三篇：課時15 任意角和弧度制及任意角的三角函數

提升訓練15 任意角和弧度制及任意角的三角函數

一、選擇題

π1．若－＜α＜0，則點P(tan α，cos α)位于()． 2

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．若α＝m·360°＋θ，β＝n·360°－θ(m，n∈Z)，則α，β終邊的位置關系是()．

A．重合B．關于原點對稱

C．關于x軸對稱D．關于y軸對稱

?sinα??cosα???2?2?????3．若α是第三象限角，則y的值為()． ααsincos22

A．0B．2

C．－2D．2或－2

4．已知點P(sin

A.3?3?,cos)落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()． 44π3πB.44

5π7πC.D.44

5．若一個扇形的周長與面積的數值相等，則該扇形所在圓的半徑不可能等于()．

A．5B．2C．3D．4

6．一段圓弧的長度等于其圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為()． π2πA.B.C.32 33

π2πnπ*7．(2012上海高考)若Sn＝sinsinsinn∈N)，則在S1，S2，…，S100777

中，正數的個數是()．

A．16B．72C．86D．100

二、填空題

8．已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在第__________象限．

sin α1－cosα9．若角α的終邊落在射線y＝－x(x≥0)上，＝__________.cos α1－sinα10．若β的終邊所在直線經過點P(cos

＝__________.三、解答題

11．已知角α終邊經過點P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝

值．

12．已知扇形AOB的周長為8，(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；

(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.3x.求sin α，tan α的63?3?,sin)，則sin β＝__________，tan β44

第 1 頁

第四篇：1.1 任意角和弧度制 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創設情境：“轉體，逆（順）時針旋轉2周”，角有正角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態與價值

通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.學會運用運動變化的觀點認識事物.2.教學重點/難點

重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點: 終邊相同的角的表示.3.教學用具

多媒體

4.標簽

任意角

教學過程 【創設情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應

當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學習了

角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體”（即轉體2周），“轉體”（即轉體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現實生活中“大于的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區分和表示這些角呢? [展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉所形成的角叫負角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角(zero angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）,包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習:(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾? 天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系?請結合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發現,在教材圖1.1-5中,如果角的終邊都是,而

.的終邊是，那么設,則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內,都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內，找出與角象限角.（注：是指例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把

中適合不等式

終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結

(1)你知道角是如何推廣的嗎?(2)象限角是如何定義的呢?(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在上的角的集合.課后習題

軸、軸、直線

板書

第五篇：任意角的三角函數教學設計

《任意角的三角函數》教學設計

一、教學內容分析

本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在《課程標準》中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；能根據任意角的三角函數的定義求出具體的角的各三角函數值；能根據定義探究出三角函數值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數形結合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態地研究任意角三角函數與它的終邊上點的坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數形結合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數．如圖（課件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根據銳角三角函數的定義，銳角A的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數的定義

問題2：在上節教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數推廣到任意角三角函數．

師生活動：在教學中，可以根據學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續在直角三角形中定義任意角的三角函數？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．

（2）在上節教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角的三角函數呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家現在能不能給出任意角三角函數的定義了？

設計意圖：引導學生在定義銳角三角函數的基礎上，進一步給出任意角三角函數的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數的定義，教師進行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 例1：（題目在課件8中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯系，體會數形結合的思想．

3．練習（在課件9中）

設計意圖：通過應用三角函數的定義，加強對三角函數概念的理解． 4．小結

問題5：銳角三角函數與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數雖然是銳角三角函數的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．你能再回顧一下任意角三角函數的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節課的主要內容．

八、作業設計：

教科書P106習題1.2題．

設計意圖：根據本節課所涉及到的三角函數定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業題．試圖通過作業，讓學生進一步理解三角函數的概念，并從中評價學生對三角函數概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。背景創設符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象，現象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數學模型很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，同時能夠揭示函數的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。這和課程標準的理念是一致的。